Группа классов отображения поверхности

В математике, а точнее в топологии , группа классов отображений поверхности компактно , иногда называемая модулярной группой или модулярной группой Тейхмюллера , — это группа гомеоморфизмов поверхности, рассматриваемой с точностью до непрерывной (в -открытой топологии ) деформации. Это имеет фундаментальное значение для изучения 3-многообразий через их вложенные поверхности, а также изучается в алгебраической геометрии в связи с задачами о модулях кривых.

Группа классов отображений может быть определена для произвольных многообразий (действительно, для произвольных топологических пространств), но двумерная ситуация является наиболее изученной в теории групп .

Группа классов отображения поверхностей связана с различными другими группами, в частности с группами кос и группами внешних автоморфизмов .

История

Группа картографических классов появилась в первой половине ХХ века. Ее истоки лежат в изучении топологии гиперболических поверхностей и особенно в изучении пересечений замкнутых кривых на этих поверхностях. Первыми участниками были Макс Ден и Якоб Нильсен : Ден доказал конечную последовательность группы, и Нильсен дали классификацию классов отображений и доказали, что все автоморфизмы фундаментальной группы поверхности могут быть представлены гомеоморфизмами (теорема Дена–Нильсена–Бэра).

Теория Дена-Нильсена была переосмыслена в середине семидесятых годов Терстоном, который придал этому предмету более геометрический оттенок. и с большим успехом использовал эту работу в своей программе изучения трехмерных многообразий.

Совсем недавно группа классов отображения сама по себе стала центральной темой геометрической теории групп , где она обеспечивает испытательную площадку для различных гипотез и методов.

Определение и примеры

Группа классов отображения ориентируемых поверхностей

Позволять $S$ быть связной , замкнутой , ориентируемой поверхностью и $\operatorname {Homeo} ^{+}(S)$ группа сохраняющих ориентацию или положительных гомеоморфизмов $S$. Эта группа имеет естественную топологию — компактно-открытую топологию. Его легко определить с помощью функции расстояния: если нам задана метрика $d$ на $S$ индуцируя его топологию, то функция, определяемая формулой

$\delta (f,g)=\sup _{x\in S}\left(d(f(x),g(x))\right)$

— расстояние, индуцирующее компактно-открытую топологию на $\operatorname {Homeo} ^{+}(S)$. Связная компонента тождества для этой топологии обозначается $\operatorname {Homeo} _{0}(S)$. По определению он равен гомеоморфизмам $S$ которые изотопны идентичности. Это нормальная подгруппа группы положительных гомеоморфизмов и группа классов отображений $S$ это группа

$\operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S)$.

Это счетная группа.

Если мы изменим определение, включив в него все гомеоморфизмы, мы получим расширенную группу классов отображений $\operatorname {Mod} ^{\pm }(S)$, который содержит группу классов отображения как подгруппу с индексом 2.

Это определение также можно дать в дифференцируемой категории: если мы заменим все приведенные выше случаи «гомеоморфизма» на « диффеоморфизм », мы получим ту же группу, то есть включение $\operatorname {Diff} ^{+}(S)\subset \operatorname {Homeo} ^{+}(S)$ индуцирует изоморфизм между факторами по их соответствующим тождественным компонентам.

Группы классов отображений сферы и тора

Предположим, что $S$ это единичная сфера в $\mathbb {R} ^{3}$. Тогда любой гомеоморфизм $S$ изотопен либо идентичности, либо ограничению $S$ симметрии в плоскости $z=0$. Последнее не сохраняет ориентацию, и мы видим, что группа классов отображений сферы тривиальна, а ее расширенная группа классов отображений равна $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, циклическая группа порядка 2.

Группа классов отображения тора $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ естественно отождествляется с модульной группой $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Легко построить морфизм $\Phi :\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})$: каждый $A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ индуцирует диффеоморфизм $\mathbb {T} ^{2}$ с помощью $x+\mathbb {Z} ^{2}\mapsto Ax+\mathbb {Z} ^{2}$. Действие диффеоморфизмов на первую группу гомологий $\mathbb {T} ^{2}$ дает левую инверсию $\Pi$ к морфизму $\Phi$ (доказывая, в частности, что оно инъективно), и можно проверить, что $\Pi$ инъективен, так что $\Pi ,\Phi$ являются обратными изоморфизмами между $\operatorname {Mod} (\mathbb {T} ^{2})$ и $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Таким же образом, расширенная группа классов отображения $\mathbb {T} ^{2}$ является $\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )$.

