Формализм (философия математики)
 | В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
В философии математики (буквенно - формализм — это точка зрения, согласно которой утверждения математики и логики можно рассматривать как утверждения о последствиях манипуляций со строками цифровыми последовательностями символов, обычно в виде уравнений) с использованием установленных правил манипуляции . Центральная идея формализма «заключается в том, что математика не представляет собой совокупность предложений, представляющих абстрактный сектор реальности, а гораздо больше похожа на игру, не приносящую с собой большей приверженности онтологии объектов или свойств, чем лудо или шахматы ». [1] Согласно формализму, истины, выраженные в логике и математике, не касаются чисел, множеств, треугольников или каких-либо других сопутствующих предметов — фактически, они вообще ни о чем «не говорят». Скорее, математические утверждения представляют собой синтаксические формы, формы и расположение которых не имеют значения, пока им не будет дана интерпретация (или семантика ). В отличие от математического реализма , логицизма или интуиционизма , контуры формализма менее определены из-за широких подходов, которые можно отнести к формалистическим.
Наряду с реализмом и интуиционизмом формализм является одной из основных теорий философии математики, сложившейся в конце XIX — начале XX века. Среди формалистов Дэвид Гильберт . наиболее известным защитником был [2]
Ранний формализм
[ редактировать ]Ранние математические формалисты пытались «заблокировать, избежать или обойти (каким-то образом) любую онтологическую приверженность проблемной области абстрактных объектов». [1] Немецкие математики Эдуард Гейне и Карл Йоханнес Томае считаются ранними сторонниками математического формализма. [1] Формализм Гейне и Томаэ можно найти в критических замечаниях Готлоба Фреге в «Основах арифметики» .
По словам Алана Вейра, формализм Гейне и Томаэ, на который нападает Фреге, можно «описать [d] как формализм терминов или формализм игр». [1] Термин формализм — это точка зрения, согласно которой математические выражения относятся к символам, а не к числам. Гейне выразил эту точку зрения так: «Когда дело доходит до определения, я занимаю чисто формальную позицию, заключающуюся в том, что называю определенные осязаемые знаки числами, так что существование этих чисел не подвергается сомнению». [3]
Томаэ характеризуется как игровой формалист, который утверждал, что «[для формалиста] арифметика — это игра со знаками, которые называются пустыми. Это означает, что они не имеют другого содержания (в вычислительной игре), чем они заданы их поведением». относительно определенных правил комбинации (правил игры)». [4]
Фреге дает три критических замечания в адрес формализма Гейне и Томаэ: «что [формализм] не может объяснить применение математики; что он путает формальную теорию с метатеорией; [и] что он не может дать связного объяснения концепции бесконечной последовательности». [5] Критика Фреге формализма Гейне заключается в том, что его формализм не может объяснить бесконечные последовательности. Даммет утверждает, что более развитые теории формализма, чем теория Гейне, могли бы избежать возражений Фреге, утверждая, что они касаются абстрактных символов, а не конкретных объектов. [6] Фреге возражает против сравнения формализма с формализмом игры, например шахмат. [7] Фреге утверждает, что формализм Томаэ не позволяет провести различие между игрой и теорией.
Формализм Гильберта
[ редактировать ]
Главной фигурой формализма был Давид Гильберт , чья программа была задумана как полная и последовательная аксиоматизация всей математики. [8] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) непротиворечива (т. е. никакие противоречия из системы не могут быть выведены ).
Способ, которым Гильберт пытался показать непротиворечивость аксиоматической системы, заключался в ее формализации с использованием определенного языка. [9] Чтобы формализовать аксиоматическую систему, вы должны сначала выбрать язык, на котором вы можете выражать и выполнять операции внутри этой системы. Этот язык должен включать в себя пять компонентов:
- Он должен включать такие переменные, как x, который может обозначать некоторое число.
- Он должен иметь кванторы, такие как символ существования объекта.
- Оно должно включать равенство.
- Оно должно включать такие связки, как ↔, обозначающее «тогда и только тогда».
- Он должен включать определенные неопределенные термины, называемые параметрами. В геометрии эти неопределенные термины могут быть чем-то вроде точки или линии, для которых мы до сих пор выбираем символы.
