Корень куба

В математике кубический корень числа $x$ — это число $y$ такое, что $y 3 = х$ . Все ненулевые действительные числа имеют ровно один действительный кубический корень и пару комплексно-сопряженных кубических корней, а все ненулевые комплексные числа имеют три различных комплексных кубических корня. Например, действительный кубический корень из $8$ , обозначаемый ${\sqrt[{3}]{8}}$ , равно $2$ , потому что $23 = 8$ , а остальные кубические корни из $8$ равны $-1+i{\sqrt {3}}$ и $-1-i{\sqrt {3}}$ . Три кубических корня из $-27 i$ :

3i,\quad {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i,\quad {\text{and}}\quad -{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}-{\frac {3}{2}}i.

В некоторых контекстах, особенно когда число, кубический корень которого должен быть взят, является действительным числом, один из кубических корней (в данном конкретном случае вещественный) называется главным кубическим корнем и обозначается знаком радикала. ${\sqrt[{3}]{~^{~}}}.$ Кубический корень является обратной функцией функции куба , если рассматривать только действительные числа, но не при рассмотрении также комплексных чисел: хотя всегда $\left({\sqrt[{3}]{x}}\right)^{3}=x,$ куб ненулевого числа имеет более одного комплексного кубического корня, и его главный кубический корень может не совпадать с числом, которое было возведено в куб. Например, $(-1+i{\sqrt {3}})^{3}=8$ , но ${\sqrt[{3}]{8}}=2.$

Формальное определение

Кубические корни числа x — это числа y , удовлетворяющие уравнению

y^{3}=x.\

Характеристики

Реальные числа

Для любого действительного числа x существует одно действительное число y такое, что y ³ = х . Функция куба является возрастающей, поэтому не дает одного и того же результата для двух разных входных данных и охватывает все действительные числа. Другими словами, это биекция, или взаимно однозначность. Тогда мы можем определить обратную функцию, которая также является взаимно однозначной. Для действительных чисел мы можем определить уникальный кубический корень всех действительных чисел. Если используется это определение, кубический корень отрицательного числа является отрицательным числом.

Если x и y могут быть комплексными , то существует три решения (если x не равно нулю), и поэтому x имеет три кубических корня. Действительное число имеет один действительный кубический корень и еще два кубических корня, которые образуют комплексно-сопряженную пару. Например, кубические корни из 1 :

1,\quad -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,\quad -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.

Последние два из этих корней приводят к взаимосвязи между всеми корнями любого действительного или комплексного числа. Если число представляет собой один кубический корень определенного действительного или комплексного числа, два других кубических корня можно найти, умножив этот кубический корень на один или другой из двух комплексных кубических корней из 1.

Комплексные числа

Для комплексных чисел главный корень куба обычно определяется как корень куба, имеющий наибольшую действительную часть , или, что то же самое, корень куба, аргумент которого имеет наименьшее абсолютное значение . Оно связано с главным значением натурального логарифма формулой

x^{\frac {1}{3}}=\exp \left({\frac {1}{3}}\ln {x}\right).

Если мы напишем х как

x=r\exp(i\theta )\,

где r - неотрицательное действительное число, а θ лежит в диапазоне

-\pi <\theta \leq \pi

,

тогда главный комплексный кубический корень равен

{\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right).

Это означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень из радиуса и делим полярный угол на три, чтобы определить кубический корень. Согласно этому определению, главный кубический корень отрицательного числа является комплексным числом, и, например, ³√ −8 будет не −2, а скорее 1 + i √ 3 .

Эту трудность также можно решить, рассматривая кубический корень как многозначную функцию : если мы запишем исходное комплексное число x в трех эквивалентных формах, а именно

x={\begin{cases}r\exp(i\theta ),\\[3px]r\exp(i\theta +2i\pi ),\\[3px]r\exp(i\theta -2i\pi ).\end{cases}}

Тогда главные комплексные кубические корни этих трех форм соответственно равны

{\sqrt[{3}]{x}}={\begin{cases}{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}+{\frac {2i\pi }{3}}\right),\\{\sqrt[{3}]{r}}\exp \left({\frac {i\theta }{3}}-{\frac {2i\pi }{3}}\right).\end{cases}}

Если x = 0 , эти три комплексных числа различны, хотя три представления x были эквивалентны. Например, ³Тогда √ −8 можно вычислить как −2, 1 + i √ 3 или 1 − i √ 3 .

Это связано с понятием монодромии : если следовать по непрерывности функции кубическому корню по замкнутому пути вокруг нуля, после поворота значение кубического корня умножается (или делится) на $e^{2i\pi /3}.$

Невозможность построения циркуля и линейки.

Кубические корни возникают в задаче о нахождении угла, мера которого равна одной трети заданного угла ( трисекция угла ), а также в задаче о нахождении ребра куба, объем которого в два раза больше куба с заданным ребром ( удвоение объема куба). куб ). В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что ни одно из этих действий невозможно сделать с помощью конструкции циркуля и линейки .

Численные методы

Метод Ньютона — это итерационный метод , который можно использовать для вычисления кубического корня. Для реальных чисел с плавающей запятой этот метод сводится к следующему итерационному алгоритму для получения последовательно лучших приближений кубического корня a :

x_{n+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{n}^{2}}}+2x_{n}\right).

Этот метод представляет собой простое усреднение трех факторов, выбранных так, что

x_{n}\times x_{n}\times {\frac {a}{x_{n}^{2}}}=a

на каждой итерации.

