Отделяемое расширение

В теории поля — раздел алгебры , расширение алгебраического поля. $E/F$ называется сепарабельным расширением, если для любого $\alpha \in E$ , минимальный полином $\alpha$ над $F$ является сепарабельным многочленом (т. е. его формальная производная не является нулевым многочленом или, что то же самое, он не имеет повторяющихся корней ни в одном поле расширения). ^[1] Существует также более общее определение, которое применяется, когда $E$ не обязательно алгебраично над $F$ . Расширение, которое не является отделимым, называется неотделимым .

Всякое алгебраическое расширение поля нулевой сепарабельно характеристики , и всякое алгебраическое расширение конечного поля сепарабельно. ^[2]Отсюда следует, что большинство расширений, рассматриваемых в математике, сепарабельны. Тем не менее, понятие отделимости важно, поскольку существование неразделимых расширений является основным препятствием для распространения многих теорем, доказанных в нулевой характеристике, на ненулевую характеристику. Например, фундаментальная теорема теории Галуа — это теорема о нормальных расширениях , которая остаётся верной в ненулевой характеристике только в том случае, если расширения также предполагаются сепарабельными. ^[3]

Противоположная концепция, чисто неотделимое расширение , также возникает естественно, поскольку каждое алгебраическое расширение может быть однозначно разложено как чисто неотделимое расширение сепарабельного расширения. Алгебраическое расширение $E/F$ полей ненулевой характеристики $p$ является чисто неотделимым расширением тогда и только тогда, когда для любого $\alpha \in E\setminus F$ , минимальный полином $\alpha$ над $F$ является не сепарабельным многочленом или, что то же самое, для каждого элемента $x$ из $E$ существует целое положительное число $k$ такое, что $x^{p^{k}}\in F$ . ^[4]

Простейший нетривиальный пример (чисто) неразделимого расширения: $E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})$ , поля рациональных функций от неопределенного x с коэффициентами в конечном поле $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$ . Элемент $x\in E$ имеет минимальный полином $f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]$ , имея $f'(X)=0$ и p -кратный корень, как $f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]$ . Это простое алгебраическое расширение степени p , поскольку $E=F[x]$ , но это не нормальное расширение, поскольку группа Галуа ${\text{Gal}}(E/F)$ тривиально .

Неформальное обсуждение

Произвольный многочлен $f$ с коэффициентами из некоторого поля $F$ называется имеющим различные корни или бесквадратным, если он имеет $deg f$ корни в некотором поле расширения. $E\supseteq F$ . Например, многочлен $g (X) = X 2 - 1$ имеет ровно $deg g = 2$ корня в комплексной плоскости ; а именно $1$ и $-1$ и, следовательно, имеет разные корни. С другой стороны, полином $h (X) = (X - 2) 2$ , который представляет собой квадрат непостоянного многочлена, не имеет различных корней, так как его степень равна двум, а $2$ — его единственный корень.

Каждый многочлен может быть разложен на линейные множители по алгебраическому замыканию поля его коэффициентов. Следовательно, многочлен не имеет различных корней тогда и только тогда, когда он делится на квадрат многочлена положительной степени. Это так тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель многочлена и его производной не является константой. Таким образом, для проверки того, является ли полином свободным от квадратов, нет необходимости явно рассматривать какое-либо расширение поля или вычислять корни.

В этом контексте случай неприводимых полиномов требует некоторой осторожности. Априори может показаться, что деление на квадрат невозможно для неприводимого многочлена , который не имеет непостоянного делителя, кроме самого себя. Однако неприводимость зависит от объемлющего поля, и многочлен может быть неприводимым над $F$ и приводимым над некоторым расширением $F$ . Точно так же делимость на квадрат зависит от окружающего поля. Если неприводимый многочлен $f$ над $F$ делится на квадрат над некоторым расширением поля, то (согласно обсуждению выше) наибольший общий делитель $f$ и его производной $f'$ не является постоянным. Обратите внимание, что коэффициенты $f'$ принадлежат тому же полю, что и коэффициенты $f$ , а наибольший общий делитель двух многочленов не зависит от окружающего поля, поэтому наибольший общий делитель $f$ и $f'$ имеет коэффициенты из $F$ . Поскольку $f$ неприводима в $F$ , этот наибольший общий делитель обязательно является $самим f$ . Поскольку степень $f'$ строго меньше степени $f$ , отсюда следует, что производная $f$ равно нулю, что означает, что характеристикой поля является простое число $p$ , и $f$ можно записать

f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.

Такой многочлен, формальная производная которого равна нулю, называется неразделимым . Полиномы, которые не являются неразделимыми, называются разделимыми . Сепарабельное расширение — это расширение, которое может быть сгенерировано разделимыми элементами , то есть элементами, минимальные полиномы которых являются отделимыми.