Группа классов отображения поверхностей с границей и проколами

В случае, когда $S$ — компактная поверхность с непустой границей $\partial S$ тогда определение группы классов отображения должно быть более точным. Группа $\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)$ гомеоморфизмов относительно границы является подгруппой $\operatorname {Homeo} ^{+}(S)$ которые ограничиваются тождеством на границе, и подгруппа $\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)$ является связным компонентом идентичности. Группа классов отображения тогда определяется как

$\operatorname {Mod} (S)=\operatorname {Homeo} ^{+}(S,\partial S)/\operatorname {Homeo} _{0}(S,\partial S)$.

Поверхность с проколами — это компактная поверхность с конечным числом удаленных точек («проколов»). Группа классов отображения такой поверхности определяется, как указано выше (обратите внимание, что классам отображения разрешено переставлять местами проколы, но не граничные компоненты).

Группа классов отображения кольцевого пространства

Любое кольцо гомеоморфно подмножеству $A_{0}=\{1\leq |z|\leq 2\}$ из $\mathbb {C}$. Можно определить диффеоморфизм $\tau _{0}$ по следующей формуле:

$\tau _{0}(z)=e^{2i\pi |z|}z$

что тождественно на обеих граничных компонентах $\{|z|=1\},\{|z|=2\}$. Группа классов отображения $A$ затем генерируется классом $\tau _{0}$.

Группы кос и группы классов отображения

Основная статья: Группы кос

Группы кос можно определить как группы классов отображения диска с проколами. Точнее, группа кос на n нитях естественно изоморфна группе классов отображений диска с n проколами.

Теорема Дена–Нильсена–Бэра.

Если $S$ закрыт ​ и $f$ является гомеоморфизмом $S$ то мы можем определить автоморфизм $f_{*}$ фундаментальной группы $\pi _{1}(S,x_{0})$ следующим образом: исправить путь $\gamma$ между $x_{0}$ и $f(x_{0})$ и для цикла $\alpha$ на базе $x_{0}$ представляющий элемент $[\alpha ]\in \pi _{1}(S,x_{0})$ определять $f_{*}([\alpha ])$ быть элементом фундаментальной группы, связанной с циклом ${\bar {\gamma }}*f(\alpha )*\gamma$. Этот автоморфизм зависит от выбора $\gamma$, но только с точностью до сопряжения. Таким образом, мы получаем четко определенную карту из $\operatorname {Homeo} (S)$ к внешней группе автоморфизмов $\operatorname {Out} (\pi _{1}(S,x_{0}))$. Это отображение является морфизмом, и его ядром является в точности подгруппа $\operatorname {Homeo} _{0}(S)$. Теорема Дена-Нильсена-Бэра утверждает, что она, кроме того, сюръективна. В частности, это подразумевает, что:

Расширенная группа классов сопоставления $\operatorname {Mod} ^{\pm }(S)$ изоморфна внешней группе автоморфизмов $\operatorname {Out} (\pi _{1}(S))$.

Образ группы классов отображений представляет собой подгруппу индекса 2 внешней группы автоморфизмов, которую можно охарактеризовать своим действием на гомологии.

Заключение теоремы не выполняется, если $S$ имеет непустую границу (за исключением конечного числа случаев). В этом случае фундаментальная группа является свободной группой, а внешняя группа автоморфизмов Out(Fn) строго больше образа группы классов отображений посредством морфизма, определенного в предыдущем абзаце. Образ — это именно те внешние автоморфизмы, которые сохраняют каждый класс сопряженности в фундаментальной группе, соответствующий граничной компоненте.

Точная последовательность Бирмана

Это точная последовательность, связывающая группу классов отображения поверхностей одного и того же рода и границы, но с разным количеством точек. Это фундаментальный инструмент, который позволяет использовать рекурсивные аргументы при изучении групп классов отображения. Это было доказано Джоан Бирман в 1969 году. Точное утверждение заключается в следующем.

Позволять $S$ быть компактной поверхностью и $x\in S$. Есть точная последовательность

$1\to \pi _{1}(S,x)\to \operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})\to \operatorname {Mod} (S)\to 1$.

