постоянная Больцмана

Не путать с постоянной Стефана – Больцмана .

постоянная Больцмана
Людвиг Больцман , тезка константы
Символ:	к Б , к
Значение в джоулях на кельвин	1.380 649 × 10 −23  J⋅K −1
Значение в электронвольтах на кельвин	8.617 333 262 × 10 −5 эВ.К-1

Константа Больцмана ( k _B или k ) — это пропорциональности , который связывает среднюю относительную тепловую энергию частиц коэффициент в газе с термодинамической температурой газа. Он встречается в определениях кельвина ( К) и газовой постоянной , а также в законе Планка о излучении черного тела и формуле энтропии Больцмана и используется при расчете теплового шума в резисторах . Постоянная Больцмана имеет размерность энергии , деленную на температуру , такую ​​же, как энтропия и теплоемкость . Назван в честь австрийского учёного Людвига Больцмана .

В рамках переопределения базовых единиц СИ в 2019 году константа Больцмана стала одной из семи « определяющих констант », которым были даны точные определения. Они используются в различных комбинациях для определения семи основных единиц СИ. Постоянная Больцмана определяется как равная ровно 1,380 649 × 10 ⁻²³ джоули на кельвин.

Роль постоянной Больцмана

Связь между законами Бойля , Шарля , Гей-Люссака , Авогадро , комбинированного и идеального газа с постоянной Больцмана k = ⁠ R / N _A ⁠ = ⁠ n   R / N ⁠ (в каждом законе свойства , обведенные кружком, являются переменными, а свойства, не обведенные кружком, остаются постоянными)

ИЮПАК определение

Константа Больцмана : Константа Больцмана k является одной из семи фиксированных констант, определяющих Международную систему единиц СИ, с k = 1,380 649 x 10. ^-23 Дж.К. ^-1 . Константа Больцмана — это константа пропорциональности между величинами температуры (в единицах кельвина) и энергии (в единицах джоулей).

Макроскопически закон идеального газа гласит, что для идеального газа произведение давления p и объема V пропорционально произведению количества вещества n и абсолютной температуры T :

$$pV=nRT,$$

где R — молярная газовая постоянная ( 8,314 462 618 153 24 Дж⋅К ⁻¹ ⋅ mol ⁻¹ ). Введение постоянной Больцмана как газовой постоянной на молекулу. k = R / NA ₎ ( Авогадро NA _{постоянная} : преобразует закон идеального газа в альтернативную форму

$$pV=NkT,$$

где N — число молекул газа.

Роль в равнораспределении энергии

Основная статья: Равнораспределение энергии

Учитывая термодинамическую систему при абсолютной температуре T , средняя тепловая энергия, переносимая каждой микроскопической степенью свободы в системе, равна ⁠ 1/2 × ⁠ k   около T е. 2,07 (т . 10 ⁻²¹ Дж , или 0,013 эВ , при комнатной температуре). Обычно это справедливо только для классических систем с большим числом частиц и в которых квантовые эффекты пренебрежимо малы.

В классической статистической механике предсказывается, что это среднее значение справедливо именно для однородных идеальных газов . Одноатомные идеальные газы (шесть благородных газов) обладают тремя степенями свободы на атом, что соответствует трем пространственным направлениям. Согласно равнораспределению энергии это означает, что существует тепловая энергия ⁠ 3/2 ⁠ на T   k атом . Это очень хорошо согласуется с экспериментальными данными. Тепловую энергию можно использовать для расчета среднеквадратичной скорости атомов, которая оказывается обратно пропорциональна квадратному корню из атомной массы . Среднеквадратические скорости, найденные при комнатной температуре, точно отражают это: от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона .

Кинетическая теория дает среднее давление p для идеального газа как

$$p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.$$

Сочетание с законом идеального газа

$$pV=NkT$$

показывает, что средняя поступательная кинетическая энергия равна

$${\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.$$

Учитывая, что вектор скорости поступательного движения v имеет три степени свободы (по одной для каждого измерения), получаем среднюю энергию на одну степень свободы, равную одной трети от этого, т.е. ⁠ 1 / 2 ⁠  k T .

Уравнению идеального газа также точно подчиняются молекулярные газы; но форма теплоемкости сложнее, поскольку молекулы обладают дополнительными внутренними степенями свободы, а также тремя степенями свободы движения молекулы в целом. Например, двухатомные газы обладают в общей сложности шестью степенями простой свободы на молекулу, связанными с движением атомов (три поступательными, две вращательными и одна колебательная). При более низких температурах не все эти степени свободы могут полностью участвовать в теплоемкости газа из-за квантово-механических ограничений на наличие возбужденных состояний при соответствующей тепловой энергии на молекулу.