Метод Галлея улучшает эту ситуацию с помощью алгоритма, который сходится быстрее с каждой итерацией, хотя и требует больше работы на итерацию:

x_{n+1}=x_{n}\left({\frac {x_{n}^{3}+2a}{2x_{n}^{3}+a}}\right).

Это сходится кубически , поэтому две итерации выполняют столько же работы, сколько и три итерации метода Ньютона. Каждая итерация метода Ньютона требует двух умножений, одного сложения и одного деления, если предположить, что $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 1/3 делений . ⁠ a$ вычисляется заранее, поэтому три итерации плюс предварительное вычисление требуют семи умножений, трех сложений и трех

Каждая итерация метода Галлея требует трех умножений, трех сложений и одного деления. ^[1] поэтому две итерации требуют шести умножений, шести сложений и двух делений. Таким образом, метод Галлея потенциально может быть более быстрым, если одно деление обходится дороже, чем три сложения.

В любом случае плохое начальное приближение $x 0$ может привести к очень плохой производительности алгоритма, а найти хорошее начальное приближение — это своего рода чёрное искусство. Некоторые реализации манипулируют битами экспоненты числа с плавающей запятой; т.е. они приходят к начальному приближению путем деления показателя степени на 3. ^[1]

Также полезна эта обобщенная цепная дробь , основанная на методе n-го корня :

Если x является хорошим первым приближением кубического корня a и y = a − x ³, затем:

{\sqrt[{3}]{a}}={\sqrt[{3}]{x^{3}+y}}=x+{\cfrac {y}{3x^{2}+{\cfrac {2y}{2x+{\cfrac {4y}{9x^{2}+{\cfrac {5y}{2x+{\cfrac {7y}{15x^{2}+{\cfrac {8y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}}

=x+{\cfrac {2x\cdot y}{3(2x^{3}+y)-y-{\cfrac {2\cdot 4y^{2}}{9(2x^{3}+y)-{\cfrac {5\cdot 7y^{2}}{15(2x^{3}+y)-{\cfrac {8\cdot 10y^{2}}{21(2x^{3}+y)-\ddots }}}}}}}}.

Второе уравнение объединяет каждую пару дробей из первого в одну дробь, тем самым удваивая скорость сходимости.

Появление в решениях уравнений третьей и четвертой степени

Кубические уравнения , которые представляют собой полиномиальные уравнения третьей степени (что означает, что наибольшая степень неизвестного равна 3), всегда могут быть решены для их трех решений в терминах кубических корней и квадратных корней (хотя для них существуют более простые выражения только в терминах квадратных корней). все три решения, если хотя бы одно из них — рациональное число ). Если два решения являются комплексными числами, то все три выражения решения включают действительный кубический корень из действительного числа, а если все три решения являются действительными числами, то они могут быть выражены через комплексный кубический корень из комплексного числа .

Уравнения четвертой степени также можно решать в терминах кубических и квадратных корней.

История

Вычисление кубических корней восходит к вавилонским математикам еще в 1800 году до нашей эры. ^[2] В четвертом веке до нашей эры Платон поставил проблему удвоения куба , для чего потребовалось циркуля и линейки построить ребро куба с удвоенным объемом данного куба с помощью ; для этого потребовалось построить, как теперь известно, невозможно, длину ³√ 2 .

Метод извлечения кубических корней появляется в «Девяти главах математического искусства» , китайском математическом тексте, составленном примерно во втором веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в третьем веке нашей эры. ^[3] Греческий математик Герой Александрийский разработал метод вычисления кубических корней в первом веке нашей эры. Его формула снова упоминается Евтокием в комментарии к Архимеду . ^[4] В 499 году н. э. Арьябхата , математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , дал метод нахождения кубического корня из многозначных чисел в Арьябхатии (раздел 2.5). ^[5]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б «В поисках быстрого корня куба» . Metamerist.com . 2008. Архивировано из оригинала 27 декабря 2013 года.
^ Саггс, HWF (1989). Цивилизация до Греции и Рима . Издательство Йельского университета. п. 227 . ISBN 978-0-300-05031-8 .
^ Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лунь, Энтони (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. п. 213. ИСБН 978-0-19-853936-0 .
^ Смили, Дж. Гилбарт (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . 19 (42). Тринити-колледж в Дублине: 64–67. JSTOR 23037103 .
^ Арьябхатия. Архивировано 15 августа 2011 года в archive.today. Маратхи : Арьябхатия , Мохан Апте, Пуна, Индия, Rajhans Publications, 2009, стр. 62, ISBN 978-81-7434-480-9

Внешние ссылки

[metamerist-1] Jump up to: ^а ^б «В поисках быстрого корня куба» . Metamerist.com . 2008. Архивировано из оригинала 27 декабря 2013 года.

[cbgr-2] Саггс, HWF (1989). Цивилизация до Греции и Рима . Издательство Йельского университета. п. 227 . ISBN 978-0-300-05031-8 .

[oxf-3] Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лунь, Энтони (1999). Девять глав математического искусства: спутник и комментарий . Издательство Оксфордского университета. п. 213. ИСБН 978-0-19-853936-0 .

[4] Смили, Дж. Гилбарт (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . 19 (42). Тринити-колледж в Дублине: 64–67. JSTOR 23037103 .

[5] Арьябхатия. Архивировано 15 августа 2011 года в archive.today. Маратхи : Арьябхатия , Мохан Апте, Пуна, Индия, Rajhans Publications, 2009, стр. 62, ISBN 978-81-7434-480-9

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]