Закон мысли

Эта статья об аксиоматических правилах различных логиков и философов. О Буля книге по логике см. «Законы мышления» .

Законы мышления — это фундаментальные аксиоматические правила, на которых часто считается основанным сам рациональный дискурс. Формулировка и разъяснение таких правил имеют давнюю традицию в истории философии и логики . Обычно они воспринимаются как законы, которые направляют и лежат в основе мышления, мыслей , выражений, дискуссий каждого человека и т. д. Однако такие классические идеи часто подвергаются сомнению или отвергаются в более поздних разработках, таких как интуиционистская логика , диалетеизм и нечеткая логика .

Согласно Кембриджскому философскому словарю 1999 года , Законы мышления — это законы, по которым или в соответствии с которыми протекает действительное мышление, или которые оправдывают действительный вывод, или к которым сводятся все действительные умозаключения. Законы мышления — это правила, применимые без исключения к любому предмету мышления и т. д.; иногда говорят, что они являются объектом логики . Термин, редко употребляемый разными авторами в одном и том же смысле, издавна ассоциировался с тремя одинаково неоднозначными выражениями: законом тождества (ИД), законом противоречия (или непротиворечия; НК) и законом исключенного . средний (ЕМ).Иногда эти три выражения воспринимаются как предложения формальной онтологии , имеющие максимально широкий предмет, предложения, применимые к сущностям как таковым: (ID), все есть (т. е. идентично) самому себе; (NC) ни одна вещь, имеющая данное качество, не имеет и отрицания этого качества (например, ни одно четное число не является нечетным); (ЭМ) каждая вещь либо имеет данное качество, либо имеет отрицательное значение этого качества (например, каждое число либо четное, либо нечетное). Столь же распространено в старых работах использование этих выражений для обозначения принципов металогики предложений: (ID) каждое предложение подразумевает само себя; (NC) ни одно предложение не является одновременно истинным и ложным; (ЕМ) каждое предложение либо истинно, либо ложно.

Начиная с середины и до конца 1800-х годов, эти выражения использовались для обозначения утверждений булевой алгебры о классах: (ID) каждый класс включает самого себя; (NC) каждый класс таков, что его пересечение («произведение») с собственным дополнением является нулевым классом; (EM) каждый класс таков, что его объединение («сумма») с собственным дополнением является универсальным классом. Совсем недавно последние два из трех выражений использовались в связи с классической логикой высказываний и с так называемой прототетической или квантифицированной логикой высказываний ; в обоих случаях закон непротиворечия предполагает отрицание соединения («и») чего-либо с его собственным отрицанием ¬(A∧¬A), а закон исключенного третьего предполагает дизъюнкция («или») чего-либо. нечто, имеющее собственное отрицание, A∨¬A. В случае пропозициональной логики «нечто» — это схематическая буква, служащая заполнителем, тогда как в случае прототетической логики «что-то» — это подлинная переменная. Выражения «закон непротиворечия» и «закон исключенного третьего» употребляются также для обозначения семантические принципы теории моделей, касающиеся предложений и интерпретаций: (NC) при отсутствии интерпретации данное предложение является одновременно истинным и ложным, (EM) при любой интерпретации данное предложение является либо истинным, либо ложным.

Выражения, упомянутые выше, использовались во многих других целях. Многие другие положения также упоминались как законы мышления, в том числе dictum de omni et nullo, приписываемый Аристотелю , взаимозаменяемость тождественных (или равных), приписываемая Евклиду , так называемая тождественность неразличимых, приписываемая Готфриду Вильгельму Лейбницу , и другие. «логические истины».

Выражение «законы мышления» приобрело дополнительную известность благодаря его использованию Булем (1815–1864) для обозначения теорем его «алгебры логики»; Фактически, он назвал свою вторую книгу по логике «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей» (1854 г.). Современные логики, почти единодушно несогласные с Булем, считают это выражение неправильным; ни одно из вышеперечисленных положений, отнесенных к категории «законов мышления», не касается мысли как таковой, ментального феномена, изучаемого психологией , и не предполагает явной ссылки на мыслителя или познающего, как это было бы в прагматике или в эпистемологии . Различие между психологией (как исследованием психических явлений) и логикой (как исследованием обоснованных выводов) широко признано.

Три традиционных закона

История

Гамильтон предлагает историю трех традиционных законов, которая начинается с , продолжается через Аристотеля и заканчивается схоластами Средневековья Платона ; кроме того, он предлагает четвертый закон (см. запись ниже под заголовком Гамильтона ):

« Принципы противоречия и исключенного третьего можно проследить до Платона ; принципы противоречия и исключенного третьего можно проследить до Платона, которым они были провозглашены и часто применялись; из них получили особое название. Если взять в первую очередь принцип противоречия, этот закон часто использует Платон, но наиболее замечательные отрывки можно найти в Федоне, в Софисте, а также в четвертой и седьмой книгах Гамильтона LECT. .В. ЛОГИКА 62]

Закон исключенного третьего . Закон исключенного третьего между двумя противоречиями относится, как я уже сказал, и к Платону, хотя Второй Алкивиад, диалог, в котором он наиболее ясно выражен, следует признать поддельным. Он также присутствует во фрагментах Псевдо-Архита, найденных у Стобея . [Гамильтон LECT. В. ЛОГИКА. 65]

Гамильтон далее отмечает, что «это ясно и решительно провозглашается Аристотелем во многих отрывках как в его «Метафизике» (l. iii. (iv.) c.7.), так и в его «Аналитике», как предшествующей (lic 2), так и последующей (1. ic 4). В первом из них он говорит: «Невозможно, чтобы существовала какая-либо среда между противоречивыми противоположностями, но необходимо либо утверждать, либо отрицать все из всего» [Гамильтон LECT. V. LOGIC. 65]

« Закон Тождества. [Гамильтон также называет это «принципом всякого логического утверждения и определения»] Антониус Андреас : Закон Тождества, как я заявил, не был эксплицирован как принцип координат до сравнительно недавнего периода. Самый ранний автор, у которого Я обнаружил, что это сделано, — Антоний Андреас , ученый Скота, процветавший в конце тринадцатого и начале четырнадцатого века. Схоласт, в четвертой книге своего «Комментария к метафизике Аристотеля» — комментария, полного. самые остроумные и оригинальные взгляды, - не только утверждает закону Тождества его достоинство, согласованное с законом Противоречия, но, вопреки Аристотелю, он утверждает, что принцип Тождества, а не принцип Противоречия, является абсолютно первым Формула, в которой Андреас выразил это, была Ens est ens . После этого автора вопрос об относительном приоритете двух законов Тождества и Противоречия стал очень волноваться в школах. хотя были также найдены некоторые, кто утверждал закон Исключенного Третьего этот высший ранг». [Из Hamilton LECT. V. LOGIC. 65–66]

Три традиционных закона: тождество, непротиворечивость, исключенное среднее.

Ниже излагаются три традиционных «закона», по словам Бертрана Рассела (1912):

Закон идентичности

Закон идентичности : «Все, что есть, есть».

Для всех а: а = а.

По поводу этого закона Аристотель писал:

Во-первых, по крайней мере очевидно, что слово «быть» или «не быть» имеет определенный смысл, так что не все будет «то и не то». Опять же, если «человек» имеет одно значение, пусть это будет «двуногое животное»; имея одно значение, я понимаю следующее: если «человек» означает «Х», то, если А — мужчина, «Х» будет тем, что для него означает «быть человеком». (Не имеет значения, даже если бы кто-то сказал, что слово имеет несколько значений, если бы их число было ограничено; ибо каждому определению можно было бы приписать отдельное слово. Например, мы могли бы сказать, что «человек» не имеет ни одного значения. имея в виду лишь несколько, одно из которых имело бы одно определение, а именно «двуногое животное», в то время как могло бы быть и несколько других определений, если бы их число было ограничено, поскольку каждому из определений могло быть присвоено особое имя; Если бы, однако, они не ограничивались, а сказали бы, что слово имеет бесконечное число значений, то, очевидно, рассуждение было бы невозможным, ибо не иметь одного значения — значит не иметь значения, а если бы слова не имели значения, то и наши рассуждения были бы невозможны; друг друга, да и самих себя, уничтожили, ибо невозможно думать ни о чем, если мы не думаем об одной вещи, но если бы это было возможно, то этой вещи можно было бы дать одно имя.)

