Сетка перекрывающихся кругов
квадратная круговая сетка | |||||
---|---|---|---|---|---|
1+ | |||||
4 | |||||
9 | |||||
Центрированные квадратные решетчатые формы | |||||
5 | |||||
13 | |||||
треугольная круговая сетка | |||||
1+ | |||||
3 | |||||
4 | |||||
7 | |||||
19 | |||||
Сетка перекрывающихся кругов представляет собой геометрический узор из повторяющихся перекрывающихся кругов одинакового радиуса в двумерном пространстве . Обычно дизайн основан на кругах с центрами на треугольниках (с простой формой из двух кругов, называемой vesica piscis ) или на квадратной решетке из точек.
Узоры из семи перекрывающихся кругов появляются на исторических артефактах, начиная с VII века до нашей эры; они стали часто используемым орнаментом в период Римской империи и сохранились в средневековых художественных традициях как в исламском искусстве ( гирих украшения ), так и в готическом искусстве . Название «Цветок Жизни» дано узору перекрывающихся кругов в публикациях Нью Эйдж .
Особый интерес представляет шестилепестковая розетка, созданная на основе узора «семь перекрывающихся кругов», также известного как « Солнце Альп » из-за его частого использования в альпийском народном искусстве 17 и 18 веков.
Треугольная сетка перекрывающихся кругов
[ редактировать ]Треугольная форма решетки с радиусами кругов, равными их разделению, называется сеткой из семи перекрывающихся кругов . [1] Он содержит 6 кругов, пересекающихся в одной точке, с центром в этом пересечении седьмой круг.
нечасто использовались в различных декоративных искусствах Перекрывающиеся круги со схожими геометрическими конструкциями с древних времен . Этот узор нашел широкое применение в массовой культуре, моде , ювелирных изделиях , татуировках и декоративных изделиях.
Культурное значение
[ редактировать ]Ближний Восток
[ редактировать ]Самое старое известное появление рисунка «перекрывающихся кругов» датируется VII или VI веком до нашей эры. найден на пороге дворца ассирийского царя Ашшур-бани-апли в Дур Шаррукине (ныне находится в Лувре ). [2]
Этот дизайн становится более распространенным в первые века нашей эры. Одним из первых примеров являются пять узоров из 19 перекрывающихся кругов, нарисованных на гранитных колоннах храма Осириса в Абидосе , Египет . [3] и еще пять на колонне напротив здания. Они нарисованы красной охрой , некоторые из них очень тусклые и их трудно различить. [4] Узоры представляют собой граффити и не встречаются в исконно египетских орнаментах. В основном они датируются первыми веками христианской эры. [5] хотя средневековое или даже современное (начало 20 века) происхождение нельзя с уверенностью исключать, поскольку рисунки не упоминаются в обширных списках граффити в храме, составленных Маргарет Мюррей в 1904 году. [6]
Подобные узоры иногда использовались в Англии в качестве апотропных знаков, не позволяющих ведьмам проникать в здания. [7] Кресты освящения, обозначающие точки в храмах, помазанные святой водой во время освящения храмов, также имеют форму перекрывающихся кругов.
В исламском искусстве узор представляет собой одно из нескольких расположений кругов (другие используются для четырех- или пятикратных рисунков), используемых для построения сеток для исламских геометрических узоров . Он используется для создания узоров с 6- и 12-конечными звездами, а также шестиугольниками в стиле гирих . Однако полученные узоры характерно скрывают строительную сетку, представляя вместо этого дизайн переплетенных ремешков . [8]
Европа
[ редактировать ]Узоры из семи перекрывающихся кругов встречаются на римских мозаиках, например, во дворце Ирода в I веке до нашей эры. [9]
Рисунок находится на одной из серебряных пластинок позднеримского клада Кайзераугст (обнаружен в 1961 году). [10] Позже он встречается как орнамент в готической архитектуре , а еще позже — в европейском народном искусстве раннего Нового времени.
