Неявная поверхность

Неявный поверхностный тор ( R = 40, a = 15) .

Неявная поверхность рода 2.

Неявная неалгебраическая поверхность ( бокал ).

В математике неявная поверхность — это поверхность в евклидовом пространстве, определяемая уравнением

$F(x,y,z)=0.$

Неявная поверхность — это множество нулей функции трёх переменных . Неявное означает, что уравнение не решено относительно x , y или z .

График функции обычно описывается уравнением $z=f(x,y)$ и называется явным представлением. Третьим существенным описанием поверхности является параметрическое : $(x(s,t),y(s,t),z(s,t))$, где координаты x- , y- и z точек поверхности представлены тремя функциями $x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)$ в зависимости от общих параметров $s,t$. Обычно изменение представлений является простым только тогда, когда явное представление $z=f(x,y)$ дано: $z-f(x,y)=0$ (скрытый), $(s,t,f(s,t))$ (параметрический).

Примеры :

1. Самолет ​ $x+2y-3z+1=0.$
2. Сфера ​ $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.$
3. Тор ​ $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.$
4. Поверхность рода 2: $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1)(1-z^{2})=0$ (см. схему).
5. Поверхность революции $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0.02=0$ (см. схему рюмки ).

Для плоскости, сферы и тора существуют простые параметрические представления. Это неверно для четвертого примера.

Теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение $F(x,y,z)=0$ может быть решено (по крайней мере, неявно) для x , y или z . Но в целом решение не может быть явным. Эта теорема является ключом к вычислению основных геометрических особенностей поверхности: касательных плоскостей , нормалей поверхности , кривизны (см. ниже). Но у них есть существенный недостаток: затруднена их визуализация.

Если $F(x,y,z)$ полиномиальна по x , y и z , поверхность называется алгебраической . Пример 5 не является алгебраическим.

Несмотря на сложность визуализации, неявные поверхности предоставляют относительно простые методы создания теоретически (например, поверхность Штейнера ) и практически (см. ниже) интересных поверхностей.

Формулы

В ходе следующих рассуждений неявная поверхность представляется уравнением $F(x,y,z)=0$ где функция $F$ удовлетворяет необходимым условиям дифференцируемости. Частные производные ​ $F$ являются $F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots$.

Касательная плоскость и вектор нормали

Точка на поверхности $(x_{0},y_{0},z_{0})$ называется регулярным тогда и только тогда градиент , когда $F$ в $(x_{0},y_{0},z_{0})$ не является нулевым вектором $(0,0,0)$, значение

$(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)$.

Если точка поверхности $(x_{0},y_{0},z_{0})$ является не регулярным, его называют сингулярным .

Уравнение касательной плоскости в регулярной точке $(x_{0},y_{0},z_{0})$ является

$F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,$

и нормальный вектор

$\mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.$

Нормальная кривизна

Чтобы сохранить формулу простой, аргументы $(x_{0},y_{0},z_{0})$ опущены:

$\kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operatorname {grad} F\|}}$

- нормальная кривизна поверхности в регулярной точке для единичного касательного направления. $\mathbf {v}$. $H_{F}$ представляет собой Гессе матрицу $F$ (матрица вторых производных).

Доказательство этой формулы опирается (как и в случае неявной кривой) на теорему о неявной функции и формулу нормальной кривизны параметрической поверхности .

Применение неявных поверхностей

Как и в случае с неявными кривыми, создать неявные поверхности желаемой формы, применяя алгебраические операции (сложение, умножение) к простым примитивам, несложно.

Эквипотенциальная поверхность четырех точечных зарядов

Эквипотенциальная поверхность точечных зарядов

Основная статья: Эквипотенциал

Электрический потенциал точечного заряда $q_{i}$ в точку $\mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ генерируется в точке $\mathbf {p} =(x,y,z)$ потенциал (без учета физических констант)

$F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.$

Эквипотенциальная поверхность для значения потенциала $c$ это неявная поверхность $F_{i}(x,y,z)-c=0$ это сфера с центром в точке $\mathbf {p} _{i}$.

Потенциал $4$ точечные сборы представлены

$F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.$

Для рисунка четыре заряда равны 1 и расположены в точках $(\pm 1,\pm 1,0)$. Отображаемая поверхность является эквипотенциальной поверхностью (неявная поверхность). $F(x,y,z)-2.8=0$.

Поверхность продукта на постоянном расстоянии

Овал Кассини можно определить как набор точек, для которого произведение расстояний до двух заданных точек постоянно (напротив, для эллипса сумма постоянна ). Аналогичным образом неявные поверхности могут быть определены как произведение постоянного расстояния до нескольких фиксированных точек.

На диаграмме метаморфоз верхняя левая поверхность формируется по следующему правилу:

${\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2}}}{\Big )}\end{aligned}}$

поверхность продукта на постоянном расстоянии $F(x,y,z)-1.1=0$ отображается.

Метаморфозы между двумя неявными поверхностями: тором и поверхностью произведения постоянного расстояния.

Метаморфозы неявных поверхностей

Еще один простой метод создания новых неявных поверхностей называется метаморфозой неявных поверхностей:

Для двух неявных поверхностей $F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0$ (на диаграмме: поверхность произведения на постоянном расстоянии и тор) новые поверхности определяются с помощью параметра проектирования $\mu \in [0,1]$:

$F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0$

На схеме конструктивный параметр последовательно $\mu =0,\,0.33,\,0.66,\,1$ .

Аппроксимация трех торов ( параллельная проекция )

Изображение POV-Ray (центральная проекция) аппроксимации трех торов.

Гладкие аппроксимации нескольких неявных поверхностей

$\Pi$-поверхности может использоваться для аппроксимации любого данного гладкого и ограниченного объекта в $R^{3}$ поверхность которого определяется одним многочленом как произведение вспомогательных многочленов. Другими словами, мы можем спроектировать любой гладкий объект с одной алгебраической поверхностью. Обозначим определяющие многочлены как $f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)$. Тогда аппроксимирующий объект определяется полиномом

$F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r$

где $r\in \mathbb {R}$ обозначает параметр смешивания, который контролирует ошибку аппроксимации.

Аналогично гладкому приближению с неявными кривыми уравнение

$F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0$

представляет для подходящих параметров $c$ гладкие аппроксимации трех пересекающихся торов уравнениями

${\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2})=0.\end{aligned}}$

(На схеме параметры $R=1,\,a=0.2,\,r=0.01.$)

Изображение POV-Ray: метаморфозы между сферой и поверхностью продукта на постоянном расстоянии (6 точек).

Визуализация неявных поверхностей

Существуют различные алгоритмы рендеринга неявных поверхностей. включая алгоритм марширующих кубиков . По сути, есть две идеи для визуализации неявной поверхности: одна генерирует сеть полигонов, которая визуализируется (см. Триангуляцию поверхности ), а вторая опирается на трассировку лучей , которая определяет точки пересечения лучей с поверхностью. Точки пересечения можно аппроксимировать путем трассировки сферы , используя функцию расстояния со знаком для определения расстояния до поверхности.

См. также

• Неявная кривая

Дальнейшее чтение

• Гомес А., Войкулеску И., Хорхе Дж., Уивилл Б., Гэлбрейт К.: Неявные кривые и поверхности: математика, структуры данных и алгоритмы , 2009, Springer-Verlag, Лондон, ISBN   978-1-84882-405-8
• Торп: Элементарные темы дифференциальной геометрии , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1979, ISBN   0-387-90357-7