- Аристотель, Метафизика , Книга IV, Часть 4 (перевод В. Д. Росса)

Более двух тысячелетий спустя Джордж Буль сослался на тот же самый принцип, что и Аристотель, когда Буль сделал следующее наблюдение относительно природы языка и тех принципов, которые естественным образом им присущи:

Действительно, существуют некоторые общие принципы, основанные на самой природе языка, которыми определяется использование символов, которые являются лишь элементами научного языка. В определенной степени эти элементы произвольны. Их интерпретация чисто условна: нам разрешено использовать их в любом смысле, который нам нравится. Но это разрешение ограничено двумя необходимыми условиями: во-первых, от однажды условно установленного смысла мы никогда в одном и том же процессе рассуждения не отступаем; во-вторых, что законы, по которым осуществляется этот процесс, основаны исключительно на вышеуказанном фиксированном смысле или значении используемых символов.

- Джордж Буль, Исследование законов мышления

Закон непротиворечия

Закон непротиворечия (или «закон противоречия»). ): «Ничто не может одновременно быть и не быть».

Другими словами: «два или более противоречивых утверждения не могут быть истинными в одном и том же смысле одновременно»: ¬ (A ∧ ¬A).

По словам Аристотеля, «нельзя в одном и том же отношении и в одно и то же время сказать о чем-то, что оно есть и что оно не есть». В качестве иллюстрации этого закона он писал:

Невозможно, следовательно, чтобы «быть человеком» означало именно не быть человеком, если «человек» не только что-то обозначает в одном предмете, но и имеет одно значение... И невозможно будет быть и не быть человеком. быть тем же самым, за исключением двусмысленности, точно так же, как если бы тот, кого мы называем «человеком», а другие должны были называть «не-человеком»; но дело не в том, может ли одна и та же вещь одновременно быть и не быть человеком по имени, а в том, может ли она быть на самом деле.

- Аристотель, Метафизика, Книга IV, Часть 4 (перевод В. Д. Росса)

Закон исключенного третьего

Закон исключенного третьего: «Все должно либо быть, либо не быть».

В соответствии с законом исключенного третьего или исключенного третьего для каждого предложения истинна либо его положительная, либо отрицательная форма: A ∨ ¬A.

По поводу закона исключенного третьего Аристотель писал:

Но, с другой стороны, не может быть промежуточного между противоречиями, а об одном предмете мы должны либо утверждать, либо отрицать какое-либо одно предикат. Это станет ясно, во-первых, если мы определим, что такое истинное и ложное. Сказать о том, что есть то, чего нет, или о том, чего нет, что оно есть, ложно, тогда как сказать о том, что есть то, что есть, а о том, чего нет, что оно не есть, истинно; так что тот, кто говорит о чем-либо, что это есть или что это не так, скажет либо то, что истинно, либо то, что ложно.

- Аристотель, Метафизика, Книга IV, Часть 7 (перевод В. Д. Росса)

Обоснование

Как показывают приведенные выше цитаты Гамильтона, в частности, статья о «законе тождества», обоснование и выражение «законов мышления» были благодатной почвой для философских дебатов со времен Платона. Сегодня дебаты о том, как мы «познаем» мир вещей и наших мыслей, продолжаются; примеры обоснований см. в статьях ниже.

Платон

Платона диалогов В одном из сократических Сократ описал три принципа, вытекающие из самоанализа :

Во-первых, что ничто не может стать больше или меньше ни по числу, ни по величине, оставаясь равным самому себе... Во-вторых, что без сложения или вычитания нет ни увеличения, ни уменьшения чего-либо, а только равенство... В-третьих, то, что не было прежде, не может быть и после, не став и не став.

— Платон , Теэтет , 155.

Индийская логика

Закон непротиворечия встречается в древнеиндийской логике как метаправило в Шраута-сутрах , грамматике Панини . и Брахма-сутры, приписываемые Вьясе . Позже оно было развито средневековыми комментаторами, такими как Мадхвачарья .

Локк

Джон Локк утверждал, что принципы тождества и противоречия (т.е. закон тождества и закон непротиворечия) являются общими идеями и приходят в голову людям только после долгих абстрактных философских размышлений. Он охарактеризовал принцип идентичности как «Все, что есть, есть». Он сформулировал принцип противоречия как «невозможно, чтобы одно и то же было и не было». Для Локка это не были врожденные или априорные принципы.

Лейбниц

Готфрид Лейбниц сформулировал два дополнительных принципа, один из которых или оба иногда можно считать законом мышления:

• принцип достаточного основания
• личность неразличимого

В мысли Лейбница, как и вообще в подходе рационализма , два последних принципа рассматриваются как ясные и неоспоримые аксиомы . Они получили широкое признание в европейской мысли 17, 18 и 19 веков, хотя в 19 веке они стали предметом более серьезных дискуссий. Как выяснилось в случае с законом непрерывности , эти два закона затрагивают вопросы, которые, с современной точки зрения, являются предметом многочисленных дискуссий и анализа (соответственно, в отношении детерминизма и экстенсиональности). ). Принципы Лейбница оказали особое влияние на немецкую мысль. Во Франции « Логика Пор-Рояля» поддалась меньшему влиянию. Гегель оспаривал тождество неразличимого в своей «Науке логики» (1812–1816).

Шопенгауэр

Четыре закона

«Основных законов мышления, или условий мыслимого, четыре: – 1. Закон тождества [А есть А]. 2. Закон противоречия. 3. Закон исключения; или исключенное третье. 4. Закон достаточного основания». (Томас Хьюз, Идеальная теория Беркли и реальный мир , Часть II, Раздел XV, Сноска, стр. 38 )

Артур Шопенгауэр обсуждал законы мышления и пытался продемонстрировать, что они являются основой разума. он перечислил их следующим образом В своей книге «О четверичном корне принципа достаточного основания» , §33, :

1. Субъект равен сумме своих предикатов, или а = а.
2. Никакой предикат не может быть одновременно приписан и отринут субъекту или a ≠ ~a.
3. Из каждых двух противоречиво противоположных предикатов один должен принадлежать каждому субъекту.
4. Истина — это отсылка суждения к чему-то вне его как к достаточному основанию или основанию.

Также:

Законы мышления наиболее доходчиво можно выразить так:

1. Все, что есть, существует.
2. Ничто не может одновременно быть и не быть.
3. Каждая вещь либо есть, либо нет.
4. Из всего, что есть, можно найти, почему оно есть.

Тогда пришлось бы добавить только тот факт, что раз и навсегда в логике вопрос стоит о том, что мыслится , и, следовательно, о понятиях, а не о реальных вещах.

- Шопенгауэр, Остатки рукописей , Том. 4, «Пандекты II», §163

Чтобы показать, что они являются основой разума , он дал следующее объяснение:

Благодаря размышлению, которое я мог бы назвать самоисследованием способности разума, мы знаем, что эти суждения являются выражением условий всякого мышления и, следовательно, имеют их в качестве своего основания. Таким образом, делая тщетные попытки мыслить вопреки этим законам, способность разума признает их условиями возможности всякого мышления. Тогда мы обнаруживаем, что мыслить против них так же невозможно, как и двигать нашими конечностями в направлении, противоположном их суставам. Если бы субъект мог познать самого себя, мы должны были бы познать эти законы немедленно , а не сначала посредством опытов над объектами, то есть представлениями (мысленными образами).

- Шопенгауэр, О четверичном корне закона достаточного основания , §33

Четыре закона Шопенгауэра можно схематически представить следующим образом:

1. А есть А.
2. А не есть не-А.
3. X есть либо А, либо не-А.
4. Если А, то Б (А подразумевает Б).

