Теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя

В математики основе теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя ( NBG ) представляет собой аксиоматическую теорию множеств , которая является консервативным расширением теории множеств Цермело-Френкеля-выбора (ZFC). NBG вводит понятие класса определяемый , который представляет собой набор множеств, формулой , которой кванторы варьируются только по наборам. NBG может определять классы, которые больше наборов, например класс всех множеств и класс всех порядковых номеров . Теория множеств Морса – Келли (МК) позволяет определять классы с помощью формул, кванторы которых варьируются по классам. NBG конечно аксиоматизируема, а ZFC и MK — нет.

Ключевой теоремой NBG является теорема существования классов, которая утверждает, что для каждой формулы, кванторы которой распространяются только на множества, существует класс, состоящий из множеств, удовлетворяющих этой формуле. Этот класс построен путем отражения пошагового построения формулы с помощью классов. Поскольку все теоретико-множественные формулы строятся из двух видов атомарных формул ( членства и равенства ) и конечного числа логических символов , лишь конечное число аксиом для построения удовлетворяющих им классов требуется . Вот почему NBG конечно аксиоматизируема. Классы также используются для других конструкций, для обработки теоретико-множественных парадоксов и для формулировки аксиомы глобального выбора ZFC , которая более сильная, чем аксиома выбора .

Джон фон Нейман ввел классы в теорию множеств в 1925 году. Примитивными понятиями его теории были функция и аргумент . Используя эти понятия, он определил класс и множество. Пауль Бернейс переформулировал теорию фон Неймана, приняв класс и множество как примитивные понятия. Курт Гёдель упростил теорию Бернейса для относительной непротиворечивости доказательства аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума .

Занятия по теории множеств

Использование классов

Классы имеют несколько применений в NBG:

• Они производят конечную аксиоматизацию теории множеств.
• Они используются для формулирования «очень сильной формы аксиомы выбора ». — а именно, аксиома глобального выбора : существует функция глобального выбора. $G$ определено на классе всех непустых множеств таких, что $G(x)\in x$ для каждого непустого множества $x.$ Это сильнее, чем аксиома выбора ZFC: для каждого множества $s$ непустых множеств существует функция выбора $f$ определено на $s$ такой, что $f(x)\in x$ для всех $x\in s.$
• Теоретико -множественные парадоксы решаются путем признания того, что некоторые классы не могут быть множествами. Например, предположим, что класс $Ord$ всех порядковых номеров является множеством. Затем $Ord$ является транзитивным множеством, хорошо упорядоченным $\in$. Итак, по определению, $Ord$ является порядковым номером. Следовательно, $Ord\in Ord$, что противоречит $\in$ являющийся хорошо упорядоченным $Ord.$ Поэтому, $Ord$ это не набор. Класс, не являющийся множеством, называется собственным классом . $Ord$ это правильный класс.
• Собственные классы полезны в конструкциях. В своем доказательстве относительной непротиворечивости аксиомы глобального выбора и гипотезы обобщенного континуума Гёдель использовал подходящие классы для построения конструктивной вселенной . Он построил функцию на классе всех ординалов, которая для каждого ординала строит конструктивное множество, применяя операцию построения множества к ранее построенным множествам. Конструируемая вселенная является образом этой функции.

Схема аксиом против

Как только в язык ZFC добавлены классы, ZFC легко преобразовать в теорию множеств с классами. Во-первых, схема аксиом добавляется понимания классов. Эта схема аксиом гласит: для каждой формулы $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})$ который дает количественную оценку только по множествам, существует класс $A$ состоящий из $n$- кортежи, удовлетворяющие формуле, т.е. $\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})].$ Затем схема аксиом замены заменяется одной аксиомой , использующей класс. ZFC Наконец, аксиома экстенсиональности модифицирована для работы с классами: если два класса имеют одинаковые элементы, то они идентичны. Остальные аксиомы ZFC не изменяются.

Эта теория не является конечно аксиоматизированной. Схема замены ZFC была заменена одной аксиомой, но была введена схема аксиом понимания классов.

Чтобы создать теорию с конечным числом аксиом, схема аксиом понимания классов сначала заменяется конечным числом аксиом существования классов . Затем эти аксиомы используются для доказательства теоремы существования класса, которая подразумевает каждый экземпляр схемы аксиом. Для доказательства этой теоремы требуется всего семь аксиом существования классов, которые используются для преобразования конструкции формулы в конструкцию класса, удовлетворяющего этой формуле.

Аксиоматизация НБГ

Классы и наборы

NBG имеет два типа объектов: классы и наборы. Интуитивно понятно, что каждое множество также является классом. Есть два способа аксиоматизировать это. Бернейс использовал многосортную логику двух видов: классы и множества. Гёдель избегал сортировок, вводя примитивные предикаты: ${\mathfrak {Cls}}(A)$ для " $A$ это класс" и ${\mathfrak {M}}(A)$ для " $A$ есть множество» (по-немецки «множество» — Менге ). Он также ввел аксиомы, утверждающие, что каждое множество является классом и что если класс $A$ является членом класса, то $A$ это набор. Использование предикатов — стандартный способ устранения сортировок. Эллиот Мендельсон модифицировал подход Гёделя, сделав все классом и определив предикат множества. $M(A)$ как $\exists C(A\in C).$ Эта модификация исключает предикат класса Гёделя и его две аксиомы.

Двойной подход Бернейса на первый взгляд может показаться более естественным, но он создает более сложную теорию. В теории Бернейса каждое множество имеет два представления: одно как множество, другое как класс. Кроме того, существует два отношения принадлежности : первое, обозначаемое «ε», находится между двумя множествами; второй, обозначаемый «η», находится между множеством и классом. Эта избыточность необходима для многосортной логики, поскольку переменные разных типов располагаются в непересекающихся подобластях области дискурса .

Различия между этими двумя подходами не влияют на то, что можно доказать, но влияют на то, как пишутся утверждения. В подходе Гёделя $A\in C$ где $A$ и $C$ являются классами, является допустимым утверждением. В подходе Бернейса это утверждение не имеет смысла. Однако, если $A$ является множеством, существует эквивалентное утверждение: Определите «set $a$ представляет класс $A$", если они имеют те же наборы, что и члены, то есть $\forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A).$ Заявление $a\;\eta \;C$ где установлено $a$ представляет класс $A$ эквивалентно гёделевскому $A\in C.$

В этой статье принят подход Гёделя с модификацией Мендельсона. Это означает, что NBG является аксиоматической системой в логике предикатов первого порядка с равенством , и ее единственными примитивными понятиями являются класс и отношение принадлежности.

экстенсиональности и

Набор — это класс, который принадлежит хотя бы одному классу: $A$ является множеством тогда и только тогда, когда $\exists C(A\in C)$.Класс, который не является множеством, называется собственным классом: $A$ является собственным классом тогда и только тогда, когда $\forall C(A\notin C)$. Следовательно, каждый класс является либо множеством, либо собственным классом, и ни один класс не является одновременно и множеством.

Гёдель ввел соглашение, согласно которому переменные в верхнем регистре варьируются по классам, а переменные в нижнем регистре — по наборам. Гёдель также использовал имена, начинающиеся с заглавной буквы, для обозначения определенных классов, включая функции и отношения, определенные в классе всех множеств. В этой статье используется соглашение Гёделя. Это позволяет нам писать:

• $\exists x\,\phi (x)$ вместо $\exists x{\bigl (}\exists C(x\in C)\land \phi (x){\bigr )}$
• $\forall x\,\phi (x)$ вместо $\forall x{\bigl (}\exists C(x\in C)\implies \phi (x){\bigr )}$

Следующие аксиомы и определения необходимы для доказательства теоремы существования класса.

Аксиома экстенсиональности.   Если два класса имеют одинаковые элементы, то они идентичны.

$\forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]$ 

ZFC Эта аксиома обобщает аксиому экстенсиональности на классы.

Аксиома пары .   Если $x$ и $y$ являются множествами, то существует множество $p$ чьи единственные члены являются $x$ и $y$.

