Род (математика)

Поверхность рода 2

В математике . род ( мн.: род ) имеет несколько разных, но тесно связанных значений Интуитивно, род — это количество «дырок» на поверхности . Сфера имеет род 0 , а тор — род 1.

Топология

Регулируемые поверхности

Кофейная чашка и пончик, показанные в этой анимации, имеют первый род.

Род не связной представляющее ориентируемой поверхности — это целое число, максимальное количество разрезов по непересекающимся замкнутым простым кривым, делая результирующее многообразие несвязным. Оно равно количеству ручек на нем. В качестве альтернативы его можно определить через эйлерову характеристику χ через соотношение χ = 2 − 2 g для замкнутых поверхностей , где g — род. Для поверхностей с b граничными компонентами уравнение имеет вид χ = 2 - 2 g - b .

С точки зрения непрофессионала, род — это количество «дырок», которые имеет объект («дырки» интерпретируются в смысле дырок от бублика; в этом смысле полая сфера будет считаться не имеющей отверстий). есть У тора 1 такое отверстие, а у сферы — 0. На зеленой поверхности, изображенной выше, есть 2 отверстия соответствующего типа.

Например:

• Сфера ​ С ² и диск имеют нулевой род.
• есть У тора род один, как и у поверхности кофейной кружки с ручкой. Отсюда и пошла шутка: «Топологи — это люди, которые не могут отличить пончик от кофейной кружки».

Явное построение поверхностей рода g дано в статье о фундаментальном многоугольнике .

• Род ориентируемых поверхностей
• 
  Планарный граф : род 0
• 
  Тороидальный граф : род 1
• 
  Чайник : Двойной тороидальный график: род 2
• 
  Граф кренделя: род 3

Неориентируемые поверхности

род Неориентируемый или , полурод перекрестных род Эйлера связной, неориентируемой замкнутой поверхности — это положительное целое число, представляющее количество шапочек, прикрепленных к сфере . В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ с помощью соотношения χ = 2 − k , где k — неориентируемый род.

Например:

• Вещественная проективная плоскость имеет неориентируемый род 1.
• Бутылка Клейна имеет неориентируемый род 2.

Узел

Род всех узла K K определяется как минимальный род Зейферта для . поверхностей Поверхность Зейферта узла, однако, представляет собой многообразие с краем , причем краем является узел, т. е.гомеоморфен единичному кругу. Род такой поверхности определяется как род двумерного многообразия, который получается склейкой единичного диска вдоль границы.

Ручка

Род представляет собой трехмерного тела ручки целое число, представляющее максимальное количество разрезов вдоль встроенных дисков без отсоединения результирующего многообразия. Оно равно количеству ручек на нем.

Например:

• Шар имеет род 0.
• Полнотелый тор D ² × С ¹ имеет род 1.

Теория графов

Основная статья: Встраивание графа

Род — это графа такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя , минимальное целое число n на сфере с n маркерами (т. е. на ориентированной поверхности рода n ). Таким образом, планарный граф имеет род 0, поскольку его можно нарисовать на сфере без самопересечений.

Неориентируемый род графа такое, что — это минимальное целое число n граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с n перекрестными вершинами (т. е. неориентируемой поверхности (неориентируемого) рода n ). (Это число еще называют полуродом .)

Род Эйлера — это минимальное целое число n, такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с n вершинами или на сфере с n/2 ручками.

В топологической теории графов существует несколько определений рода группы . Артур Т. Уайт представил следующую концепцию. Род группы G — это минимальный род (связного, неориентированного) графа Кэли для G .

Проблема рода графов является NP-полной .

Алгебраическая геометрия

Есть два родственных определения рода любой проективной алгебраической схемы X : арифметический род и геометрический род . Когда X — кривая с полем определения комплексных чисел и если X не имеет особых точек , то эти определения согласуются и совпадают с топологическим определением, применяемым к римановой поверхности X алгебраическая (его многообразию комплексных точек). Например, определение эллиптической кривой из алгебраической геометрии связывает неособую проективную кривую рода 1 с заданной рациональной точкой на ней .

По теореме Римана–Роха неприводимая плоская кривая степени $d$ заданный исчезающим местом сечения $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))$ имеет геометрический род

$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,$

где $s$ — число особенностей при правильном подсчете.

Дифференциальная геометрия

В дифференциальной геометрии — род ориентированного многообразия. $M$ можно определить как комплексное число $\Phi (M)$ при соблюдении условий

• $\Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})$
• $\Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})$
• $\Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})$ если $M_{1}$ и $M_{2}$ являются кобордантными .

Другими словами, $\Phi$ является кольцевым гомоморфизмом $R\to \mathbb {C}$, где $R$ Тома — кольцо ориентированных кобордизмов .

Род $\Phi$ мультипликативен для всех расслоений на спинорных многообразиях со связной компактной структурой, если $\log _{\Phi }$ представляет собой эллиптический интеграл, такой как $\log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt$ для некоторых $\delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .$ Этот род называется эллиптическим родом.

Эйлерова характеристика $\chi (M)$ не является родом в этом смысле, поскольку не инвариантен относительно кобордизмов.

Биология

Род также можно рассчитать для графа, охватывающего сеть химических взаимодействий нуклеиновых кислот или белков . В частности, можно изучить рост рода по цепи. Такая функция (называемая следом рода) показывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул.

См. также

• Группа (математика)
• Арифметический род
• Геометрический род
• Род мультипликативной последовательности
• Род квадратичной формы
• Род спинора

Ссылки

• Попеску-Пампу, Патрик (2016). Что такое Род? . Спрингер Верлаг . ISBN  978-3-319-42312-8 .