Группа автоморфизмов

В математике группа автоморфизмов объекта X это группа, из автоморфизмов X состоящая относительно композиции морфизмов — . Например, если X — конечномерное векторное пространство , то группа автоморфизмов X — это группа обратимых линейных преобразований из X в себя ( общая линейная группа X ) . Если вместо этого X является группой, то ее группа автоморфизмов $\operatorname {Aut} (X)$ — группа, состоящая из всех автоморфизмов X групповых .

Группа автоморфизмов, особенно в геометрическом контексте, также называется группой симметрии . Подгруппу группы автоморфизмов иногда называют группой преобразований .

Группы автоморфизмов в общем изучаются в области теории категорий .

Примеры

Если X — множество без дополнительной структуры, то любая биекция в себя является автоморфизмом, и, следовательно, группа автоморфизмов в этом случае является в точности симметрической группой X. X X Если множество X имеет дополнительную структуру, то может случиться так, что не все биекции на множестве сохраняют эту структуру, и в этом случае группа автоморфизмов будет подгруппой симметрической группы на X . Некоторые примеры этого включают следующее:

• Группа автоморфизмов расширения поля $L/K$ — группа, состоящая из полевых L фиксирующих , K. автоморфизмов Если расширение поля есть Галуа , группа автоморфизмов называется группой Галуа расширения поля.
• Группой автоморфизмов проективного n -пространства над полем k является проективная линейная группа $\operatorname {PGL} _{n}(k).$
• Группа автоморфизмов $G$ конечной группы порядка ​ n изоморфна ​ циклической $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$, мультипликативная группа целых чисел по модулю n , с изоморфизмом, заданным формулой ${\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}$. В частности, $G$ является абелевой группой .
• Группа автоморфизмов конечномерной вещественной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ имеет структуру (вещественной) группы Ли (фактически это даже линейная алгебраическая группа : см. ниже ). Если G — группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$, то группа автоморфизмов G имеет структуру группы Ли, индуцированную из нее на группе автоморфизмов группы G. ${\mathfrak {g}}$.

Если G — группа, действующая на множестве X , действие сводится к групповому гомоморфизму из G в группу автоморфизмов X и наоборот. Действительно, каждое левое G -действие на множестве X определяет $G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x$и, наоборот, каждый гомоморфизм $\varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)$ определяет действие по $g\cdot x=\varphi (g)x$. Это распространяется на случай, когда набор X имеет больше структуры, чем просто набор. Например, если X — векторное пространство, то групповое действие G на X — это групповое представление группы G , представляющее G как группу линейных преобразований (автоморфизмов) X ; эти представления являются основным объектом изучения в области теории представлений .

Вот некоторые другие факты о группах автоморфизмов:

• Позволять $A,B$ — два конечных множества одинаковой мощности и $\operatorname {Iso} (A,B)$ множество всех биекций $A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B$. Затем $\operatorname {Aut} (B)$, являющаяся симметрической группой (см. выше), действует на $\operatorname {Iso} (A,B)$ слева свободно и транзитивно ; то есть, $\operatorname {Iso} (A,B)$ это торсор для $\operatorname {Aut} (B)$ (ср. #В теории категорий ).
• Пусть P — конечно порожденный проективный над кольцом R. модуль Затем происходит вложение $\operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)$, единственный с точностью до внутренних автоморфизмов .

В теории категорий

Группы автоморфизмов очень естественно появляются в теории категорий .

Если X — объект в категории, то группа автоморфизмов — это группа, состоящая из всех обратимых морфизмов X X в себя. Это группа эндоморфизмов моноида X . единичная (Некоторые примеры см. в PROP .)

Если $A,B$ являются объектами некоторой категории, то множество $\operatorname {Iso} (A,B)$ из всех $A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B$ это левый $\operatorname {Aut} (B)$- торсор . На практике это говорит о том, что иной выбор базовой точки $\operatorname {Iso} (A,B)$ однозначно отличается элементом $\operatorname {Aut} (B)$или что каждый выбор базовой точки есть в точности выбор тривиализации торсора.

Если $X_{1}$ и $X_{2}$ объекты в категориях $C_{1}$ и $C_{2}$, и если $F:C_{1}\to C_{2}$ является функтора отображением $X_{1}$ к $X_{2}$, затем $F$ индуцирует групповой гомоморфизм $\operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})$, поскольку он отображает обратимые морфизмы в обратимые морфизмы.

В частности, если G — группа, рассматриваемая как категория с одним объектом * или, в более общем смысле, если G — группоид, то каждый функтор $F:G\to C$, C категория, называется действием или представлением G на объекте. $F(*)$, или объекты $F(\operatorname {Obj} (G))$. Тогда эти объекты называются $G$-объекты (так как на них воздействуют $G$); ср. $\mathbb {S}$-объект . Если $C$ является категорией модулей, подобной категории конечномерных векторных пространств, то $G$-предметы еще называют $G$-модули.

Функтор группы автоморфизмов

Позволять $M$ — конечномерное векторное пространство над полем k , наделенное некоторой алгебраической структурой (т. е. M — конечномерная алгебра над k ). Это может быть, например, ассоциативная алгебра или алгебра Ли .

Теперь рассмотрим k - линейные отображения $M\to M$ сохраняющие алгебраическую структуру: они образуют векторное подпространство $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ из $\operatorname {End} (M)$. Группа подразделений $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ является группой автоморфизмов $\operatorname {Aut} (M)$. базис на M , Когда выбран $\operatorname {End} (M)$ – пространство квадратных матриц и $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M)$ — нулевое множество некоторых полиномиальных уравнений , а обратимость снова описывается полиномами. Следовательно, $\operatorname {Aut} (M)$ — линейная алгебраическая группа над k .

Теперь базовые расширения, примененные к приведенному выше обсуждению, определяют функтор: а именно, для каждого коммутативного кольца R над k рассмотрим R -линейные отображения $M\otimes R\to M\otimes R$ сохраняя алгебраическую структуру: обозначим ее через $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)$. Тогда единичная группа матричного кольца $\operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)$ над R — группа автоморфизмов $\operatorname {Aut} (M\otimes R)$ и $R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)$ — групповой функтор : функтор из категории коммутативных колец над k в категорию групп . Еще лучше ее изображает схема (поскольку группы автоморфизмов определяются полиномами): эта схема называется схемой группы автоморфизмов и обозначается $\operatorname {Aut} (M)$.

Однако в общем случае функтор группы автоморфизмов не может быть представлен схемой.

См. также

• Группа внешних автоморфизмов
• Структура уровней , метод удаления группы автоморфизмов.
• Группа голономии

Ссылки

• Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли . ISBN  978-0-471-43334-7 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию . Анналы математических исследований. Том. 72. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  9780691081014 . МР   0349811 . Збл   0237.18005 .
• Уотерхаус, Уильям К. (2012) [1979]. Введение в схемы аффинных групп . Тексты для аспирантов по математике. Том. 66. Шпрингер Верлаг. ISBN  9781461262176 .

Внешние ссылки

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme