Полученная категория

В математике D полученная категория ( а ) абельская категория А является конструкцией гомологической алгебры, введенной для уточнения и в определенном смысле, чтобы упростить теорию производных функционируемых, определенных на . Строительство продолжается на том основании, что d объекты ( a ) должны быть цепными комплексами в A , причем два таких цепных комплекса считаются изоморфными, когда существует карта цепи , которая вызывает изоморфизм на уровне гомологии цепных комплексов. Полученные функторы могут затем быть определены для цепных комплексов, уточняя концепцию гиперкомологии . Определения приводят к значительному упрощению формул, иначе описанными (не совсем верующим) сложными спектральными последовательностями .

Развитие полученной категории Александра Гроетендика и его ученика Жана-Луи Вердье Вердье вскоре после 1960 года теперь появляется в качестве одного терминала в взрывном развитии гомологической алгебры в 1950-х годах, десятилетие, в котором она сделала замечательные шаги. Основная теория версия была записана в его диссертации, наконец, опубликована в 1996 году в Astériskque (резюме ранее появилось в SGA 4½ ). Аксиоматике требовали инновации, концепции триангулированной категории , а конструкция основана на локализации категории , обобщении локализации кольца . Первоначальный импульс для разработки «полученного» формализма возник из -за необходимости найти подходящую формулировку теории последовательной двойственности Гроетендика . Полученные категории с тех пор стали незаменимыми также вне алгебраической геометрии , например, в составе теории D-модулей и микролокального анализа . Недавно полученные категории также стали важными в областях, ближе к физике, например, как D-Branes и зеркальная симметрия .

Неограниченные производные категории были введены Spaltenstein в 1988 году.

Мотивы

В когерентной теории склона, подталкиваясь к пределу того, что можно сделать с помощью серрической двойственности без предположения о не-синглазной схеме , стала очевидной необходимость взять целый комплекс скивков вместо одного дуализирующего сгенера . Фактически, кольцо Коэна-Макаула , ослабление нереющерии, соответствует существованию одного дуализирующего седы; И это далеко от общего случая. Из нисходящей интеллектуальной позиции, которую всегда предполагается Гротендиком, это означало необходимость переформулирования. С ней появилась идея, что «настоящий» тензорный продукт и функторы Хома будут те, которые существуют на полученном уровне; Что касается этого, то Tor и Ext становятся более похожими на вычислительные устройства.

Несмотря на уровень абстракции, полученные категории были приняты в течение следующих десятилетий, особенно в качестве удобного условия для компологической кохомологии . Возможно, самым большим прогрессом была формулировка соответствия Римана-Хилберта в измерениях, превышающих 1 в производных терминах, около 1980 года. Школа Сато приняла язык полученных категорий, и последующая история D-модулей была из теории, выраженной в тех условия.

Параллельным развитием была категория спектра в теории гомотопии . Гомотопия категория спектров и полученная категория кольца являются примерами триангулированных категорий .

Определение

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть категорией Абелеи . (Примеры включают в себя категорию модулей над кольцом и категорию снопоклетов абельских групп на топологическом пространстве.) Вывода -категория $D({\mathcal {A}})$ определяется универсальным свойством в отношении категории $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$ Комплекс Cochain с терминами в ${\mathcal {A}}$Полем Объекты $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$ имеют форму

$\cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,$

где каждый х ^я является объектом ${\mathcal {A}}$ и каждый из композитов $d^{i+1}\circ d^{i}$ ноль. Группа кохомологии комплекса $H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}$Полем Если $(X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })$ и $(Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })$ два объекта в этой категории, затем морфизм $f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })$ определяется как семья морфизмов $f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}$ так что $f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}$Полем Такой морфизм индуцирует морфизмы в группах кохомологии $H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })$, и $f^{\bullet }$ называется квазиизоморфизмом, если каждый из этих морфизмов является изоморфизмом в ${\mathcal {A}}$.

Универсальное свойство полученной категории заключается в том, что оно является локализацией категории комплексов в отношении квазиизоморфизмов. В частности, полученная категория $D({\mathcal {A}})$ это категория вместе с функцией $Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})$, имея следующее универсальное свойство: предположим ${\mathcal {C}}$ является еще одной категорией (не обязательно абелевской) и $F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}$ Функтор такой, что всякий раз, когда $f^{\bullet }$ квазиизоморфизм в $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$, его изображение $F(f^{\bullet })$ это изоморфизм в ${\mathcal {C}}$; затем $F$ факторы через $Q$Полем Любые две категории, имеющие это универсальное свойство, эквивалентны.