Два закона

Позже, в 1844 году, Шопенгауэр заявил, что четыре закона мышления можно свести к двум. В девятой главе второго тома «Мира как воли и представления» он писал:

Мне кажется, что учение о законах мышления можно было бы упростить, если бы мы установили только два: закон исключенного третьего и закон достаточного основания. Первое так: «Каждый предикат может быть либо подтвержден, либо опровергнут в отношении каждого субъекта». Здесь уже в «или-или» заключено, что то и другое не может произойти одновременно, и, следовательно, именно то, что выражается законами тождества и противоречия. Таким образом, они были бы добавлены как следствия того принципа, который на самом деле говорит, что каждые две концептуальные сферы следует мыслить либо как единые, либо как разделенные, но никогда как обе одновременно; и поэтому, хотя слова, выражающие последнее, и соединены вместе, эти слова утверждают процесс мысли, который не может быть осуществлен. Сознание этой неосуществимости есть чувство противоречия. Второй закон мышления, принцип достаточного основания, утверждает, что вышеуказанное приписывание или опровержение должно определяться чем-то отличным от самого суждения, которое может быть (чистым или эмпирическим) восприятием или просто другим суждением. Эта другая и отличная вещь называется тогда основанием или основанием суждения. Поскольку суждение удовлетворяет первому закону мышления, оно мыслимо; поскольку оно удовлетворяет второму, оно истинно, или, по крайней мере, в том случае, когда основанием суждения является лишь другое суждение, оно логически или формально истинно.

Буль (1854 г.): Из своих «законов разума» Буль выводит «Закон противоречия» Аристотеля.

Название трактата по логике Джорджа Буля 1854 года «Исследование законов мышления » указывает на альтернативный путь. Эти законы теперь включены в алгебраическое представление его «законов разума», отточенных с годами до современной булевой алгебры .

Обоснование: как следует различать «законы разума»

Буль начинает свою главу I «Природа и замысел этого произведения» с обсуждения того, какая характеристика вообще отличает «законы разума» от «законов природы»:

«Общие законы природы по большей части не являются непосредственными объектами восприятия. Они представляют собой либо индуктивные выводы из большого количества фактов, общую истину, в которой они выражаются, либо, по крайней мере по своему происхождению, физические гипотезы причинный характер... Они во всех случаях и в самом строгом смысле этого слова являются вероятными выводами, действительно все более и более приближающимися к достоверности, по мере того как они получают все больше и больше подтверждений опыта.. ."

Этому противопоставляют то, что он называет «законами разума»: Буль утверждает, что они известны в самом начале, без необходимости повторения:

«С другой стороны, познание законов разума не требует в качестве своей основы какого-либо обширного собрания наблюдений. Общая истина видится в частном случае и не подтверждается повторением примеров... мы не только видим в частном примере общую истину, но видим в нем и определенную истину — истину, наша уверенность в которой не будет возрастать по мере увеличения опыта ее практической проверки». (Бул 1854:4)

Знаки Буля и их законы.

Буль начинается с понятия «знаков», представляющих «классы», «операции» и «идентичность»:

«Все знаки языка как орудия рассуждения могут управляться системой знаков, состоящей из следующих элементов:

«Первые буквальные символы, такие как x, y и т. д., представляют вещи как предметы наших представлений,

«Вторые признаки действия, как +, -, x, обозначают те операции ума, посредством которых концепции вещей объединяются или разрешаются так, чтобы сформировать новые концепции, включающие одни и те же элементы,

«3-й Знак тождества, =.

И эти символы Логики в своем употреблении подчиняются определенным законам, частично совпадающим с законами соответствующих символов науки алгебры, а частично отличающимися от них. (Бул 1854:27)

Затем Буль поясняет, что представляет собой «буквальный символ», например x, y, z,... — имя, применяемое к набору экземпляров в «классах». Например, «птица» представляет собой весь класс пернатых теплокровных существ. Для своих целей он расширяет понятие класса, чтобы представить принадлежность к «одному», или «ничто», или «вселенной», то есть совокупности всех индивидуумов:

«Давайте тогда договоримся обозначать класс индивидуумов, к которым применимо определенное имя или описание, одной буквой, как z... Под классом обычно понимают совокупность индивидов, каждому из которых присвоено определенное имя. или описание может быть применено; но в этой работе значение термина будет расширено, чтобы включить случай, когда существует только один индивидуум, отвечающий требуемому имени или описанию, а также случаи, обозначаемые терминами « ничто» и «вселенная», которые под «классами» следует понимать как включающие соответственно «никаких существ», «все существа»» (Boole 1854:28).

Затем он определяет, что означает строка символов, например, xy [современное логическое &, соединение]:

«Далее будет согласовано, что комбинацией ху будет представлен тот класс вещей, к которому одновременно применимы имена или описания, представленные х и у. Таким образом, если только х означает «белые вещи», а у — «овца», пусть xy означает «белая овца»» (Boole 1854:28).

Учитывая эти определения, он теперь перечисляет свои законы с их обоснованием, а также примеры (полученные из Буля):

• (1) xy = yx [коммутативный закон]

«x представляет «эстуарии», а y — «реки», выражения xy и yx будут безразлично обозначать «реки, которые являются устьями», или «эстуарии, которые являются реками»»

• (2) xx = x, попеременно x ² = x [Абсолютное тождество значения, «фундаментальный закон мышления» Буля, ср. стр. 49]

«Таким образом, «хорошие, хорошие» люди эквивалентны «хорошим» мужчинам».

Логическое ИЛИ : Буль определяет «собирание частей в целое или разделение целого на части» (Boole 1854:32). Здесь связка «и» употребляется разделительно, как и «или»; он представляет коммутативный закон (3) и распределительный закон (4) для понятия «собирание». Идею отделения части от целого он символизирует операцией «-»; для этого понятия он определяет коммутативный (5) и распределительный законы (6):

• (3) y + x = x + y [коммутативный закон]

«Таким образом, выражение «мужчины и женщины»… эквивалентно выражению «женщины и мужчины». Пусть x представляет «мужчин», y, «женщин», а + обозначает «и» и «или»…»

• (4) z(x + y) = zx + zy [дистрибутивный закон]

z = европейцы, (x = «мужчины, y = женщины): европейские мужчины и женщины = европейские мужчины и европейские женщины

• (5) x − y = −y + x [закон коммутации: отделение части от целого]

«Все мужчины (x), кроме азиатов (y)» представлены как x - y. «Все государства (x), кроме монархических государств (y)» представлены как x - y.

• (6) z(x − y) = zx − zy [дистрибутивный закон]

Наконец, это понятие «идентичности», символизируемое знаком «=". Это учитывает две аксиомы: (аксиома 1): добавление равных к равным приводит к равным, (аксиома 2): равное вычитание из равенства приводит к равным.

• (7) Идентичность («есть», «являются»), например x = y + z, «звезды» = «солнца» и «планеты».

Ничто «0» и Вселенная «1» : он замечает, что единственные два числа, которые удовлетворяют xx = x, - это 0 и 1. Затем он замечает, что 0 представляет «Ничто», а «1» представляет «Вселенную» (дискурса).

Логическое НЕ : Буль определяет противоположное (логическое НЕ) следующим образом (его предложение III):

«Если x представляет какой-либо класс объектов, то 1 — x будет представлять противоположный или дополнительный класс объектов, то есть класс, включающий все объекты, которые не включены в класс x» (Boole 1854:48).

Если x = «мужчины», то «1 − x» представляет «вселенную» за вычетом «мужчин», то есть «не-мужчин».

Понятие частного в отличие от универсального : Чтобы представить понятие «некоторые люди», Буль пишет строчную букву «v» перед предикатом-символом «vx» «некоторые люди».

Исключающее-или включающее-ИЛИ : Буль не использует эти современные имена, но определяет их следующим образом x(1-y) + y(1-x) и x + y(1-x) соответственно; они согласуются с формулами, полученными с помощью современной булевой алгебры.

Буль выводит закон противоречия

Вооруженный своей «системой», он выводит «принцип [не]противоречия», начиная со своего закона тождества: x ² = х. Он вычитает x из обеих частей (его аксиома 2), получая x ² − x = 0. Затем он выносит x на множитель: x(x − 1) = 0. Например, если x = «мужчины», то 1 − x представляет НЕ-мужчин. Итак, у нас есть пример «Закона противоречия»:

«Следовательно: x(1 − x) будет представлять класс, члены которого одновременно являются «мужчинами» и «не мужчинами», и уравнение [x(1 − x)=0] выражает, таким образом, принцип, согласно которому класс, чьи члены одновременно являются людьми и не людьми, не существует, другими словами, невозможно, чтобы один и тот же индивид был одновременно человеком и не человеком... это тождественно тот самый «принцип противоречия». «Которую Аристотель назвал фундаментальной аксиомой всей философии... то, что обычно считалось фундаментальной аксиомой метафизики, является всего лишь следствием закона мышления, математического по своей форме». (подробнее об этой «дихотомии» см. Boole 1854:49ff)

Буль определяет понятие «область (вселенная) дискурса».

