Давление подшипника

Подшипниковое давление — это частный случай контактной механики, часто возникающий в тех случаях, когда выпуклая поверхность (охватываемый цилиндр или сфера) контактирует с вогнутой поверхностью (охватывающий цилиндр или сфера: отверстие или полусферическая чашка ). Чрезмерное контактное давление может привести к типичному выходу из строя подшипника, такому как пластическая деформация, подобная наклепу . Эту проблему также называют сопротивлением подшипника .

Гипотезы

Контакт между охватываемой частью (выпуклой) и охватывающей частью (вогнутой) считается, когда радиусы кривизны близки друг к другу. Затяжка отсутствует, и соединение скользит без трения, поэтому контактные силы нормальны касательной к контактной поверхности.

Более того, опорное давление ограничено случаем, когда заряд можно описать радиальной силой, направленной к центру соединения.

Случай контакта цилиндр-цилиндр

Давление подшипника для контакта цилиндр-цилиндр.

В случае поворотного соединения или шарнирного соединения существует контакт между охватываемым цилиндром и охватывающим цилиндром. Сложность зависит от ситуации, выделяют три случая:

• зазор незначителен :
  • а) детали представляют собой твердые тела ,
  • б) детали представляют собой упругие тела ;
• в) зазором нельзя пренебречь и детали представляют собой упругие тела.

Под «незначительным зазором» посадку обычно подразумевают H7/g6.

Оси цилиндров расположены вдоль оси z , и к охватываемому цилиндру прикладывают две внешние силы:

• сила ${\vec {F}}$ по оси y — нагрузка;
• действие канала ствола (контактное давление).

Основной проблемой является контактное давление с отверстием, которое равномерно распределено по оси z .

Обозначение:

• D — номинальный диаметр мужского и внутреннего цилиндров;
• L направляющая длина.

Незначительный зазор и жесткие кузова

Равномерное опорное давление: случай твердых тел, когда зазором можно пренебречь.

В этом первом моделировании давление однородно. Оно равно:

$P={\frac {F}{D\times L}}={\frac {\mathrm {radial\ load} }{\mathrm {projected\ area} }}$.

Доказательство

Есть два способа получить этот результат.

Полуцилиндрическое тело, находящееся в равновесии в жидкости с гидростатическим давлением.

Во-первых, мы можем рассмотреть полуцилиндр в жидкости с однородным гидростатическим давлением . Равновесие достигается, когда результирующая сила на плоской поверхности равна результирующей силе на изогнутой. Плоская поверхность представляет собой прямоугольник D × L , поэтому

F знак равно п × ( D × L )

кед

Элементарная сила d F , возникающая вследствие давления на элемент поверхности d S , имеет две составляющие: d F _x и d F _y .

Во-вторых, мы можем интегрировать элементарные силы давления. Рассмотрим небольшую поверхность dS на цилиндрической части, параллельную образующей; его длина равна L и он ограничен углами θ и θ + dθ. Этот небольшой элемент поверхности можно рассматривать как плоский прямоугольник размером L × (dθ × D /2). Сила давления на поверхность равна

d F = P × d S = ⁠ 1 / 2 ⁠ × P × D × L × dθ

Плоскость ( y , z ) является плоскостью отражательной симметрии, поэтому составная часть x этой силы аннулируется силой, действующей на симметричный поверхностный элемент. У - соединение этой силы равно:

d F _y = cos(θ) d F = ⁠ 1/2 × D ⁠ cos(θ) × P × × L × dθ.

Результирующая сила равна

$F_{y}=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {1}{2}}\times P\times D\times L\times \cos(\theta )\times \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}\times P\times D\times L\times \left[\sin(\theta )\right]_{-\pi /2}^{\pi /2}=P\times D\times L$

кед

Этот расчет аналогичен случаю цилиндрического сосуда под давлением .

Незначительный зазор и упругие корпуса

Опорное давление с синусоидальным перераспределением: случай упругих тел, когда просветом можно пренебречь.

Если учесть, что детали деформируются упруго, то контактное давление перестает быть равномерным и переходит в синусоидальное перераспределение:

P (θ) = P _max ⋅cos θ

с

$P_{\mathrm {max} }={\frac {4}{\pi }}\cdot {\frac {F}{LD}}$.

Это частный случай следующего раздела (θ ₀ = π/2).

Максимальное давление в 4/π ≃ 1,27 раза больше, чем в случае однородного давления.

Зазор и упругие тела

Давление подшипника в случае упругих тел, когда необходимо учитывать зазор.