$\forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]$ 

Как и в ZFC, аксиома экстенсиональности подразумевает единственность множества $p$, что позволяет ввести обозначения $\{x,y\}.$

Упорядоченные пары определяются:

$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$

Кортежи определяются индуктивно с использованием упорядоченных пар:

$(x_{1})=x_{1},$

${\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).$

регулярности

Аксиомы существования класса будут использоваться для доказательства теоремы существования класса: для каждой формулы в $n$ свободные переменные множества, которые количественно оценивают только множества, существует класс $n$-кортежи , которые ему удовлетворяют. Следующий пример начинается с двух классов, которые являются функциями , и создает составную функцию . Этот пример иллюстрирует методы, необходимые для доказательства теоремы существования класса, которые приводят к необходимым аксиомам существования класса.

Пример 1:   Если классы $F$ и $G$ являются функциями, то составная функция $G\circ F$ определяется по формуле: $\exists t[(x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G].$ Поскольку в этой формуле есть две свободные переменные множества, $x$ и $y,$ теорема существования класса строит класс упорядоченных пар: $G\circ F\,=\,\{(x,y):\exists t[(x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G]\}.$ Поскольку эта формула построена из более простых формул с использованием конъюнкции $\land$ и экзистенциальная количественная оценка $\exists$ классов необходимы операции , которые принимают классы, представляющие более простые формулы, и создают классы, представляющие формулы с $\land$ и $\exists$. Чтобы создать класс, представляющий формулу с $\land$, пересечение используется с $x\in A\cap B\iff x\in A\land x\in B.$ Чтобы создать класс, представляющий формулу с $\exists$, домен используется с момента $x\in Dom(A)\iff \exists t[(x,t)\in A].$ Прежде чем перейти на пересечение, кортежи в $F$ и $G$ нужен дополнительный компонент, чтобы у них были одинаковые переменные. Компонент $y$ добавляется к кортежам $F$ и $x$ добавляется к кортежам $G$: $$F'=\{(x,t,y):(x,t)\in F\}\,$$ и $\,G'=\{(t,y,x):(t,y)\in G\}$ В определении $F',$ переменная $y$ не ограничивается утверждением $(x,t)\in F,$ так $y$ колеблется по классу $V$ из всех наборов. Аналогично в определении $G',$ переменная $x$ колеблется в пределах $V.$ Таким образом, необходима аксиома, которая добавляет дополнительный компонент (значения которого варьируются в пределах $V$) к кортежам данного класса. Далее переменные располагаются в том же порядке, чтобы подготовиться к пересечению: $$F''=\{(x,y,t):(x,t)\in F\}\,$$ и $\,G''=\{(x,y,t):(t,y)\in G\}$Чтобы перейти от $F'$ к $F''$ и из $G'$ к $G''$ требует двух разных перестановок , поэтому необходимы аксиомы, поддерживающие перестановки компонентов кортежа. Пересечение $F''$ и $G''$ ручки $\land$: $$F''\cap G''=\{(x,y,t):(x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G\}$$ С $(x,y,t)$ определяется как $((x,y),t)$, взяв домен $F''\cap G''$ ручки $\exists t$ и создает составную функцию: $$G\circ F=Dom(F''\cap G'')=\{(x,y):\exists t((x,t)\in F\,\land \,(t,y)\in G)\}$$ Поэтому необходимы аксиомы пересечения и области определения.

Аксиомы существования классов делятся на две группы: аксиомы, обрабатывающие примитивы языка, и аксиомы, обрабатывающие кортежи. В первой группе четыре аксиомы, во второй группе три аксиомы.

Аксиомы обработки языковых примитивов:

Членство.   Существует класс $E$ содержащий все упорядоченные пары, первый компонент которых является членом второго компонента.

$\exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!$ 

Пересечение (соединение).   Для любых двух классов $A$ и $B$, есть класс $C$ состоящее именно из множеств, принадлежащих обоим $A$ и $B$.

$\forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]$ 

Дополнение (отрицание).   Для любого класса $A$, есть класс $B$ состоящее именно из множеств, не принадлежащих $A$.

$\forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]$ 

Домен (квантор существования).   Для любого класса $A$, есть класс $B$ состоящая именно из первых компонент упорядоченных пар $A$.

$\forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]$ 

По аксиоме экстенсиональности класс $C$ в пересечении аксиомы и класса $B$ в дополнении и области аксиомы единственны. Они будут обозначаться: $A\cap B,$ $\complement A,$ и $Dom(A),$ соответственно.

Первые три аксиомы подразумевают существование пустого класса и класса всех множеств: Аксиома принадлежности подразумевает существование класса $E.$ Аксиомы пересечения и дополнения предполагают существование $E\cap \complement E$, который пуст. По аксиоме экстенсиональности этот класс уникален; это обозначается $\emptyset .$ Дополнение $\emptyset$ это класс $V$ всех множеств, что также уникально по экстенсиональности. Предикат установки $M(A)$, который определялся как $\exists C(A\in C)$, теперь переопределяется как $A\in V$ чтобы избежать количественной оценки классов.

Аксиомы обработки кортежей:

Продукт по $V$.   Для любого класса $A$, есть класс $B$ состоящая из упорядоченных пар, первый компонент которых принадлежит $A$.

$\forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]$

Круговая перестановка .   Для любого класса $A$, есть класс $B$ чьи тройки получены применением круговой перестановки $(y,z,x)\mapsto (x,y,z)$ до 3-х кортежей $A$.

$\forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]$

Транспозиция .   Для любого класса $A$, есть класс $B$ чьи тройки получены транспонированием двух последних компонентов троек $A$.

$\forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]$

По экстенсиональности произведение $V$ из аксиомы следует существование единственного класса, который обозначается через $A\times V.$ Эта аксиома используется для определения класса $V^{n}$ из всех $n$-кортежи : $V^{1}=V$ и $V^{n+1}=V^{n}\times V.\,$ Если $A$ является классом, экстенсиональность подразумевает, что $A\cap V^{n}$ это уникальный класс, состоящий из $n$-кортежи из $A.$ Например, аксиома принадлежности создает класс $E$ которые могут содержать элементы, не являющиеся упорядоченными парами, а пересечение $E\cap V^{2}$ содержит только упорядоченные пары $E$.

Аксиомы циклической перестановки и транспозиции не предполагают существования уникальных классов, поскольку они определяют только тройки классов $B.$ Указывая тройки кортежей, эти аксиомы также определяют $n$-кортежи для $n\geq 4$ с:

$$(x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).$$

Из аксиом обработки кортежей и аксиомы области определения следует следующая лемма, которая используется при доказательстве теоремы существования класса.

Кортежная лемма —

1. $$\forall A\,\exists B_{1}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(z,x,y)\in B_{1}\iff (x,y)\in A]$$
2. $$\forall A\,\exists B_{2}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,z,y)\in B_{2}\iff (x,y)\in A]$$
3. $$\forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff (x,y)\in A]$$
4. $$\forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x,y)\in A]$$

Доказательство

• Сорт $B_{3}$: Наносите продукт $V$ к $A$ производить $B_{3}.$
• Сорт $B_{2}$: применить транспонирование к $B_{3}$ производить $B_{2}.$
• Сорт $B_{1}$: применить круговую перестановку к $B_{3}$ производить $B_{1}.$
• Сорт $B_{4}$: применить круговую перестановку к $B_{2}$, затем примените домен для создания $B_{4}.$

Для доказательства теоремы существования класса необходима еще одна аксиома: аксиома регулярности . Поскольку существование пустого класса доказано, дается обычная формулировка этой аксиомы.

Аксиома регулярности .   В каждом непустом множестве есть хотя бы один элемент, с которым оно не имеет общего.

$$\forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].$$

Из этой аксиомы следует, что множество не может принадлежать самому себе: предположим, что $x\in x$ и пусть $a=\{x\}.$ Затем $x\cap a\neq \emptyset$ с $x\in x\cap a.$ Это противоречит аксиоме регулярности, поскольку $x$ является единственным элементом в $a.$ Поэтому, $x\notin x.$ Аксиома регулярности также запрещает бесконечные нисходящие последовательности членства множеств:

$$\cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.$$

Гёдель заявил о регулярности занятий, а не наборов в своей монографии 1940 года, основанной на лекциях, прочитанных в 1938 году. В 1939 году он доказал, что регулярность множеств влечет за собой регулярность классов.