Примеры высокого средневековья включают тротуары Космати в Вестминстерском аббатстве (13 век). [11] Леонардо да Винчи подробно обсудил математические пропорции конструкции. [12]
Современное использование
[ редактировать ]Название «Цветок жизни» современное, связано с движением Нью Эйдж и обычно приписывается Друнвало Мелхиседеку в его книге «Древняя тайна цветка жизни» (1999). [13] [14]
Узор и современное название получили широкое распространение в массовой культуре, моде, ювелирных изделиях, татуировках и декоративных изделиях. Узор в выстегивании назвали бриллиантовым обручальным кольцом или треугольным обручальным кольцом, чтобы отличать его от квадратного узора . Помимо периодического использования в моде, [15] он также используется в декоративном искусстве. Например, в альбоме Sempiternal (2013) группы Bring Me the Horizon используется сетка из 61 перекрывающегося круга . в качестве основной особенности обложки альбома [16] тогда как в альбоме A Head Full of Dreams (2015) группы Coldplay сетка из 19 перекрывающихся кругов является центральной частью обложки альбома. Плакаты-тизеры, иллюстрирующие обложку книги « Голова, полная мечтаний» , были широко развешаны в лондонском метро в последнюю неделю октября 2015 года. [17]
Символ «Солнце Альп» ( итальянский Sole delle Alpi ) использовался в качестве эмблемы паданского национализма на севере Италии с 1990-х годов. [18] Это напоминает узор, часто встречающийся в этом районе на зданиях. [19]
Семикруговой «Цветок Жизни» также используется на гербе Асгардии космической державы .
Галерея
[ редактировать ]
- Шестиугольный вариант с 1, 7 и 19 кругами
В примерах ниже узор имеет шестиугольный контур и дополнительно очерчен.
-
Рисунок Леонардо да Винчи из Атлантического кодекса , между 1478 и 1519 годами.
-
Рисунок Леонардо да Винчи ( Атлантический кодекс , л. 307v)
-
1-круг с завершенными дугами
-
7-круг: Мозаичный пол бани во дворце Ирода , I век до н.э.
-
Символ из 19 кругов с завершенными дугами, ограниченный большим кругом.
-
19-круг: два символа, нарисованные красной охрой. Храм Осириса в Абидосе, Египет.
-
19-круг: Окно на южной апсиде церкви монастыря Превели (Moni Preveli), Крит.
- Подобные шаблоны
В примерах ниже узор не имеет шестиугольного контура.
-
Чаша с мифологическими сценами, фризом со сфинксом и изображением короля, побеждающего своих врагов. Кипро-архаика I (VIII–VII вв. до н.э.). Из Идалиона, Кипр .
-
Мяч, который держит мужчина-императорский лев-хранитель у Врат Высшей Гармонии , Запретный город , Пекин , Китай, демонстрирует геометрический узор на его поверхности.
-
Украшение пола дворца короля Ашшурбанипала на севере Ирака , которое можно увидеть в Лувре, датированное 645 годом до нашей эры.
-
Кофейная чашка (Германия, 2022 г.)
-
Эмблема « Солнце Альп », используемая Лигой Севера.
Строительство
[ редактировать ]Марта Бартфельд, автор учебников по геометрическому искусству, описала свое независимое открытие этого дизайна в 1968 году. В ее первоначальном определении говорилось: «Этот дизайн состоит из кругов радиусом 1 [дюйм; 25 мм], каждая точка пересечения которых служит новый центр. Дизайн можно расширять до бесконечности в зависимости от того, сколько раз отмечены нечетные точки».
Фигуру узора можно нарисовать ручкой и циркулем , создав несколько серий взаимосвязанных кругов одинакового диаметра, соприкасающихся с центром предыдущего круга. Второй круг центрируется в любой точке первого круга. Все последующие круги центрированы на пересечении двух других кругов.
Прогрессии
[ редактировать ]Узор можно расширить наружу в виде концентрических шестиугольных колец из кругов, как показано на рисунке. В первом ряду показаны кольца кругов. Во второй строке показана трехмерная интерпретация набора кубов сфер размером n × n × n , если смотреть с диагональной оси. В третьей строке показан узор, завершенный частичными дугами окружностей внутри набора завершенных кругов.
Расширяющиеся множества имеют 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127 и т. д. кругов, а также продолжающиеся все большие шестиугольные кольца кругов. Количество кругов равно n. 3 -( п -1) 3 = 3н 2 -3 n +1 = 3 n ( n -1)+1.