В тех случаях, когда зазором нельзя пренебречь, контакт между охватываемой частью составляет уже не всю поверхность полуцилиндра, а ограничивается углом 2θ ₀ . Давление подчиняется закону Гука :

Р (θ) = К ⋅δ ^а (я)

где

• K — положительное действительное число, обозначающее жесткость материалов;
• δ(θ) – радиальное смещение точки контакта на угол θ;
• α — коэффициент, отражающий поведение материала:
  • α = 1 для металлов (чисто упругое поведение ),
  • α > 1 для полимеров ( вязкоупругое или вязкопластическое поведение).

Давление варьируется в зависимости от:

А ⋅cos θ - B

где A и B — положительные действительные числа. Максимальное давление составляет:

$P_{\mathrm {max} }={\frac {4F}{LD}}\times {\frac {1-\cos \theta _{0}}{2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0}}}$

угол θ ₀ измеряется в радианах .

Коэффициент жесткости K и половинный угол контакта θ ₀ не могут быть выведены из теории. Их необходимо измерить. Для данной системы — заданных диаметров и материалов — и, следовательно, для заданных значений K и зазора j , можно получить кривую θ ₀ = ƒ( F /( DL )).

Доказательство

Упругая деформация при контакте цилиндров «папа-мама».

Связь между давлением, зазором и углом контакта

Номер детали. 1 — вмещающий цилиндр (гнездовой, вогнутый), арт. 2 — содержащийся цилиндр (охватываемый, выпуклый); центр цилиндра i равен O _i , а его радиус равен R _i .

Исходное положение представляет собой идеальную ситуацию, когда оба цилиндра расположены концентрично. Просвет, выраженный в виде радиуса (не диаметра), составляет:

j знак равно р ₁ - р ₂ .

Под нагрузкой деталь 2 соприкасается с деталью 1, их поверхности деформируются. будем считать, что цилиндр 2 является жестким (без деформаций), а цилиндр 1 — упругим телом. Вдавливание 2 в 1 имеет глубину δ _max ; движение цилиндра равно e (эксцентрация):

е знак равно О ₁ О ₂ знак равно j + δ _Макс .

Рассмотрим рамку в центре цилиндра 1 ( O ₁ , x , y ). Пусть M — точка контактной поверхности; θ — угол (- y , O ₁ M ). Смещение поверхности δ составляет:

δ(θ) знак равно О ₁ M - р ₁ .

с δ(0) = δ _max . Координаты М :

M (( R ₁ + δ(θ)⋅sin θ) ; -( R ₁ + δ(θ))⋅cos θ)

и координаты О ₂ :

О ₂ (0;-е ) .

Рассмотрим систему отсчета ( O ₁ , u , v ), где ось u равна ( O ₁ M ). В этом кадре координаты:

М ( р ₁ + δ(θ) ; 0)

О ₂ ( е ⋅cos θ ; - е ⋅sin θ)

Мы знаем, что

${\overrightarrow {O_{1}M}}={\overrightarrow {O_{1}O_{2}}}+{\overrightarrow {O_{2}M}}$

таким образом

$\left\{{\begin{aligned}R_{1}+\delta (\theta )&=&e\cdot \cos \theta +R_{2}\cos \varphi \\0&=&-e\cdot \sin \theta +R_{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.$

тогда мы используем выражение e и R ₁ = j + R ₂ :

$\left\{{\begin{aligned}j+R_{2}+\delta (\theta )&=&(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +R_{2}\cos \varphi \\0&=&-(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta +R_{2}\sin \varphi \end{aligned}}\right.$

Деформации малы, поскольку мы находимся в упругой области. Таким образом, δ _max ≪ R ₁ и, следовательно, |φ| ≪ 1, т.е.

потому что φ ≃ 1

sin φ ≃ φ (в радианах )

таким образом

$\left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta +R_{2}-(j+R_{2}+\delta (\theta ))&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -R_{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.$

и

$\left\{{\begin{aligned}(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )&=&0\\(j+\delta _{\max })\cdot \sin \theta -R_{2}\cdot \varphi &=&0\end{aligned}}\right.$

При θ = θ ₀ , δ(0) = 0 и первое уравнение имеет вид

$(j+\delta _{\max })\cdot \cos \theta _{0}-j=0\Rightarrow \delta _{\max }={\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\Leftrightarrow \cos \theta _{0}={\frac {j}{j+\delta _{\max }}}$

и таким образом

$\left(j+{\frac {j(1-\cos \theta _{0})}{\cos \theta _{0}}}\right)\cdot \cos \theta -j-\delta (\theta )=0$

$\Longrightarrow \delta (\theta )=j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)$ [1] .

