Jump to content

Категория наборов

(Перенаправлено из Набор (категория) )

В математической области теории категорий категория множеств , обозначаемая как Set , — это категория которой , объектами являются множества . Стрелки или морфизмы между множествами A и B — это полные функции от A до B , а композиция морфизмов — это композиция функций .

Многие другие категории (например , категория групп с групповыми гомоморфизмами в виде стрелок) добавляют структуру объектам категории множеств и/или ограничивают стрелки функциями определенного вида.

Свойства категории множеств

[ редактировать ]

Аксиомам категории удовлетворяет Set , потому что композиция функций ассоциативна и потому что каждый набор X имеет тождественную функцию id X : X X , которая служит тождественным элементом для композиции функций.

Эпиморфизмы отображения в Set — это сюръективные отображения, мономорфизмы инъективные , а изоморфизмы биективные отображения.

Пустой набор служит исходным объектом в Set с пустыми функциями в качестве морфизмов. Каждый синглтон является конечным объектом , функции которого отображают все элементы исходных наборов в один целевой элемент как морфизмы. нет нулевых объектов Таким образом, в Set .

категорий Набор является полным и сополным . Продукт в этой категории представляет собой декартово произведение множеств. Копроизведение I задается непересекающимся объединением : учитывая множества A i , где i пробегает некоторый набор индексов , мы строим копроизведение как объединение A i ×{ i } (декартово произведение с i служит для обеспечения того, чтобы все компоненты оставались непересекающиеся).

Сет — это прототип конкретной категории ; другие категории являются конкретными, если они «построены» на Множестве каким-то четко определенным образом.

Каждый набор из двух элементов служит классификатором подобъектов в Set . набора A задается его набором мощности , а экспоненциальный объект наборов A и B задается набором всех функций от A до B. Объект мощности Таким образом, множество является топосом (и, в частности, декартово замкнутым и точным в смысле Барра ).

Множество не является абелевым , аддитивным и не преаддитивным .

Каждое непустое множество является инъективным объектом в Set . Каждое множество является проективным объектом в Set (при условии аксиомы выбора ).

в Конечно представимые объекты Set это конечные множества. Поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, категория Set является локально конечно представимой категорией .

Если C — произвольная категория, контравариантные функторы из C в Set часто являются важным объектом изучения. Если A является объектом C , то функтор из C в Set , который переводит X в Hom C ( X , A ) (набор морфизмов в C из X в A ), является примером такого функтора. Если C малая категория (т. е. совокупность ее объектов образует множество), то контравариантные функторы из C в Set вместе с естественными преобразованиями в виде морфизмов образуют новую категорию, категорию функторов , известную как категория предпучков на C. .

Основы категории наборов

[ редактировать ]

В теории множеств Цермело – Френкеля совокупность всех множеств не является множеством; это следует из аксиомы основания . Один относится к коллекциям, которые не заданы как полноценные классы . Невозможно обращаться с собственными классами так же, как с множествами; в частности, нельзя написать, что эти собственные классы принадлежат коллекции (множеству или собственному классу). Это проблема, поскольку это означает, что категория множеств не может быть напрямую формализована в этой ситуации. Категории, подобные набору, коллекция объектов которых образует соответствующий класс, известны как большие категории , чтобы отличать их от маленьких категорий, объекты которых образуют набор.

Один из способов решения проблемы — работать в системе, которая придает формальный статус соответствующим классам, например, в теории множеств NBG . В этом случае категории, образованные из наборов, называются маленькими , а те (например, Set ), которые сформированы из соответствующих классов, называются большими .

Другое решение состоит в том, чтобы предположить существование вселенных Гротендика . Грубо говоря, вселенная Гротендика — это набор, который сам по себе является моделью ZF(C) (например, если набор принадлежит вселенной, его элементы и его набор сил будут принадлежать вселенной). Существование вселенных Гротендика (кроме пустого множества и множества всех наследственно конечных множеств ) не следует из обычных аксиом ZF; это дополнительная независимая аксиома, примерно эквивалентная существованию сильно недоступных кардиналов . Принимая эту дополнительную аксиому, можно ограничить объекты Сета элементами конкретной вселенной. (В модели нет «множества всех множеств», но все же можно рассуждать о классе U всех внутренних множеств, т. е. элементов U .)

В одном из вариантов этой схемы класс множеств представляет собой объединение всей башни вселенных Гротендика. (Это обязательно правильный класс , но каждая вселенная Гротендика представляет собой множество, поскольку она является элементом некоторой более крупной вселенной Гротендика.) Однако напрямую с «категорией всех множеств» нельзя работать. Вместо этого теоремы выражаются в терминах категории Set U, объекты которой являются элементами достаточно большой вселенной Гротендика U что они не зависят от конкретного выбора U. , а затем показано , В качестве основы теории категорий этот подход хорошо сочетается с такой системой, как теория множеств Тарского – Гротендика, в которой нельзя напрямую рассуждать о собственных классах; его главный недостаток состоит в том, что теорема может быть верна для всего множества U , но не для множества .

Были предложены различные другие решения и вариации вышеизложенного. [1] [2] [3]

Те же проблемы возникают и с другими конкретными категориями, такими как категория групп или категория топологических пространств .

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  • Бласс, А. (1984). «Взаимодействие теории категорий и теории множеств» (PDF) . Математические приложения теории категорий . Современная математика. Том. 30. Американское математическое общество. стр. 5–29. дои : 10.1090/conm/030/749767 . ISBN  978-0-8218-5032-9 .
  • Феферман, С. (1969). «Теоретико-множественные основы теории категорий» . Мак Лейн, 1969 год . Конспект лекций по математике. Том. 106. стр. 201–247. дои : 10.1007/BFb0059148 . ISBN  978-3-540-04625-7 .
  • Ловер, Ф.В. Элементарная теория категории множеств (длинная версия) с комментариями
  • Мак Лейн, С. (2006) [1969]. «Единая вселенная как основа теории категорий». В Мак Лейн, С. (ред.). Отчеты семинара III категории Среднего Запада . Конспект лекций по математике. Том. 106. Спрингер. стр. 192–200. дои : 10.1007/BFb0059147 . ISBN  978-3-540-36150-3 .
  • Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5. Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .
  • Парейгис, Бодо (1970), Категории и функторы , Чистая и прикладная математика, том. 39, Академик Пресс , ISBN  978-0-12-545150-5
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5a3fe4898c2475aa72114a078923b37f__1720092480
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5a/7f/5a3fe4898c2475aa72114a078923b37f.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Category of sets - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)