существования

Теорема существования класса . Пусть $\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})$ быть формулой, которая количественно определяет только множества и не содержит никаких свободных переменных, кроме $x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}$ (не обязательно все это). Тогда для всех $Y_{1},\dots ,Y_{m}$, существует уникальный класс $A$ из $n$-кортежи такие, что:

$$\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].$$

Класс $A$ обозначается $\{(x_{1},\dots ,x_{n}):\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})\}.$

Доказательство теоремы будет проводиться в два этапа:

1. Правила преобразования используются для преобразования заданной формулы. $\phi$ в эквивалентную формулу, упрощающую индуктивную часть доказательства. Например, единственными логическими символами в преобразованной формуле являются $\neg$, $\land$, и $\exists$, поэтому индукция обрабатывает логические символы всего в трех случаях.
2. Теорема существования класса доказана индуктивно для преобразованных формул. Руководствуясь структурой преобразованной формулы, аксиомы существования класса используются для создания уникального класса $n$-кортежи, удовлетворяющие формуле.

Правила трансформации.   В правилах 1 и 2 ниже: $\Delta$ и $\Gamma$ обозначают переменные множества или класса. Эти два правила исключают все вхождения переменных класса перед $\in$ и все случаи равенства. Каждый раз, когда правило 1 или 2 применяется к подформуле, $i$ выбирается так, что $z_{i}$ отличается от других переменных в текущей формуле. Три правила повторяются до тех пор, пока не останется подформул, к которым их можно применить. В результате получается формула, построенная только с помощью $\neg$, $\land$, $\exists$, $\in$, задать переменные и переменные класса $Y_{k}$ где $Y_{k}$ не появляется перед $\in$.

1. $\,Y_{k}\in \Gamma$ превращается в $\exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).$
2. Экстенсиональность используется для преобразования $\Delta =\Gamma$ в $\forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).$
3. Логические тождества используются для преобразования подформул, содержащих $\lor ,\implies ,\iff ,$ и $\forall$ к подформулам, которые используют только $\neg ,\land ,$ и $\exists .$

Правила преобразования: связанные переменные .   Рассмотрим формулу сложной функции из примера 1, в которой ее свободные переменные заменены на $x_{1}$ и $x_{2}$: $\exists t[(x_{1},t)\in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].$ Индуктивное доказательство удалит $\exists t$, что дает формулу $(x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.$ Однако, поскольку теорема существования класса сформулирована для индексированных переменных, эта формула не имеет вида, ожидаемого по предположению индукции . Эта проблема решается заменой переменной $t$ с $x_{3}.$ Связанные переменные внутри вложенных кванторов обрабатываются путем увеличения нижнего индекса на единицу для каждого последующего квантора. Это приводит к правилу 4, которое должно применяться после других правил, поскольку правила 1 и 2 создают количественные переменные.

4. Если формула не содержит свободных переменных, кроме $x_{1},\dots ,x_{n},$ затем связанные переменные, которые вложены внутри $q$ кванторы заменяются на $x_{n+q}$. Эти переменные имеют (квантификатор) глубину вложенности. $q$.

Пример 2:   Правило 4 применяется к формуле $\phi (x_{1})$ определяющий класс, состоящий из всех множеств вида $\{\emptyset ,\{\emptyset ,\dots \},\dots \}.$ То есть множества, содержащие хотя бы $\emptyset$ и набор, содержащий $\emptyset$ - например, $\{\emptyset ,\{\emptyset ,a,b,c\},d,e\}$ где $a,b,c,d,$ и $e$ представляют собой наборы. $${\begin{aligned}\phi (x_{1})\,&=\,\exists u\;\,[\,u\in x_{1}\,\land \,\neg \exists v\;\,(\;v\,\in \,u\,)]\,\land \,\,\exists w\;{\bigl (}w\in x_{1}\,\land \,\exists y\;\,[(\;y\,\in w\;\land \;\neg \exists z\;\,(\;z\,\in \,y\,)]{\bigr )}\\\phi _{r}(x_{1})\,&=\,\exists x_{2}[x_{2}\!\in \!x_{1}\,\land \,\neg \exists x_{3}(x_{3}\!\in \!x_{2})]\,\land \,\,\exists x_{2}{\bigl (}x_{2}\!\in \!x_{1}\,\land \,\exists x_{3}[(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \,\neg \exists x_{4}(x_{4}\!\in \!x_{3})]{\bigr )}\end{aligned}}$$ С $x_{1}$ единственная свободная переменная, $n=1.$ Количественная переменная $x_{3}$ появляется дважды в $x_{3}\in x_{2}$ при глубине вложения 2. Его индекс равен 3, потому что $n+q=1+2=3.$ Если две области кванторов находятся на одинаковой глубине вложенности, они либо идентичны, либо не пересекаются. Два случая $x_{3}$ находятся в непересекающихся областях кванторов, поэтому они не взаимодействуют друг с другом.

Доказательство теоремы существования класса.   Доказательство начинается с применения правил преобразования к заданной формуле для получения преобразованной формулы. Поскольку эта формула эквивалентна данной формуле, доказательство завершается доказательством теоремы существования классов преобразованных формул.

Доказательство теоремы существования класса преобразованных формул

В доказательстве используется следующая лемма.

Лемма о расширении — Пусть $1\leq i<j\leq n,$ и пусть $P$ быть классом, содержащим все упорядоченные пары $(x_{i},x_{j})$ удовлетворяющий $R(x_{i},x_{j}).$ То есть, $P\supseteq \{(x_{i},x_{j}):R(x_{i},x_{j})\}.$ Затем $P$ может быть расширен до уникального класса $Q$ из $n$- кортежи удовлетворяющие $R(x_{i},x_{j})$. То есть, $Q=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):R(x_{i},x_{j})\}.$

Доказательство:

1. Если $i=1,$ позволять $P_{1}=P.$
   В противном случае, $i>1,$ поэтому компоненты добавляются перед $x_{i}{\text{:}}$ применить о кортеже к утверждение 1 леммы $P$ с $z=(x_{1},\dots ,x_{i-1}).$ Это создает класс $P_{1}$ содержащий все $(i+1)$-кортежи
   $$((x_{1},\dots ,x_{i-1}),x_{i},x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{j})$$
   удовлетворяющий $R(x_{i},x_{j}).$
2. Если $j=i+1,$ позволять $P_{2}=P_{1}.$
   В противном случае, $j>i+1,$ поэтому компоненты добавляются между $x_{i}$ и $x_{j}{\text{:}}$ добавить компоненты $x_{i+1},\dots ,x_{j-1}$ один за другим, используя утверждение 2 леммы о кортеже. Это создает класс $P_{2}$ содержащий все $j$-кортежи
   $$(((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{i}),x_{i+1}),\cdots ),x_{j-1}),x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{j})$$
   удовлетворяющий $R(x_{i},x_{j}).$
3. Если $j=n,$ позволять $P_{3}=P_{2}.$
   В противном случае, $j<n,$ поэтому компоненты добавляются после $x_{j}{\text{:}}$ добавить компоненты $x_{j+1},\dots ,x_{n}$ один за другим, используя утверждение 3 леммы о кортеже. Это создает класс $P_{3}$ содержащий все $n$-кортежи
   $$((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{j}),x_{j+1}),\cdots ),x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})$$
   удовлетворяющий $R(x_{i},x_{j}).$
4. Позволять $Q=P_{3}\cap V^{n}.$ Экстенсиональность подразумевает, что $Q$ это уникальный класс $n$- кортежи удовлетворяющие $R(x_{i},x_{j}).$

Теорема существования класса для преобразованных формул . Пусть $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})$ быть формулой, которая:

1. не содержит свободных переменных, кроме $x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m}$;
2. содержит только $\in$, $\neg$, $\land$, $\exists$, заданные переменные и переменные класса $Y_{k}$ где $Y_{k}$ не появляется перед $\in$ ;
3. только количественно определяет заданные переменные $x_{n+q}$ где $q$ – глубина вложенности кванторов переменной.

