Теорема Бора – Ван Лювена

Теорема Бора – Ван Лювена утверждает, что при статистической механики и классической механики последовательном применении среднее тепловое значение намагниченности . всегда равно нулю Это делает магнетизм в твердых телах исключительно квантово-механическим эффектом и означает, что классическая физика не может объяснить парамагнетизм , диамагнетизм и ферромагнетизм . Неспособность классической физики объяснить трибоэлектричество также вытекает из теоремы Бора – Ван Лювена.

История

То, что сегодня известно как теорема Бора – Ван Лювена, было открыто Нильсом Бором в 1911 году в его докторской диссертации. и позже был заново открыт Хендрикой Йоханной ван Леувен в ее докторской диссертации в 1919 году. В 1932 году Дж. Х. Ван Флек формализовал и расширил первоначальную теорему Бора в написанной им книге об электрической и магнитной восприимчивости.

Значение этого открытия состоит в том, что классическая физика не учитывает такие явления, как парамагнетизм , диамагнетизм и ферромагнетизм , и поэтому квантовая физика . для объяснения магнитных явлений необходима Этот результат, «возможно, самая дефляционная публикация всех времен». возможно, способствовал развитию Бором квазиклассической теории атома водорода в 1913 году.

Доказательство

Интуитивное доказательство

Теорема Бора – Ван Лювена применима к изолированной системе, которая не может вращаться. Если изолированной системе разрешено вращаться под действием внешнего магнитного поля, то эта теорема неприменима. Если, кроме того, существует только одно состояние теплового равновесия при данной температуре и поле и системе дано время вернуться в равновесие после приложения поля, то намагничивания не будет.

Вероятность того, что система будет находиться в заданном состоянии движения, согласно статистике Максвелла – Больцмана, пропорциональна $\exp(-U/k_{\text{B}}T)$, где $U$ это энергия системы, $k_{\text{B}}$ – постоянная Больцмана и $T$ это абсолютная температура . Эта энергия равна сумме кинетической энергии ( $mv^{2}/2$ для частицы с массой $m$ и скорость $v$) и потенциальная энергия .

Магнитное поле не дает вклада в потенциальную энергию. Сила Лоренца, действующая на частицу с зарядом $q$ и скорость $\mathbf {v}$ является

$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),$

где $\mathbf {E}$ электрическое поле и $\mathbf {B}$ – плотность магнитного потока . Скорость выполненной работы равна $\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v}$ и не зависит от $\mathbf {B}$. Следовательно, энергия не зависит от магнитного поля, а значит, и распределение движений не зависит от магнитного поля.

В нулевом поле не будет чистого движения заряженных частиц, поскольку система не способна вращаться. Следовательно, средний магнитный момент будет равен нулю. Поскольку распределение движений не зависит от магнитного поля, момент теплового равновесия остается нулевым в любом магнитном поле.

Более формальное доказательство

Чтобы снизить сложность доказательства, используется система с $N$ электроны будут использоваться.

Это уместно, поскольку большая часть магнетизма в твердом теле переносится электронами, и доказательство легко обобщить на более чем один тип заряженных частиц.

Каждый электрон имеет отрицательный заряд $e$ и масса $m_{\text{e}}$.

Если его положение $\mathbf {r}$ и скорость $\mathbf {v}$, он производит ток $\mathbf {j} =e\mathbf {v}$ и магнитный момент

$\mathbf {\mu } ={\frac {1}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {j} ={\frac {e}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {v} .$

Приведенное выше уравнение показывает, что магнитный момент является линейной функцией координат скорости, поэтому полный магнитный момент в данном направлении должен быть линейной функцией вида

$\mu =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {a} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i},$

где точка представляет производную по времени, а $\mathbf {a} _{i}$ — векторные коэффициенты, зависящие от координат положения $\{\mathbf {r} _{i},i=1\ldots N\}$.

Статистика Максвелла – Больцмана дает вероятность того, что n-я частица имеет импульс. $\mathbf {p} _{n}$ и координировать $\mathbf {r} _{n}$ как

$dP\propto \exp {\left[-{\frac {{\mathcal {H}}(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}{k_{\text{B}}T}}\right]}d\mathbf {p} _{1},\ldots ,d\mathbf {p} _{N}d\mathbf {r} _{1},\ldots ,d\mathbf {r} _{N},$

где ${\mathcal {H}}$ — гамильтониан , полная энергия системы.

Термическое среднее любой функции $f(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})$ этих обобщенных координат тогда

$\langle f\rangle ={\frac {\int fdP}{\int dP}}.$

При наличии магнитного поля

${\mathcal {H}}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}\right)^{2}+e\phi (\mathbf {q} ),$

где $\mathbf {A} _{i}$ - магнитный векторный потенциал и $\phi (\mathbf {q} )$ – электрический скалярный потенциал . Для каждой частицы компоненты импульса $\mathbf {p} _{i}$ и позиция $\mathbf {r} _{i}$ связаны уравнениями гамильтоновой механики :

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {r} _{i}\\{\dot {\mathbf {r} }}_{i}&=\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}$

Поэтому,

${\dot {\mathbf {r} }}_{i}\propto \mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i},$

так что момент $\mu$ является линейной функцией импульсов $\mathbf {p} _{i}$.

Термически усредненный момент,

$\langle \mu \rangle ={\frac {\int \mu dP}{\int dP}},$

представляет собой сумму слагаемых, пропорциональных интегралам вида

$\int _{-\infty }^{\infty }(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i})dP,$

где $p$ представляет собой одну из координат импульса.

Подынтегральная функция является нечетной функцией $p$, поэтому оно исчезает.

Поэтому, $\langle \mu \rangle =0$.

Приложения

Теорема Бора-Ван Лювена полезна в нескольких приложениях, включая физику плазмы : «Все эти ссылки основывают обсуждение теоремы Бора-Ван Лювена на физической модели Нильса Бора, в которой идеально отражающие стены необходимы для обеспечения токов, которые нейтрализуют сеть вклад изнутри элемента плазмы и приводит к нулевому чистому диамагнетизму плазменного элемента».

Диамагнетизм чисто классической природы возникает в плазме, но является следствием термического неравновесия, например градиента плотности плазмы. Электромеханика и электротехника также видят практическую пользу от теоремы Бора – Ван Лювена.

Внешние ссылки

• Начало 20-го века: теория относительности и квантовая механика наконец-то принесли понимание