Категория наборов

В математической области теории категорий категория множеств , обозначаемая как Set , — это категория которой , объектами являются множества . Стрелки или морфизмы между множествами A и B — это полные функции от A до B , а композиция морфизмов — это композиция функций .

Многие другие категории (например , категория групп с групповыми гомоморфизмами в виде стрелок) добавляют структуру объектам категории множеств и/или ограничивают стрелки функциями определенного вида.

Свойства категории множеств

Аксиомам категории удовлетворяет Set , потому что композиция функций ассоциативна и потому что каждый набор X имеет тождественную функцию id _X : X → X , которая служит тождественным элементом для композиции функций.

Эпиморфизмы отображения в Set — это сюръективные отображения, мономорфизмы — инъективные , а изоморфизмы — биективные отображения.

Пустой набор служит исходным объектом в Set с пустыми функциями в качестве морфизмов. Каждый синглтон является конечным объектом , функции которого отображают все элементы исходных наборов в один целевой элемент как морфизмы. нет нулевых объектов Таким образом, в Set .

категорий Набор является полным и сополным . Продукт в этой категории представляет собой декартово произведение множеств. Копроизведение I задается непересекающимся объединением : учитывая множества A _i , где i пробегает некоторый набор индексов , мы строим копроизведение как объединение A _i ×{ i } (декартово произведение с i служит для обеспечения того, чтобы все компоненты оставались непересекающиеся).

Сет — это прототип конкретной категории ; другие категории являются конкретными, если они «построены» на Множестве каким-то четко определенным образом.

Каждый набор из двух элементов служит классификатором подобъектов в Set . набора A задается его набором мощности , а экспоненциальный объект наборов A и B задается набором всех функций от A до B. Объект мощности Таким образом, множество является топосом (и, в частности, декартово замкнутым и точным в смысле Барра ).

Множество не является абелевым , аддитивным и не преаддитивным .

Каждое непустое множество является инъективным объектом в Set . Каждое множество является проективным объектом в Set (при условии аксиомы выбора ).

в Конечно представимые объекты Set — это конечные множества. Поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, категория Set является локально конечно представимой категорией .

Если C — произвольная категория, контравариантные функторы из C в Set часто являются важным объектом изучения. Если A является объектом C , то функтор из C в Set , который переводит X в Hom _C ( X , A ) (набор морфизмов в C из X в A ), является примером такого функтора. Если C — малая категория (т. е. совокупность ее объектов образует множество), то контравариантные функторы из C в Set вместе с естественными преобразованиями в виде морфизмов образуют новую категорию, категорию функторов , известную как категория предпучков на C. .

Основы категории наборов

В теории множеств Цермело – Френкеля совокупность всех множеств не является множеством; это следует из аксиомы основания . Один относится к коллекциям, которые не заданы как полноценные классы . Невозможно обращаться с собственными классами так же, как с множествами; в частности, нельзя написать, что эти собственные классы принадлежат коллекции (множеству или собственному классу). Это проблема, поскольку это означает, что категория множеств не может быть напрямую формализована в этой ситуации. Категории, подобные набору, коллекция объектов которых образует соответствующий класс, известны как большие категории , чтобы отличать их от маленьких категорий, объекты которых образуют набор.

Один из способов решения проблемы — работать в системе, которая придает формальный статус соответствующим классам, например, в теории множеств NBG . В этом случае категории, образованные из наборов, называются маленькими , а те (например, Set ), которые сформированы из соответствующих классов, называются большими .

Другое решение состоит в том, чтобы предположить существование вселенных Гротендика . Грубо говоря, вселенная Гротендика — это набор, который сам по себе является моделью ZF(C) (например, если набор принадлежит вселенной, его элементы и его набор сил будут принадлежать вселенной). Существование вселенных Гротендика (кроме пустого множества и множества $V_{\omega }$ всех наследственно конечных множеств ) не следует из обычных аксиом ZF; это дополнительная независимая аксиома, примерно эквивалентная существованию сильно недоступных кардиналов . Принимая эту дополнительную аксиому, можно ограничить объекты Сета элементами конкретной вселенной. (В модели нет «множества всех множеств», но все же можно рассуждать о классе U всех внутренних множеств, т. е. элементов U .)

В одном из вариантов этой схемы класс множеств представляет собой объединение всей башни вселенных Гротендика. (Это обязательно правильный класс , но каждая вселенная Гротендика представляет собой множество, поскольку она является элементом некоторой более крупной вселенной Гротендика.) Однако напрямую с «категорией всех множеств» нельзя работать. Вместо этого теоремы выражаются в терминах категории Set _U, объекты которой являются элементами достаточно большой вселенной Гротендика U что они не зависят от конкретного выбора U. , а затем показано , В качестве основы теории категорий этот подход хорошо сочетается с такой системой, как теория множеств Тарского – Гротендика, в которой нельзя напрямую рассуждать о собственных классах; его главный недостаток состоит в том, что теорема может быть верна для всего множества _U , но не для множества .

Были предложены различные другие решения и вариации вышеизложенного.

Те же проблемы возникают и с другими конкретными категориями, такими как категория групп или категория топологических пространств .

См. также

• Категория топологических пространств
• Теория множеств
• Малый набор (теория категорий)
• Категория измеряемых пространств

Ссылки

• Бласс, А. (1984). «Взаимодействие теории категорий и теории множеств» (PDF) . Математические приложения теории категорий . Современная математика. Том. 30. Американское математическое общество. стр. 5–29. дои : 10.1090/conm/030/749767 . ISBN  978-0-8218-5032-9 .
• Феферман, С. (1969). «Теоретико-множественные основы теории категорий» . Мак Лейн, 1969 год . Конспект лекций по математике. Том. 106. стр. 201–247. дои : 10.1007/BFb0059148 . ISBN  978-3-540-04625-7 .
• Ловер, Ф.В. Элементарная теория категории множеств (длинная версия) с комментариями
• Мак Лейн, С. (2006) [1969]. «Единая вселенная как основа теории категорий». В Мак Лейн, С. (ред.). Отчеты семинара III категории Среднего Запада . Конспект лекций по математике. Том. 106. Спрингер. стр. 192–200. дои : 10.1007/BFb0059147 . ISBN  978-3-540-36150-3 .
• Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5. Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .
• Парейгис, Бодо (1970), Категории и функторы , Чистая и прикладная математика, том. 39, Академик Пресс , ISBN  978-0-12-545150-5

Внешние ссылки

• A231344 Число морфизмов в полных подкатегориях Set, охватываемых {{}, {1}, {1, 2}, ..., {1, 2, ..., n}} в OEIS .