Тогда для всех $Y_{1},\dots ,Y_{m}$, существует уникальный класс $A$ из $n$-кортежи такие, что:

$$\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].$$

Доказательство: Базовый шаг: $\phi$ имеет 0 логических символов. Из гипотезы теоремы следует, что $\phi$ представляет собой атомную формулу вида $x_{i}\in x_{j}$ или $x_{i}\in Y_{k}.$

Случай 1: Если $\phi$ является $x_{i}\in x_{j}$, мы строим класс $E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\},$ уникальный класс $n$- кортежи удовлетворяющие $x_{i}\in x_{j}.$

Случай а: $\phi$ является $x_{i}\in x_{j}$ где $i<j.$ Аксиома членства порождает класс $P$ содержащий все упорядоченные пары $(x_{i},x_{j})$ удовлетворяющий $x_{i}\in x_{j}.$ Примените лемму о разложении к $P$ чтобы получить $E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.$

Случай б: $\phi$ является $x_{i}\in x_{j}$ где $i>j.$ Аксиома членства порождает класс $P$ содержащий все упорядоченные пары $(x_{i},x_{j})$ удовлетворяющий $x_{i}\in x_{j}.$ Примените утверждение 4 леммы о кортежах к $P$ чтобы получить $P'$ содержащий все упорядоченные пары $(x_{j},x_{i})$ удовлетворяющий $x_{i}\in x_{j}.$ Примените лемму о разложении к $P'$ чтобы получить $E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.$

Случай с: $\phi$ является $x_{i}\in x_{j}$ где $i=j.$ Поскольку эта формула неверна по аксиоме регулярности , нет $n$-кортежи удовлетворяют этому, поэтому $E_{i,j,n}=\emptyset .$

Случай 2: Если $\phi$ является $x_{i}\in Y_{k}$, мы строим класс $E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\},$ уникальный класс $n$- кортежи удовлетворяющие $x_{i}\in Y_{k}.$

Случай а: $\phi$ является $x_{i}\in Y_{k}$ где $i<n.$ Примените аксиому произведения $V$ к $Y_{k}$ создать класс $P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i+1}):x_{i}\in Y_{k}\}.$ Примените лемму о разложении к $P$ чтобы получить $E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.$

Случай б: $\phi$ является $x_{i}\in Y_{k}$ где $i=n>1.$ Примените аксиому произведения $V$ к $Y_{k}$ создать класс $P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i-1}):x_{i}\in Y_{k}\}.$ Примените утверждение 4 леммы о кортежах к $P$ чтобы получить $P'=V\times Y_{k}=\{(x_{i-1},x_{i}):x_{i}\in Y_{k}\}.$ Примените лемму о разложении к $P'$ чтобы получить $E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.$

Случай с: $\phi$ является $x_{i}\in Y_{k}$ где $i=n=1.$ Затем $E_{i,Y_{k},n}=Y_{k}.$

Индуктивный шаг: $\phi$ имеет $k$ логические символы, где $k>0$. Предположим по индукционному предположению, что теорема верна для всех $\psi$ с менее чем $k$ логические символы. Теперь мы докажем теорему для $\phi$ с $k$ логические символы. В этом доказательстве список переменных класса $Y_{1},\dots ,Y_{m}$ сокращенно ${\vec {Y}}$, поэтому формула, например $\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})$— можно записать как $\phi (x_{1},\dots ,x_{n},{\vec {Y}}).$

Случай 1: $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).$ С $\psi$ имеет $k-1$ логических символов, гипотеза индукции предполагает, что существует единственный класс $A$ из $n$-кортежи такие, что:

$$\quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).$$

По аксиоме дополнения существует класс $\complement A$ такой, что $\forall u\,[u\in \complement A\iff \neg (u\in A)].$ Однако, $\complement A$ содержит элементы, отличные от $n$-кортежи, если $n>1.$ Чтобы устранить эти элементы, используйте $\complement _{V^{n}}A=\,$$\complement A\cap V^{n}=\,$$V^{n}\setminus A,$ которое является дополнением относительно класса $V^{n}$ из всех $n$-кортежи. Тогда, в силу экстенсиональности, $\complement _{V^{n}}A$ это уникальный класс $n$-кортежи такие, что:

$${\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \complement _{V^{n}}A&&\iff \neg [(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A]\\&&&\iff \neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}$$

Случай 2: $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).$ Поскольку оба $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$ иметь меньше, чем $k$ логических символов, гипотеза индукции предполагает, что существуют уникальные классы $n$-кортежи, $A_{1}$ и $A_{2}$, такой, что:

${\begin{aligned}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\\&(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\iff \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{aligned}}$

Согласно аксиомам пересечения и экстенсиональности, $A_{1}\cap A_{2}$ это уникальный класс $n$-кортежи такие, что:

$${\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\cap A_{2}&&\iff (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\land (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\\&&&\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}$$

Случай 3: $\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\exists x_{n+1}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).$ Глубина вложенности кванторов $\psi$ на один больше, чем у $\phi$ и дополнительная свободная переменная $x_{n+1}.$ С $\psi$ имеет $k-1$ логических символов, гипотеза индукции предполагает, что существует единственный класс $A$ из $(n+1)$-кортежи такие, что:

$$\quad (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).$$

Согласно аксиомам области и экстенсиональности, $Dom(A)$ это уникальный класс $n$-кортежи такие, что:

$${\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Dom(A)&&\iff \exists x_{n+1}[((x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}[(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}$$

Гёдель указывал, что теорема существования класса «является метатеоремой , то есть теоремой о системе [NBG], а не в системе…» Это теорема о НБГ, поскольку в метатеории она доказывается индукцией по формулам НБГ. Кроме того, его доказательство — вместо использования конечного числа аксиом NBG — индуктивно описывает, как использовать аксиомы NBG для построения класса, удовлетворяющего заданной формуле. Для каждой формулы это описание можно превратить в конструктивное доказательство существования, которое есть в NBG. Следовательно, эта метатеорема может привести к доказательствам NBG, которые заменяютиспользование теоремы существования класса NBG.

Рекурсивная кратко компьютерная программа описывает построение класса по заданной формуле. Определение этой программы не зависит от доказательства теоремы существования класса. Однако доказательство необходимо, чтобы доказать, что класс, построенный программой, удовлетворяет заданной формуле и построен с использованием аксиом. Эта программа написана на псевдокоде , использующем Паскаля в стиле оператор Case .

$${\begin{array}{l}\mathbf {function} \;{\text{Class}}(\phi ,\,n)\\\quad {\begin{array}{rl}\mathbf {input} \!:\;\,&\phi {\text{ is a transformed formula of the form }}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m});\\&n{\text{ specifies that a class of }}n{\text{-tuples is returned.}}\\\;\;\;\;\mathbf {output} \!:\;\,&{\text{class }}A{\text{ of }}n{\text{-tuples satisfying }}\\&\,\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].\end{array}}\\\mathbf {begin} \\\quad \mathbf {case} \;\phi \;\mathbf {of} \\\qquad {\begin{alignedat}{2}x_{i}\in x_{j}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,j,n};&&{\text{// }}E_{i,j,n}\;\,=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}\\x_{i}\in Y_{k}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,Y_{k},n};&&{\text{// }}E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}\\\neg \psi :\;\;&\mathbf {return} \;\,\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n);&&{\text{// }}\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n)=V^{n}\setminus {\text{Class}}(\psi ,\,n)\\\psi _{1}\land \psi _{2}:\;\;&\mathbf {return} \;\,{\text{Class}}(\psi _{1},\,n)\cap {\text{Class}}(\psi _{2},\,n);&&\\\;\;\;\;\,\exists x_{n+1}(\psi ):\;\;&\mathbf {return} \;\,Dom({\text{Class}}(\psi ,\,n+1));&&{\text{// }}x_{n+1}{\text{ is free in }}\psi ;{\text{ Class}}(\psi ,\,n+1)\\&\ &&{\text{// returns a class of }}(n+1){\text{-tuples}}\end{alignedat}}\\\quad \mathbf {end} \\\mathbf {end} \end{array}}$$

Позволять $\phi$ быть формулой примера 2 . Вызов функции $A=Class(\phi ,1)$ генерирует класс $A,$ который сравнивается ниже с $\phi .$ Это показывает, что конструкция класса $A$ отражает конструкцию его определяющей формулы $\phi .$

$${\begin{alignedat}{2}&\phi \;&&=\;\;\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{3}\;(x_{3}\!\in \!x_{2}))\,\land \;\;\,\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\,\exists x_{3}\,(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{4}\;(x_{4}\!\in \!x_{3})))\\&A\;&&=Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \;\complement _{V^{2}}\,Dom\,(\;E_{3,2,3}\;))\,\cap \,Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \,Dom\,(\;\,E_{3,2,3}\;\cap \;\complement _{V^{3}}\,Dom\,(\;E_{4,3,4}\;)))\end{alignedat}}$$

теоремы

Гёдель распространил теорему существования классов на формулы $\phi$ содержащие отношения над классами (например, $Y_{1}\subseteq Y_{2}$ и унарное отношение $M(Y_{1})$), специальные классы (такие как $Ord$ ) и операции (например, $(x_{1},x_{2})$ и $x_{1}\cap Y_{1}$). Чтобы расширить теорему о существовании классов, формулы, определяющие отношения, специальные классы и операции, должны давать количественную оценку только над множествами. Затем $\phi$ может быть преобразована в эквивалентную формулу, удовлетворяющую условию теоремы существования класса .