В случае, когда $S$ сам имеет проколы в группе классов отображения $\operatorname {Mod} (S\setminus \{x\})$ должна быть заменена подгруппой конечного индекса классов отображений, фиксирующей $x$.

Элементы группы классов отображения

Ден крутится

Основная статья: Твист Дена

Если $c$ представляет собой ориентированную простую замкнутую кривую на $S$ и выбирается замкнутая трубчатая окрестность $A$ тогда существует гомеоморфизм $f$ от $A$ к каноническому кольцу $A_{0}$ определено выше, отправка $c$ в круг с ориентацией против часовой стрелки . Это используется для определения гомеоморфизма $\tau _{c}$ из $S$ следующим образом: на $S\setminus A$ это личность, и на $A$ это равно $f^{-1}\circ \tau _{0}\circ f$. Класс $\tau _{c}$ в группе классов отображения $\operatorname {Mod} (S)$ не зависит от выбора $f$ сделано выше, и полученный элемент называется поворотом Дена вокруг $c$. Если $c$ не является нуль-гомотопным, этот класс отображений нетривиален, и, в более общем смысле, повороты Дена, определяемые двумя негомотопными кривыми, являются различными элементами в группе классов отображений.

В группе классов отображения тора, отождествляемого с $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ скрутки Дена соответствуют унипотентным матрицам. Например, матрица

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

соответствует повороту Дена вокруг горизонтальной кривой тора.

Классификация Нильсена-Терстона

Основная статья: классификация Нильсена – Терстона

Существует классификация классов отображения на поверхности, первоначально предложенная Нильсеном и переоткрытая Терстоном, которую можно сформулировать следующим образом. Элемент $g\in \operatorname {Mod} (S)$ либо:

• конечного порядка (т.е. существует $n>0$ такой, что $g^{n}$ это личность),
• приводима: существует множество непересекающихся замкнутых кривых на $S$ который сохраняется под действием $g$;
• или псевдо-Аносов.

Основное содержание теоремы состоит в том, что класс отображений, не являющийся ни конечным порядком, ни приводимым, должен быть псевдоаносовым, который можно явно определить с помощью динамических свойств.

Псевдоаносовские диффеоморфизмы

Основная статья: Карта Псевдо-Аносова

Фундаментальное значение имеет изучение псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхности. Это наиболее интересные диффеоморфизмы, поскольку классы отображений конечного порядка изотопны изометриям и, следовательно, хорошо понятны, а изучение приводимых классов действительно по существу сводится к изучению классов отображений на меньших поверхностях, которые сами могут быть либо конечным порядком, либо псевдо- Аносов.

Классы псевдоаносовских отображений являются «родовыми» в группе классов отображений в различных отношениях. Например, случайное блуждание по группе классов отображения завершится на псевдоаносовском элементе с вероятностью, стремящейся к 1 по мере роста числа шагов.

Действия группы классов отображения

Действия на пространстве Тейхмюллера

Учитывая проколотую поверхность $S$ (обычно без границы) пространство Тейхмюллера $T(S)$ — пространство отмеченных комплексных (эквивалентно конформных или полных гиперболических) структур на $S$. Они представлены парами $(X,f)$ где $X$ является римановой поверхностью и $f:S\to X$ гомеоморфизм по модулю подходящего отношения эквивалентности. Налицо очевидное действие группы $\operatorname {Homeo} ^{+}(S)$ на таких парах, что сводится к действию $\operatorname {Mod} (S)$ на пространстве Тейхмюллера.

У этого действия много интересных свойств; например, он является прерывистым (хотя и не свободным ). Он совместим с различными геометрическими структурами (метрическими или комплексными), с помощью которых $T(S)$ можно одарить. В частности, метрику Тейхмюллера можно использовать для установления некоторых крупномасштабных свойств группы классов отображений, например того, что максимальные квазиизометрически вложенные квартиры в $\operatorname {Mod} (S)$ имеют размерность $3g-3+k$.

