Блочный дизайн

Эта статья о блочных конструкциях с фиксированным (равномерным) размером блока. Информацию о блочных конструкциях с переменными размерами блоков см. в разделе «Комбинаторное проектирование» . Для экспериментальных планов в статистике см. рандомизированный блок-дизайн .

«BIBD» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об аэропорте в Исландии, см. Аэропорт Билдудалур .

В комбинаторной математике блочная конструкция представляет собой структуру инцидентности, состоящую из набора вместе с семейством подмножеств, известных как блоки , выбранных так, что частота элементов удовлетворяет определенным условиям, благодаря которым совокупность блоков демонстрирует симметрию (баланс). Блочные конструкции находят применение во многих областях, включая экспериментальное проектирование , конечную геометрию , физическую химию , тестирование программного обеспечения , криптографию и алгебраическую геометрию .

Без дальнейших уточнений термин «блочный дизайн» обычно относится к сбалансированному неполному блочному дизайну ( BIBD ), в частности (и также как синоним) к 2-блочному дизайну, который исторически был наиболее интенсивно изучаемым типом из-за его применения при планировании экспериментов . Его обобщение известно как t-дизайн .

Обзор

План считается сбалансированным (до t ​​), если все t -подмножества исходного набора встречаются в одинаковом количестве (т. е. λ ) блоков. . Когда t не указано, его обычно можно принять равным 2, что означает, что каждая пара элементов находится в одинаковом количестве блоков и конструкция попарно сбалансирована . При t =1 каждый элемент встречается в одинаковом количестве блоков ( число репликации , обозначаемое r ), и конструкция называется регулярной . Любая конструкция, сбалансированная до t, также сбалансирована при всех нижних значениях t (хотя и с разными значениями λ ), поэтому, например, попарно сбалансированная ( t =2) конструкция также является регулярной ( t =1). Когда требование балансировки не выполняется, проект все равно может быть частично сбалансированным , если t -подмножества можно разделить на n классов, каждый со своим (различным) λ -значением. Для t =2 они известны как PBIBD( n схемы ) , классы которых образуют схему ассоциации .

Обычно говорят (или предполагают), что проекты являются неполными , что означает, что совокупность блоков не представляет собой все возможные k -подмножества, что исключает тривиальный дизайн.

Блочная конструкция, в которой все блоки имеют одинаковый размер (обычно обозначаемый k ), называется унифицированной или правильной . Все конструкции, обсуждаемые в этой статье, одинаковы. Также изучались блочные конструкции, которые не обязательно являются однородными; при t =2 они известны в литературе под общим названием попарно сбалансированные конструкции (ПБД).

Блочные конструкции могут иметь или не иметь повторяющиеся блоки. Конструкции без повторяющихся блоков называются простыми . в этом случае «семейство» блоков представляет собой набор, а не мультинабор .

В статистике концепция блочной конструкции может быть расширена до небинарных блочных конструкций, в которых блоки могут содержать несколько копий элемента (см. Блокировка (статистика) ). Там план, в котором каждый элемент встречается одинаковое общее количество раз, называется равноповторным, что подразумевает регулярный план только в том случае, если план также является двоичным. Матрица инцидентности небинарного плана показывает, сколько раз каждый элемент повторяется в каждом блоке.

Регулярные конструкции униформы (конфигурации)

Самый простой тип «сбалансированной» конструкции ( t =1) известен как тактическая конфигурация или 1-конфигурация . Соответствующая структура инцидентности в геометрии известна просто как конфигурация , см. Конфигурация (геометрия) . Такая конструкция является однородной и регулярной: каждый блок содержит k элементов, а каждый элемент содержится в r блоков. Количество элементов множества v и количество блоков b связаны соотношением $bk=vr$, что представляет собой общее количество вхождений элемента.

Каждая двоичная матрица с постоянными суммами строк и столбцов является матрицей инцидентности регулярного однородного блочного плана. Кроме того, каждой конфигурации соответствует бирегулярный двудольный граф , известный как инцидентность или граф Леви .