Следующие определения определяют, как формулы определяют отношения, специальные классы и операции:

1. Отношение $R$ определяется: $R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).$
2. Особый класс $C$ определяется: $u\in C\iff \psi _{C}(u).$
3. Операция $P$ определяется: $u\in P(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}).$

Термин определяется :

1. Переменные и специальные классы — это термины.
2. Если $P$ это операция с $k$ аргументы и $\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}$ являются терминами, то $P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})$ это термин.

Следующие правила преобразования исключают отношения, специальные классы и операции. Каждый раз, когда к подформуле применяется правило 2b, 3b или 4, $i$ выбирается так, что $z_{i}$ отличается от других переменных в текущей формуле. Правила повторяются до тех пор, пока не останется подформул, к которым их можно применить. $\,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,$ и $\Delta$ обозначать термины.

1. Отношение $R(Z_{1},\dots ,Z_{k})$ заменяется его определяющей формулой $\psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).$
2. Позволять $\psi _{C}(u)$ быть определяющей формулой для специального класса $C.$
   1. $\Delta \in C$ заменяется на $\psi _{C}(\Delta ).$
   2. $C\in \Delta$ заменяется на $\exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ].$
3. Позволять $\psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k})$ быть определяющей формулой для операции $P(Z_{1},\dots ,Z_{k}).$
   1. $\Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})$ заменяется на $\psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}).$
   2. $P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta$ заменяется на $\exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ].$
4. Экстенсиональность используется для преобразования $\Delta =\Gamma$ в $\forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).$

Пример 3:   Преобразование $Y_{1}\subseteq Y_{2}.$ $Y_{1}\subseteq Y_{2}\iff \forall z_{1}(z_{1}\in Y_{1}\implies z_{1}\in Y_{2})\quad {\text{(rule 1)}}$

Пример 4:   Преобразование $x_{1}\cap Y_{1}\in x_{2}.$ ${\begin{alignedat}{2}x_{1}\cap Y_{1}\in x_{2}&\iff \exists z_{1}[z_{1}=x_{1}\cap Y_{1}\,\land \,z_{1}\in x_{2}]&&{\text{(rule 3b)}}\\&\iff \exists z_{1}[\forall z_{2}(z_{2}\in z_{1}\iff z_{2}\in x_{1}\cap Y_{1})\,\land \,z_{1}\in x_{2}]&&{\text{(rule 4)}}\\&\iff \exists z_{1}[\forall z_{2}(z_{2}\in z_{1}\iff z_{2}\in x_{1}\land z_{2}\in Y_{1})\,\land \,z_{1}\in x_{2}]\quad &&{\text{(rule 3a)}}\\\end{alignedat}}$ Этот пример иллюстрирует, как правила преобразования работают вместе, чтобы исключить операцию.

Теорема существования класса (расширенная версия) — Пусть $\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})$ быть формулой, которая количественно определяет только множества, не содержит никаких свободных переменных, кроме $x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}$и может содержать отношения, специальные классы и операции, определяемые формулами, которые определяют количественно только над множествами. Тогда для всех $Y_{1},\dots ,Y_{m},$ существует уникальный класс $A$ из $n$-кортежи такие, что

$$\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].$$

Доказательство

Примените правила преобразования к $\phi$ для создания эквивалентной формулы, не содержащей отношений, специальных классов или операций. Эта формула удовлетворяет условию теоремы существования класса. Поэтому для всех $Y_{1},\dots ,Y_{m},$ есть уникальный класс $A$ из $n$- кортежи удовлетворяющие

$$\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].$$

Установить аксиомы

Аксиомы спаривания и регулярности, необходимые для доказательства теоремы существования классов, были приведены выше. NBG содержит еще четыре аксиомы набора. Три из этих аксиом относятся к операциям классов, применяемым к множествам.

Определение.   $F$ является функцией, если

$$F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land \,(x,z)\in F\implies y=z].$$

В теории множеств определение функции не требует указания области определения или кодомена функции (см. Функция (теория множеств) ). Определение функции NBG обобщает определение ZFC с набора упорядоченных пар на класс упорядоченных пар.

Определения ZFC операций над множествами image , Union и Power Set также обобщаются на операции классов. Образ класса $A$ под функцией $F$ является $F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}.$ Это определение не требует, чтобы $A\subseteq Dom(F).$ Союз класса $A$ является $\cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}.$ Класс мощности $A$ является ${\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}.$ Расширенная версия теоремы существования классов подразумевает существование этих классов. Аксиомы замены, объединения и степенного множества подразумевают, что когда эти операции применяются к множествам, они создают множества.

Аксиома замены.   Если $F$ это функция и $a$ это набор, то $F[a]$, образ ​ $a$ под $F$, представляет собой набор.

$$\forall F\,\forall a\,[F{\text{ is a function}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].$$

Не имея требования $A\subseteq Dom(F)$ в определении $F[A]$ дает более сильную аксиому замены, которая используется в следующем доказательстве.

NBG Теорема ( аксиома разделения ) — Если $a$ представляет собой набор и $B$ является подклассом $a,$ затем $B$ это набор.

Доказательство

Теорема существования класса строит ограничение тождественной функции на $B$: $I{\upharpoonright _{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}.$ Поскольку образ $a$ под $I{\upharpoonright _{B}}$ является $B$, из аксиомы замены следует, что $B$ это набор. Это доказательство зависит от определения образа, не имеющего требования $a\subseteq Dom(F)$ с $Dom(I{\upharpoonright _{B}})=B\subseteq a$ скорее, чем $a\subseteq Dom(I{\upharpoonright _{B}}).$

Аксиома союза.   Если $a$ есть множество, то существует множество, содержащее $\cup a.$

$$\forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\implies x\in b\,].$$

Аксиома набора мощности.   Если $a$ есть множество, то существует множество, содержащее ${\mathcal {P}}(a).$

$\forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).$

Теорема — Если $a$ это набор, то $\cup a$ и ${\mathcal {P}}(a)$ представляют собой наборы.

Доказательство

Аксиома союза гласит, что $\cup a$ является подклассом множества $b$, поэтому из аксиомы разделения следует $\cup a$ это набор. Аналогично, аксиома набора мощности гласит, что ${\mathcal {P}}(a)$ является подклассом множества $b$, поэтому из аксиомы разделения следует, что ${\mathcal {P}}(a)$ это набор.

Аксиома бесконечности.   Существует непустое множество $a$ такой, что для всех $x$ в $a$, существует $y$ в $a$ такой, что $x$ является правильным подмножеством $y$.

$$\exists a\,[\exists u(u\in a)\,\land \,\forall x(x\in a\implies \exists y(y\in a\,\land \,x\subset y))].$$

Аксиомы бесконечности и замены доказывают существование пустого множества . При обсуждении аксиом существования класса существование пустого класса $\emptyset$ было доказано. Теперь мы докажем, что $\emptyset$ это набор. Пусть функция $F=\emptyset$ и пусть $a$ — множество, заданное аксиомой бесконечности. При замене изображение $a$ под $F$, что равно $\emptyset$, представляет собой набор.

Аксиома бесконечности NBG подразумевается аксиомой бесконечности ZFC : $\,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)].\,$ Первое соединение аксиомы ZFC, $\emptyset \in a$, подразумевает первое соединение аксиомы НБГ. Второе соединение аксиомы ZFC: $\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)$, подразумевает второе соединение аксиомы НБГ, поскольку $x\subset x\cup \{x\}.$ Чтобы доказать аксиому бесконечности ZFC на основе аксиомы бесконечности NBG, требуются некоторые другие аксиомы NBG (см. Слабая аксиома бесконечности ).