Действие распространяется на границу Терстона пространства Тейхмюллера, и классификацию классов отображений Нильсена-Терстона можно увидеть в динамических свойствах действия на пространстве Тейхмюллера вместе с его границей Терстона. А именно:

• Элементы конечного порядка фиксируют точку внутри пространства Тейхмюллера (более конкретно, это означает, что любой класс отображений конечного порядка в $\operatorname {Mod} (S)$ может быть реализовано как изометрия некоторой гиперболической метрики на $S$);
• Псевдоаносовские классы фиксируют две точки на границе, соответствующие их устойчивому и неустойчивому слоению, и действие на границе минимально (имеет плотную орбиту);
• Приводимые классы не действуют минимально на границе.

Действие на кривую сложную

Комплекс кривых поверхности $S$ представляет собой комплекс, вершины которого являются изотопическими классами простых замкнутых кривых на $S$. Действие групп классов отображения $\operatorname {Mod} (S)$ по вершинам переходит в полный комплекс. Действие не является собственно разрывным (стабилизатором простой замкнутой кривой является бесконечная группа).

Это действие вместе с комбинаторными и геометрическими свойствами комплекса кривых можно использовать для доказательства различных свойств группы классов отображений. В частности, он объясняет некоторые гиперболические свойства группы классов отображения: хотя, как упоминалось в предыдущем разделе, группа классов отображения не является гиперболической группой, но имеет некоторые свойства, напоминающие эти.

Другие комплексы с картографическим классом группового действия

Брючный комплекс

Брючный комплекс компактной поверхности $S$ представляет собой комплекс, вершинами которого являются -разложения штаны $S$ (изотопические классы максимальных систем непересекающихся простых замкнутых кривых). Действие $\operatorname {Mod} (S)$ распространяется на действие на этот комплекс. Этот комплекс квазиизометричен пространству Тейхмюллера, наделенному метрикой Вейля – Петерссона .

Маркировочный комплекс

Стабилизаторы действия группы классов отображения на комплексы кривой и штанов достаточно велики. называется Комплексом маркировок комплекс, вершинами которого маркировки являются $S$, на которые действуют и имеют тривиальные стабилизаторы в группе классов отображений $\operatorname {Mod} (S)$. Это (в отличие от комплекса кривой или штанов) локально конечный комплекс, который квазиизометричен группе классов отображений.

Маркировка определяется разложением штанов $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{\xi }$ и набор поперечных кривых $\beta _{1},\ldots ,\beta _{\xi }$ такое, что каждый из $\beta _{i}$ пересекается не более чем с одним из $\alpha _{i}$, и это «минимально» (это техническое условие, которое можно сформулировать так: если $\alpha _{i},\beta _{i}$ содержатся в подповерхности, гомеоморфной тору, то они пересекаются один раз, а если поверхность представляет собой четырехдырочную сферу, то они пересекаются дважды). Две различные разметки соединяются ребром, если они различаются «элементарным ходом», а полный комплекс получается путем добавления всех возможных симплексов более высокой размерности.

Генераторы и отношения для отображения групп классов

Теорема Дена–Ликориша.

Группа классов отображений порождается подмножеством скручиваний Дена вокруг всех простых замкнутых кривых на поверхности. Теорема Дена – Ликориша утверждает, что достаточно выбрать конечное число из них, чтобы сгенерировать группу классов отображений. Это обобщает тот факт, что $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ генерируется матрицами

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}$.

В частности, группа классов отображения поверхности является конечно порожденной группой .

Наименьшее число поворотов Дена, которое может породить группу классов отображений замкнутой поверхности рода $g\geq 2$ является $2g+1$; это было позже доказано Хамфрисом.

Конечная презентабельность

Можно доказать, что все отношения между поворотами Дена в порождающем множестве группы классов отображений могут быть записаны как комбинации конечного числа из них. Это означает, что группа классов отображений поверхности является конечно представимой группой .

Один из способов доказать эту теорему - вывести ее из свойств действия группы классов отображений на комплекс штанов: стабилизатор вершины, как видно, конечно определен, а действие коконечно. Поскольку комплекс связен и односвязен, отсюда следует, что группа классов отображений должна быть конечно порождена. Существуют и другие способы получения конечных представлений, но на практике единственный способ получить явные отношения для всех генов — это описанный в этом параграфе с немного другим комплексом вместо комплекса кривых, называемый комплексом системы разрезов .

Примером связи между поворотами Дена, встречающимися в этой презентации, является отношение фонаря .

Другие системы генераторов

Помимо скручиваний Дена, существуют и другие интересные системы образующих группы классов отображений. Например, $\operatorname {Mod} (S)$ может быть создан двумя элементами или инволюциями.