Отношение к категории гомотопии

Если $f$ и $g$ два морфизма $X^{\bullet }\to Y^{\bullet }$ в $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$, затем гомотопия цепи или просто гомотопия $h\colon f\to g$ это коллекция морфизмов $h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}$ так что $f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}$ для каждого я . Прямо показано, что два гомотопических морфизмы вызывают идентичные морфизмы в групп кохомологии. Мы говорим это $f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }$ это гомотопия цепной гомотопии, если существует $g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }$ так что $g\circ f$ и $f\circ g$ цепные гомотопны к морфизму идентичности на $X^{\bullet }$ и $Y^{\bullet }$, соответственно. Гомотопическая категория комплексов Cochain $K({\mathcal {A}})$ категория с теми же объектами, что и $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$ но чьи морфизмы являются классами эквивалентности морфизмов комплексов в отношении отношения гомотопии цепи. Есть естественный функтор $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})$ что является идентичностью на объектах и ​​которая посылает каждый морфизм в свой класс эквивалентности гомотопии цепи. Поскольку каждая цепная гомотопия эквивалентность является квазиизоморфизмом, $Q$ Факторы через этот функтор. Следовательно $D({\mathcal {A}})$ Можно одинаково хорошо рассматриваться как локализация гомотопической категории.

С точки зрения категорий моделей , полученная категория D ( A ) является истинной «гомотопической категорией» категории комплексов, тогда как k ( a ) может быть названа «наивной гомотопической категорией».

Построение полученной категории

Есть несколько возможных конструкций полученной категории. Когда ${\mathcal {A}}$ является небольшой категорией, тогда существует прямая конструкция полученной категории по формально прилегающим обращениям квазиизоморфизмов. Это пример общего построения категории с помощью генераторов и отношений.

Когда ${\mathcal {A}}$ это большая категория, эта конструкция не работает по установленным теоретическим причинам. Эта конструкция строит морфизмы как классы эквивалентности путей. Если ${\mathcal {A}}$ имеет правильный класс объектов, все из которых являются изоморфными, тогда между любыми двумя из этих объектов существует надлежащий класс пути. Поэтому конструкция генераторов и отношений только гарантирует, что морфизмы между двумя объектами образуют правильный класс. Однако морфизмы между двумя объектами в категории обычно должны быть наборами, и поэтому эта конструкция не дает фактической категории.

Даже когда ${\mathcal {A}}$ Не совсем, однако, строительство генераторами и отношениями, как правило, приводит к категории, структура которых непрозрачна, где морфизмы являются произвольно длинными путями, подверженными таинственной эквивалентности. По этой причине, традиционно строить полученную категорию более конкретно, даже когда теория установки не рассматривается.

Эти другие конструкции проходят через категорию гомотопии. Коллекция квазиизоморфизмов в $K({\mathcal {A}})$ образует мультипликативную систему . Это коллекция условий, которые позволяют переписать сложные пути как более простые. Теорема Габриэля -Зисмана подразумевает, что локализация в мультипликативной системе имеет простое описание с точки зрения крыш . Морфизм $X^{\bullet }\to Y^{\bullet }$ в $D({\mathcal {A}})$ может быть описан как пара $(s,f)$, где для какого -то сложного $Z^{\bullet }$, $s\colon Z^{\bullet }\to X^{\bullet }$ это квазиизоморфизм и $f\colon Z^{\bullet }\to Y^{\bullet }$ является цепным гомотопическим классом морфизмов. Концептуально это представляет $f\circ s^{-1}$Полем Две крыши эквивалентны, если они имеют общую перегрузку.

Замена цепочек морфизмов на крыши также позволяет решить резолюцию теоретичных проблем, связанных с полученными категориями крупных категорий. Исправить комплекс $X^{\bullet }$ и рассмотрим категорию $I_{X^{\bullet }}$ чьи объекты являются квазиизоморфизмом в $K({\mathcal {A}})$ с кодоманом $X^{\bullet }$ и чьи морфизмы являются коммутативными диаграммами. Эквивалентно, это категория объектов. $X^{\bullet }$ чьи карты структуры являются квазиизоморфизмом. Тогда условие мультипликативной системы подразумевает, что морфизмы в $D({\mathcal {A}})$ от $X^{\bullet }$ к $Y^{\bullet }$ являются

$\varinjlim _{I_{X^{\bullet }}}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}((X')^{\bullet },Y^{\bullet }),$

Предполагая, что этот Колимит на самом деле является набором. Пока $I_{X^{\bullet }}$ потенциально большая категория, в некоторых случаях он контролируется небольшой категорией. Это так, например, если ${\mathcal {A}}$ является категорией Grothendieck Abelian (то есть он удовлетворяет AB5 и имеет набор генераторов), причем важным моментом является то, что только объекты ограниченного кардинальности актуальны. В этих случаях предел может быть рассчитан на небольшую подкатегорию, и это гарантирует, что результат является набором. Затем $D({\mathcal {A}})$ может быть определено, чтобы иметь эти наборы в качестве его $\operatorname {Hom}$ наборы.