Если воспользоваться законом упругости металла (α = 1):

$\left\{{\begin{aligned}P(\theta )&=&K\cdot j\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)\\P_{\max }&=&K\cdot j\cdot {\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\end{aligned}}\right.$ [2]

Давление является аффинной функцией cos θ:

P(θ) = A ⋅cos θ - B

с A знак равно K ⋅ j /cos θ ₀ и B знак равно A ⋅cos θ ₀ .

Случай, когда зазором можно пренебречь

Если j ≃ 0 (R ₁ ≃ R ₂ ), то контакт происходит на всей полупериметре: 2θ ₀ ≃ π и cos θ ₀ ≃ 0. Величина 1/cos θ ₀ возрастает к бесконечности, таким образом

$\delta (\theta )\simeq j{\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}$

Поскольку и j , и cos θ ₀ стремятся к 0, отношение j /cos θ ₀ не определяется, когда j стремится к 0. В машиностроении j = 0 является неопределенным соответствием, это абсурд как с математической, так и с механической точки зрения. Ищем предельную функцию

$P_{\pi /2}(\theta )=\lim _{\theta _{0}\to \pi /2}P_{\theta _{0}}(\theta )$.

Итак, давление является синусоидальной функцией θ:

$P(\theta )=K\cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}\cdot \cos \theta$

таким образом

P (θ) = P _max ⋅cos θ

с

$P_{\max }=K\cdot {\frac {j}{\cos \theta _{0}}}$.

Рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности d S, связанный θ и θ + dθ. Как и в случае однородного давления, имеем

d F _y (θ) = cos(θ)d F = ⁠ 1/2 = P ⁠ × cos(θ) × ( θ ) × D × L × dθ ⁠ 1 / 2 ⁠ × потому что ² (θ) × P _max × D × L × dθ.

Когда мы интегрируем между -π/2 и π/2, результат будет следующим:

$F=\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\mathrm {d} F_{y}(\theta )\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}P_{\max }DL\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta$

Мы знаем, что (например, используя формулу Эйлера ):

$\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos ^{2}\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{4}}\left[2\theta +\sin 2\theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {1}{2}}\left[\theta +\sin \theta \cos \theta \right]_{-\pi /2}^{\pi /2}={\frac {\pi }{2}}$

поэтому

$F={\frac {\pi }{4}}P_{\max }DL$

и таким образом

$P_{\max }={\frac {4}{\pi }}{\frac {F}{DL}}$

кед

Случай, когда зазором нельзя пренебречь

Сила, действующая на бесконечно малый элемент поверхности, равна:

d F (θ) = P (θ)d S = K δ(θ)d S = ⁠ 1 / 2 ⁠ × K × j × cos θ/cos θ _0–1 ) × d S

$\mathrm {d} F_{y}={\frac {Kj}{2}}\left({\frac {\cos \theta }{\cos \theta _{0}}}-1\right)DL\cos \theta \mathrm {d} \theta$

$F={\frac {KjDL}{2}}\int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}\left({\frac {\cos ^{2}\theta }{\cos \theta _{0}}}-\cos \theta \right)\mathrm {d} \theta ={\frac {KjDL}{2}}\left[{\frac {\theta +\sin \theta \cos \theta }{2\cos \theta _{0}}}-\sin \theta \right]_{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}$

таким образом

$F={\frac {KjDL}{2}}\left({\frac {2\theta _{0}+2\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{2\cos \theta _{0}}}-2\sin \theta _{0}\right)={\frac {KjDL}{2}}\left({\frac {\theta _{0}-\sin \theta _{0}\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}\right)$.

Мы признаем тригонометрическое тождество sin 2θ = 2 sin θ cos θ :

$F={\frac {KjDL}{4\cos \theta _{0}}}(2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})$

таким образом

$K={\frac {4F\cos \theta _{0}}{jDL(2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0})}}$

и поэтому:

$P_{\max }=Kj{\frac {1-\cos \theta _{0}}{\cos \theta _{0}}}={\frac {4F}{DL}}\times {\frac {1-\cos \theta _{0}}{2\theta _{0}-\sin 2\theta _{0}}}$

кед

Случай контакта сфера-сфера

Опорное давление в случае контакта сфера-сфера.

Контакт сфера-сфера соответствует сферическому соединению (гнездо/шар), например, седлу цилиндра с шаровым шарниром. Он также может описать ситуацию с шариками подшипников .