Разделимые и неразделимые многочлены

f Неприводимый многочлен $из$ F $[X] является$ сепарабельным тогда и только тогда, когда он имеет различные корни в любом F ( $)$ то есть, если он может быть разложен на различные линейные множители над алгебраическим замыканием $F расширении$ . ^[5] Пусть $f$ в $F [X]$ — неприводимый многочлен и $f'$ — его формальная производная . неприводимого многочлена $f$ Тогда следующие условия являются эквивалентными условиями отделимости :

Если $E$ является расширением $F,$ в котором $f$ является произведением линейных множителей, то никакой квадрат этих множителей не делит $f$ в $E [X]$ (то есть $f$ не имеет квадратов над $E$ ). ^[6]
Существует расширение $E$ группы $F$ такое, что $имеет$ deg $(f)$ попарно различные корни в $E.$ f ^[6]
Константа $1$ является полиномиальным наибольшим общим делителем $f$ и $f'$ . ^[7]
Формальная производная $f'$ от $f$ не является нулевым многочленом. ^[8]
Либо характеристика $F$ равна нулю, либо характеристика равна $p$ и $f$ не имеет вида $\textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.$

Поскольку формальная производная многочлена положительной степени может быть равна нулю только в том случае, если поле имеет простую характеристику, для того, чтобы неприводимый многочлен не был разделимым, его коэффициенты должны лежать в поле простой характеристики. В более общем смысле, неприводимый (ненулевой) многочлен $f$ в $F [X]$ не является сепарабельным, если и только если характеристикой $F$ является (ненулевое) простое число $p$ и $f (X) = g (X п$ ) для некоторого неприводимого многочлена $g$ из $F [X]$ . ^[9] Из неоднократного применения этого свойства следует, что на самом деле $f(X)=g(X^{p^{n}})$ для неотрицательного целого числа $n$ и некоторого сепарабельного неприводимого многочлена $g$ из $F [X]$ (где $F$ предполагается, что имеет простую характеристику p ). ^[10]

Если эндоморфизм Фробениуса $x\mapsto x^{p}$ из $F$ не сюръективен, существует элемент $a\in F$ это не $p$ -я степень элемента $F$ . В этом случае полином $X^{p}-a$ является неделимым и неделимым. Обратно, если существует неразделимый неприводимый (ненулевой) полином $\textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}$ в $F [X]$ , то эндоморфизм Фробениуса не $F$ может быть автоморфизмом , так как в противном случае мы имели бы $a_{i}=b_{i}^{p}$ для некоторых $b_{i}$ , и полином $f$ будет факторизоваться как $\textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.$ ^[11]

Если $K$ — конечное поле простой характеристики p , и если $X$ — неопределенное число , то поле рациональных функций над $K$ , $K (X)$ , обязательно несовершенно , и многочлен $f (Y)= Y п - X$ неразделим (его формальная производная по Y равна 0). ^[1] В более общем смысле, если F — любое поле (ненулевой) простой характеристики, для которого эндоморфизм Фробениуса не является автоморфизмом, F обладает неотделимым алгебраическим расширением. ^[12]

Поле F совершенно тогда и только тогда , когда все неприводимые многочлены сепарабельны. Отсюда следует, что $F$ совершенен тогда и только тогда, когда либо $F$ имеет нулевую характеристику, либо $F$ имеет (ненулевую) простую характеристику $p$ и эндоморфизм Фробениуса F $является$ автоморфизмом. Это включает в себя каждое конечное поле.

Отделимые элементы и отделимые расширения

Позволять $E\supseteq F$ быть расширением поля. Элемент $\alpha \in E$ сепарабельна , над $F$ если она алгебраична над $F$ и ее минимальный многочлен сепарабельен (минимальный многочлен элемента обязательно неприводим).

Если $\alpha ,\beta \in E$ разделимы над $F$ , то $\alpha +\beta$ , $\alpha \beta$ и $1/\alpha$ отделимы над F .

множество всех элементов в $E$ отделимых над $F,$ образует подполе $E$ , называемое сепарабельным замыканием F $,$ в $E.$ Таким образом , ^[13]

Сепарабельное замыкание $в$ алгебраическом F называется $F$ просто сепарабельным замыканием F $замыкании$ . Как и алгебраическое замыкание, оно единственно с точностью до изоморфизма и, вообще говоря, этот изоморфизм не единственен.

Расширение поля $E\supseteq F$ сепарабельно — , если $сепарабельное$ замыкание $F$ в $E.$ E Это так тогда и только тогда, когда $E$ порождается над $F$ отделимыми элементами.

Если $E\supseteq L\supseteq F$ являются расширениями полей, то $E$ сепарабельно над $F$ тогда и только тогда, когда $E$ сепарабельно над $L$ и $L$ сепарабельно над $F$ . ^[14]

Если $E\supseteq F$ является конечным расширением (то есть $E$ является $F$ - векторным пространством конечной размерности ), то следующие утверждения эквивалентны.