Эти перекрывающиеся круги также можно рассматривать как проекцию n -единичного куба сфер в трехмерном пространстве, если смотреть на диагональную ось. Сфер больше, чем кругов, потому что некоторые из них перекрываются в двух измерениях.
1-круг |
7-круг (8-1) |
19-круг (27-8) |
37-круг (64-27) |
61-круг (125-64) |
91-круг (216-125) |
127-круг... (343-216) |
---|---|---|---|---|---|---|
1-сфера (1×1×1) |
8-сфера (2×2×2) |
27-сфера (3×3×3) |
64-сфера (4×4×4) |
125-сфера (5×5×5) |
216-сфера (6×6×6) |
343-сфера (7×7×7) |
(изображение отсутствует) | (изображение отсутствует) | (изображение отсутствует) | (изображение отсутствует) | |||
+12 дуг | +24 дуги | +36 дуг | +48 дуг | +60 дуг | +72 дуги | +84 дуги |
Другие варианты
[ редактировать ]еще одна треугольная форма решетки Распространена , в которой расстояние между кругами равно квадратному корню из трехкратного их радиуса. Ричард Кершнер показал в 1939 году, что никакое расположение кругов не может покрыть плоскость более эффективно, чем расположение шестиугольной решетки. [20]
Две смещенные копии этого кругового узора образуют ромбический узор мозаики , а три копии образуют исходный треугольный узор.
-
пример 19 кругов
-
Две смещенные копии минимального узора покрывающего круга (слева) образуют узор ромбической плитки , как в этой красно-синей версии.
-
Три смещенные копии минимального узора закрывающих кругов (крайнее левое изображение) образуют узор из 7 кругов, как в этой красной, зеленой и синей версии.
-
Пример керамической глазурованной банки Айюбидов Ракки . Сирия, 12/13 века.
-
Черно-белый мозаичный пол на вилле Адриана , Тиволи, II век нашей эры.
Связанные понятия
[ редактировать ]Центральная линза фигуры из двух кругов называется vesica piscis от Евклида . Две окружности также называются окружностями Вильярсо как плоское пересечение тора. Области внутри одного круга и за пределами другого круга называются луной .
Фигура из трех кругов напоминает изображение колец Борромео и используется в трех множеств теории диаграммах Венна . Его внутренняя часть образует уникурсальный путь, называемый трикетрой . Центр фигуры из трех кругов называется треугольником Рело .
Рыба-пузырь |
Борромео кольца |
Диаграмма друзей |
Три раза |
Треугольник Рело |
Некоторые сферические многогранники с ребрами вдоль больших кругов можно стереографически спроецировать на плоскость как перекрывающиеся круги.
Октаэдр |
Кубооктаэдр |
Икосододекаэдр |
Узор из семи кругов также называют исламским узором из семи кругов из- за его использования в исламском искусстве .
Квадратная сетка перекрывающихся кругов
[ редактировать ]
| ||
|
Квадратную форму решетки можно увидеть в виде кругов, которые выстраиваются горизонтально и вертикально, пересекаясь по диагонали. Узор выглядит немного иначе, если его повернуть по диагонали, что также называется формой центрированной квадратной решетки , поскольку его можно рассматривать как две квадратные решетки, каждая из которых сосредоточена в промежутках другой.
он называется мотивом Кавунг В индонезийском батике и встречается на стенах индуистского храма Прамбанан 8-го века на Яве .
математике он называется Апсамиккум В древнем месопотамском . [21]
-
Квадратную сетку можно увидеть в виде гранецентрированной кубической решетки с 12 сферами, соприкасающимися вокруг каждой сферы.
-
Соответствующая сетка из пяти перекрывающихся кругов строится из двух наборов перекрывающихся кругов с половинным смещением. [22]
См. также
[ редактировать ]- Теория узлов
- Мутации симметрии равномерного тайлинга - мутации узоров в трехмерном пространстве.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Исламское искусство и геометрический дизайн: деятельность для обучения
- ^ Лувр, инв.-№. АО 19915 . Жорж Перро, Шарль Чипьез, История искусства в Халдее и Ассирии , том. 1, Лондон, 1884 г., стр. 240, (gutenberg.org)
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Цветок жизни» . Математический мир .