Это понятие встречается в «Законах мышления» Буля, например, в 1854:28, где символ «1» (целое число 1) используется для обозначения «Вселенной», а «0» для обозначения «Ничего», и более подробно позже. (страницы 42 и далее):

«Теперь, какова бы ни была протяженность поля, внутри которого находятся все объекты нашего дискурса, это поле можно правильно назвать вселенной дискурса... Более того, эта вселенная дискурса в самом строгом смысле является конечным субъектом. дискурса».

В своей главе «Исчисление предикатов» Клини отмечает, что спецификация «области» дискурса «не является тривиальным предположением, поскольку оно не всегда явно выполняется в обычном дискурсе... в математике логика также может стать довольно скользкой, когда никакой D [домен] не был указан явно или неявно, или определение D [домена] слишком расплывчато (Kleene 1967:84).

Гамильтон (лекции по логике 1837–1838 гг., Опубликовано в 1860 г.): 4-й «Закон разума и следствий».

Как отмечалось выше, Гамильтон выделяет четыре закона — три традиционных плюс четвертый «Закон разума и следствия» — следующим образом:

«XIII. Фундаментальных законов мышления, или условий мыслимого, как принято считать, четыре: – 1. Закон Тождества; 2. Закон противоречия; 3. Закон Исключения или Исключенного Третьего; и 4. Закон разума и следствий, или достаточного основания ».

Обоснование: «Логика – это наука о законах мысли как мысли».

Гамильтон полагает, что мысль существует в двух формах: «необходимой» и «случайной» (Гамильтон 1860:17). Что касается «необходимой» формы, то ее изучение он определяет как «логику»: «Логика есть наука о необходимых формах мышления» (Гамильтон 1860:17). Чтобы определить «необходимое», он утверждает, что оно подразумевает следующие четыре «качества»:

(1) «определяется или обусловлено природой самого мыслящего субъекта... оно детерминировано субъективно, а не объективно;

(2) «оригинальные, а не приобретенные;

(3) «универсальным», то есть не может быть так, чтобы оно было необходимым в одних случаях и не требовало в других.

(4) «это должен быть закон, ибо закон есть то, что применимо ко всем случаям без исключения и отклонение от которого всегда и везде невозможно или, по крайней мере, недопустимо... Это последнее условие, Точно так же позволяет нам наиболее ясно сформулировать предмет логики, говоря, что логика есть наука о законах мышления как мышления, или наука о формальных законах мышления, или наука о законах мышления. Форма Мысли; ибо все это просто различные выражения одного и того же».

Четвертый закон Гамильтона: «Ничего не делайте выводов без основания или причины».

Вот четвертый закон Гамильтона из его LECT. В. ЛОГИКА. 60–61:

«Теперь я перехожу к четвертому закону.

« Пар. XVII. Закон достаточного основания, или разума и следствия :

«XVII. Мышление объекта, как оно действительно характеризуется положительными или отрицательными свойствами, не оставлено на произвол рассудка – способности мышления; но эта способность должна быть необходима для того или иного определенного акта мышления посредством познания. Это состояние нашего понимания выражается, так называемым, законом достаточного разума ( principium Rationis Suffificis ), но его правильнее называть законом разума; и Следствие ( principium Rationis et Consecutionis ). То знание, посредством которого разум вынужден утверждать или постулировать что-то другое, называется логическим основанием или антецедентом ; логическое следствие ; а отношение между причиной и следствием называется логической связью или следствием . Этот закон выражается в формуле – Ничего не делайте выводов без основания или причины. ¹

Отношения между Разумом и Следствием . Отношения между Разумом и Следствием, если их понимать в чистой мысли, таковы:

1. Когда причина определена явно или неявно, тогда должно существовать следствие; и наоборот , когда дано следствие, должна существовать и причина.

¹ See Schulze, Logik , §19, and Krug, Logik , §20, – ED.

2. Там, где нет причины, не может быть и следствия; и наоборот , там, где нет следствия (явно или неявно), не может быть и причины. То есть понятия разума и следствия, будучи взаимно относительными, включают и предполагают друг друга.

Логическое значение этого закона . Логическое значение закона Разума и Следствия заключается в том, что в силу него мысль складывается из ряда неразрывно связанных действий; каждый обязательно подразумевает другой. Таким образом, различение и противопоставление возможной, действительной и необходимой материи, введенное в логику, есть учение, совершенно постороннее этой науке.

Велтон

В XIX веке аристотелевские законы мышления, а иногда и лейбницевские законы мышления были стандартным материалом в учебниках логики, и Дж. Велтон описывал их так:

Законы мышления, регулирующие принципы мышления или постулаты познания — это те фундаментальные, необходимые, формальные и априорные ментальные законы, в согласии с которыми должно осуществляться любое действительное мышление. Они априорны, то есть являются результатом непосредственно процессов разума, применяемых к фактам реального мира. Они формальны; ибо, будучи необходимыми законами всякого мышления, они не могут в то же время установить определенные свойства какого-либо конкретного класса вещей, поскольку необязательно, думаем мы об этом классе вещей или нет. Они необходимы, поскольку никто никогда не делает и не может представить их перевернутыми или действительно нарушить их, потому что никто никогда не принимает противоречия, которые представляются его разуму как таковые.

- Велтон, Руководство по логике , 1891, Vol. я, с. 30.

Рассел (1903–1927)

Продолжением книги Бертрана Рассела «Принципы математики» 1903 года стал трёхтомный труд под названием Principia Mathematica (далее ПМ ), написанный совместно с Альфредом Нортом Уайтхедом . Сразу после того, как он и Уайтхед опубликовали «PM», он написал в 1912 году «Проблемы философии». Его «Проблемы» отражают «центральные идеи логики Рассела».

Принципы математики (1903)

В своих «Принципах» 1903 года Рассел определяет символическую или формальную логику (он использует эти термины как синонимы) как «изучение различных общих типов дедукции» (Russell 1903:11). Он утверждает, что «Символическая логика по существу занимается выводом вообще» (Рассел 1903:12), и в сноске указывает, что он не делает различия между выводом и дедукцией ; более того, он считает индукцию «либо замаскированной дедукцией, либо простым методом построения правдоподобных предположений» (Russell 1903:11). Это мнение изменится к 1912 году, когда он сочтет свой «принцип индукции» равным различным «логическим принципам», включающим «Законы мышления».

В своей части I «Неопределимые элементы математики», главе II «Символическая логика», части A «Исчисление высказываний» Рассел сводит дедукция («исчисление высказываний») к двум «неопределимым» и 10 аксиомам:

«17. Таким образом, в исчислении высказываний нам не требуется никакого неопределимого, кроме двух видов импликации [простой, иначе говоря, «материальной» и «формальный»] — помня, однако, что формальная импликация — это сложное понятие, анализ которого еще предстоит провести. Что касается наших двух неопределимых, нам нужны некоторые недемонстрируемые предложения, которые до сих пор мне не удалось свести к меньше десяти (Russell 1903:15).

Из них он утверждает, что может вывести закон исключенного третьего и закон противоречия, но не демонстрирует свои выводы (Russell 1903:17). Впоследствии он и Уайтхед отточили эти «примитивные принципы» и аксиомы до девяти, найденных в PM , и здесь Рассел фактически демонстрирует эти два вывода в ❋1,71 и ❋3,24 соответственно.

Проблемы философии (1912)

К 1912 году Рассел в своих «Проблемах» уделяет пристальное внимание «индукции» (индуктивному рассуждению), а также «дедукции» (выводу), обе из которых представляют собой всего лишь два примера «самоочевидных логических принципов», включающих «Законы логики». Мысль."