$E$ сепарабельно над $F$ .
$E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})$ где $a_{1},\ldots ,a_{r}$ являются сепарабельными элементами $E$ .
$E=F(a)$ где $a$ — отделимый элемент $E$ .
Если $K$ — алгебраическое замыкание $F$ , то существует ровно $[E:F]$ гомоморфизмы полей E $в$ K $,$ фиксирующие $F$ .
Для любого нормального расширения $K$ поля $F$ , содержащего $E$ , существует ровно $[E:F]$ гомоморфизмы полей $E$ в $K$ , фиксирующие $F$ .

Эквивалентность 3 и 1 известна как теорема о примитивных элементах или теорема Артина о примитивных элементах .Свойства 4 и 5 лежат в основе теории Галуа и, в частности, основной теоремы теории Галуа .

Сепарабельные расширения внутри алгебраических расширений

Позволять $E\supseteq F$ — алгебраическое расширение полей характеристики $p$ . Сепарабельное замыкание $F$ в $E$ есть $S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.$ Для каждого элемента $x\in E\setminus S$ существует целое положительное число $k$ такое, что $x^{p^{k}}\in S,$ и, таким образом, $чисто$ неотделимым расширением S. $является$ E Отсюда следует, что $S$ — единственное промежуточное поле, сепарабельное над $F$ и над которым $E$ неразделимо совершенно . ^[15]

Если $E\supseteq F$ является конечным расширением , его степень $[E : F]$ есть произведение степеней $[S : F]$ и $[E : S]$ . Первый, часто обозначаемый $[E : F] sep$ , упоминается как отделимая часть [ $E : F] или$ как отделимая степень $E / F$ ; последняя называется неотъемлемой частью степени или неотделимая степень . ^[16] Неотделимая степень равна 1 в нулевой характеристике и степени $p$ в характеристике $p > 0$ . ^[17]

С другой стороны, произвольное алгебраическое расширение $E\supseteq F$ не может иметь промежуточного расширения $K$ которое чисто неотделимо над $F$ и над которым $E$ сепарабельно , . Однако такое промежуточное расширение может существовать, если, например, $E\supseteq F$ — нормальное расширение конечной степени (в этом случае $K$ — фиксированное поле группы Галуа группы $E$ над $F$ ). Предположим, что такое промежуточное расширение действительно существует и $[E : F]$ конечно, тогда $[S : F [E : K]$ , где $S$ — сепарабельное замыкание $F$ в $E.$ ] = ^[18] Известные доказательства этого равенства используют тот факт, что если $K\supseteq F$ является чисто неотделимым расширением, и если $f$ является сепарабельным неприводимым многочленом в $F [X]$ , то $f$ остается неприводимым в K [ X ] ^[19]). Из этого равенства следует, что если $[E : F]$ конечно, а $U$ — промежуточное поле между $F$ и $E$ , то $[E : F] sep = [E : U] sep \cdot[U : F] sep$ . ^[20]

Разъемное затвор $F сентябрь$ поля $F$ является сепарабельным замыканием $F$ в замыкании F $алгебраическом$ . Это максимальное расширение F $.$ Галуа По определению $F$ совершенна тогда и только тогда , когда ее сепарабельные и алгебраические замыкания совпадают.

Отделимость трансцендентных расширений

Проблемы отделимости могут возникнуть при работе с трансцендентными расширениями . Обычно это имеет место в алгебраической геометрии над полем простой характеристики, где функциональное поле алгебраического многообразия имеет степень трансцендентности над основным полем, равную размерности многообразия.

Для определения сепарабельности трансцендентного расширения естественно воспользоваться тем, что всякое полевое расширение является алгебраическим расширением чисто трансцендентного расширения . Это приводит к следующему определению.

Разделяющий базис трансцендентности расширения $E\supseteq F$ — базис трансцендентности $T$ группы $E$ такой, что $E$ — сепарабельное алгебраическое расширение $F (T)$ . Конечно порожденное расширение поля является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно имеет разделяющую базу трансцендентности; расширение, которое не является конечно порожденным, называется сепарабельным, если каждое конечно порожденное подрасширение имеет разделяющий базис трансцендентности. ^[21]

Позволять $E\supseteq F$ быть расширением поля характеристического показателя $p$ (то есть $p = 1$ в нулевой характеристике, в противном случае $p$ является характеристикой). Следующие свойства эквивалентны:

$E$ — сепарабельное расширение $F$ ,
$E^{p}$ и $F$ пересекаются линейно не по $F^{p},$
$F^{1/p}\otimes _{F}E$ снижается ,
$L\otimes _{F}E$ уменьшается для каждого расширения поля $L$ поля $E$ ,

где $\otimes _{F}$ обозначает тензорное произведение полей , $F^{p}$ — поле $p$ -х степеней элементов $F$ (для любого поля $F$ ), а $F^{1/p}$ — поле, полученное присоединением к $F$ корня $p-$ й степени всех его элементов ( см. в разделе «Сепарабельная алгебра» подробности ).

