Теория внутренних множеств

Внутренняя теория множеств ( IST ) — математическая теория множеств, разработанная Эдвардом Нельсоном , которая обеспечивает аксиоматическую основу для части нестандартного анализа, введенного Абрахамом Робинсоном . Вместо добавления новых элементов к действительным числам подход Нельсона модифицирует аксиоматические основы посредством синтаксического обогащения. Таким образом, аксиомы вводят новый термин «стандарт», который можно использовать, чтобы сделать различение невозможным в соответствии с обычными аксиомами ZFC для множеств . Таким образом, IST является расширением ZFC : все аксиомы ZFC удовлетворяются для всех классических предикатов, а новый унарный предикат «стандарт» удовлетворяет трем дополнительным аксиомам I, S и T. В частности, подходящие нестандартные элементы внутри множества вещественных предикатов Можно показать, что числа обладают свойствами, соответствующими свойствам бесконечно малых и неограниченных элементов.

Формулировка Нельсона стала более доступной для непрофессионала-математика за счет исключения многих сложностей метаматематической логики , которые изначально требовались для строгого обоснования непротиворечивости систем счисления, содержащих бесконечно малые элементы.

Интуитивное обоснование

интуитивное обоснование значения термина « стандарт» Хотя IST имеет совершенно формальную аксиоматическую схему, описанную ниже, желательно . Это не часть формальной теории, а педагогический прием, который может помочь ученику интерпретировать формализм. Существенное различие, подобное понятию определимых чисел , противопоставляет конечность области понятий, которые мы можем определить и обсуждать, неограниченной бесконечности множества чисел; сравните финитизм .

• Число символов, которыми можно писать, конечно.
• Количество математических символов на любой странице конечно.
• Количество страниц математики, которые один математик может написать за жизнь, конечно.
• Любое работоспособное математическое определение обязательно конечно.
• Существует лишь конечное число различных объектов, которые математик может определить за свою жизнь.
• В ходе нашей (предположительно конечной) цивилизации будет только конечное число математиков.
• Следовательно, существует только конечный набор целых чисел, которые наша цивилизация может обсудить за отведенный ей срок жизни.
• Каков на самом деле этот предел, нам неизвестно, поскольку он зависит от многих случайных культурных факторов.
• Это ограничение само по себе не поддается математической проверке, но то, что такой предел существует, хотя набор целых чисел продолжается вечно и без ограничений, является математической истиной.

Таким образом, термин «стандарт» интуитивно понимается как соответствующий некоторой обязательно конечной части «доступных» целых чисел. Этот аргумент можно применить к любому бесконечному множеству объектов — существует лишь определенное количество элементов, которые можно определить за конечное время, используя конечный набор символов, и всегда есть такие, которые лежат за пределами нашего терпения и выносливости, независимо от того. как мы упорствуем. Мы должны признать наличие обилия нестандартных элементов — слишком больших или слишком анонимных, чтобы их можно было уловить, — внутри любого бесконечного множества.

Принципы стандартного предиката

Следующие принципы следуют из приведенной выше интуитивной мотивации и поэтому должны быть выведены из формальных аксиом. На данный момент мы принимаем за предмет обсуждения знакомый набор целых чисел.

• Любое математическое выражение, которое явно или неявно не использует новый стандарт предикатов , является внутренней формулой .
• Любое определение, которое делает это, является внешней формулой .
• Любое число, однозначно заданное внутренней формулой, является стандартным (по определению).
• Нестандартные числа — это именно те числа, которые не могут быть однозначно заданы (из-за ограничений времени и пространства) внутренней формулой.
• Нестандартные числа неуловимы: каждое из них слишком огромно, чтобы его можно было использовать в десятичной системе счисления или в любом другом представлении, явном или неявном, независимо от того, насколько изобретательна ваша система обозначений. Что бы вам ни удалось создать, это по определению просто еще одно стандартное число.
• есть (много) нестандартных целых чисел Тем не менее, в любом бесконечном подмножестве N .
• Нестандартные числа — это совершенно обычные числа, имеющие десятичное представление, простую факторизацию и т. д. Любая классическая теорема, применимая к натуральным числам, применима и к нестандартным натуральным числам. Мы создали не новые числа, а новый метод различения существующих чисел.
• Более того, любая классическая теорема, верная для всех стандартных чисел, обязательно верна и для всех натуральных чисел. В противном случае формулировка «наименьшее число, не удовлетворяющее теореме» была бы внутренней формулой, однозначно определяющей нестандартное число.
• Предикат «нестандартный» является логически последовательным методом различения больших чисел — обычный термин будет неограничен . Обратными к этим неограниченным числам обязательно будут чрезвычайно малые действительные числа — бесконечно малые . Чтобы избежать путаницы с другими интерпретациями этих слов, в новых статьях на IST эти слова заменяются конструкциями «i-большой» и «i-small».
• Обязательно существует лишь конечное число стандартных чисел, но требуется осторожность: мы не можем собрать их вместе и считать, что результатом является четко определенный математический набор. Это не будет подкреплено формализмом (интуитивное оправдание состоит в том, что точные границы этого множества меняются со временем и историей). В частности, мы не сможем говорить о наибольшем стандартном числе или наименьшем нестандартном числе. Будет справедливо говорить о некотором конечном множестве, содержащем все стандартные числа, но эта неклассическая формулировка может быть применима только к нестандартному множеству.