Попарно сбалансированные однородные конструкции (2-конструкции или BIBD)

Учитывая конечное множество X (элементов, называемых точками ) и целые числа k , r , λ ≥ 1, мы определяем 2-план (или BIBD , обозначающий сбалансированный неполный блочный дизайн) B как семейство подмножеств k -элементов X , называемые блоками , такие, что любой x в X содержится в r блоках, а любая пара различных точек x и y в X содержится в λ блоках. Здесь условие о том, что любой x в X содержится в r блоках, является избыточным, как показано ниже.

Здесь v (количество элементов X , называемых точками), b (количество блоков), k , r и λ — параметры конструкции . (Чтобы избежать вырожденных примеров, также предполагается, что v > k , так что ни один блок не содержит всех элементов набора. В этом смысл слова «неполный» в названии этих проектов.) В таблице:

v	точек, количество элементов X
б	количество блоков
р	количество блоков, содержащих данную точку
к	количество точек в блоке
л	количество блоков, содержащих любые 2 (или, в более общем случае, t ) различных точек

Конструкция называется ( v , k , λ )-схемой или ( v , b , r , k , λ )-схемой. Не все параметры независимы; v , k и λ определяют b и r , и не все комбинации v , k и λ возможны. Два основных уравнения, связывающих эти параметры:

$bk=vr,$

полученный путем подсчета количества пар ( B , p ), где B — блок, а p — точка в этом блоке, и

$\lambda (v-1)=r(k-1),$

получается путем подсчета при фиксированном x троек ( x , y , B ), где x и y — различные точки, а B — блок, содержащий их обе. Это уравнение для каждого x также доказывает, что r является постоянным (независимым от x ) даже без явного предположения, тем самым доказывая, что условие, согласно которому любой x в X содержится в r блоках, является избыточным и r может быть вычислено из других параметров.

Этих условий недостаточно, так как, например, (43,7,1)-схемы не существует.

Порядок 2- плана определяется как n = r − λ . Дополнение множестве 2-плана получается заменой каждого блока его дополнением в X. точек Это также 2-дизайн и имеет параметры v ′ знак равно v , b ′ = b , r ′ знак равно b - r , k ′ знак равно v - k , λ ′ = λ + b - 2 r . 2-дизайн и его дополнение имеют одинаковый порядок.

Фундаментальная теорема, неравенство Фишера , названная в честь статистика Рональда Фишера , заключается в том, что b ≥ v в любом 2-плане.

Довольно неожиданный и не очень очевидный (но очень общий) комбинаторный результат для этих схем состоит в том, что если точки обозначаются любым произвольно выбранным набором одинаково или неравноотстоящих чисел, не существует выбора такого набора, который мог бы сделать все блочные суммы (то есть сумма всех точек в данном блоке) постоянна. Однако это возможно для других конструкций, таких как частично сбалансированные неполные блочные конструкции. Многие такие случаи обсуждаются в . Однако это также можно тривиально наблюдать для магических квадратов или магических прямоугольников, которые можно рассматривать как частично сбалансированные неполные блочные конструкции.

Примеры

Уникальная (6,3,2)-схема ( v = 6, k = 3, λ = 2) имеет 10 блоков ( b = 10) и каждый элемент повторяется 5 раз ( r = 5). Используя символы 0 - 5, блоки представляют собой следующие тройки:

012    013    024    035    045    125    134    145    234    235.

и соответствующая матрица инцидентности ( v × b двоичная матрица с постоянной суммой строк r и постоянной суммой столбцов k ):

${\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&1&0&1&0&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&0&1&0&1\\\end{pmatrix}}$

Одна из четырех неизоморфных (8,4,3)-схем состоит из 14 блоков, каждый элемент которых повторяется 7 раз. Используя символы 0–7, блоки представляют собой следующие четырехкортежи:

0123    0124    0156    0257    0345    0367    0467    1267    1346    1357    1457    2347    2356    2456.