Принцип индукции : Рассел посвящает главу своему «принципу индукции». Он описывает это как состоящее из двух частей: во-первых, как повторяющийся сбор доказательств (без известных ошибок в ассоциации) и, следовательно, возрастающую вероятность того, что всякий раз, когда происходит А, последует Б; во-вторых, в новом случае, когда действительно происходит А, действительно последует Б: т.е. «достаточное число случаев ассоциации сделает вероятность новой ассоциации почти достоверной и приблизит ее к достоверности без ограничений».

Затем он собирает все случаи (примеры) принципа индукции (например, случай 1: A ₁ = «восходящее солнце», B ₁ = «восточное небо»; ​​случай 2: A ₂ = «заходящее солнце», B ₂ = «западное небо»; ​​случай 3: и т. д.) в «общий» закон индукции, который он выражает следующим образом:

«(a) Чем больше случаев, в которых вещь вида A была обнаружена связанной с вещью вида B, тем более вероятно (если известны случаи неудачной ассоциации), что A всегда ассоциирован с Б;

«(b) При тех же обстоятельствах достаточное количество случаев ассоциации A с B сделает почти наверняка, что A всегда связано с B, и сделает этот общий закон безграничным приближением к уверенности».

Он утверждает, что этот принцип индукции не может быть ни опровергнут, ни доказан опытом. неспособность опровержения происходит потому, что закон касается вероятности успеха, а не уверенности; Недоказывание доказательств происходит из-за нерассмотренных дел, которые еще предстоит рассмотреть, т.е. они произойдут (или не произойдут) в будущем. «Таким образом, мы должны либо принять индуктивный принцип на основании его внутренней очевидности, либо отказаться от всякого оправдания наших ожиданий относительно будущего».

В своей следующей главе («О нашем знании общих принципов») Рассел предлагает другие принципы, обладающие этим сходным свойством: «которые не могут быть доказаны или опровергнуты опытом, но используются в аргументах, исходящих из опыта». Он утверждает, что они «имеют даже большую очевидность, чем принцип индукции... знание о них имеет ту же степень достоверности, что и знание о существовании чувственных данных. Они представляют собой средства извлечения выводов из того, что дано в сенсация».

Принцип вывода : Затем Рассел предлагает пример, который он называет «логическим» принципом. Ранее он уже дважды утверждал этот принцип, сначала в качестве 4-й аксиомы в своей книге 1903 года. а затем в качестве своего первого «примитивного предложения» ПМ : «❋1.1 Все, что подразумевается из истинного элементарного предложения, истинно». Теперь он повторяет это в своей книге 1912 года в уточненной форме: «Таким образом, наш принцип гласит, что если из этого следует то, и это верно, то и то верно. Другими словами, «все, что подразумевается из истинного предложения, истинно» или все, что следует из истинного предложения, истинно». Этому принципу он уделяет большое внимание, заявляя, что «этот принцип действительно задействован - по крайней мере, его конкретные примеры - во всех демонстрациях».

Он не называет свой принцип вывода modus ponens , но формальное, символическое выражение его в PM (2-е издание, 1927 г.) — это modus ponens ; современная логика называет это «правилом», а не «законом». В следующей цитате символ «⊦» является «знаком утверждения» (ср. PM :92); «⊦» означает «это правда», поэтому «⊦p», где «p» означает «солнце восходит», означает «это правда, что солнце восходит», альтернативно: «Утверждение «Солнце восходит» истинный". Символ «импликации» «⊃» обычно читается как «если p, то q» или «p подразумевает q» (ср. PM :7). В это понятие «импликации» заложены две «примитивные идеи»: «Противоречивая функция» (обозначаемая НЕ, «~») и «Логическая сумма или дизъюнкция» (обозначаемая ИЛИ, «⋁»); они появляются как «примитивные предложения» ❋1.7 и ❋1.71 в PM (PM:97). С помощью этих двух «примитивных предложений» Рассел определяет «p ⊃ q» как формальную логическую эквивалентность «NOT-p OR q», символизируемую «~p ⋁ q»:

Вывод . . Процесс вывода заключается в следующем: утверждается суждение «р», утверждается суждение «р подразумевает q», а затем в качестве продолжения утверждается суждение «q». Доверие к умозаключению — это убеждение что если два предыдущих утверждения не ошибочны, то и последнее утверждение не является ошибочным. Соответственно, всякий раз, когда в символах p и q имеют, конечно, особое определение.

" "⊦p" и "⊦(p ⊃ q)"

" произошли, то произойдет "⊦q", если это желательно записать. Процесс вывода нельзя свести к символам. Его единственной записью является появление "⊦q". ... Вывод - это появление "⊦q". отказ от истинной посылки — это растворение импликации».

Другими словами, в длинной «цепочке» выводов после каждого вывода мы можем отделить «последующий» «⊦q» от символьной строки «⊦p, ⊦(p⊃q)» и не переносить эти символы вперед в постоянно удлиняющаяся строка символов.

Три традиционных «закона» (принципа) мышления : Рассел продолжает утверждать и другие принципы, из которых вышеупомянутый логический принцип является «только одним». Он утверждает, что «некоторые из них должны быть признаны, прежде чем какие-либо аргументы или доказательства станут возможными. Когда некоторые из них будут предоставлены, можно будет доказать и другие». Из этих различных «законов» он утверждает, что «без очень веской причины три из этих принципов были выделены традицией под названием «Законы мышления». И это он перечисляет следующим образом:

«(1) Закон тождества : «Все, что есть, есть».

(2) Закон противоречия : «Ничто не может одновременно быть и не быть».

(3) Закон исключенного третьего : «Все должно либо быть, либо не быть».

Обоснование : Рассел полагает, что «название «законы мышления»… вводит в заблуждение, поскольку важен не тот факт, что мы думаем в соответствии с этими законами, а тот факт, что вещи ведут себя в соответствии с ними; другими словами , тот факт, что когда мы думаем в соответствии с ними, мы думаем истинно ». Но он оценивает этот вопрос как «большой вопрос» и расширяет его в двух следующих главах, где он начинает с исследования понятия «априорного» (врожденного, встроенного) знания и в конечном итоге приходит к признанию платоновского «мира». универсалий». В своих исследованиях он время от времени возвращается к трем традиционным законам мышления, выделяя в частности закон противоречия: «Вывод о том, что закон противоречия есть закон мышления , тем не менее ошибочен... [скорее] закон противоречия касается вещей, а не только мыслей... факт, касающийся вещей в мире».

Его аргументация начинается с утверждения, что три традиционных закона мышления являются «образцами самоочевидных принципов». Для Рассела это вопрос «само собой разумеющийся». просто ставит более широкий вопрос о том, как мы получаем наши знания о мире. Он цитирует «исторический спор... между двумя школами, называемыми соответственно «эмпириками» [ Локк , Беркли и Юм ] и «рационалистами» [ Декарт и Лейбниц ]» (эти философы являются его примерами). Рассел утверждает, что рационалисты «утверждали, что, помимо того, что мы знаем из опыта, существуют определенные «врожденные идеи» и «врожденные принципы», которые мы знаем независимо от опыта»; Чтобы исключить возможность наличия у младенцев врожденных знаний «законов мышления», Рассел переименовывает этот вид знаний в «априори» . И хотя Рассел согласен с эмпириками в том, что «ничто не может быть познано иначе , как с помощью опыта», он также согласен с рационалистами в том, что некоторые знания априорны , в частности «предложения логики и чистой математики, а также фундаментальные положения этики».

Этот вопрос о том, как может существовать такое априорное знание, направляет Рассела к исследованию философии Иммануила Канта , которое он после тщательного рассмотрения отвергает следующим образом:

«...есть одно главное возражение, которое кажется фатальным против любой попытки решить проблему априорного знания его методом. Необходимо учитывать нашу уверенность в том, что факты всегда должны соответствовать логике и арифметике... Таким образом, решение Канта неоправданно ограничивает объем априорных положений, а также не дает возможности объяснить их достоверность».

Его возражения против Канта затем приводят Рассела к принятию «теории идей» Платона , «по моему мнению… одной из наиболее успешных попыток, предпринятых до сих пор»; он утверждает, что «... мы должны изучить наше знание универсалий... где мы обнаружим, что [это соображение] решает проблему априорного знания».

