Элемент (математика)

В математике элементом , (или членом ) множества является любой из отдельных объектов принадлежащих этому множеству.

Наборы

Письмо $A=\{1,2,3,4\}$ означает, что элементами множества $A$ являются числа 1, 2, 3 и 4. Наборы элементов множества $A$ , например $\{1,2\}$ , подмножествами A $.$ являются

Наборы сами по себе могут быть элементами. Например, рассмотрим набор $B=\{1,2,\{3,4\}\}$ . Элементами $B$ являются не 1, 2, 3 и 4. Скорее, существует только три элемента $B$ , а именно числа 1 и 2, и множество $\{3,4\}$ .

Элементами множества может быть что угодно. Например, $C=\{\mathrm {\color {Red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}$ множество, элементами которого являются красный , зеленый и синий цвета .

Говоря логическим языком, $(x \in y) \leftrightarrow (\forall x [P x = y] : x \in 𝔇 y)$ . ^{[ нужны разъяснения ]}

Обозначения и терминология

Отношение «является элементом », также называемое членством в множестве , обозначается символом «ε». Письмо

x\in A

означает, что « x является элементом A ». ^[1] Эквивалентными выражениями являются « x является членом A », « x принадлежит A », « x находится в A » и « x лежит в A ». Выражения « A включает x » и « A содержит x » также используются для обозначения членства во множестве, хотя некоторые авторы вместо этого используют их для обозначения « x является подмножеством A » . ^[2] Логик Джордж Булос настоятельно рекомендовал использовать слово «содержит» только для обозначения членства, а слово «включает» только для отношения подмножества. ^[3]

Для отношения € обратное отношение € ^Т может быть написано

A\ni x

что означает « A содержит или включает x ».

Отрицание принадлежности множеству обозначается символом «∉». Письмо

x\notin A

означает, что « x не является элементом A ».

Символ £ впервые был использован Джузеппе Пеано в его работе «Принципы арифметики» 1889 года, изложенной в новом методе . ^[4] Вот он написал на странице X:

Знак ∈ означает Итак $, \in b$ означает, что a является определенным b; …

что означает

Символ € означает . Таким образом, $a \in b$ читается как a — некоторый b; …

Сам символ представляет собой стилизованную строчную греческую букву эпсилон («ϵ»), первую букву слова ἐστί , что означает «есть». ^[4]

Информация о персонаже
Предварительный просмотр	∈		∉		∋		∌
Имя в Юникоде	ЭЛЕМЕНТ		НЕ ЭЛЕМЕНТ		СОДЕРЖИТ КАК ЧЛЕН		НЕ СОДЕРЖИТ КАК ЧЛЕН
Кодировки	десятичный	шестигранник	декабрь	шестигранник	декабрь	шестигранник	декабрь	шестигранник
Юникод	8712	U + 2208	8713	U + 2209	8715	U + 220B	8716	U+220C
UTF-8	226 136 136	Е2 88 88	226 136 137	Е2 88 89	226 136 139	Е2 88 8Б	226 136 140	Е2 88 8С
Ссылка на числовые символы	∈	∈	∉	∉	∋	∋	∌	∌
Ссылка на именованный персонаж	&Элемент;, &in;, ∈, &isinv;		&NotElement;, ∉, &notinva;		&ni;, &niv;, &ReverseElement;, &SuchThat;		&notni;, &notniva;, &NotReverseElement;
Латекс	\в		\плавание		\в		\not\ni или \notni
Вольфрам Математика	\[Элемент]		\[НеЭлемент]		\[ОбратныйЭлемент]		\[NotReverseElement]

Примеры

Используя наборы, определенные выше, а именно A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} и C = {красный, зеленый, синий}, верны следующие утверждения:

$2 \in А$
$5 \notin А$

${3, 4} \in B$
$3 \notin Б$
$4 \notin Б$
$желтый \notin С$

Мощность множеств

Количество элементов в определенном наборе — это свойство, известное как мощность ; неофициально это размер набора. ^[5] В приведенных выше примерах мощность множества A равна 4, а мощность множества B и множества C равна 3. Бесконечное множество — это множество с бесконечным числом элементов, а конечное множество — это множество с конечным числом элементов. количество элементов. Приведенные выше примеры являются примерами конечных множеств. Примером бесконечного множества является набор натуральных чисел ${1, 2, 3, 4, ...}$ .

Формальные отношения

В качестве отношения членство в наборе должно иметь домен и диапазон. Условно эта область называется вселенной обозначаемой U. , Диапазон — это набор подмножеств U , называемый степеней набором U и обозначаемый P( U ). Таким образом, отношение $\in$ является подмножеством $U \times P(U)$ . Обратное соотношение $\ni$ является подмножеством $P(U) \times U$ .

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Элемент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.
^ Эрик Шехтер (1997). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса . ISBN 0-12-622760-8 . п. 12
^ Джордж Булос (4 февраля 1992 г.). 24.243 Классическая теория множеств (лекция) (Речь). Массачусетский технологический институт .
^ Jump up to: ^а ^б Кеннеди, ХК (июль 1973 г.). «Чему Рассел научился у Пеано» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 14 (3). Издательство Университета Дьюка: 367–372. дои : 10.1305/ndjfl/1093891001 . МР 0319684 .
^ «Наборы — Элементы | Brilliant Math & Science Wiki» . блестящий.орг . Проверено 10 августа 2020 г.

Дальнейшее чтение

Халмос, Пол Р. (1974) [1960], Наивная теория множеств , Тексты для студентов по математике (изд. в твердом переплете), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6 - «Наивное» означает, что оно не полностью аксиоматизировано, а не то, что оно глупо или легко (трактовка Халмоша не является ни тем, ни другим).
Джек, Томас (2002), «Теория множеств» , Стэнфордская энциклопедия философии , Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет
Суппес, Патрик (1972) [1960], Аксиоматическая теория множеств , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4 - И понятие множества (совокупности членов), членства или элементарности, аксиома расширения, аксиома разделения и аксиома объединения (Суппес называет ее аксиомой суммы) необходимы для более глубокого понимания " установить элемент».

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Элемент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 г.

[schech-2] Эрик Шехтер (1997). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса . ISBN 0-12-622760-8 . п. 12

[boolos-3] Джордж Булос (4 февраля 1992 г.). 24.243 Классическая теория множеств (лекция) (Речь). Массачусетский технологический институт .

[ken-4] Jump up to: ^а ^б Кеннеди, ХК (июль 1973 г.). «Чему Рассел научился у Пеано» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 14 (3). Издательство Университета Дьюка: 367–372. дои : 10.1305/ndjfl/1093891001 . МР 0319684 .

[5] «Наборы — Элементы | Brilliant Math & Science Wiki» . блестящий.орг . Проверено 10 августа 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo