Квадратура (геометрия)

В математике , особенно в геометрии , квадратура (также называемая возведением в квадрат ) — это исторический процесс рисования квадрата той же площади, что и заданная плоская фигура , или вычисления числового значения этой площади . Классический пример — квадратура круга (или квадратура круга). Квадратурные задачи послужили одним из главных источников проблем в развитии исчисления . Они знакомят с важными темами математического анализа .

История [ править ]

Античность [ править ]

Луна Гиппократа была первой изогнутой фигурой, точная площадь которой была рассчитана математически.

Греческие математики понимали определение площади фигуры как процесс геометрического построения квадрата , имеющего ту же площадь ( возведение в квадрат ), отсюда и название квадратура этого процесса — . Греческие геометры не всегда добивались успеха (см. квадратуру круга ), но они выполняли квадратуры некоторых фигур, стороны которых не были просто отрезками прямых, таких как луна Гиппократа и парабола . По определенной греческой традиции эти построения нужно было производить, используя только циркуль и линейку , хотя не все греческие математики придерживались этого изречения.

Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b необходимо построить квадрат со стороной $x={\sqrt {ab}}$ ( геометрическое среднее a и b ). Для этого можно воспользоваться следующим: если нарисовать круг диаметром, полученным из соединения отрезков длин a и b , то высота ( BH на схеме) отрезка, проведенного перпендикулярно диаметру, из точка их соединения с точкой пересечения окружности равна среднему геометрическому а и b . Подобная геометрическая конструкция решает задачи квадратуры параллелограмма и треугольника.

задачи квадратуры для криволинейных Гораздо сложнее фигур. В XIX веке было доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. ^[1]^[2]Тем не менее, для некоторых фигур можно выполнить квадратуру. Квадратуры поверхности сферы и отрезка параболы , открытые Архимедом, стали высшим достижением анализа в древности.

Площадь поверхности сферы равна четырехкратной площади круга, образованного большим кругом этой сферы.
Площадь отрезка параболы, определяемая пересекающей его прямой, равна 4/3 площади вписанного в этот отрезок треугольника.

Для доказательства этих результатов Архимед использовал метод исчерпывания, приписываемый Евдоксу . ^[3]

Средневековая математика [ править ]

В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади любым методом. Чаще всего метод неделимых использовался ; оно было менее строгим, чем геометрические построения греков, но было проще и мощнее. С ее помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли площадь циклоидной арки, Грегуар де Сен-Винсент исследовал площадь под гиперболой ( Opus Geometricum , 1647), ^[3]^: 491 и Альфонс Антонио де Сараса , ученик и комментатор де Сен-Винсента, отметил связь этой области с логарифмами . ^[3]^: 492^[4]

Интегральное исчисление [ править ]

Джон Уоллис алгебраизировал этот метод; он написал в своей «Арифметике бесконечности» (1656 г.) некоторые ряды, которые эквивалентны тому, что сейчас называется определенным интегралом , и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса: квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей . Христиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру площади поверхности некоторых тел вращения .

Квадратура гиперболы Грегуара де Сен-Венсана и А. А. де Сарасы предоставила новую функцию — натуральный логарифм , имеющую решающее значение. С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод расчета площади. В ответ термин «квадратура» стал традиционным, и вместо этого современная фраза «нахождение площади» чаще используется для того, что технически является вычислением одномерного определенного интеграла .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Линдеманн, Ф. (1882). «О числе π» . Математические анналы (на немецком языке). 20 (2): 213–225. дои : 10.1007/bf01446522 . S2CID 120469397 .
^ Фрич, Рудольф (1984). «Трансцендентность числа $π$ известна уже около столетия, но кто был тот человек, который это открыл?». Результаты по математике . 7 (2): 164–183. дои : 10.1007/BF03322501 . МР 0774394 . S2CID 119986449 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кац, Виктор Дж. (1998). История математики: Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN 0-321-01618-1 .
^ Энрике А. Гонсалес-Веласко (2011) Путешествие по математике , § 2.4 Гиперболические логарифмы, страница 117

Ссылки [ править ]

Бойер, CB (1989) История математики , 2-е изд. обр. Ута К. Мерцбах . Нью-Йорк: Уайли, ISBN 0-471-09763-2 (1991 PBK изд. ISBN 0-471-54397-7 ).
Ивс, Ховард (1990) Введение в историю математики , Сондерс, ISBN 0-03-029558-0 ,
Христиан Гюйгенс (1651) Теоремы о квадратуре гипербол, эллипсов и окружностей
Жан-Этьен Монтукла (1873) «История квадратуры круга» , переводчик Дж. Бабена, редактор Уильяма Александра Майерса, ссылка с сайта HathiTrust .
Кристоф Скриба (1983) «Сходящаяся двойная последовательность Грегори: новый взгляд на спор между Гюйгенсом и Грегори по поводу «аналитической» квадратуры круга», Historia Mathematica 10:274–85.

[lindemann-1] Линдеманн, Ф. (1882). «О числе π» . Математические анналы (на немецком языке). 20 (2): 213–225. дои : 10.1007/bf01446522 . S2CID 120469397 .

[fritsch-2] Фрич, Рудольф (1984). «Трансцендентность числа $π$ известна уже около столетия, но кто был тот человек, который это открыл?». Результаты по математике . 7 (2): 164–183. дои : 10.1007/BF03322501 . МР 0774394 . S2CID 119986449 .

[Katz-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кац, Виктор Дж. (1998). История математики: Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. ISBN 0-321-01618-1 .

[4] Энрике А. Гонсалес-Веласко (2011) Путешествие по математике , § 2.4 Гиперболические логарифмы, страница 117

[1]

[2]

[3]

[4]