Существует другой подход, основанный на замене морфизмов в полученной категории морфизмом в категории гомотопии. Морфизм в полученной категории с кодоменом, ограниченным ниже комплекса инъективных объектов, такой же, как и морфизм для этого комплекса в категории гомотопии; Это следует из терминальной инъекции. Заменив терминную инъективность более сильным условием, можно получить аналогичное свойство, которое применяется даже к неограниченным комплексам. Комплекс $I^{\bullet }$ k , -Injective если, для каждого ациклического комплекса $X^{\bullet }$, у нас есть $\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0$Полем Прямое следствие этого заключается в том, что для каждого комплекса $X^{\bullet }$, морфизмы $X^{\bullet }\to I^{\bullet }$ в $K({\mathcal {A}})$ такие же, как такие морфизмы в $D({\mathcal {A}})$Полем Теорема SERPé, обобщающая работу Grothendieck и Spaltenstein, утверждает, что в категории Grothendieck Abelian каждый комплекс является квазиизоморфным для K-инъективного комплекса с инъективными терминами, и, кроме того, это является функционированием. В частности, мы можем определить морфизмы в полученной категории, перейдя в резолюции K-инъекции и вычисляя морфизмы в категории гомотопии. Функциональность конструкции Serpé гарантирует, что состав морфизмов является четко определенным. Как и конструкция с использованием крыш, эта конструкция также обеспечивает подходящие теоретические свойства для полученной категории, на этот раз, потому что эти свойства уже удовлетворены категорией гомотопии.

Полученные дома

Как отмечалось ранее, в полученной категории наборы HOM выражаются через крыши или долины $X\rightarrow Y'\leftarrow Y$, где $Y\to Y'$ это квазиизоморфизм. Чтобы получить лучшую картину того, как выглядят элементы, рассмотрите точную последовательность

$0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0$

Мы можем использовать это для построения морфизма $\phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]$ усекав комплекс выше, сдвигая его и используя очевидные морфизмы выше. В частности, у нас есть картина

${\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}$

где есть нижний комплекс ${\mathcal {E}}_{0}$ сконцентрировано в степени $0$, единственная нетривиальная стрелка вверх-это морфизм равенства, а единственная непревзойденная стрелка-это нисходящая стрелка $\phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}$Полем Эта диаграмма комплексов определяет морфизм

$\phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])$

в полученной категории. Одним из применений этого наблюдения является строительство класса Atiyah.

Замечания

Для определенных целей (см. Ниже) один использует ограниченное поле ( $X^{n}=0$ для $n\ll 0$), ограниченная ( $X^{n}=0$ для $n\gg 0$) или ограничен ( $X^{n}=0$ для $|n|\gg 0$) комплексы вместо неограниченных. Соответствующие производные категории обычно обозначаются D ⁺ (А) , d ⁻ (А) и d ^{беременный} (А) соответственно.

Если кто -то использует классическую точку зрения на категории, то есть набор морфизмов от одного объекта к другому (не только класс ), то нужно дать дополнительный аргумент, чтобы доказать это. Если, например, авелевская категория А невелика, т.е. имеет только набор объектов, то эта проблема не будет проблемой. Кроме того, если A является категорией Grothendieck Abelian , то полученная категория D ( A ) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории k ( a ) и, следовательно, имеет только набор морфизмов от одного объекта к другому. Категории Grothendieck Abelian включают в себя категорию модулей над кольцом, категорию снопок абельских групп на топологическом пространстве и многие другие примеры.

Состав морфизмов, то есть крыши, в полученной категории достигается путем поиска третьей крыши поверх двух крыш, которые будут составлены. Можно проверить, что это возможно и дает четко определенную ассоциативную композицию.

Поскольку k (a) является триангулированной категорией , его локализация d (a) также триангулирована. Для целочисленного n и комплекса x определите Комплекс x [ n ] должен быть x сдвинут на n , так что это, чтобы

$X[n]^{i}=X^{n+i},$

с дифференциалом

$d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.$

По определению, выдающийся треугольник в d (a) - это треугольник, который является изоморфным по d (a) к треугольнику x → y → конус ( f ) → x [1] для некоторой карты комплексов F : x → y . Здесь конус ( f обозначает картирующий конус f ) . В частности, для короткой точной последовательности

$0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$

В A , треугольник x → y → z → x [1] отличается в d (a) . Вердье объяснил, что определение сдвига x [1] вынуждено, требуя x [1] быть конусом морфизма x → 0.