Случай равномерного давления

Случай аналогичен рассмотренному выше: если детали рассматривать как твердые тела и зазором можно пренебречь, то давление предполагается равномерным. Его также можно рассчитать с учетом проектируемой площади:

$P={\frac {F}{\pi R^{2}}}={\frac {\mathrm {radial\ load} }{\mathrm {projected\ area} }}$.

Случай синусоидального передела давления

Как и в случае контакта цилиндр-цилиндр, когда детали моделируются упругими телами с пренебрежимо малым зазором, то давление можно моделировать с синусоидальным перераспределением:

P (θ, φ) = P _max ⋅cos θ

с

$P={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {F}{\pi R^{2}}}$.

Контактное напряжение Герца

Основная статья: Контактная механика § Теория Герца неклейкого упругого контакта

Контактное напряжение Герца в случае контакта охватываемого цилиндра с охватывающим цилиндром.

Когда зазором нельзя пренебречь, тогда необходимо знать значение половины угла контакта θ ₀ , который не может быть определен простым способом и должен быть измерен. Если это значение недоступно, можно использовать теорию контакта Герца.

Теория Герца обычно действительна только тогда, когда поверхности не могут соответствовать друг другу или, другими словами, не могут соответствовать друг другу за счет упругой деформации; одна поверхность должна быть выпуклой, другая также должна быть выпуклой плоскостью. В данном случае это не тот случай, поскольку внешний цилиндр вогнутый, поэтому к результатам следует относиться с большой осторожностью. Аппроксимация действительна только тогда, когда внутренний радиус контейнера R ₁ намного больше внешнего радиуса содержимого R ₂ , и в этом случае поверхность контейнера воспринимается содержимым как плоская. Однако во всех случаях давление, рассчитанное по теории Герца, превышает фактическое давление (поскольку контактная поверхность модели меньше реальной контактной поверхности), что дает разработчикам запас прочности при проектировании.

В этой теории радиус охватывающей части (вогнутой) отрицательный.

Относительный диаметр кривизны определяется:

${\frac {1}{d^{*}}}={\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}$

где d ₁ – диаметр охватывающей части (отрицательный), а d ₂ – диаметр охватываемой части (положительный). Также определяется эквивалентный модуль эластичности:

${\frac {1}{E^{*}}}={\frac {1-\nu _{1}^{2}}{E_{1}}}+{\frac {1-\nu _{2}^{2}}{E_{2}}}$

где ν _i — коэффициент Пуассона материала детали i, а E _{i —} его модуль Юнга .

Для контакта цилиндр-цилиндр ширина контактной поверхности равна:

$b=\left({\frac {2F}{\pi L}}\cdot {\frac {d^{*}}{E^{*}}}\right)^{1/2}$

а максимальное давление находится посередине:

$P_{\max }={\frac {2F}{\pi bL}}={\sqrt {\frac {2FE^{*}}{\pi Ld^{*}}}}$.

Контактное напряжение Герца в случае контакта охватываемой сферы и охватывающей сферы.

В случае контакта сфера-сфера контактная поверхность представляет собой диск, радиус которого равен:

$a=\left({\frac {3F}{8}}\cdot {\frac {d^{*}}{E^{*}}}\right)^{1/3}$

а максимальное давление находится посередине:

$P_{\max }={\frac {3F}{\pi a^{2}}}={\frac {4}{\pi }}{\sqrt[{3}]{3F\left({\frac {E^{*}}{d^{*}}}\right)^{2}}}$.

Приложения

Болт используется в качестве упора

Упорное давление болта на его проходное отверстие. Корпус из двух пластин с одинарным перекрытием и одним рядом болтов.

Размеры, используемые для расчета болтового соединения по стандарту Еврокод 3.

В болтовом соединении роль болтов обычно заключается в прижатии одной части к другой; сцепление . ( трение ) противодействует касательным силам и предотвращает раздвижение деталей Однако в некоторых случаях приверженность недостаточна. Болты тогда играют роль упоров: винты выдерживают напряжение сдвига , тогда как отверстие выдерживает давление подшипника.

Чтобы увеличить несущее давление материала, необходимо учитывать несколько факторов. Одним из наиболее эффективных методов является увеличение площади поверхности материала. За счет увеличения площади поверхности нагрузка распределяется по большей площади, уменьшая давление на подшипник.

В хорошей практике проектирования резьбовая часть винта должна быть небольшой, и только гладкая часть должна соприкасаться с пластинами; в случае винта с буртиком зазор между винтом и отверстием очень мал (случай твердых тел с незначительным зазором). Если известны допустимый предел давления P _lim материала, толщина t детали и диаметр d винта, то максимально допустимая касательная сила для одного болта F _{b, Rd} (расчетная несущая способность на болт) равна:

F _{б, Rd} знак равно п _lim × d × t .