Уникальная (7,3,1)-конструкция симметрична и состоит из 7 блоков, каждый элемент повторяется 3 раза. Используя символы 0 - 6, блоки представляют собой следующие тройки:

013    026    045    124    156    235    346.

Эта конструкция связана с плоскостью Фано , причем элементы и блоки конструкции соответствуют точкам и линиям плоскости. Соответствующая матрица инцидентности также может быть симметричной, если метки или блоки отсортированы правильно:

$\left({\begin{matrix}1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&1&1&0&0&1\\0&0&1&0&1&1&0\end{matrix}}\right)$

Симметричные 2-конструкции (SBIBD)

Случай равенства в неравенстве Фишера, то есть 2-план с равным количеством точек и блоков, называется симметричным планом . Симметричные конструкции имеют наименьшее количество блоков среди всех 2-схем с одинаковым количеством точек.

В симметричном плане r = k выполняется так же, как и b = v , и, хотя это обычно неверно в произвольных 2-планах, в симметричном плане каждые два различных блока встречаются в λ точках. Теорема Райзера доказывает обратное. Если X — набор v -элементов, а B — набор v -элементов из подмножеств k -элементов («блоков»), такой, что любые два различных блока имеют ровно λ общих точек, то ( X, B ) — это симметричная блочная конструкция.

Параметры симметричной конструкции удовлетворяют

$\lambda (v-1)=k(k-1).$

Это накладывает сильные ограничения на v , поэтому количество точек далеко не произвольно. Теорема Брука -Райзера-Чоулы дает необходимые, но недостаточные условия существования симметричной конструкции с точки зрения этих параметров.

Ниже приведены важные примеры симметричных 2-проектов:

Проективные плоскости

Основная статья: Проекционная плоскость

Конечные проективные плоскости представляют собой симметричные 2-конструкции с λ = 1 и порядком n > 1. Для этих конструкций уравнение симметричного расчета принимает вид:

$v-1=k(k-1).$

Поскольку k = r, мы можем записать порядок проективной плоскости как n = k - 1 и из приведенного выше уравнения получаем v = ( n + 1) n + 1 = n ² + n + 1 точка на проективной плоскости порядка n .

Поскольку проективная плоскость является симметричной конструкцией, мы имеем b = v , что означает, что b = n ² + n + 1 тоже. Число b — это количество прямых проективной плоскости. Не может быть повторяющихся линий, поскольку λ = 1, поэтому проективная плоскость представляет собой простую 2-схему, в которой количество линий и количество точек всегда одинаковы. Для проективной плоскости k — это количество точек на каждой прямой, и оно равно n + 1. Аналогично, r = n + 1 — это количество прямых, которым инцидентна данная точка.

При n = 2 мы получаем проективную плоскость порядка 2, также называемую плоскостью Фано , с v = 4 + 2 + 1 = 7 точек и 7 прямых. На плоскости Фано каждая прямая имеет n + 1 = 3 точки, и каждая точка принадлежит n + 1 = 3 прямым.

Известно, что проективные плоскости существуют для всех порядков простых чисел или степеней простых чисел. Они образуют единственное известное бесконечное семейство (относительно постоянного значения λ) симметричных блочных конструкций.

Бипланы

Геометрия биплана или биплана представляет собой симметричную 2-конструкцию с λ = 2; то есть каждый набор из двух точек содержится в двух блоках («линиях»), а любые две линии пересекаются в двух точках. Они подобны конечным проективным плоскостям, за исключением того, что вместо двух точек, определяющих одну прямую (и двух прямых, определяющих одну точку), две точки определяют две прямые (соответственно точки). Биплоскость порядка n — это такая плоскость, блоки которой имеют k = n + 2 точки; он имеет v = 1 + ( n + 2)( n + 1)/2 точки (поскольку r = k ).