Аксиома глобального выбора

Концепция класса позволяет NBG иметь более сильную аксиому выбора, чем ZFC. Функция выбора – это функция $f$ определено на множестве $s$ непустых множеств таких, что $f(x)\in x$ для всех $x\in s.$ Аксиома выбора ZFC утверждает, что существует функция выбора для каждого набора непустых множеств. Функция глобального выбора – это функция $G$ определено на классе всех непустых множеств таких, что $G(x)\in x$ для каждого непустого множества $x.$ Аксиома глобального выбора утверждает, что существует функция глобального выбора. Из этой аксиомы следует аксиома выбора ZFC, поскольку для каждого набора $s$ непустых множеств, $G\vert _{s}$ ( ограничение ​ $G$ к $s$) — функция выбора для $s.$ В 1964 году Уильям Б. Истон доказал, что глобальный выбор сильнее аксиомы выбора, используя принуждение для построения модели , которая удовлетворяет аксиоме выбора и всем аксиомам NBG, кроме аксиомы глобального выбора. Аксиома глобального выбора эквивалентна тому, что каждый класс имеет хороший порядок, а аксиома выбора ZFC эквивалентна каждому множеству, имеющему хороший порядок.

Аксиома глобального выбора.   Существует функция, которая выбирает элемент из каждого непустого множества.

$\exists G\,[G{\text{ is a function}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].$

История

История подходов, которые привели к теории множеств NBG

фон Неймана

Фон Нейман опубликовал вступительную статью о своей системе аксиом в 1925 году. В 1928 году он представил подробное описание своей системы. Фон Нейман основал свою систему аксиом на двух областях примитивных объектов: функциях и аргументах. Эти домены перекрываются — объекты, находящиеся в обоих доменах, называются функциями-аргументами. Функции соответствуют классам в NBG, а функции-аргументы соответствуют наборам. Примитивная операция фон Неймана — это применение функции , обозначаемое [ a , x ], а не a ( x ), где a — функция, а x — аргумент. Эта операция создает аргумент. Фон Нейман определил классы и множества, используя функции и функции-аргументы, которые принимают только два значения A и B. : Он определил x ∈ a, [ a , x ] ≠ A. если

На работу фон Неймана в теории множеств повлияли Георга Кантора статьи , аксиомы теории множеств Эрнста Цермело 1908 года и критика теории множеств Цермело 1922 года , которые были даны независимо Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом . аксиомы Цермело не могут доказать существование множества { , _{И Френкель, и Сколем указывали ,} Z1 , _Z Z2 , ₁ ...}, где Z0 _а — множество натуральных чисел , Zn _{+ Z0} — множество степенное что _н . Затем они ввели аксиому замены, которая гарантировала бы существование таких множеств. Однако они не хотели принимать эту аксиому: Френкель заявил, что «Замена была слишком сильной аксиомой для «общей теории множеств»», в то время как «Скулем только писал, что« мы могли бы ввести Замену ».

Фон Нейман работал над проблемами теории множеств Цермело и предложил решения некоторых из них:

• Теория ординалов
  • Кантора Проблема: теория порядковых чисел не может быть развита в теории множеств Цермело, поскольку в ней отсутствует аксиома замены.
  • Решение: Фон Нейман восстановил теорию Кантора, определив ординалы с использованием множеств, которые хорошо упорядочены с помощью отношения £: и используя аксиому замены для доказательства ключевых теорем об ординалах, например, о том, что каждое хорошо упорядоченное множество порядково-изоморфно ординалу. В отличие от Френкеля и Сколема, фон Нейман подчеркивал, насколько важна аксиома замены для теории множеств: «На самом деле, я считаю, что никакая теория ординалов вообще невозможна без этой аксиомы».
• Критерий, определяющий классы, которые слишком велики для создания наборов.
  • Проблема: Цермело не предоставил такого критерия. Его теория множеств избегает больших классов, которые приводят к парадоксам , но не учитывает многие множества, такие как упомянутое Френкелем и Сколемом.
  • Решение: Фон Нейман ввел критерий: класс слишком велик, чтобы быть множеством тогда и только тогда, когда его можно отобразить в класс V всех множеств. Фон Нейман понял, что теоретико-множественных парадоксов можно избежать, не позволяя таким большим классам быть членами какого-либо класса. Объединив это ограничение со своим критерием, он получил свою ограничения размера : класс C не является членом какого-либо класса тогда и только тогда, когда C может быть отображен на V. аксиому
• Конечная аксиоматизация
  • Проблема: Цермело использовал неточное понятие «определенной пропозициональной функции » в своей аксиоме разделения .
  • Решения: Скулем представил схему аксиом разделения , которая позже была использована в ZFC, а Френкель предложил эквивалентное решение. Однако Цермело отверг оба подхода, «особенно потому, что они неявно включают концепцию натурального числа, которая, по мнению Цермело, должна основываться на теории множеств». Фон Нейман избегал схем аксиом , формализуя понятие «определенной пропозициональной функции» с помощью своих функций, для построения которых требуется только конечное число аксиом. Это привело к тому, что его теория множеств имела конечное число аксиом. В 1961 году Ричард Монтегю доказал, что ZFC не может быть конечно аксиоматизирован.
• Аксиома регулярности
  • Проблема: теория множеств Цермело начинается с пустого множества и бесконечного множества и повторяет аксиомы спаривания, объединения, степенного множества, разделения и выбора для создания новых множеств. Однако это не ограничивает наборы только ими. Например, он допускает наборы, которые не являются обоснованными , например набор x, удовлетворяющий x ∈ x .
  • Решения: Френкель ввел аксиому, исключающую эти множества. Фон Нейман проанализировал аксиому Френкеля и заявил, что она не была «точно сформулирована», но приблизительно говорила бы: «Помимо множеств... существование которых абсолютно требуется аксиомами, других множеств не существует». Фон Нейман предложил аксиому регулярности как способ исключения необоснованных множеств, но не включил ее в свою систему аксиом. В 1930 году Цермело первым опубликовал систему аксиом, включающую регулярность.

фон Неймана

Джон фон Нейман

В 1929 году фон Нейман опубликовал статью, содержащую аксиомы, которые привели бы к NBG. Эта статья была мотивирована его беспокойством по поводу непротиворечивости аксиомы ограничения размера. Он заявил, что эта аксиома «делает очень многое, даже слишком многое». Помимо применения аксиом разделения и замены и теоремы о хорошем порядке , из этого также следует, что любой класс, мощность которого меньше мощности V, является множеством. Фон Нейман подумал, что этот последний вывод выходит за рамки канторианской теории множеств, и пришел к выводу: «Поэтому мы должны обсудить, не является ли ее [аксиома] последовательность даже более проблематичной, чем аксиоматизация теории множеств, которая не выходит за рамки необходимой канторианской структуры».

Фон Нейман начал свое исследование непротиворечивости с введения своей системы аксиом 1929 года, которая содержит все аксиомы его системы аксиом 1925 года, за исключением аксиомы ограничения размера. Он заменил эту аксиому двумя ее следствиями: аксиомой замены и аксиомой выбора. Аксиома выбора фон Неймана гласит: «Каждое отношение R имеет подкласс, который является функцией с той же областью определения, что и R ».

Пусть S — система аксиом фон Неймана 1929 года. Фон Нейман ввел систему аксиом S + Регулярность (которая состоит из S и аксиомы регулярности), чтобы продемонстрировать, что его система 1925 года непротиворечива относительно S . Он доказал:

1. Если S непротиворечиво, то S + Регулярность непротиворечиво.
2. S +Регулярность подразумевает аксиому ограничения размера. Поскольку это единственная аксиома его системы аксиом 1925 года, которой S нет в + Регулярность, S + Регулярность подразумевает все аксиомы его системы 1925 года.

Эти результаты подразумевают: если S непротиворечиво, то система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива. Доказательство: если S непротиворечиво, то S + Regularity непротиворечиво (результат 1). Используя доказательство от противного , предположим, что система аксиом 1925 года противоречива, или, что то же самое: система аксиом 1925 года подразумевает противоречие. Поскольку из S + Регулярность следует аксиома системы 1925 года (результат 2), из S + Регулярность также следует противоречие. Однако это противоречит непротиворечивости S + Регулярности. Следовательно, если S непротиворечиво, то система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива.