Просмотрев объект A как комплекс, сконцентрированный в нулевой степени, полученная категория D (A) содержит как полную подкатегорию . Морфизмы в полученной категории включают информацию обо всех группах EXT : для любых объектов x и y в и любого целого числа j ,

${\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).$

Проективные и инъективные решения

Можно легко показать, что гомотопия эквивалентность является квазиизоморфизмом , поэтому второй шаг в вышеупомянутой конструкции может быть опущен. Определение обычно дается таким образом, потому что оно раскрывает существование канонического функтора

$K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).$

В конкретных ситуациях очень сложно или невозможно обработать морфизмы в производной категории напрямую. Следовательно, кто -то ищет более управляемую категорию, которая эквивалентна полученной категории. Классично, есть два (двойные) подходы к этому: проективные и инъективные решения . В обоих случаях ограничение вышеуказанного канонического фанкора в соответствующей подкатегории будет эквивалентностью категорий .

Далее мы опишем роль резолюций в инъективных резолюциях в контексте полученной категории, которая является основой для определения правого производственного функтора , которые, в свою очередь, имеют важные применения в кохомологии складов кохомология на топологических пространствах или более продвинутых теориях коммологии, такие как étale. или групповая кохомология .

Чтобы применить эту технику, нужно предположить, что рассматриваемой категории Авелеина достаточно инъектив , что означает, что каждый объект x категории допускает мономорфизм для инъективного объекта i . (Ни карта, ни инъективный объект не должны быть уникально указаны.) Например, в каждой категории Grothendieck Abelian достаточно инъектив. Внедрение x в какой -то инъективный объект I ⁰ , кокернел этой карты в какой -то инъектив I ¹ и т. д., один конструирует разрешение инъективного размера x , то есть точная (в общей бесконечной) последовательности

$0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,$

где I * являются инъективными объектами. Эта идея обобщается, чтобы дать резолюции комплексов с ограниченным полетом x , т.е. x ^не = 0 для достаточно маленького n . Как отмечалось выше, резолюции инъективных действий не определены уникально, но это факт, что любые два разрешения являются гомотопическими эквивалентными друг другу, т.е. изоморфным в категории гомотопии. Более того, морфизмы комплексов уникально распространяются на морфизм двух заданных инъективных решений.

когда категория гомотопии снова вступает в игру: картирование объекта x a to (любое) разрешение инъекции i * функтор распространяется на Это тот момент ,

$D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))$

из ограниченной ниже, полученной категории, до ограниченной ниже гомотопической категории комплексов, чьи термины являются инъективными объектами в а .

Нетрудно видеть, что этот функтор на самом деле обратный к ограничению канонической локализации, упомянутого вначале. Другими словами, морфизмы Hom ( x , y ) в производной категории могут быть рассчитаны путем разрешения как x , так и y и вычисления морфизмов в категории гомотопии, что, по крайней мере, теоретически проще. Фактически, этого достаточно, чтобы разрешить Y : для любого комплекса x и любого ограниченного ниже комплекса y инъектив,

$\mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).$

Вдвое, предполагая, что A имеет достаточное количество проективов , то есть для каждого объекта x существует эпиморфизм от проективного объекта P до x , можно использовать проективные решения вместо инъективных.

В 1988 году Спальтенштейн определил неограниченную категорию ( Spaltenstein (1988) ), которая сразу оказалась полезной при изучении единственных пространств; См., Например, книга Кашивары и Шапиры (категории и снопок) о различных приложениях неограниченной производной категории. Spaltenstein использовал так называемые K-инъективные и K-проектовальные решения.

Keller (1994) и May (2006) описывают производную категорию модулей над DG-Algebras. Келлер также дает применение к двойственности Косзуль, кохомологии алгебры и гомологии Хохшильда.

В целом, тщательно адаптируя определения, можно определить производную категорию точной категории ( Keller 1996 ).

Отношение к производным функторам

Полученная категория является естественной основой для определения и изучения, полученных функторами . Далее, пусть F : A → B - функтор категорий авелевских категоров. Есть две двойные понятия:

• правые функторы поставляются с левых точных функторов и рассчитываются с помощью инъективных решений
• Функторы с левым производством поступают из правых точных функторов и рассчитываются с помощью проективных решений

Далее мы опишем правые функторы. Итак, предположим, что F остается точным. Типичными примерами являются F : A → AB, данное x ↦ Hom ( x , a ) или x ↦ hom ( a , x ) для некоторого фиксированного объекта A , или глобального фанктора разделов на снопах или прямого функтора изображения . Их правые функторы ^не ( -, а ) , добрый ^не ( А , -), ч ^не ( X , f ) или r ^не f _∗ ( f ) соответственно.