18 известных примеров перечислены ниже.

• (Тривиально) Биплан порядка 0 имеет 2 точки (и линии размера 2; конструкция 2-(2,2,2)); это две точки с двумя блоками, каждый из которых состоит из обеих точек. Геометрически это дигон .
• Биплан 1-го порядка имеет 4 точки (и линии размера 3; конструкция 2-(4,3,2)); это полная конструкция с v = 4 и k = 3. Геометрически точки — это вершины тетраэдра, а блоки — его грани.
• Биплоскость 2-го порядка является дополнением плоскости Фано : она имеет 7 точек (и линии размера 4; 2-(7,4,2)), где линии заданы как дополнения к (3-точечной) линии в плоскости Фано.
• Биплан 3-го порядка имеет 11 точек (и линии размером 5; 2-(11,5,2)), и также известен как Биплан Пейли в честь Рэймонда Пейли ; он связан с орграфом Пэли порядка 11, который построен с использованием поля с 11 элементами, и представляет собой 2-план Адамара , связанный с матрицей Адамара размера 12; см. строительство Пейли I.

Алгебраически это соответствует исключительному вложению проективной специальной линейной группы PSL (2,5) в PSL (2,11) - см. в разделе «Проективная линейная группа: действие на p точках ». подробности

• Имеется три биплана 4-го порядка (и 16 точек, линии размера 6; 2-(16,6,2)). Одна из них — конфигурация Куммера . Эти три дизайна также являются дизайнами Менона .
• Имеется четыре биплана 7-го порядка (и 37 точек, линии размера 9; 2-(37,9,2)).
• Имеется пять бипланов 9-го порядка (и 56 точек, линии размера 11; 2-(56,11,2)).
• Известны два биплана 11 порядка (и 79 точек, линии размера 13; 2-(79,13,2)).

Бипланов 5, 6, 8 и 10 порядков не существует, как показывает теорема Брука-Райзера-Чоулы .

Адамара 2-проекты

Матрица Адамара размера m — это размера m × m матрица H , элементы которой равны ±1, такая, что HH ^⊤ = m I _m , где H ^⊤ — транспонирование H , а I _m — единичная матрица размера m × m . Матрицу Адамара можно привести в стандартизированную форму (то есть преобразовать в эквивалентную матрицу Адамара), где все элементы первой строки и первого столбца равны +1. Если размер m > 2, то m должно быть кратно 4.

Учитывая матрицу Адамара размера 4 a в стандартизированной форме, удалите первую строку и первый столбец и преобразуйте каждый -1 в 0. Полученная матрица M 0–1 является матрицей инцидентности симметричного 2-(4 a - 1, 2 a − 1, a − 1) план, называемый 2-планом Адамара . Он содержит $4a-1$ блоки/очки; каждый содержит/содержится в $2a-1$ точки/блоки. Каждая пара точек содержится ровно в $a-1$ блоки.

Эта конструкция обратима, и матрица инцидентности симметричной 2-плана с этими параметрами может быть использована для формирования матрицы Адамара размера 4 a .

Разрешимые 2-дизайны

Разрешимая 2-схема — это BIBD, блоки которого могут быть разделены на множества (называемые параллельными классами ), каждый из которых образует раздел множества точек BIBD. Набор параллельных классов называется разрешением проекта.

Если 2-( v , k ,λ) разрешимая схема имеет c параллельных классов, то b ≥ v + c − 1.

Следовательно, симметричный проект не может иметь нетривиальное (более одного параллельного класса) разрешение.

Архетипические разрешимые 2-схемы — это конечные аффинные плоскости . Решением знаменитой задачи о 15 школьницах является решение плана 2-(15,3,1).