Когомологии группы классов отображений

Если $S$ представляет собой поверхность рода $g$ с $b$ граничные компоненты и $k$ затем прокалывает виртуальное когомологическое измерение $\operatorname {Mod} (S)$ равно $4g-4+b+k$.

Первые гомологии группы классов отображений конечны. откуда следует, что первая группа когомологий также конечна.

Подгруппы групп классов отображения

Подгруппа Торелли

Поскольку сингулярные гомологии функториальны, группа классов отображений $\operatorname {Mod} (S)$ действует автоморфизмами на первой группе гомологий $H_{1}(S)$. Это свободная абелева группа ранга $2g$ если $S$ замкнутый род $g$. Таким образом, это действие дает линейное представление $\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {GL} _{2g}(\mathbb {Z} )$.

Это отображение на самом деле является сюръекцией с изображением, равным целым числам точек. $\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ симплектической группы . Это происходит из-за того, что число пересечений замкнутых кривых индуцирует симплектическую форму на первых гомологиях, которая сохраняется действием группы классов отображений. Сюръективность доказывается тем, что изображения скручиваний Дена порождают $\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$.

Ядро морфизма $\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ называется Торелли группой $S$. Это конечно порожденная подгруппа без кручения. и ее изучение имеет фундаментальное значение, поскольку влияет как на структуру самой группы классов отображений (поскольку арифметическая группа $\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$ сравнительно очень хорошо изучен, много фактов о $\operatorname {Mod} (S)$ сводятся к утверждению о ее подгруппе Торелли) и приложениям к трехмерной топологии и алгебраической геометрии.

Остаточная конечность и подгруппы конечного индекса

Примером применения подгруппы Торелли является следующий результат:

Группа классов отображений аппроксимируемо конечна .

Доказательство сначала проводится с использованием аппроксимационной конечности линейной группы $\operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )$, а затем для любого нетривиального элемента группы Торелли построить геометрическими средствами подгруппу конечного индекса, не содержащую его.

Интересный класс подгрупп конечного индекса дают ядра морфизмов:

$\Phi _{n}:\operatorname {Mod} (S)\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )$

Ядро $\Phi _{n}$ обычно называют конгруэнтной подгруппой $\operatorname {Mod} (S)$. Это группа без кручения для всех $n\geq 3$ (это легко следует из классического результата Минковского о линейных группах и того факта, что группа Торелли не имеет кручения).

Конечные подгруппы

Группа классов отображений имеет лишь конечное число классов конечных групп, что следует из того факта, что подгруппа конечного индекса $\ker(\Phi _{3})$ не имеет кручения, как обсуждалось в предыдущем параграфе. Более того, из этого также следует, что любая конечная подгруппа из $\operatorname {Mod} (S)$ является подгруппой конечной группы $\operatorname {Mod} (S)/\ker(\Phi _{3})\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} /3)$.

Оценку порядка конечных подгрупп можно также получить геометрическими средствами. Решение задачи реализации Нильсена означает, что любая такая группа реализуется как группа изометрий гиперболической поверхности рода $g$. Тогда оценка Гурвица означает, что максимальный порядок равен $84(g-1)$.

Общие сведения о подгруппах

Группы классов отображений удовлетворяют альтернативе Титса : то есть любая ее подгруппа либо содержит неабелеву свободную подгруппу, либо виртуально разрешима (фактически абелева).

Любая подгруппа, не приводящая (т. е. не сохраняющая множество изотопического класса непересекающихся простых замкнутых кривых), должна содержать псевдоаносовский элемент.

Линейные представления

остается открытым Вопрос о том, является ли группа классов отображения линейной группой или нет, . Помимо объясненного выше симплектического представления гомологии, существуют и другие интересные конечномерные линейные представления, возникающие из топологической квантовой теории поля . Образы этих представлений содержатся в арифметических группах, которые не являются симплектическими, что позволяет построить гораздо больше конечных факторов $\operatorname {Mod} (S)$.

В другом направлении существует нижняя граница размерности (предполагаемого) точного представления, которая должна быть не менее $2{\sqrt {g-1}}$.