- ^ Стюарт, Малкольм (2008). «Цветок Жизни» и Осирион – Факты интереснее Фантазий» . Египетский тур (Дэвид Ферлонг) . Проверено 8 ноября 2015 г.
- ^ Ферлонг, Дэвид. «Осирион и цветок жизни» . Проверено 8 ноября 2015 г. Ферлонг утверждает, что эти гравюры могут быть датированы не ранее 535 г. до н.э. и, вероятно, датируются 2-м и 4-м веками нашей эры. Его исследование основано на фотографических свидетельствах греческого текста, которые еще предстоит полностью расшифровать. Текст виден рядом с рисунками и в верхней части колонн высотой более 4 метров. Ферлонг предполагает, что Осирион был наполовину заполнен песком до того, как были нарисованы круги, и, следовательно, вероятно, это произошло намного позже конца династии Птолемеев .
- ^ Мюррей, Маргарет Элис (1904). Осирион в Абидосе, Лондон . п. 35 . Проверено 4 ноября 2015 г.
- ^ Кеннеди, Маев (31 октября 2016 г.). "Ведьмины метки: общественность попросили найти древние царапины на зданиях" . Хранитель . Проверено 31 октября 2016 г.
- ^ Бруг, Эрик (2008). Исламские геометрические узоры . Темза и Гудзон . стр. 22–23 и пассим. ISBN 978-0-500-28721-7 .
- ^ Кац, Юджин А.; Джин, Би-Яу (август 2016 г.). Хайлебрук, Дирк (ред.). «Фуллерены, многогранники и китайские львы-хранители». Математический турист. Математический интеллект . 38 (3): 61–68. дои : 10.1007/s00283-016-9663-0 .
- ^ Ганс Ульрих Инстинский: Находка позднеримского серебра из Кайзераугста. Майнц 1971 г., мемориальная доска 85.
- ^ Тротуары Космати в Вестминстерском аббатстве. Проверено 14 сентября 2013 г.
- ^ Атлантический кодекс , след. 307р–309в, 459р (1478–1519 гг.).
- ^ Бартфельд, Марта (2005). Как создавать мандалы сакральной геометрии . Санта-Фе, Нью-Мексико: Mandalart Creations. п. 35. ISBN 9780966228526 . OCLC 70293628 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. (12 декабря 2002 г.). CRC Краткая математическая энциклопедия, второе издание . CRC Press (опубликовано в 2002 г.). п. 1079. ИСБН 1420035223 .
- ^ Например Заман, Сана (14 мая 2013 г.). «Заим Джамал представляет новую коллекцию на борту частной яхты в Дубай Марина» . Высокая жизнь . Проверено 9 ноября 2015 г.
- ^ Купер, Эд (25 февраля 2013 г.). «Bring Me The Horizon: Этот альбом должен длиться вечно» . Независимый . Архивировано из оригинала 23 октября 2015 года . Проверено 8 ноября 2015 г.
- ^ Денхэм, Джесс (6 ноября 2015 г.). «Новый альбом Coldplay: Бейонсе и Ноэль Галлахер выступят в программе A Head Full of Dreams» . Независимый . Архивировано из оригинала 24 мая 2022 г. Проверено 8 ноября 2015 г.
- ^ «Значение символа Солнца Альп» (на итальянском языке). Северная лига. Архивировано из оригинала 12 января 2014 года . Проверено 1 декабря 2014 г.
- ^ Ивано Дорболо (6 июня 2010 г.). «Церковь С.Эджидио и символ Солнца Альп» . История границ – долины Натисоне . Проверено 9 ноября 2015 г.
- ^ Сферические упаковки, решетки и группы , Джон Конвей, Нил Дж. А. Слоан, Глава 2, раздел 1.1, Покрытие пространства перекрывающимся кругом. стр. 31-32. Рисунок 2.1. Покрытие плоскости кругами (б) Более эффективное или более тонкое покрытие в гексагональной решетке. [1]
- ^ Месопотамская математика 2100–1600 до н. э.: Технические константы в бюрократии и образовании (Оксфордские издания клинописных текстов), Элеонора Робсон, Clarendon Press, 1999, ISBN 978-0198152460 [2] на books.google.com.
- ^ Создание квадратных сеток из кругов
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение круга-круга» . Математический мир .
- Статья о цветке жизни из The Mystica