Общие сбалансированные конструкции ( t -конструкции)

Для любого положительного целого числа t -дизайн x B представляет собой класс подмножеств k -элементов X , называемых блоками , таких, что каждая точка X в t появляется ровно в r блоках, а каждое подмножество t -элементов T появляется ровно в λ блоков. . Числа v (количество элементов X ), b (количество блоков), k , r , λ и t являются параметрами конструкции. Эту схему можно назвать t- ( v , k ,λ)-схемой. Опять же, эти четыре числа определяют b и r , и сами четыре числа не могут быть выбраны произвольно. Уравнения

$\lambda _{i}=\lambda \left.{\binom {v-i}{t-i}}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{ for }}i=0,1,\ldots ,t,$

где λ _i — количество блоков, содержащих любой i -элементный набор точек, и λ _t = λ.

Обратите внимание, что $b=\lambda _{0}=\lambda {v \choose t}/{k \choose t}$ и $r=\lambda _{1}=\lambda {v-1 \choose t-1}/{k-1 \choose t-1}$.

Теорема : Любая t- ( v , k ,λ)-схема также является s- ( v , k ,λs ₎ -схемой для любого s с 1 ≤ s ≤ t . (Обратите внимание, что «значение лямбда» изменяется, как указано выше, и зависит от s .)

Следствием этой теоремы является то, что каждый t -дизайн с t ≥ 2 также является 2-планом.

t- ,1 ) ( v , k -схема называется системой Штейнера .

Сам по себе термин «блочная конструкция» обычно означает двухконтурную конструкцию.

Производные и расширяемые Т-образные конструкции

Пусть D = ( X , B ) — конструкция t-( v , k , λ ), а — точка X. p Производный план D _p имеет набор точек X − { p } и в качестве набора блоков все блоки D , которые содержат p с удаленным p. Это ( t - 1) - ( v - 1, k - 1, λ ) дизайн. Обратите внимание, что производные планы относительно разных точек могут не быть изоморфными. Конструкция E называется расширением D , если E есть точка p такая, что Ep _в изоморфна D ; мы называем D расширяемым, если оно имеет расширение.

Теорема : Если конструкция t -( v , k , λ ) имеет расширение, то k + 1 делит b ( v + 1).

Единственные расширяемые проективные плоскости (симметричные 2-( n ² + n + 1, n + 1, 1) конструкции) — 2-го и 4-го порядков.

Каждую 2-схему Адамара можно расширить (до 3-схемы Адамара ).

Теорема :. Если D , симметричная 2-( v , k ,λ) конструкция, является расширяемой, то выполняется одно из следующих условий:

1. D — 2-план Адамара,
2. v = (λ + 2)(λ ² + 4λ + 2), k = λ ² +3л+1,
3. v  = 495, k  = 39, λ = 3.

Обратите внимание, что проективная плоскость второго порядка представляет собой 2-план Адамара; проективная плоскость четвертого порядка имеет параметры, попадающие в случай 2; единственные другие известные симметричные 2-конструкции с параметрами для случая 2 — это бипланы девятого порядка, но ни одна из них не является расширяемой; и неизвестна симметричная 2-схема с параметрами случая 3.

Инверсивные плоскости

Схема с параметрами продолжения аффинной плоскости , т. е. 3-( n ² +1, n +1,1) конструкция, называется конечной инверсной плоскостью , или плоскостью Мёбиуса , порядка n .

Можно дать геометрическое описание некоторых инверсных плоскостей, да и всех известных инверсных плоскостей. Овоид ) — в PG(3, q это набор q ² + 1 балл, нет трех коллинеарных. Можно показать, что каждая плоскость (которая является гиперплоскостью, поскольку геометрическая размерность равна 3) из PG(3, q ) пересекает овал O либо в 1, либо в q + 1 точках. Плоские сечения размера q + 1 из O являются блоками инверсной плоскости порядка q . Любая инверсионная плоскость, возникающая таким образом, называется яйцеобразной . Все известные инверсивные плоскости имеют яйцеобразную форму.

Примером овала является эллиптическая квадрика , множество нулей квадратичной формы.