Роль факторов Больцмана

В более общем смысле, системы, находящиеся в равновесии при температуре T, вероятность Pi _имеют занять состояние i с энергией E, взвешенной соответствующим фактором Больцмана :

$$P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},$$

где Z — статистическая сумма . энергоподобная величина k T. Опять же, центральное значение имеет

Следствием этого является (помимо приведенных выше результатов для идеальных газов) уравнение Аррениуса в химической кинетике .

Роль в статистическом определении энтропии

Дополнительная информация: Энтропия (статистическая термодинамика).

Могила Больцмана в Центральном Фридхофе в Вене, с бюстом и формулой энтропии.

В статистической механике энтропия S в изолированной системы термодинамическом равновесии определяется как натуральный логарифм W E , количества различных микроскопических состояний, доступных системе с учетом макроскопических ограничений (таких как фиксированная полная энергия ) :

$$S=k\,\ln W.$$

Это уравнение, которое связывает микроскопические детали или микросостояния системы (через W ) с ее макроскопическим состоянием (через энтропию S ), является центральной идеей статистической механики. Его важность настолько велика, что оно начертано на надгробии Больцмана.

Константа пропорциональности k служит для того, чтобы сделать статистическую механическую энтропию равной классической термодинамической энтропии Клаузиуса :

$$\Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.$$

Вместо этого можно было бы выбрать безразмерную энтропию, масштабированную в микроскопических терминах, такую, что

$${S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.$$

Это более естественная форма, и эта масштабированная энтропия точно соответствует последующей информационной энтропии Шеннона .

Таким образом, характеристическая энергия kT — это энергия, необходимая для увеличения перемасштабированной энтропии на один nat .

Тепловое напряжение

В полупроводниках уравнение диода Шокли — соотношение между потоком электрического тока и электростатическим потенциалом через p-n-переход — зависит от характеристического напряжения, называемого тепловым напряжением обозначаемого VT _и . Тепловое напряжение зависит от абсолютной температуры T как

$$V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},$$

где q — величина электрического заряда на электроне величиной 1,602 176 634 × 10 ⁻¹⁹ С. ​ ‍ Эквивалентно, $${V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .$$

При комнатной температуре 300 К (27 °C; 80 °F) V _T составляет примерно 25,85 мВ. который можно получить, подставив значения следующим образом:

$$V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV}$$

При стандартной температуре 298,15 К (25,00 °C; 77,00 °F) оно составляет примерно 25,69 мВ . Тепловое напряжение также важно в плазме и растворах электролитов (например, уравнение Нернста ); в обоих случаях он дает меру того, насколько на пространственное распределение электронов или ионов влияет граница, удерживаемая при фиксированном напряжении.

История

Постоянная Больцмана названа в честь ее австрийского первооткрывателя XIX века Людвига Больцмана . Хотя Больцман впервые связал энтропию и вероятность в 1877 году, это соотношение никогда не выражалось с помощью конкретной константы до тех пор, пока Макс Планк впервые не ввел k и не дал для него более точное значение ( 1,346 × 10 ⁻²³ J/K , примерно на 2,5% ниже сегодняшнего показателя), при выводе закона излучения черного тела в 1900–1901 гг. До 1900 года уравнения, включающие факторы Больцмана, записывались не с использованием энергий на молекулу и постоянной Больцмана, а с использованием формы газовой постоянной R и макроскопических энергий для макроскопических количеств вещества. Знаменитая краткая форма уравнения S = k ln W на надгробии Больцмана на самом деле принадлежит Планку, а не Больцману. Планк фактически представил его в той же работе, что и его одноименный h .

В 1920 году Планк в своей Нобелевской лекции написал:

Эту константу часто называют константой Больцмана, хотя, насколько мне известно, сам Больцман никогда ее не вводил — своеобразное положение дел, которое можно объяснить тем, что Больцман, как следует из его периодических высказываний, никогда не задумывался о возможность проведения точного измерения константы.

Это «особое положение дел» иллюстрируется ссылкой на один из величайших научных споров того времени. Во второй половине девятнадцатого века существовали значительные разногласия относительно того, реальны ли атомы и молекулы или они являются просто эвристическим инструментом для решения проблем. Не было единого мнения о том, являются ли химические молекулы, измеренные атомными весами , такими же, как физические молекулы, измеренные кинетической теорией . Лекция Планка 1920 года продолжалась:

Ничто не может лучше иллюстрировать положительную и лихорадочную скорость прогресса, достигнутого искусством экспериментаторов за последние двадцать лет, чем тот факт, что с тех пор был открыт не один, а множество методов измерения массы молекулу практически с той же точностью, что и для планеты.

В версиях СИ до переопределения базовых единиц СИ в 2019 году константа Больцмана была измеряемой величиной, а не фиксированным значением. Его точное определение также менялось с годами из-за переопределения кельвина (см. Кельвин § История ) и других основных единиц СИ (см. Джоуль § История ).