Principia Mathematica (Часть I: первое издание 1910 г., 2-е издание 1927 г.)

К сожалению, «Проблемы» Рассела не предлагают примера «минимального набора» принципов, применимых к человеческому рассуждению, как индуктивному, так и дедуктивному. Но PM, по крайней мере, предоставляет набор примеров (но не минимум; см. пост ниже), достаточный для дедуктивного рассуждения с помощью исчисления высказываний (в отличие от рассуждений с помощью более сложного исчисления предикатов ) — всего 8 принципов в начале «Части I: Математическая логика». Каждая из формул от:❋1.2 до:❋1.6 является тавтологией (верной независимо от истинностного значения p, q, r...). Чего не хватает в подходе премьер -министра, так это формального правила замены; в своей докторской диссертации 1921 года Эмиль Пост исправляет этот недостаток (см. Пост ниже). Далее формулы записаны в более современном формате, чем тот, который используется в PM ; имена даны в личке ).

❋1.1 Все, что подразумевается из истинного элементарного предложения, истинно.

❋1.2 Принцип тавтологии: (p ⋁ p) ⊃ p

❋1.3 Принцип [логического] сложения: q ⊃ (p ⋁ q)

❋1.4 Принцип перестановки: (p ⋁ q) ⊃ (q ⋁ p)

❋1.5 Ассоциативный принцип: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r) [ избыточно ]

❋1.6 Принцип [логического] суммирования: (q ⊃ r) ⊃ ((p ⋁ q) ⊃ (p ⋁ r))

❋1.7 [логическое НЕ]: Если p — элементарное предложение, ~p — элементарное предложение.

❋1.71 [логическое включающее ИЛИ]: если p и q — элементарные предложения, (p ⋁ q) — элементарное предложение.

Рассел резюмирует эти принципы словами: «Это завершает список примитивных предложений, необходимых для теории дедукции применительно к элементарным предложениям» (PM:97).

Основываясь на этих восьми тавтологиях и молчаливом использовании «правила» замены, ПМ затем выводит более ста различных формул, среди которых закон исключенного третьего ❋1.71 и закон противоречия ❋3.24 (последний требует определения логического И, символизируемого современным ⋀: (p ⋀ q) = _def ~(~p ⋁ ~q ( PM использует символ «точка» _▪ для логического И)).

Лэдд-Франклин (1914): «принцип исключения» и «принцип истощения».

Примерно в то же время (1912 г.), когда Рассел и Уайтхед заканчивали последний том своих «Начал математики» и публиковали «Проблемы философии» Рассела, по крайней мере, два логика ( Луи Кутюра , Кристина Лэдд-Франклин ) утверждали, что два «законы» (принципы) противоречия» и «исключенное третье» необходимы для определения «противоречий»; Лэдд-Франклин переименовал их в принципы исключения и исчерпания . Следующее появляется в виде сноски на странице 23 Couturat 1914:

«Как справедливо заметила г-жа ЛЭДД ФРАНКЛИН (БОЛДУИН, Словарь философии и психологии, статья «Законы мышления»), принципа противоречия недостаточно для определения противоречий; необходимо добавить принцип исключенного третьего, который в равной степени заслуживает название принципа противоречия. Вот почему г-жа ЛЭДД-ФРАНКЛИН предлагает называть их соответственно принципом исключения и принципом исчерпания, поскольку, согласно первому, два противоречащих друг другу термина являются исключающими (один из другого); и, согласно второму, они исчерпывают (вселенная дискурса)».

Другими словами, создание «противоречий» представляет собой дихотомию , то есть «расщепление» вселенной дискурса на два класса (коллекции), которые обладают следующими двумя свойствами: они (i) взаимоисключающие и (ii) (в совокупности ) исчерпывающий. Другими словами, ни одна вещь (взятая из вселенной дискурса) не может одновременно быть членом обоих классов (закон непротиворечия), но [и] каждая отдельная вещь (во вселенной дискурса) должна быть членом тот или иной класс (закон исключенного третьего).

Пост (1921): Исчисление высказываний непротиворечиво и полно.

В рамках своей докторской диссертации «Введение в общую теорию элементарных предложений» Эмиль Пост доказал «систему элементарных предложений Principia [PM]», то есть ее «исчисление высказываний». описанный первыми 8 «примитивными предложениями» ПМ как непротиворечивый . Определение «непротиворечивого» таково: что с помощью имеющейся дедуктивной «системы» (ее установленных аксиом, законов, правил) невозможно вывести (отобразить) одновременно формулу S и ее противоречивую ~S (т.е. ее логическую отрицание) (Нагель и Ньюман 1958:50). Чтобы продемонстрировать это формально, Посту пришлось добавить примитивное предложение к 8 примитивным предложениям ПМ, «правило», которое конкретизировало понятие «замещения», отсутствовавшее в оригинальном ПМ 1910 года.

Учитывая крошечный набор «примитивных высказываний» ПМ и доказательство их непротиворечивости, Пост затем доказывает, что эта система («исчисление высказываний» ПМ) является полной любая возможная таблица истинности , то есть в «системе» может быть сгенерирована :

«...каждая система истинности имеет представление в системе Начал, в то время как каждая полная система, то есть система, имеющая все возможные таблицы истинности, эквивалентна ей. ... Таким образом, мы видим, что полные системы эквивалентны системе Начал» не только в разработке таблицы истинности, но и постулатно. Поскольку другие системы в некотором смысле являются вырожденными формами полных систем, мы можем заключить, что никаких новых логических систем не вводится».

Минимальный набор аксиом? Вопрос их независимости

Затем возникает вопрос «независимости» аксиом. В своем комментарии к Post 1921 ван Хейеноорт утверждает, что Пол Бернейс решил этот вопрос в 1918 году (но опубликовал в 1926 году) - можно доказать формулу ❋1.5 Ассоциативный принцип: p ⋁ (q ⋁ r) ⊃ q ⋁ (p ⋁ r). с остальными четырьмя. Что касается того, какая система «примитивных предложений» является минимальной, ван Хейеноорт утверждает, что этот вопрос «исследовался Жилински (1925), самим Постом (1941) и Верником (1942)», но ван Хейеноорт не отвечает на этот вопрос.

Теория моделей против теории доказательств: доказательство Поста

Клини (1967:33) отмечает, что «логика» может быть «основана» двумя способами: во-первых, как «теория модели», или, во-вторых, с помощью формального «доказательства» или «аксиоматической теории»; «две формулировки, теория моделей и теория доказательств, дают эквивалентные результаты» (Клин 1967:33). Этот основополагающий выбор и их эквивалентность также применимы к логике предикатов (Kleene 1967:318).

Во введении к Post 1921 ван Хейеноорт отмечает, что «четко представлены как таблица истинности, так и аксиоматические подходы». Вопрос о доказательстве непротиворечивости обоими способами (с помощью теории моделей, с помощью аксиоматической теории доказательств) поднимается в более подходящей версии доказательства непротиворечивости Поста, которую можно найти у Нагеля и Ньюмана, 1958, в их главе V «Пример Успешное абсолютное доказательство согласованности». В основной части текста они используют модель для доказательства непротиворечивости (они также заявляют, что система завершена, но не предлагают доказательства) (Nagel & Newman 1958:45–56). Но их текст обещает читателю аксиоматическое, а не модельное доказательство, и в Приложении они приводят это доказательство, основанное на представлениях о разделении формул на два класса К ₁ и К ₂ , взаимоисключающие и исчерпывающие ( Нагель и Ньюман 1958: 109–113).

Гёдель (1930): Исчисление предикатов первого порядка завершено.

(Ограниченное) «исчисление предикатов первого порядка» — это «система логики», которая добавляет к логике высказываний (см. Пост выше) понятие «субъект-предикат», т.е. субъект x извлекается из области (вселенной). дискурса и предиката — это логическая функция f(x): x как субъект и f(x) как предикат (Kleene 1967:74). Хотя доказательство Гёделя включает в себя то же понятие «полноты», что и доказательство Поста, доказательство Гёделя гораздо сложнее; Далее следует обсуждение набора аксиом.