х ₁ х ₂ + ж ( х ₃ , х ₄ ),

где f — неприводимая квадратичная форма от двух переменных над GF( q ). [ ж ( Икс , y ) знак равно Икс ² + ху + у ² например].

Если q — нечетная степень 2, известен другой тип овала — овал Сузуки-Титса .

Теорема . Пусть q — целое положительное число, не ниже 2. (a) Если q нечетно, то любой овал проективно эквивалентен эллиптической квадрике в проективной геометрии PG(3, q ); таким образом, q — степень простого числа, и существует единственная яйцеобразная инверсивная плоскость порядка q . (Но неизвестно, существуют ли неяйцеобразные плоскости.) (б) если q четно, то q является степенью двойки и любая инверсная плоскость порядка q яйцеобразна (но могут быть неизвестные овоиды).

Частично сбалансированные конструкции (PBIBD)

Схема n -класса ассоциации состоит из множества X размера v вместе с разбиением S X R × X на n + 1 бинарные отношения , R ₀ , R ₁ , ..., _n . Пара элементов в отношении R _i называется i- м ассоциатом . Каждый элемент X имеет n _i   i- х ассоциатов. Более того:

• $R_{0}=\{(x,x):x\in X\}$ и называется отношением тождества .
• Определение $R^{*}:=\{(x,y)|(y,x)\in R\}$, если R в S , то R* в S
• Если $(x,y)\in R_{k}$, количество $z\in X$ такой, что $(x,z)\in R_{i}$ и $(z,y)\in R_{j}$ является константой $p_{ij}^{k}$ в зависимости от i , j , k , но не от конкретного выбора x и y .

Схема ассоциации коммутативна, если $p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k}$ для всех i , j и k . Большинство авторов предполагают это свойство.

Частично сбалансированный неполный блочный дизайн с n ассоциированными классами (PBIBD( n )) — это блочный дизайн, основанный на v -множестве X с b блоками, каждый из которых имеет размер k , и с каждым элементом, появляющимся в r блоках, так что существует схема ассоциации с n классами, определенными на X , где, если элементы x и y являются i -ми ассоциатами, 1 ≤ i ≤ n , то они вместе находятся ровно в λ _i блоках.

PBIBD( n ) определяет схему ассоциации, но обратное неверно.

Пример

Пусть A (3) — следующая схема ассоциации с тремя ассоциативными классами на множестве X = {1,2,3,4,5,6}. Запись ( i , j ) равна s , если элементы i и j находятся в отношении R _s .

	1	2	3	4	5	6
1	0	1	1	2	3	3
2	1	0	1	3	2	3
3	1	1	0	3	3	2
4	2	3	3	0	1	1
5	3	2	3	1	0	1
6	3	3	2	1	1	0

Блоками PBIBD(3) на основе A (3) являются:

124	134	235	456
125	136	236	456

Параметры этого PBIBD(3): v = 6, b = 8, k = 3, r = 4 и λ ₁ = λ ₂ = 2 и λ ₃ = 1. Кроме того, для схемы ассоциации мы имеем n ₀ = n ₂ = 1 и n ₁ = n ₃ = 2. Матрица инцидентности M равна

${\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&0&1&0&1&1&1\\\end{pmatrix}}$

и матрица совпадений MM ^Т является

${\begin{pmatrix}4&2&2&2&1&1\\2&4&2&1&2&1\\2&2&4&1&1&2\\2&1&1&4&2&2\\1&2&1&2&4&2\\1&1&2&2&2&4\\\end{pmatrix}}$

из которого мы можем восстановить значения λ и r .

Характеристики

Параметры PBIBD( m ) удовлетворяют:

1. $vr=bk$
2. $\sum _{i=1}^{m}n_{i}=v-1$
3. $\sum _{i=1}^{m}n_{i}\lambda _{i}=r(k-1)$
4. $\sum _{u=0}^{m}p_{ju}^{h}=n_{j}$
5. $n_{i}p_{jh}^{i}=n_{j}p_{ih}^{j}$

PBIBD(1) является BIBD, а PBIBD(2), в котором λ ₁ = λ _2, является BIBD.

