Скалярное поле

В математике и физике скалярное поле — это функция, связывающая одно число с каждой точкой пространства физического — возможно, пространства . Скаляр может быть либо чисто математическим числом ( безразмерным ), либо скалярной физической величиной (с единицами измерения ).

В физическом контексте скалярные поля должны быть независимыми от выбора системы отсчета. То есть любые два наблюдателя, использующие одни и те же единицы измерения, будут согласовывать значение скалярного поля в одной и той же абсолютной точке пространства (или пространства-времени ) независимо от их соответствующих точек происхождения. Примеры, используемые в физике, включают распределение температуры в пространстве, распределение давления в жидкости и квантовые поля с нулевым спином, такие как поле Хиггса . Эти поля являются предметом скалярной теории поля .

Определение

Математически скалярное поле в области U представляет собой действительную или комплекснозначную функцию или распределение на U . ^[1]^[2] Область U может быть множеством в некотором евклидовом пространстве , пространстве Минковского или, в более общем смысле, подмножеством многообразия , и в математике типично накладывать дополнительные условия на поле, такие, чтобы оно было непрерывным или часто непрерывно дифференцируемым до некоторого порядка. . Скалярное поле — это тензорное поле нулевого порядка, ^[3] и термин «скалярное поле» может использоваться, чтобы отличить функцию такого типа от более общего тензорного поля, плотности или дифференциальной формы .

Скалярное поле

\sin(2\pi (xy+\sigma ))

колеблется как

\sigma

увеличивается. Красный цвет представляет положительные значения, фиолетовый — отрицательные значения, а небесно-голубой — значения, близкие к нулю.

Физически скалярное поле дополнительно отличается наличием единиц измерения связанных с ним . В этом контексте скалярное поле также должно быть независимым от системы координат, используемой для описания физической системы, то есть любые два наблюдателя, использующие одни и те же единицы измерения, должны согласовать числовое значение скалярного поля в любой заданной точке физического пространства. Скалярные поля контрастируют с другими физическими величинами, такими как векторные поля , которые связывают вектор с каждой точкой области, а также тензорные поля и спинорные поля . ^{[ нужна ссылка ]} Более тонко: скалярные поля часто противопоставляют псевдоскалярным полям.

Использование в физике

В физике скалярные поля часто описывают потенциальную энергию, связанную с определенной силой . Сила представляет собой векторное поле , которое можно получить как коэффициент градиента скалярного поля потенциальной энергии. Примеры включают в себя:

Потенциальные поля, такие как ньютоновский гравитационный потенциал или электрический потенциал в электростатике , являются скалярными полями, которые описывают более знакомые силы.
Поле температуры влажности , метеорологии или давления , например те, которые используются в .

Примеры из квантовой теории и теории относительности

В квантовой теории поля скалярное поле связано с частицами со спином 0. Скалярное поле может иметь вещественное или комплексное значение. Комплексные скалярные поля представляют собой заряженные частицы. К ним относятся поле Хиггса Стандартной модели , а также заряженные пионы, опосредующие сильное ядерное взаимодействие . ^[4]
В Стандартной модели элементарных частиц скалярное поле Хиггса используется для придания лептонам и массивным векторным бозонам их массы посредством комбинации взаимодействия Юкавы и спонтанного нарушения симметрии . Этот механизм известен как механизм Хиггса . ^[5] Кандидат в бозон Хиггса был впервые обнаружен в ЦЕРНе в 2012 году.
В скалярных теориях гравитации для описания гравитационного поля используются скалярные поля.
Скалярно-тензорные теории представляют гравитационное взаимодействие как через тензор, так и через скаляр. К таким попыткам относятся, например, Джордана . теория ^[6] как обобщение теории Калуцы–Клейна и теории Брана–Дикке . ^[7]

Скалярные поля, такие как поле Хиггса, можно найти в скалярно-тензорных теориях, используя в качестве скалярного поля поле Хиггса Стандартной модели . ^[8]^[9] Это поле гравитационно и юкаво- подобно (ближнодействующее) взаимодействует с частицами, которые через него приобретают массу. ^[10]

Скалярные поля встречаются в теориях суперструн как дилатонные поля, нарушающие конформную симметрию струны, но уравновешивающие квантовые аномалии этого тензора. ^[11]
Предполагается, что скалярные поля вызвали сильно ускоренное расширение ранней Вселенной ( инфляцию ). ^[12] помогает решить проблему горизонта и дает гипотетическую причину неисчезающей космологической постоянной космологии. Безмассовые (т.е. дальнодействующие) скалярные поля в этом контексте известны как инфлатоны . Предлагаются также массивные (т.е. короткодействующие) скалярные поля, используя, например, поля типа Хиггса. ^[13]

Другие виды полей

Векторные поля , которые связывают вектор с каждой точкой пространства. Некоторые примеры векторных полей включают электромагнитное поле и воздушный поток ( ветер ) в метеорологии.
Тензорные поля , которые связывают тензор с каждой точкой пространства. Например, в общей теории относительности гравитация связана с тензорным полем, называемым тензором Эйнштейна . В теории Калуцы-Клейна пространство-время расширено до пяти измерений, и его тензор кривизны Римана можно разделить на обычную четырехмерную гравитацию плюс дополнительный набор, который эквивалентен уравнениям Максвелла для электромагнитного поля , плюс дополнительное скалярное поле, известное как « дилатон ». ^{[ нужна ссылка ]} ( Дилатонный скаляр также встречается среди безмассовых бозонных полей в теории струн .)