Полнота

Курт Гёдель в своей докторской диссертации 1930 года «Полнота аксиом функционального логического исчисления» доказал, что в этом «исчислении» (т.е. ограниченной логике предикатов с равенством или без него) каждая действительная формула «либо опровержима, либо выполнима». или что то же самое: каждая действительная формула доказуема, и, следовательно, логика полна. Вот определение Гёделя того, является ли «ограниченно функциональное исчисление» «полным»:

«...достаточно ли этого на самом деле для вывода всякого логико-математического предложения, или где, возможно, мыслимо, что существуют истинные предложения (которые могут быть доказуемы с помощью других принципов), которые не могут быть выведены в системе под рассмотрение."

Исчисление предикатов первого порядка

Это конкретное исчисление предикатов «ограничено первым порядком». К исчислению высказываний оно добавляет два специальных символа, которые символизируют обобщения « для всех » и «существует (по крайней мере одно)», распространяющиеся на область дискурса . Исчисление требует только первого понятия «для всех», но обычно включает в себя оба: (1) понятие «для всех x» или «для каждого x» обозначается в литературе так же по-разному, как (x), ∀x, Πx и т. д. ., и (2) понятие «существует (по крайней мере один x)», по-разному обозначаемое как Ex, ∃x.

Ограничение состоит в том, что обобщение «для всех» применимо только к переменным (объектам x, y, z и т. д., взятым из области дискурса), а не к функциям, другими словами, исчисление допускает ∀xf(x) (« для всех существ x, x — птица»), но не ∀f∀x(f(x)) [но если к исчислению добавить «равенство», то будет разрешено ∀f:f(x); см. ниже под Тарским ]. Пример:

Пусть предикатом «функция» f(x) будет «x — млекопитающее», а субъектной областью (или вселенной дискурса ) (ср. Kleene 1967:84) будет категория «летучие мыши»:

Формула ∀xf(x) дает истинностное значение «истина» (читай: «Для всех случаев x объектов «летучие мыши» «x является млекопитающим» является истиной, т.е. «Все летучие мыши являются млекопитающими»);

Но если экземпляры x взяты из области «крылатые существа», то ∀xf(x) дает значение истинности «ложь» (т. е. «Для всех экземпляров x «крылатых существ» «x — млекопитающее» имеет истинностное значение «ложности»; «Летающие насекомые — млекопитающие» ложно);

Однако в широкой области дискурса «все крылатые существа» (например, «птицы» + «летающие насекомые» + «летяги» + «летучие мыши») мы можем утверждать ∃xf(x) (читай: «Существует по крайней мере одно крылатое существо»). существо, являющееся млекопитающим»; оно дает истинностное значение «истина», поскольку объекты x могут принадлежать к категории «летучие мыши» и, возможно, «белки-летяги» (в зависимости от того, как мы определяем «крылатых»). Но формула дает «ложность», когда область дискурса ограничивается «летающими насекомыми» или «птицами» или одновременно «насекомыми» и «птицами».

Клини отмечает, что «исчисление предикатов (без равенства или с равенством) полностью выполняет (для теорий первого порядка) то, что считалось ролью логики» (Kleene 1967:322).

Новая аксиома: изречение Аристотеля – «максима всего и ничего»

Эта первая половина этой аксиомы – «максима всего» – появится как первая из двух дополнительных аксиом в наборе аксиом Гёделя. «Изречение Аристотеля» ( dictum de omni et nullo ) иногда называют «максимой всего и ничего», но на самом деле это две «максимы», утверждающие: «То, что верно для всех (членов области), верно и для некоторых (члены домена)» и «То, что не верно для всех (членов домена), не верно ни для одного (из членов домена)».

«Изречение» встречается у Буля 1854 года в нескольких местах:

«Может возникнуть вопрос, выражает ли та формула рассуждения, которая называется изречением Аристотеля, de Omni et nullo , основной закон человеческого рассуждения или нет; но не подлежит сомнению, что она выражает общую истину в логике» ( 1854:4)

Но позже он, кажется, возражает против этого:

«[Некоторые принципы] общего принципа аксиоматического характера, такие как «изречение Аристотеля»: «Все, что утверждается или отрицается в отношении рода, может в том же смысле быть подтверждено или отрицаться в отношении любого вида, включенного в этот род... либо излагают прямо, но в абстрактной форме аргумент, который они должны разъяснить, и, формулируя этот аргумент, подтверждают его обоснованность, либо включают в свое выражение технические термины, которые после определения снова приводят нас к той же самой точке; а именно абстрактное изложение предполагаемых допустимых форм вывода».

Но первая половина этого «изречения» ( dictum de omni ) подхвачена Расселом и Уайтхедом в «ПМ», а также Гильбертом в его версии (1927) «логики предикатов первого порядка»; его (система) включает в себя принцип, который Гильберт называет «изречением Аристотеля».

(х)f(x) → f(y)

Эта аксиома также появляется в современном наборе аксиом, предложенном Клини (Kleene 1967:387), как его «∀-схема», одна из двух аксиом (он называет их «постулатами»), необходимых для исчисления предикатов; другой - это «∃-схема» f(y) ⊃ ∃xf(x), которая выводит из конкретного f(y) существование хотя бы одного субъекта x, удовлетворяющего предикату f(x); и то, и другое требует приверженности определенной области (вселенной) дискурса.

Ограниченное исчисление предикатов Гёделя

Чтобы дополнить четыре (вместо пяти; см. пост ) аксиом исчисления высказываний, Гёдель 1930 добавляет dictum de omni в качестве первой из двух дополнительных аксиом. И это «изречение», и вторая аксиома, как он утверждает в сноске, взяты из Principia Mathematica . Действительно, PM включает в себя как

❋10.1 ⊦ ∀xf(x) ⊃ f(y) [«То есть то, что верно во всех случаях, верно и в любом отдельном случае» («Изречение Аристотеля», переписанное более современными символами)]

❋10.2 ⊦∀x(p ⋁ f(x)) ⊃ (p ⋁ ∀xf(x)) [переписано более современными символами]

Последний утверждает, что логическая сумма (т. е. ⋁, OR) простого предложения p и предиката ∀xf(x) влечет за собой логическую сумму каждого из них в отдельности. Но PM выводит оба из них из шести примитивных предложений ❋9, которые во втором издании PM отбрасываются и заменяются четырьмя новыми «Pp» (примитивными принципами) ❋8 (см., в частности, ❋8.2, а Гильберт выводит первый из его «логической ε-аксиомы» в 1927 году и не упоминает вторую, неясно, как Гильберт и Гёдель пришли к принятию этих двух аксиом.

Требуются также еще два «правила» отделения («modus ponens»), применимые к предикатам.

Тарский (1946): закон Лейбница.

Альфред Тарский в своем «Введении в логику и методологию дедуктивных наук» 1946 года (2-е издание) цитирует ряд того, что он считает «универсальными законами» исчисления предложений, три «правила» вывода и один фундаментальный закон идентичность (из которой он выводит еще четыре закона). Традиционные «законы мышления» включены в его длинный список «законов» и «правил». Его трактовка, как следует из названия его книги, ограничивается «Методологией дедуктивных наук».

Обоснование : Во введении (2-е издание) он отмечает, что то, что началось с применения логики к математике, было расширено до «всего человеческого знания»:

«[Я хочу представить] ясное представление о том мощном направлении современной мысли, которое сосредоточено на современной логике. Это направление первоначально возникло из несколько ограниченной задачи стабилизации основ математики. Однако на нынешнем этапе оно имеет много более широкие цели, поскольку он стремится создать единый понятийный аппарат, который обеспечил бы общую основу для всего человеческого знания».

Закон тождества (закон Лейбница, равенство)

Добавить понятие «равенства» к «исчислению высказываний» (это новое понятие не следует путать с логической эквивалентностью, символизируемой ↔, ⇄, «тогда и только тогда, когда (iff)», «двуусловно» и т. д.) Тарский ( ср. стр. 54-57) символизирует то, что он называет «законом Лейбница» с помощью символа «=". Это расширяет область (вселенную) дискурса и типы функций до чисел и математических формул (Клин 1967:148ff, Tarski 1946:54ff).