Два PBIBD ассоциированного класса

PBIBD(2) изучены больше всего, поскольку они являются самыми простыми и полезными из PBIBD. Они делятся на шесть типов на основе классификации известных на тот момент PBIBD(2) Бозе и Симамото (1952) :

1. группа делимая;
2. треугольный;
3. латинского квадрата;
4. циклический;
5. тип частичной геометрии;
6. разнообразный.

Приложения

Математическая тема блочных планов зародилась в статистических рамках планирования экспериментов . Эти планы были особенно полезны при применении метода дисперсионного анализа (ANOVA) . Это остается важной областью использования блочных конструкций.

Хотя истоки этого предмета основаны на биологических приложениях (как и некоторая существующая терминология), конструкции используются во многих приложениях, где проводятся систематические сравнения, например, при тестировании программного обеспечения .

Матрица инцидентности блочных конструкций представляет собой естественный источник интересных блочных кодов , которые используются в качестве кодов с исправлением ошибок . Строки их матриц инцидентности также используются в качестве символов в виде позиционно-импульсной модуляции .

Статистическое приложение

Предположим, что исследователи рака кожи хотят протестировать три разных солнцезащитных крема. Они наносят два разных солнцезащитных крема на верхнюю часть рук испытуемого. После УФ-облучения фиксируют раздражение кожи в виде солнечного ожога. Количество процедур — 3 (солнцезащитные кремы), размер блока — 2 (руки на человека).

Соответствующий BIBD может быть создан с помощью R -функции design.bib и R-пакета agricolae указан в следующей таблице:

Участки	Блокировать	Уход
101	1	3
102	1	2
201	2	1
202	2	3
301	3	2
302	3	1

Исследователь выбирает параметры v = 3 , k = 2 и λ = 1 для конструкции блока, которые затем вставляются в R-функцию. В дальнейшем остальные параметры b и r определяются автоматически.

Используя базовые соотношения, вычисляем, что нам нужно b = 3 блока, то есть 3 испытуемых, чтобы получить сбалансированную неполную блочную конструкцию. Обозначая блоки A , B и C , во избежание путаницы, мы имеем конструкцию блока,

A = {2, 3 }, B = {1, 3 } и C = {1, 2 }.

Соответствующая матрица заболеваемости указана в следующей таблице:

Уход	Блок А	Блок Б	Блок С
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	0

Каждая обработка происходит в 2 блока, поэтому r = 2 .

Только один блок ( C ) содержит обработки 1 и 2 одновременно, и то же самое относится к парам процедур (1,3) и (2,3). Следовательно, λ = 1 .

В этом примере невозможно использовать полную схему (все процедуры в каждом блоке), поскольку нужно протестировать 3 солнцезащитных крема, но на каждого человека приходится только 2 руки.