См. также

Ссылки

^ Апостол, Том (1969). Исчисление . Том. II (2-е изд.). Уайли.
^ «Скаляр» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
^ «Скалярное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Технически, пионы на самом деле являются примерами псевдоскалярных мезонов , которые не могут быть инвариантными относительно пространственной инверсии, но в остальном инвариантны относительно преобразований Лоренца.
^ П.В. Хиггс (октябрь 1964 г.). «Нарушенные симметрии и массы калибровочных бозонов» . Физ. Преподобный Летт . 13 (16): 508–509. Бибкод : 1964PhRvL..13..508H . doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .
^ Джордан, П. (1955). Гравитация и космос . Брауншвейг: Просмотрег.
^ Бранс, К.; Дике, Р. (1961). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Физ. Преподобный . 124 (3): 925. Бибкод : 1961PhRv..124..925B . дои : 10.1103/PhysRev.124.925 .
^ Зи, А. (1979). «Нарушенная симметричная теория гравитации». Физ. Преподобный Летт . 42 (7): 417–421. Бибкод : 1979PhRvL..42..417Z . дои : 10.1103/PhysRevLett.42.417 .
^ Денен, Х.; Фроммерт, Х.; Габусси, Ф. (1992). «Поле Хиггса и новая скалярно-тензорная теория гравитации». Межд. Дж. Теория. Физ . 31 (1): 109. Бибкод : 1992IJTP...31..109D . дои : 10.1007/BF00674344 . S2CID 121308053 .
^ Денен, Х.; Фроммерт, Х. (1991). «Гравитация поля Хиггса в рамках стандартной модели». Межд. Дж. Теория. Физ . 30 (7): 985–998 [с. 987]. Бибкод : 1991IJTP...30..985D . дои : 10.1007/BF00673991 . S2CID 120164928 .
^ Бранс, Швейцария (2005). «Корни скалярно-тензорной теории». arXiv . arXiv : gr-qc/0506063 . Бибкод : 2005gr.qc.....6063B .
^ Гут, А. (1981). «Инфляционная вселенная: возможное решение проблем горизонта и плоскостности» . Физ. Преподобный Д. 23 (2): 347–356. Бибкод : 1981PhRvD..23..347G . дои : 10.1103/PhysRevD.23.347 .
^ Сервантес-Кота, JL; Денен, Х. (1995). «Индуцированная гравитационная инфляция в SU (5) GUT». Физ. Преподобный Д. 51 (2): 395–404. arXiv : astro-ph/9412032 . Бибкод : 1995PhRvD..51..395C . дои : 10.1103/PhysRevD.51.395 . ПМИД 10018493 . S2CID 11077875 .

[1] Апостол, Том (1969). Исчисление . Том. II (2-е изд.). Уайли.

[2] «Скаляр» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[3] «Скалярное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[4] Технически, пионы на самом деле являются примерами псевдоскалярных мезонов , которые не могут быть инвариантными относительно пространственной инверсии, но в остальном инвариантны относительно преобразований Лоренца.

[5] П.В. Хиггс (октябрь 1964 г.). «Нарушенные симметрии и массы калибровочных бозонов» . Физ. Преподобный Летт . 13 (16): 508–509. Бибкод : 1964PhRvL..13..508H . doi : 10.1103/PhysRevLett.13.508 .

[6] Джордан, П. (1955). Гравитация и космос . Брауншвейг: Просмотрег.

[7] Бранс, К.; Дике, Р. (1961). «Принцип Маха и релятивистская теория гравитации». Физ. Преподобный . 124 (3): 925. Бибкод : 1961PhRv..124..925B . дои : 10.1103/PhysRev.124.925 .

[8] Зи, А. (1979). «Нарушенная симметричная теория гравитации». Физ. Преподобный Летт . 42 (7): 417–421. Бибкод : 1979PhRvL..42..417Z . дои : 10.1103/PhysRevLett.42.417 .

[9] Денен, Х.; Фроммерт, Х.; Габусси, Ф. (1992). «Поле Хиггса и новая скалярно-тензорная теория гравитации». Межд. Дж. Теория. Физ . 31 (1): 109. Бибкод : 1992IJTP...31..109D . дои : 10.1007/BF00674344 . S2CID 121308053 .

[10] Денен, Х.; Фроммерт, Х. (1991). «Гравитация поля Хиггса в рамках стандартной модели». Межд. Дж. Теория. Физ . 30 (7): 985–998 [с. 987]. Бибкод : 1991IJTP...30..985D . дои : 10.1007/BF00673991 . S2CID 120164928 .

[11] Бранс, Швейцария (2005). «Корни скалярно-тензорной теории». arXiv . arXiv : gr-qc/0506063 . Бибкод : 2005gr.qc.....6063B .

[12] Гут, А. (1981). «Инфляционная вселенная: возможное решение проблем горизонта и плоскостности» . Физ. Преподобный Д. 23 (2): 347–356. Бибкод : 1981PhRvD..23..347G . дои : 10.1103/PhysRevD.23.347 .

[13] Сервантес-Кота, JL; Денен, Х. (1995). «Индуцированная гравитационная инфляция в SU (5) GUT». Физ. Преподобный Д. 51 (2): 395–404. arXiv : astro-ph/9412032 . Бибкод : 1995PhRvD..51..395C . дои : 10.1103/PhysRevD.51.395 . ПМИД 10018493 . S2CID 11077875 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]