В двух словах: учитывая, что «x обладает всеми свойствами, которыми обладает y», мы можем написать «x = y», и эта формула будет иметь значение истинности «истина» или «ложность». Тарский формулирует этот закон Лейбница следующим образом:

• I. Закон Лейбница: x = y, если и только если x обладает всеми свойствами, которыми обладает y, а y обладает всеми свойствами, которыми обладает x.

Затем он выводит из этого закона некоторые другие «законы»:

• II. Закон рефлексивности: Все равно самому себе: x = x. [Проверено в личке ❋13.15]
• III. Закон симметрии: если x = y, то y = x. [Проверено в личке ❋13.16]
• IV. Закон транзитивности: если x = y и y = z, то x = z. [Проверено в личке ❋13.17]
• V. Если x = z и y = z, то x = y. [Проверено в личке ❋13.172]

Principia Mathematica определяет понятие равенства следующим образом (в современных символах); Обратите внимание, что обобщение «для всех» распространяется на функции-предикаты f():

❋13.01. x = y = _def ∀f:(f(x) → f(y)) («Это определение гласит, что x и y следует называть идентичными, когда каждая функция предиката, которой удовлетворяет x, удовлетворяется y»

Гильберт 1927:467 добавляет только две аксиомы равенства: первая — x = x, вторая — (x = y) → ((f(x) → f(y)); фраза «для всех f» отсутствует (или подразумевается). Гёдель 1930 определяет равенство аналогично PM:❋13.01, заимствуя два из Hilbert 1927 плюс еще два (Kleene 1967:387).

Джордж Спенсер-Браун (1969): Законы формы

Джордж Спенсер-Браун в своей книге « Законы формы » (LoF) 1969 года начинает с того, что принимает как данность, что «мы не можем делать указания, не проводя различий». Следовательно, это предполагает закон исключенного третьего. Затем он определяет две аксиомы, которые описывают, как работают различия («граница») и указания («призыв»):

• Аксиома 1. Закон вызова: Ценность повторного звонка равна ценности звонка.
• Аксиома 2. Закон пересечения: Ценность повторного пересечения (границы) не является ценностью пересечения.

Эти аксиомы имеют сходство с «законом тождества» и «законом непротиворечия» соответственно. Однако закон тождества доказывается как теорема (теорема 4.5 в « Законах формы ») в рамках LoF. В общем, LoF можно переинтерпретировать как логику первого порядка , логику высказываний и логику второго порядка , назначая определенные интерпретации символам и значениям LoF.

Современные разработки

Все вышеперечисленные «системы логики» считаются «классическими», означающими, что суждения, а выражения-предикаты являются двузначными, имеющими либо истинное значение, либо «ложность», но не то и другое вместе (Kleene 1967: 8 и 83). Хотя интуиционистская логика попадает в «классическую» категорию, она возражает против расширения оператора «для всех» до закона исключенного третьего; он допускает примеры «Закона», но не его обобщение на бесконечную область дискурса.

Интуиционистская логика

« Интуиционистская логика », иногда более широко называемая конструктивной логикой , относится к системам символической логики , которые отличаются от систем, используемых в классической логике, более точно отражая понятие конструктивного доказательства . В частности, системы интуиционистской логики не предполагают закона исключенного третьего и исключения двойного отрицания , которые являются фундаментальными правилами вывода в классической логике.

Паранепротиворечивая логика

« Паранепротиворечивая логика » относится к так называемым толерантным к противоречиям логическим системам, в которых противоречие не обязательно приводит к тривиализму . Другими словами, принцип взрыва в такой логике не действует . Некоторые (а именно диалетеисты) утверждают, что закон непротиворечия отрицается диалетической логикой . Они мотивированы определенными парадоксами, которые, кажется, подразумевают предел закона непротиворечия, а именно парадоксом лжеца . Чтобы избежать тривиальной логической системы и при этом допустить, чтобы некоторые противоречия были истинными, диалетеисты будут использовать некую паранепротиворечивую логику.

Трехзначная логика

TBD cf Трехзначная логика попробуй это Тернарная арифметика и логика - ученый-семантик

Модальные исчисления высказываний

(ср. Kleene 1967:49): Эти « исчисления » включают символы ⎕A, означающие «А необходимо», и ◊A, означающие «А возможно». Клини утверждает, что:

«Эти понятия проникают в области мышления, где понимаются два разных вида «истины», одна более универсальная или убедительная, чем другая... Зоолог мог бы заявить, что саламандры или любые другие живые существа не могут выжить. огонь; но возможно (хотя и неверно), что существуют единороги, и возможно (хотя и невероятно), что существуют отвратительные снежные люди».

Нечеткая логика

« Нечеткая логика » — это форма многозначной логики ; он имеет дело с рассуждениями , которые скорее приблизительны, чем фиксированы и точны.

См. также

• Алгебра понятий

Ссылки

• Аристотель , «Категории», Гарольд П. Кук (пер.), стр. 1–109 в «Аристотеле», Vol. 1 , Классическая библиотека Леба , Уильям Хайнеманн , Лондон, Великобритания, 1938.
• Аристотель, «Об интерпретации», Гарольд П. Кук (пер.), стр. 111–179 в «Аристотеле», Vol. 1 , Классическая библиотека Леба, Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1938.
• Аристотель, « Предварительная аналитика », Хью Треденник (пер.), стр. 181–531 в «Аристотеле», Vol. 1 , Классическая библиотека Леба, Уильям Хайнеманн, Лондон, Великобритания, 1938.
• Буль, Джордж , Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей , Макмиллан , 1854 г. Перепечатано с исправлениями, Dover Publications , Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1958 г.
• Луи Кутюра , перевод Лидии Джиллингем Робинсон, 1914, «Алгебра логики» , издательство Open Court Publishing Company, Чикаго и Лондон. Скачал через гуглбук.
• Гёдель, 1944 г. Математическая логика Рассела в книге Курта Гёделя: Собрание сочинений, том II , Oxford University Press, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN   978-0-19-514721-6
• Сэр Уильям Гамильтон, девятый баронет ( Генри Л. Мэнсел и Джон Вейтч , изд.), Лекции 1860 г. по метафизике и логике, в двух томах. Том. II. Логика , Бостон: Гулд и Линкольн. Скачал через гуглбук.
• Стивен Коул Клини , 1967, переиздание «Математической логики» , 2002, Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, ISBN   0-486-42533-9 (пбк.)
• Эрнест Нагель , Джеймс Р. Ньюман , 1958, Доказательство Гёделя , издательство Нью-Йоркского университета, LCCCN: 58-5610.
• Бертран Рассел , Проблемы философии (1912), Oxford University Press, Нью-Йорк, 1997, ISBN   0-19-511552-X .
• Артур Шопенгауэр , Мир как воля и представление , Том 2, Dover Publications , Минеола, Нью-Йорк, 1966, ISBN   0-486-21762-0
• Альфред Тарский , 1946 (второе издание), переизданный в 1995 году, « Введение в логику и методологию дедуктивных наук», перевод Олафа Хельмера, Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, ISBN   0-486-28462-X (пбк.)
• Жан ван Хейеноорт , 1967, От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN   978-0-674-32449-7 (пбк)

• Эмиль Пост , 1921, Введение в общую теорию элементарных предложений с комментариями ван Хейеноорта, страницы 264 и далее.
• Дэвид Гильберт , 1927, «Основы математики» с комментариями ван Хейеноорта, страницы 464 и далее.
• Курт Гёдель , 1930a, Полнота аксиом функционального исчисления логики с комментариями ван Хейеноорта, страницы 592 и далее.

• Альфред Норт Уайтхед , Бертран Рассел . Principia Mathematica , 3 тома, Cambridge University Press, 1910, 1912 и 1913 гг. Второе издание, 1925 г. (Том 1), 1927 г. (Том 2, 3). Сокращено от Principia Mathematica до *56 (2-е издание) , Cambridge University Press, 1962, без LCCCN или ISBN.

Внешние ссылки

• Джеймс Данахер, « Законы мышления » , «Философ» , том LXXXXII, № 1.
• Питер Субер, « Непротиворечивость и исключенное среднее, заархивировано 4 августа 2011 г. в Wayback Machine » , Эрлхэм-колледж.