В этом случае допустимый предел давления рассчитывается на основе предельного растягивающего напряжения f _u и коэффициентов запаса прочности в соответствии со стандартом Еврокод 3 . В случае двух пластин с одним перехлестом и одним рядом болтов формула следующая:

P _lim = 1,5 × f _u /γ _M2

где

• γ _M2 = 1,25: частичный коэффициент безопасности.

В более сложных ситуациях формула выглядит следующим образом:

P _lim = k ₁ × α × f _u /γ _M2

где

• k ₁ и α — коэффициенты, учитывающие другие виды отказов, помимо перегрузки подшипника давлением; k ₁ учитывают эффекты, перпендикулярные касательной силе, а α - эффекты вдоль силы;
• k ₁ = min{2,8 e ₂ / d ₀ ; 2.5} для концевых болтов,
  k ₁ = min{1,4 p ₂ / d ₀ ; 2.5} для внутренних болтов,
  • e ₂ : расстояние от центра отверстия для крепежа до соседнего края детали, измеренное под прямым углом к ​​направлению передачи нагрузки,
  • p ₂ : расстояние, измеренное перпендикулярно направлению передачи нагрузки между соседними линиями

крепежи,

• • d ₀ : диаметр проходного отверстия;
• α знак равно мин{ е ₁ /3 d ₀ ; р _1/3 - д ₀ 1/4 ; ф _уб / фу _​ ; 1}, с
  • e ₁ : конечное расстояние от центра отверстия для крепежа до соседнего конца детали, измеренное в направлении передачи нагрузки,
  • p ₁ : расстояние между центрами крепежных элементов в направлении передачи нагрузки,
  • f _ub : заданный предел прочности болта на растяжение.

Предельное растягивающее напряжение для обычных конструкционных сталей

Марки стали (стандарт EN)	С235	С275	С355
Предельное растягивающее напряжение f u (МПа)	360	430	510

Если детали изготовлены из дерева, допустимое предельное давление составляет от 4 до 8,5 МПа.

Подшипник скольжения

В подшипниках скольжения вал . обычно контактирует с втулкой (втулкой или фланцем) для трения уменьшения При медленном вращении и радиальной нагрузке можно использовать модель равномерного давления (малые деформации и зазоры).

Произведение давления подшипника на окружную скорость скольжения, называемое коэффициентом нагрузки PV, представляет собой оценку способности сопротивления материала фрикционному нагреву.

Приемлемое давление подшипника

Тип втулки Максимальная окружная скорость скольжения	Допустимое давление подшипника (МПа)
Самосмазывающиеся втулки от 7 до 8 м/с 13 м/с для графита	графит: 5 свинцовая бронза: от 20 до 30 оловянная бронза: от 7 до 35
Композитная втулка, Ледник от 2 до 3 м/с	ацеталь: 70 ПТФЭ: 50
Полимерная втулка от 2 до 3 м/с	с 7 до 10

Библиография

• [Облин 1992] Облин, Мишель; Бонкомпейн, Рене; Булатон, Мишель; Кэрон, Дэниел; Джей, Эмиль; Шнуровка, Бернард; Реа, Джеки (1992). Механические системы: теория и расчет (на французском языке). Дюнод . стр. 108–157. ISBN  2-10-001051-4 .
• [Шевалье 2004] Шевалье, Андре (2004). Руководство промышленного дизайнера (на французском языке). Технический топор . п. 258. ИСБН  978-2-01-168831-6 .
• [Фанчон, 2001] Фаншон, Жан-Луи (2001). Руководство по механике: промышленные науки и технологии (на французском языке). Натан . стр. 467–471. ISBN  978-2-09-178965-1 .
• [Фанчон, 2011] Фаншон, Жан-Луи (2011). «Расчет площадок (негидродинамический режим)». Путеводитель по промышленным наукам и технологиям (на французском языке). Афнор / Натан . стр. 255–256. ISBN  978-2-09-161590-5 .
• [ГКМ 2000] Тексейдо, Дж.; Жуан, Ж.-К.; Бауве, Б.; Шамбро, П.; Игнатио, Г.; Герен, К. (2000). Руководство по механической конструкции (на французском языке). Делагрейв . стр. 110–116, 176–180. ISBN  978-2-206-08224-0 .
• [ГГ, 2003 г.] Спенле, Д.; Гурхан, Р. (2003). Руководство по расчету в механике: освоение работоспособности промышленных систем (на французском языке). Технический топор . стр. 139–140. ISBN  2-01-16-8835-3 .