Поскольку S — это его система аксиом 1929 года, система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива по отношению к его системе аксиом 1929 года, которая ближе к канторианской теории множеств. Основными различиями между канторианской теорией множеств и системой аксиом 1929 года являются классы и аксиома выбора фон Неймана. Система аксиом S + Regularity была модифицирована Бернейсом и Гёделем для создания эквивалентной системы аксиом NBG.

Система аксиом Бернейса

Пол Бернейс

В 1929 году Пауль Бернейс начал модифицировать новую систему аксиом фон Неймана, взяв классы и множества в качестве примитивов. Он опубликовал свою работу в серии статей, выходивших с 1937 по 1954 год. Бернейс заявил, что:

Цель модификации системы фон Неймана — оставаться ближе к структуре исходной системы Цермело и в то же время использовать некоторые теоретико-множественные концепции логики Шредера и Principia Mathematica, которые стали знакомы логикам. Как будет видно, такое расположение приводит к значительному упрощению.

Бернейс обрабатывал множества и классы с помощью двухсортовой логики и ввел два примитива членства: один для членства в множествах, а другой для членства в классах. С помощью этих примитивов он переписал и упростил аксиомы фон Неймана 1929 года. Бернейс также включил аксиому регулярности в свою систему аксиом.

Гёделя (

Курт Гёдель,      ок. 1926 г.

В 1931 году Бернейс отправил письмо, содержащее свою теорию множеств, Курту Гёделю . Гёдель упростил теорию Бернейса, сделав каждое множество классом, что позволило ему использовать только один вид и один примитив членства. Он также ослабил некоторые аксиомы Бернейса и заменил аксиому выбора фон Неймана эквивалентной аксиомой глобального выбора. Гёдель использовал свои аксиомы в своей монографии 1940 года об относительной последовательности глобального выбора и гипотезе обобщенного континуума.

Было указано несколько причин, по которым Гёдель выбрал NBG для своей монографии:

• Гёдель привел математическое обоснование: глобальный выбор NBG дает более сильную теорему о непротиворечивости: «Эта более сильная форма аксиомы [выбора], если она согласуется с другими аксиомами, подразумевает, конечно, что более слабая форма также непротиворечива».
• Роберт Соловей предположил: «Я предполагаю, что он [Гёдель] хотел избежать обсуждения технических деталей, связанных с разработкой зачатков теории моделей в рамках аксиоматической теории множеств».
• Кеннет Кунен объяснил, почему Гёдель избегает этой дискуссии: «Существует также гораздо более комбинаторный подход к L [ конструируемой вселенной ], разработанный… [Гёделем в его монографии 1940 года] в попытке объяснить свою работу не- логики... Достоинство этого подхода состоит в том, что он удаляет все остатки логики из трактовки L ».
• Чарльз Парсонс обосновал философское обоснование выбора Гёделя: «Эта точка зрения [что «свойство множества» является примитивом теории множеств] может быть отражено в выборе Гёделем теории с переменными класса в качестве основы для… [его монографии] ."

Достижения Гёделя вместе с деталями его презентации привели к известности, которой NBG будет пользоваться в течение следующих двух десятилетий. В 1963 году Пол Коэн доказал свои доказательства независимости для ZF с помощью некоторых инструментов, которые Гёдель разработал для своих доказательств относительной непротиворечивости для NBG. Позже ZFC стал популярнее NBG. Это было вызвано несколькими факторами, включая дополнительную работу, необходимую для обработки выгонки в НБГ, Презентация Коэна о принуждении 1966 года, в которой использовался ZF, и доказательство того, что NBG является консервативным расширением ZFC.

НБГ, ZFC и МК

NBG логически не эквивалентен ZFC, поскольку его язык более выразителен: он может делать утверждения о классах, которые невозможно сделать в ZFC. Однако NBG и ZFC подразумевают одни и те же утверждения о множествах. Таким образом, NBG является консервативным расширением ZFC. NBG подразумевает теоремы, которые не подразумевает ZFC, но поскольку NBG является консервативным расширением, эти теоремы должны включать правильные классы. Например, теорема NBG гласит, что глобальная аксиома выбора подразумевает, что собственный класс V может быть хорошо упорядочен и что каждый правильный класс может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с V .

Одним из последствий консервативного расширения является то, что ZFC и NBG эквисогласованы . Для доказательства этого используется принцип взрыва : из противоречия все доказуемо. Предположим, что ZFC или NBG несовместимы. Тогда из противоречивой теории вытекают противоречивые утверждения ∅ = ∅ и ∅ ≠ ∅, которые являются утверждениями о множествах. В силу свойства консервативного расширения другая теория также подразумевает эти утверждения. Следовательно, это также противоречиво. Таким образом, хотя NBG более выразителен, он в равной степени соответствует ZFC. Этот результат вместе с доказательством относительной непротиворечивости фон Неймана 1929 года подразумевает, что его система аксиом 1925 года с аксиомой ограничения размера эквисовместима с ZFC. Это полностью снимает беспокойство фон Неймана по поводу относительной непротиворечивости этой мощной аксиомы, поскольку ZFC находится в рамках канторианской структуры.

Несмотря на то, что NBG является консервативным расширением ZFC, теорема может иметь более короткое и элегантное доказательство в NBG, чем в ZFC (или наоборот). Обзор известных результатов такого рода см. в Pudlák 1998 .

Теория множеств Морса – Келли имеет схему аксиом понимания классов, которая включает формулы, кванторы которых варьируются по классам. МК является более сильной теорией, чем НБГ, поскольку МК доказывает непротиворечивость НБГ. в то время как вторая теорема Гёделя о неполноте подразумевает, что NBG не может доказать непротиворечивость NBG.

Обсуждение некоторых онтологических и других философских проблем, поставленных NBG, особенно в сравнении с ZFC и MK, см. в Приложении C к Potter 2004 .

Модели

ZFC, NBG и MK имеют модели , описываемые в терминах кумулятивной иерархии V _α   и конструктивной иерархии L _α   . Пусть V включает недоступный кардинал κ, пусть ⊆ V κ _и пусть Def( X ) обозначает класс первого порядка определимых подмножеств X X с параметрами. В символах, где " $(X,\in )$" обозначает модель с доменом $X$ и отношение $\in$, и " $\models$«обозначает отношение удовлетворения :

$$\operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{x\mid x\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\}:\phi {\text{ is a first-order formula and }}y_{1},\ldots ,y_{n}\in X{\Bigr \}}.$$

Затем:

• ( V _κ , ∈) и ( L _κ , ∈) являются моделями ZFC .
• ( V _κ , V _κ+1 , ∈) — модель МК, где V _κ состоит из множеств модели, а V _κ+1 состоит из классов модели. Поскольку модель МК является моделью НБГ, эта модель также является моделью НБГ.
• ( V _κ , Def( V _κ ), ∈) — это модель версии NBG Мендельсона, которая заменяет аксиому глобального выбора NBG аксиомой выбора ZFC. Аксиомы ZFC верны в этой модели, потому что ( V _κ , ∈) является моделью ZFC. В частности, аксиома выбора ZFC верна, но глобальный выбор NBG может потерпеть неудачу. Аксиомы существования классов NBG верны в этой модели, поскольку классы, существование которых они утверждают, могут быть определены определениями первого порядка. Например, аксиома принадлежности справедлива, поскольку класс $E$ определяется:
  $$E=\{x\in V_{\kappa }:(V_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.$$
• ( L _κ , L _{κ ⁺} , ∈), где κ ⁺ является кардиналом-преемником κ, является моделью NBG. Аксиомы существования классов NBG верны в ( L _κ , L _{κ ⁺} , €). Например, аксиома принадлежности справедлива, поскольку класс $E$ определяется:
  $$E=\{x\in L_{\kappa }:(L_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.$$
  Итак, E ∈ 𝒫( L _κ ). В своем доказательстве GCH истинности в L Гёдель доказал, что 𝒫( L _κ ) ⊆ L _{κ ⁺} . Следовательно E ∈ Lκ _{, ⁺} , поэтому аксиома принадлежности верна в ( L _κ , L _{κ ⁺} , €). Точно так же верны и другие аксиомы существования классов. Аксиома глобального выбора верна, поскольку L _κ хорошо упорядочена за счет ограничения ( функции Гёделя которая отображает класс ординалов в конструктивные множества) на ординалы, меньшие κ. Следовательно, ( L _κ , L _{κ ⁺} , ∈) является моделью НБГ.