В 2017 году наиболее точные измерения постоянной Больцмана были получены с помощью акустической газовой термометрии, которая определяет скорость звука одноатомного газа в трехосной эллипсоидной камере с помощью микроволновых и акустических резонансов. Эта десятилетняя работа была предпринята несколькими лабораториями с использованием различных методов; это один из краеугольных камней переопределения базовых единиц СИ в 2019 году. На основании этих измерений CODATA рекомендовала 1,380 649 × 10. ⁻²³ Дж/К — окончательное фиксированное значение постоянной Больцмана, которое будет использоваться в Международной системе единиц .

В качестве предварительного условия для переопределения постоянной Больцмана должно быть одно экспериментальное значение с относительной неопределенностью ниже 1 ppm и по крайней мере одно измерение вторым методом с относительной неопределенностью ниже 3 ppm. Акустическая газовая термометрия достигла 0,2 ppm, а шумовая термометрия Джонсона — 2,8 ppm.

Стоимость в разных единицах

Значения k	Единицы	Комментарии
1.380 649 × 10 −23	Дж / К	СИ по определению, Дж/К = m 2 ⋅кг/(с 2 ⋅K) в базовых единицах СИ
8.617 333 262 × 10 −5	эВ /К	†
2.083 661 912 × 10 10	Гц /К	( к / ч ) †
1.380 649 × 10 −16	очень /К	СГС Система , 1 эрг = 1 × 10 −7 Дж
3.297 623 483 × 10 −24	кал /К	† 1 калория = 4,1868 Дж
1.832 013 046 × 10 −24	кал/ °Р	†
5.657 302 466 × 10 −24	фут-фунт /°R	†
0.695 034 800	см −1 /К	( k /( hc ) ) †
3.166 811 563 × 10 −6	и ч /К	( E час = Хартри )
1.987 204 259 × 10 −3	ккал /( моль ⋅К)	( кН А ) †
8.314 462 618 × 10 −3	кДж/(моль⋅К)	( кН А ) †
−228.599 1672	дБ (Вт/К/Гц)	10 log 10 ( k /(1 Вт/К/Гц)) ,† используется для теплового шума расчетов
1.536 179 187 × 10 −40	кг/К	к / с 2 , где c — скорость света

†Значение является точным, но не может быть выражено в виде конечной десятичной дроби; округляется только до 9 десятичных знаков.

Поскольку k является коэффициентом пропорциональности между температурой и энергией, его численное значение зависит от выбора единиц энергии и температуры. Небольшое численное значение постоянной Больцмана в единицах СИ означает, что изменение температуры на 1 К меняет энергию частицы лишь на небольшую величину. Изменение на 1 °C считается таким же, как изменение на 1 K. Характеристическая энергия kT — это термин, встречающийся во многих физических отношениях.

Постоянная Больцмана устанавливает связь между длиной волны и температурой (деление hc / k на длину волны дает температуру), при этом один микрометр относится к 14 387,777 К , а также связь между напряжением и температурой ( кТ в единицах эВ соответствует где один вольт относится к 11 604,518 К. к напряжению) , Отношение этих двух температур 14 387,777 К / 11 604,518 К ≈ 1,239842, представляет собой численное значение hc в единицах эВ⋅мкм.

Натуральные единицы

Постоянная Больцмана обеспечивает отображение характеристической микроскопической энергии E в макроскопическую температурную шкалу T = ⁠ Э / к ⁠ . В фундаментальной физике это отображение часто упрощается за счет использования естественных единиц, приравнивающих k к единице. Это соглашение означает, что величины температуры и энергии имеют одинаковые размерности . В частности, единица СИ кельвин становится лишней, поскольку ее определяют в джоулях как 1 К = 1,380 649 × 10. ⁻²³ Дж . При таком соглашении температура всегда выражается в единицах энергии, а константа Больцмана явно не требуется в формулах.

Это соглашение упрощает многие физические соотношения и формулы. Например, формула равнораспределения энергии, связанной с каждой классической степенью свободы ( ${\tfrac {1}{2}}kT$ выше) становится

$$E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T$$

Другой пример: определение термодинамической энтропии совпадает с формой информационной энтропии :

$$S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.$$

где Pi _— вероятность каждого микросостояния .

См. также

• Комитет по данным Международного научного совета
• Термодинамическая бета
• Список ученых, имена которых используются в физических константах

Внешние ссылки

• Проект главы 2 брошюры СИ после пересмотра определений базовых единиц (подготовлен Консультативным комитетом по единицам)
• Большой шаг к переопределению кельвина: ученые нашли новый способ определения постоянной Больцмана