Дифференциальные критерии

Сепарабельность можно изучать с помощью выводов . Пусть $E$ — конечно порожденное расширение поля $F$ . Обозначая $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ E $F$ -векторное пространство $-линейных$ дифференцирований $E$ , имеем

\dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,

и равенство выполняется тогда и только тогда, когда E сепарабельно над F (здесь «tr.deg» обозначает степень трансцендентности ).

В частности, если $E/F$ является алгебраическим расширением, то $\operatorname {Der} _{F}(E,E)=0$ тогда и только тогда, когда $E/F$ является разделимым. ^[22]

Позволять $D_{1},\ldots ,D_{m}$ быть основой $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ и $a_{1},\ldots ,a_{m}\in E$ . Затем $E$ является сепарабельной алгебраической над $F(a_{1},\ldots ,a_{m})$ тогда и только тогда, когда матрица $D_{i}(a_{j})$ является обратимым. В частности, когда $m=\operatorname {tr.deg} _{F}E$ , эта матрица обратима тогда и только тогда, когда $\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}$ представляет собой разделяющую основу трансцендентности.

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Айзекс, с. 281
^ Айзекс, Теорема 18.11, с. 281
^ Айзекс, Теорема 18.13, с. 282
^ Айзекс, с. 298
^ Айзекс, с. 280
^ Jump up to: ^а ^б Айзекс, Лемма 18.7, с. 280
^ Айзекс, Теорема 19.4, с. 295
^ Айзекс, Следствие 19.5, с. 296
^ Айзекс, Следствие 19.6, с. 296
^ Айзекс, Следствие 19.9, с. 298
^ Айзекс, Теорема 19.7, с. 297
^ Айзекс, с. 299
^ Айзекс, Лемма 19.15, с. 300
^ Айзекс, Следствие 18.12, с. 281 и следствие 19.17, с. 301
^ Айзекс, Теорема 19.14, с. 300
^ Айзекс, с. 302
^ Lang 2002 , Corollary V.6.2
^ Айзекс, Теорема 19.19, с. 302
^ Айзекс, Лемма 19.20, с. 302
^ Айзекс, Следствие 19.21, с. 303
^ Фрид и Джарден (2008) стр.38
^ Фрид и Джарден (2008) стр.49

Ссылки

Борель, А. Линейные алгебраические группы , 2-е изд.
Премьер-министр Кон (2003). Базовая алгебра
Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-77269-9 . Збл 1145.12001 .
И. Мартин Айзекс (1993). Алгебра, аспирантура (1-е изд.). Издательская компания Брукса / Коула. ISBN 0-534-19002-2 .
Каплански, Ирвинг (1972). Поля и кольца . Чикагские лекции по математике (Второе изд.). Издательство Чикагского университета. стр. 55–59. ISBN 0-226-42451-0 . Збл 1001.16500 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
М. Нагата (1985). Коммутативная теория поля: новое издание, Сёкабо. (японский) [1]
Сильверман, Джозеф (1993). Арифметика эллиптических кривых . Спрингер. ISBN 0-387-96203-4 .

Внешние ссылки

«Сепарабельное расширение поля k» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[Isaacs281-1] Jump up to: ^а ^б Айзекс, с. 281

[Isaacs18.11p281-2] Айзекс, Теорема 18.11, с. 281

[3] Айзекс, Теорема 18.13, с. 282

[Isaacs298-4] Айзекс, с. 298

[5] Айзекс, с. 280

[IsaacsLem18.7-6] Jump up to: ^а ^б Айзекс, Лемма 18.7, с. 280

[7] Айзекс, Теорема 19.4, с. 295

[8] Айзекс, Следствие 19.5, с. 296

[9] Айзекс, Следствие 19.6, с. 296

[10] Айзекс, Следствие 19.9, с. 298

[11] Айзекс, Теорема 19.7, с. 297

[Isaacs299-12] Айзекс, с. 299

[13] Айзекс, Лемма 19.15, с. 300

[14] Айзекс, Следствие 18.12, с. 281 и следствие 19.17, с. 301

[15] Айзекс, Теорема 19.14, с. 300

[Isaacs302-16] Айзекс, с. 302

[17] Lang 2002 , Corollary V.6.2

[18] Айзекс, Теорема 19.19, с. 302

[19] Айзекс, Лемма 19.20, с. 302

[20] Айзекс, Следствие 19.21, с. 303

[FJ38-21] Фрид и Джарден (2008) стр.38

[FJ49-22] Фрид и Джарден (2008) стр.49

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]