Источники

• Бирман, Джоан (1969). «Отображение групп классов и их связь с группами кос». Сообщения по чистой и прикладной математике . 22 (2): 213–238. дои : 10.1002/cpa.3160220206 . МР   0243519 .
• Бирман, Джоан С. (1974). Косы, связи и группы классов отображения . Анналы математических исследований. Том. 82. Издательство Принстонского университета.
• Брендл, Тара Э .; Фарб, Бенсон (2004). «Каждая группа классов отображения порождается тремя элементами кручения и шестью инволюциями». Дж. Алгебра . 278 . arXiv : math/0307039 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2004.02.019 . S2CID   14784932 .
• Брок, Джефф (2002). «Разложение Штанов и метрика Вейля – Петерссона». Комплексные многообразия и гиперболическая геометрия . Американское математическое общество. МР   1940162 .
• Ден, Макс (1938). «Группа классов отображения: арифметическое поле на поверхностях» . Acta Mathematica (на немецком языке). 69 : 135-206. doi : 10.1007/bf02547712 , переведено Деном в 1987 году .
• Ден, Макс (1987). Статьи по теории групп и топологии . переведен и представлен Джоном Стиллвеллом. Спрингер-Верлаг. ISBN  978-038796416-4 .
• Эскин, Алекс; Мазур, Ховард; Рафи, Касра (2017). «Крупномасштабный ранг пространства Тейхмюллера». Математический журнал Дьюка . 166 (8). arXiv : 1307.3733 . дои : 10.1215/00127094-0000006X . S2CID   15393033 .
• Фарб, Бенсон; Любоцкий, Александр; Минский, Яир (2001). «Явление ранга 1 для картирования групп классов». Математический журнал Дьюка . 106 (3): 581–597. дои : 10.1215/s0012-7094-01-10636-4 . МР   1813237 .
• Фарб, Бенсон ; Маргалит, Дэн (2012). Букварь по отображению групп классов . Принстонская математическая серия. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-069114794-9 .
• Фатхи, Альберт; Лауденбах, Франсуа; Поэнару, Валентин (2012). Работа Терстона над поверхностями . Математические заметки. Том. 48. перевод с французского оригинала 1979 года Джуна М. Кима и Дэна Маргалита. Издательство Принстонского университета. стр. xvi+254. ISBN  978-0-691-14735-2 .
• Хэтчер, Аллен ; Терстон, Уильям (1980). «Представление группы классов отображения замкнутой ориентируемой поверхности» . Топология . 19 (3): 221–237. дои : 10.1016/0040-9383(80)90009-9 .
• Иванов, Николай (1992). Подгруппы модульных групп Тейхмюллера . Переводы математических монографий. Американское математическое общество. ISBN  978-1-4704-4526-3 .
• Масбаум, Грегор; Рид, Алан В. (2012). «Все конечные группы входят в группу классов отображений». Геометрия и топология . 16 (3): 1393–1411. arXiv : 1106.4261 . дои : 10.2140/gt.2012.16.1393 . МР   2967055 . S2CID   17330187 .
• Мазур, Ховард А.; Минский, Яир Н. (1999). «Геометрия комплекса кривых. I. Гиперболичность». Математические изобретения . 138 (1): 103–149. arXiv : математика/9804098 . Бибкод : 1999InMat.138..103M . дои : 10.1007/s002220050343 . МР   1714338 . S2CID   16199015 .
• Мазур, Ховард А.; Минский, Яир Н. (2000). «Геометрия комплекса кривых II: Иерархическая структура». Геометрический и функциональный анализ . 10 (4): 902–974. arXiv : математика/9807150 . дои : 10.1007/pl00001643 . S2CID   14834205 .
• Путман, Энди (2010). «Заметка об абелианизациях подгрупп конечного индекса группы классов отображений» . Труды Американского математического общества . 138 (2): 753–758. arXiv : 0812.0017 . дои : 10.1090/s0002-9939-09-10124-7 . МР   2557192 . S2CID   2047111 .
• Терстон, Уильям П. (1988). «О геометрии и динамике диффеоморфизмов поверхностей» . Бюллетень Американского математического общества . 19 (2): 417–431. дои : 10.1090/s0273-0979-1988-15685-6 . МР   0956596 .
• Вайнриб, Б. (1996). «Группа классов отображения поверхности генерируется двумя элементами» . Топология . 35 (2): 377–383. дои : 10.1016/0040-9383(95)00037-2 .