Полученная категория позволяет нам инкапсулировать все производные функторы r ^не F в одном функционе, а именно так называемого общего производного Functor RF : D ⁺ ( А ) → D ⁺ ( Б ). Это следующая композиция: D ⁺ ( А ) ≅ k ⁺ (Anc ( a )) → k ⁺ ( Б ) → D ⁺ ( Б ), где первая эквивалентность категорий описана выше. Классические производные функторы связаны с общей суммой через r ^не F ( x ) = h ^не ( RF ( x )). Можно сказать, что r ^не F Забудьте о цепном комплексе и держите только кохомологии, тогда как RF отслеживает комплексы.

Полученные категории, в некотором смысле, являются «правильным» местом для изучения этих функторов. Например, спектральная последовательность Grothendieck композиции двух функторов

${\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,$

Такие, что F -карты инъективные в объекты G ( -actyclics т.е. ^я G ( f ( i )) = 0 для всех i > 0 и инъектив I ), является выражением следующей идентичности общего производного функтора

R ( g ∘ f ) ≅ rg ∘ rf .

Дж.-Л. Вердье показал, как полученные функторы, связанные с авелевской категорией А, можно рассматривать как расширения Кана вдоль внедрения в подходящие производные категории [Mac Lane].

Полученная эквивалентность

Может случиться так, что две категории авелевских категорий A и B не являются эквивалентными, но их полученные категории D ( A ) и D ( b ). Часто это интересная связь A и B. между Такие эквиваленты связаны с теорией Т-структур в триангулированных категориях . Вот несколько примеров.

• Позволять $\mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})$ Будьте авелевской категорией когерентных снопок на проективной линии по поле k . Пусть k ₂ -rep станет авелевской категорией представлений о качалке Кронекера с двумя вершинами. Это очень разные категории авелеев, но их (ограниченные) полученные категории эквивалентны.
• Пусть Q - любой колчан , а P - колчан, полученный от Q, обратив вспять несколько стрел. В целом, категории представлений Q и P разные, но D ^{беременный} ( Q -Rep) всегда эквивалентно D ^{беременный} ( P -Rep).
• Пусть x - абельский сорт , у его двойного абельского разнообразия . Тогда d ^{беременный} (COH ( x )) эквивалентен D ^{беременный} (COH ( Y )) по теории преобразований Фурье -Мукаи . Разнообразии с эквивалентными полученными категориями когерентных снопок иногда называют партнерами Фурье -Мукай .

Смотрите также

• Гомотопия категории цепных комплексов
• Полученная некоммутативная алгебраическая геометрия
• Когерентная компонента
• Когерентная двойственность
• Полученная алгебраическая геометрия

Ссылки

• Doorn, MGM Van (2001) [1994], «Полученная категория» , Энциклопедия математики , Ems Press
• Келлер, Бернхард (1996), «Полученные категории и их использование» , в Hazewinkel, M. (ed.), Справочник по алгебре , Амстердам: Северная Голландия, с. 671–701 , ISBN  0-444-82212-7 , MR   1421815
• Келлер, Бернхард (1994), «Получение категорий DG», Annals Scientists of Ecole Normale Superiure , серия 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asen.1689 , ISSN   0012-9593 , MR   1258406.
• May, JP (2006), полученные категории с топологической точки зрения (PDF) дает интерпретацию полученной категории модулей над DG-Algebras.
• Spaltenstein, N. (1988), «Резолюции неограниченных комплексов» , Compositio Mathematica , 65 (2): 121–154, ISSN   0010-437X , MR   0932640
• Вердье, Жан-Луис (1996), «Деривированные категории категорий Абелиенна», Asterisque (на французском языке), 239 , Париж: Société Matematique de France , ISSN   0303-1179 , г-н   1453167

Четыре учебника, которые обсуждают производные категории:

• Гелфанд, Серж I.; Manod Ivanovich (2003), Метод алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-43583-9 , MR   1950475
• Кашивара, Масаки ; Schapira, Pierre (2006), категории и сдвиги , Основное обучение математических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-27949-5 , MR   2182076
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по продвинутой математике. Тол. 38. издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 Полем MR   1269324 . OCLC   36131259 .
• Йекутиэли, Амнон (2019). Полученные категории . Кембриджские исследования по продвинутой математике. Тол. 183. издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1108419338 .