См. также

• Геометрия падения
• Система Штейнера

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (1971). «О группах коллинеации симметричных блочных конструкций» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 11 (3): 272–281. дои : 10.1016/0097-3165(71)90054-9 .
• Ассмус, EF; Ки, JD (1992), Проекты и их коды , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-41361-3
• Бет, Томас; Юнгникель, Дитер ; Ленц, Ханфрид (1986), Теория дизайна , Издательство Кембриджского университета . 2-е изд. (1999) ISBN   978-0-521-44432-3 .
• Бозе, Р.К. (1949), «Заметки о неравенстве Фишера для сбалансированных неполных блочных конструкций», Annals of Mathematical Статистика , 20 (4): 619–620, doi : 10.1214/aoms/1177729958
• Бозе, Р.К .; Симамото, Т. (1952), «Классификация и анализ частично сбалансированных неполных блочных конструкций с двумя ассоциированными классами», Журнал Американской статистической ассоциации , 47 (258): 151–184, doi : 10.1080/01621459.1952.10501161
• Кэмерон, Пи Джей; ван Линт, Дж. Х. (1991), Проекты, графики, коды и их связи , Cambridge University Press, ISBN  0-521-42385-6
• Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным планам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC, ISBN  978-1-58488-506-1
• Фишер, Р.А. (1940), «Исследование различных возможных решений проблемы в неполных блоках», Annals of Eugenics , 10 : 52–75, doi : 10.1111/j.1469-1809.1940.tb02237.x , hdl : 2440 /15239
• Холл, Маршалл младший (1986), Комбинаторная теория (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN  0-471-09138-3
• Хьюз, доктор медицинских наук; Пайпер, ЕС (1985), Теория дизайна , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-25754-9
• Каски, Петтери; Остергорд, Патрик (2008). «Существует ровно пять бипланов с k = 11». Журнал комбинаторных проектов . 16 (2): 117–127. дои : 10.1002/jcd.20145 . МР   2384014 . S2CID   120721016 .
• Ландер, ES (1983), Симметричные конструкции: алгебраический подход , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-28693-0
• Линднер, CC; Роджер, Калифорния (1997), Теория дизайна , Бока-Ратон: CRC Press, ISBN  0-8493-3986-3
• Рагхаварао, Дамараджу (1988). Конструкции и комбинаторные задачи планирования экспериментов . Дувр. ISBN  978-0-486-65685-4 .
• Рагхаварао, Дамараджу ; Пэджетт, Л.В. (11 октября 2005 г.). Блочные конструкции: анализ, комбинаторика и приложения . Всемирная научная. ISBN  978-981-4480-23-9 .
• Райзер, Герберт Джон (1963), «8. Комбинаторные расчеты» , Комбинаторная математика , Математические монографии Каруса, том. 14, Математическая ассоциация Америки, стр. 96–130, ISBN.  978-1-61444-014-7
• Салвах, Честер Дж.; Меццароба, Джозеф А. (1978). «Четыре биплана с k = 9» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 24 (2): 141–145. дои : 10.1016/0097-3165(78)90002-X .
• Хаттри, Равиндра (2019). «Примечание о несуществовании неполных блочных конструкций с постоянной суммой блоков». Коммуникации в статистике - теория и методы . 48 (20): 5165–5168. дои : 10.1080/03610926.2018.1508715 . S2CID   125795689 .
• Хаттри, Равиндра (2022). «О построении равноповторяющихся конструкций с постоянной блочной суммой». Коммуникации в статистике - теория и методы . 51 (2): 4434–4450. дои : 10.1080/03610926.2020.1814816 . S2CID   225335042 .
• Шрикханде, SS ; Бхат-Наяк, Васанти Н. (1970), «Неизоморфные решения некоторых сбалансированных неполных блочных схем I», Journal of Combinatorial Theory , 9 (2): 174–191, doi : 10.1016/S0021-9800(70)80024 -2
• Стинсон, Дуглас Р. (2003), Комбинаторные планы: конструкции и анализ , Springer, ISBN  0-387-95487-2
• Стрит, Энн Пенфолд и Стрит, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика планирования эксперимента . Оксфорд, UP [Кларендон]. ISBN  0-19-853256-3 .
• ван Линт, Дж. Х.; Уилсон, Р.М. (1992). Курс комбинаторики . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-41057-1 .

Внешние ссылки

• DesignTheory.Org : Базы данных комбинаторных, статистических и экспериментальных блочных проектов. Программное обеспечение и другие ресурсы, размещенные Школой математических наук Колледжа Королевы Марии Лондонского университета.
• Ресурсы по теории дизайна : Питера Кэмерона с веб-ресурсами по теории дизайна. страница
• Вайсштейн, Эрик В. «Блочные конструкции» . Математический мир .