Формальные аксиомы IST

IST — аксиоматическая теория в логике первого порядка с равенством в языке, содержащем бинарный символ-предикат ∈ и унарный символ-предикат st( x ). Формулы, не содержащие st (т. е. формулы обычного языка теории множеств), называются внутренними, остальные формулы — внешними. Мы используем сокращения

${\begin{aligned}\exists ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x)&=\exists x\,(\operatorname {st} (x)\land \phi (x)),\\\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x)&=\forall x\,(\operatorname {st} (x)\to \phi (x)).\end{aligned}}$

IST включает все аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Обратите внимание, что схемы разделения и замены распространяются ZFC не на новый язык, их можно использовать только с внутренними формулами. Более того, IST включает три новые схемы аксиом – удобно, по одной для каждой буквы в названии: деализация , стандартизация и трансфер .

Я : Идеализация

• Для любой внутренней формулы $\phi$ без свободного появления z универсальное замыкание следующей формулы является аксиомой:

  $\forall ^{\mathrm {st} }z\,(z{\text{ is finite}}\to \exists y\,\forall x\in z\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}))\leftrightarrow \exists y\,\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}).$

• Другими словами: для каждого внутреннего отношения R и для произвольных значений всех других свободных переменных мы имеем, что если для каждого стандартного конечного множества F существует g такой, что R ( g , f ) выполняется для всех f в F , тогда существует конкретный G такой, что для любого стандартного f мы имеем R ( G , f ), и наоборот, если существует G такой, что для любого стандартного f мы имеем R ( G , f ), то для каждого конечного множества F существует g такой, что ( g , f ) выполняется для всех f в F. R

Утверждение этой аксиомы включает в себя два следствия. Импликацию справа налево можно переформулировать простым утверждением, что элементы стандартных конечных множеств являются стандартными. Более важная импликация слева направо означает, что совокупность всех стандартных множеств содержится в конечном (нестандартном) множестве, и, более того, этот конечный набор может удовлетворять любому заданному внутреннему свойству, свойственному всем стандартным конечным наборам.

Эта очень общая схема аксиом подтверждает существование «идеальных» элементов в соответствующих обстоятельствах. Три конкретных применения демонстрируют важные последствия.

Применяется к отношению ≠

Если S стандартно и конечно, в качестве отношения возьмем R ( g , f ): g и f не равны и находится в S. g Поскольку утверждение « Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F » неверно (такого g не существует, когда F = S ), мы можем использовать идеализацию, чтобы сказать нам, что « существует G в S такой, что G ≠ f для всех стандартных f ", также является ложным, т. е. все элементы S стандартны.

Если S бесконечно, то в качестве отношения R ( g , f ) возьмем: и f не равны и g находится в S. g Поскольку « Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F » (бесконечное множество S не является подмножеством конечного множества F ), мы можем использовать идеализацию для вывода « Там является G в S такой, что G ≠ f для всех стандартных f ». Другими словами, каждое бесконечное множество содержит нестандартный элемент (на самом деле их много).

Степенное множество стандартного конечного набора является стандартным (по Трансферу) и конечным, поэтому все подмножества стандартного конечного набора являются стандартными.