Теория категорий

Онтология NBG обеспечивает основу для разговора о «больших объектах», не рискуя парадоксом. Например, в некоторых разработках теории категорий « большая категория » определяется как категория, объекты и морфизмы которой составляют собственный класс. С другой стороны, «малая категория» — это категория, объекты и морфизмы которой являются членами множества. Таким образом, мы можем говорить о « категории всех множеств » или « категории всех малых категорий », не рискуя парадоксом, поскольку NBG поддерживает большие категории.

Однако NBG не поддерживает «категорию всех категорий», поскольку ее членами будут большие категории, а NBG не позволяет соответствующим классам быть членами чего-либо. Онтологическим расширением, позволяющим формально говорить о такой «категории», является конгломерат , представляющий собой совокупность классов. Тогда «категория всех категорий» определяется ее объектами: конгломератом всех категорий; и его морфизмы: конгломерат всех морфизмов от A до B , где A и B — объекты. О том, подходит ли онтология, включающая как классы, так и множества, для теории категорий, см. Muller 2001 .

Библиография

• Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990), Абстрактные и конкретные категории (Радость кошек) (1-е изд.), Нью-Йорк: Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-60922-3 .
  • Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (2004) [1990], Абстрактные и конкретные категории (Радость кошек) (изд. Дувра), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-46934-8 .
• Бернейс, Пол (1937), «Система аксиоматической теории множеств — Часть I», Журнал символической логики , 2 (1): 65–77, doi : 10.2307/2268862 , JSTOR   2268862 .
• Бернейс, Пол (1941), «Система аксиоматической теории множеств — Часть II», Журнал символической логики , 6 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267281 , JSTOR   2267281 , S2CID   250344277 .
• Бернейс, Пол (1991), Аксиоматическая теория множеств (2-е исправленное издание), Dover Publications, ISBN  978-0-486-66637-2 .
• Бурбаки, Николя (2004), Элементы математики: теория множеств , Springer, ISBN  978-3-540-22525-6 .
• Чуаки, Роландо (1981), Аксиоматическая теория множеств: импредикативные теории классов , Северная Голландия, ISBN  0-444-86178-5 .
• Коэн, Пол (1963), «Независимость гипотезы континуума», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 50 (6): 1143–1148, Bibcode : 1963PNAS...50.1143C , doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC   221287 , PMID   16578557 .
• Коэн, Пол (1966), Теория множеств и гипотеза континуума , В.А. Бенджамин .
  • Коэн, Пол (2008), Теория множеств и гипотеза континуума , Dover Publications, ISBN  978-0-486-46921-8 .
• Доусон, Джон В. (1997), Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters .
• Истон, Уильям Б. (1964), Полномочия регулярных кардиналов (докторская диссертация), Принстонский университет .
• Фельгнер, Ульрих (1971), «Сравнение аксиом локального и универсального выбора» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 71 : 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62 .
• Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Базель, Швейцария: Birkhäuser, ISBN  978-3-7643-8349-7 .
• Гёдель, Курт (1940), Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств (пересмотренная редакция), Princeton University Press, ISBN  978-0-691-07927-1 .
  • Гёдель, Курт (2008), Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств , с предисловием Лейвера, Ричарда (изд. в мягкой обложке), Ishi Press, ISBN  978-0-923891-53-4 .
• Гёдель, Курт (1986), Собрание сочинений, Том 1: Публикации 1929–1936 , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-514720-9 .
• Гёдель, Курт (1990), Собрание сочинений, Том 2: Публикации 1938–1974 , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-514721-6 .
• Гёдель, Курт (2003), Собрание сочинений, Том 4: Переписка A – G , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850073-5 .
• Грей, Роберт (1991), «Компьютерные программы и математические доказательства», The Mathematical Intelligencer , 13 (4): 45–48, doi : 10.1007/BF03028342 , S2CID   121229549 .
• Халлетт, Майкл (1984), Канторианская теория множеств и ограничение размера (изд. в твердом переплете), Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  978-0-19-853179-1 .
  • Халлетт, Майкл (1986), Канторианская теория множеств и ограничение размера (изд. в мягкой обложке), Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  978-0-19-853283-5 .
• Канамори, Акихиро (2009b), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала , Springer, ISBN  978-3-540-88867-3 .
• Канамори, Акихиро (2009), «Бернейс и теория множеств» (PDF) , Бюллетень символической логики , 15 (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769 , JSTOR   25470304 , S2CID   15567244 .
• Канамори, Акихиро (2012), «Похвала замене» (PDF) , Бюллетень символической логики , 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439 , JSTOR   41472440 , S2CID   18951854 .
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости (изд. в твердом переплете), Северная Голландия, ISBN  978-0-444-86839-8 .
  • Кунен, Кеннет (2012), Теория множеств: введение в доказательства независимости (изд. в мягкой обложке), Северная Голландия, ISBN  978-0-444-56402-3 .
• Мендельсон, Эллиотт (1997), Введение в математическую логику (4-е изд.), Лондон: Чепмен и Холл / CRC, ISBN  978-0-412-80830-2 . - Пп. 225–86 содержат классическую хрестоматийную трактовку NBG, показывающую, как она делает то, что мы ожидаем от теории множеств, путем обоснования отношений , теории порядка , порядковых чисел , трансфинитных чисел и т. д.
• Мириманов, Дмитрий (1917), «Антиномии Рассела и Бурали-Форти и фундаментальная проблема теории множеств», L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52 .
• Монтегю, Ричард (1961), «Семантическое замыкание и неконечная аксиоматизируемость I», в Бассе, Сэмюэле Р. (редактор), Инфинитистские методы: материалы симпозиума по основам математики , Pergamon Press, стр. 45–69 .
• Мостовский, Анджей (1950), «Некоторые непредикативные определения в аксиоматической теории множеств» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124 .
• Мюллер, Ф.А. (1 сентября 2001 г.), «Множества, классы и категории» (PDF) , Британский журнал философии науки , 52 (3): 539–73, doi : 10.1093/bjps/52.3.539 .
• Мюллер, Гурт, изд. (1976), Множества и классы: о работах Пола Бернейса , Исследования по логике и основам математики, том 84, Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-7204-2284-9 .
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение (изд. в твердом переплете), Oxford University Press, ISBN  978-0-19-926973-0 .
  • Поттер, Майкл (2004p), Теория множеств и ее философия: критическое введение (изд. в мягкой обложке), Oxford University Press, ISBN  978-0-19-927041-5 .
• Пудлак, Павел (1998), «Длина доказательств» (PDF) , в Бассе, Сэмюэл Р. (редактор), Справочник по теории доказательств , Elsevier, стр. 547–637, ISBN  978-0-444-89840-1 .
• Смалльян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010) [Исправленное и исправленное издание: впервые опубликовано в 1996 году издательством Oxford University Press], Теория множеств и проблема континуума , Дувр, ISBN  978-0-486-47484-7 .
• Соловей, Роберт М. (1990), «Вступительная записка к 1938 , 1939 , 1939a и 1940 годам », Собрание сочинений Курта Гёделя, том 2: публикации 1938–1974 годов , Oxford University Press, стр. 1–25, ISBN  978-0-19-514721-6 .
• фон Нейман, Джон (1923), «О введении трансфинитных чисел» , Acta Litt. акад. наук. Сегед X , 1 : 199–208 .
  • Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (2002a) [1967], «О введении трансфинитных чисел» , От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 (четвертое издание), Harvard University Press, стр. 346– 354, ISBN  978-0-674-32449-7 .
  • Английский перевод: ван Хейеноорт, Жан (2002b) [1967], «Аксиоматизация теории множеств» , От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 (четвертое издание), Harvard University Press, стр. 393–413 , ISBN  978-0-674-32449-7 .
• фон Нейман, Джон (1925), «Аксиоматизация теории множеств» , Журнал чистой и прикладной математики , 154 : 219–240 .
• фон Нейман, Джон (1928), «Аксиоматизация теории множеств» , Mathematical Journal , 27 : 669–752, doi : 10.1007/bf01171122 , S2CID   123492324 .
• фон Нейман, Джон (1929), «К вопросу о непротиворечивости в аксиоматической теории множеств» , Журнал чистой и прикладной математики , 160 : 227–241 .

Внешние ссылки

• «Теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя» . ПланетаМатематика .
• Судзик, Мэтью. «Теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя» . Математический мир .