Если S нестандартно, в качестве отношения возьмем R ( g , f ): g и f не равны и находится в S. g Поскольку « Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F » (нестандартное множество S не является подмножеством стандартного и конечного множества F ), мы можем использовать идеализацию для вывода « В S существует группа G такая, что G ≠ f для всех стандартных f ». Другими словами, каждое нестандартное множество содержит нестандартный элемент.

Как следствие всех этих результатов, все элементы множества S стандартны тогда и только тогда, когда S стандартно и конечно.

Применяется к отношению <

Поскольку « Для каждого стандартного конечного набора натуральных чисел F существует натуральное число g такое, что g > f для всех f в F » – скажем, g = max( F ) + 1 – мы можем использовать идеализацию для вывода « Существует натуральное число G такое, что G > f для всех стандартных натуральных чисел f ». Другими словами, существует натуральное число, большее, чем любое стандартное натуральное число.

Применительно к отношению ∈

возьмем Точнее, за R ( g , f ) : g — конечное множество, содержащее элемент f . Поскольку « Для каждого стандартного конечного множества F существует конечное множество g такое, что f ∈ g для всех f в F – скажем, выбрав g = » само по себе – мы можем использовать идеализацию, чтобы вывести: « Существует конечное множество G такое, что что f ∈ G для всех стандартных f ». Для любого множества S пересечение S с множеством G является конечным подмножеством S которое содержит каждый стандартный элемент S. , G обязательно нестандартна.

С: Стандартизация

• Если $\phi$ — это любая формула (она может быть внешней) без свободного вхождения y , универсального замыкания

  $\forall ^{\mathrm {st} }x\,\exists ^{\mathrm {st} }y\,\forall ^{\mathrm {st} }t\,(t\in y\leftrightarrow (t\in x\land \phi (t,u_{1},\dots ,u_{n})))$

это аксиома.

• Другими словами: если A — стандартное множество, а P — любое свойство, внутреннее или иное, то существует уникальное стандартное подмножество B множества A , стандартные элементы которого являются в точности стандартными элементами A , удовлетворяющими P (но поведение элементов B нестандартных элементы не прописаны).

Т: Трансфер

• Если $\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})$ является внутренней формулой, в которой нет других свободных переменных, кроме указанных, тогда

  $\forall ^{\mathrm {st} }u_{1}\dots \forall ^{\mathrm {st} }u_{n}\,(\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})\to \forall x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n}))$

это аксиома.

• Другими словами: если все параметры A , B , C , ..., W внутренней формулы F имеют стандартные значения, то F ( x , A , B ,..., W ) выполняется для всех x , как только оно справедливо для всех стандартных , x из чего следует, что все однозначно определенные понятия или объекты в классической математике являются стандартными.

Формальное обоснование аксиом

Помимо предложенных выше интуитивных мотиваций, необходимо обосновать, что дополнительные аксиомы IST не приводят к ошибкам или непоследовательностью в рассуждениях. Ошибки и философские слабости в рассуждениях о бесконечно малых числах в работах Готфрида Лейбница , Иоганна Бернулли , Леонарда Эйлера , Огюстена-Луи Коши и других явились причиной того, что от них первоначально отказались в пользу более громоздких. аргументы, основанные на действительных числах, разработанные Георгом Кантором , Рихардом Дедекиндом и Карлом Вейерштрассом , которые были восприняты последователями Вейерштрасса как более строгие.

Подход к внутренней теории множеств такой же, как и к любой новой аксиоматической системе: мы строим модель для новых аксиом, используя элементы более простой и более надежной схемы аксиом. Это очень похоже на обоснование непротиворечивости аксиом эллиптической неевклидовой геометрии , отмечая, что их можно смоделировать путем соответствующей интерпретации больших кругов на сфере в обычном трехмерном пространстве.

Фактически, с помощью подходящей модели можно дать доказательство относительной непротиворечивости IST по сравнению с ZFC: если ZFC непротиворечив, то и IST непротиворечив. Фактически, можно сделать более сильное утверждение: IST является консервативным расширением ZFC: любая внутренняя формула, которая может быть доказана в рамках внутренней теории множеств, может быть доказана в аксиомах Цермело – Френкеля только с помощью аксиомы выбора.

Связанные теории

Связанные теории были разработаны Карелом Хрбачеком и другими.

Ссылки

• Роберт, Ален (1985). Нестандартный анализ . Джон Уайли и сыновья. ISBN   0-471-91703-6 .
• Внутренняя теория множеств , глава незаконченной книги Нельсона.