Приняв этот язык, Гильберт думал, что мы сможем доказать все теоремы в любой аксиоматической системе, используя не что иное, как сами аксиомы и выбранный формальный язык.
Вывод Гёделя в его теоремах о неполноте заключался в том, что невозможно доказать непротиворечивость внутри какой-либо последовательной аксиоматической системы, достаточно богатой, чтобы включать классическую арифметику. С одной стороны, вы должны использовать только формальный язык, выбранный для формализации этой аксиоматической системы; с другой стороны, невозможно доказать непротиворечивость этого языка самого по себе. [9] Гильберта изначально разочаровала работа Гёделя, потому что она разрушила цель его жизни — полностью формализовать все в теории чисел. [10] Однако Гёдель не чувствовал, что он противоречит всему в Гильберта . формалистической точке зрения [11] После того, как Гёдель опубликовал свою работу, стало очевидно, что теория доказательств все еще имеет какое-то применение, с той лишь разницей, что ее нельзя использовать для доказательства непротиворечивости всей теории чисел, как Гильберт . надеялся [10]
Гильберт изначально был дедуктивистом. [ нужна ссылка ] но он считал, что определенные метаматематические методы дают внутренне значимые результаты, и был реалистом в отношении финитной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики, независимо от ее интерпретации, не существует.
Дальнейшие разработки
[ редактировать ]Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , считали математику исследованием формальных систем аксиом . [12]
Хаскелл Карри определяет математику как «науку о формальных системах». [13] Формализм Карри отличается от формалистов терминов, игровых формалистов или формализма Гильберта. Для Карри математический формализм — это формальная структура математики, а не формальная система. [13] Стюарт Шапиро описывает формализм Карри как исходящий из «исторического тезиса о том, что по мере развития отрасли математики она становится все более и более строгой в своей методологии, а конечным результатом является кодификация отрасли в формальных дедуктивных системах». [14]
Критика формализма
[ редактировать ]Курт Гёдель указал на одно из слабых мест формализма, обратившись к вопросу непротиворечивости аксиоматических систем.
Бертран Рассел утверждал, что формализм не может объяснить, что подразумевается под лингвистическим применением чисел в таких утверждениях, как «в комнате трое мужчин». [15]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д Вейр, Алан (2015), «Формализм в философии математики» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весной 2015 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено в 2019–2005 гг. -25
- ^ Саймонс, Питер (2009). "Формализм". Философия математики . Эльзевир. п. 292. ИСБН 9780080930589 .
- ^ Саймонс, Питер (2009). Философия математики . Эльзевир. п. 293. ИСБН 9780080930589 .
- ^ Фреге, Готтлоб (1903). Основы арифметики: логико-математическое исследование понятия числа . Чикаго: Издательство Северо-Западного университета. п. 183.
- ^ Даммет, Майкл (1991). Фреге: Философия математики . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. п. 252. ИСБН 9780674319356 .
- ^ Даммет, Майкл (1991). Фреге: Философия математики . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. п. 253. ИСБН 9780674319356 .
- ^ Фреге, Готтлоб; Эберт, Филип А.; Кук, Рой Т. (1893). Основные законы арифметики: получены с использованием концептуального сценария . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета (опубликовано в 2013 г.). стр. § 93. ISBN 9780199281749 .
- ^ Зак, Ричард (2019), «Программа Гильберта» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. летом 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 25 мая 2019 г.
- ^ Jump up to: а б Снаппер, Эрнст (сентябрь 1979 г.). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF) . Журнал «Математика» . 52 (4): 207–216. дои : 10.1080/0025570X.1979.11976784 .
- ^ Jump up to: а б Рид, Констанс; Вейль, Герман (1970). Гильберт . Спрингер-Верлаг. п. 198. ИСБН 9783662286159 .
- ^ Гёдель, Курт (1986). Феферман, Соломон (ред.). Курт Гёдель: Собрание сочинений: Том I: Публикации 1929–1936 гг . Том. 1. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 195. ИСБН 9780195039641 .
- ^ Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка . Рутледж. стр. 325–328. ISBN 9781317830597 .
- ^ Jump up to: а б Карри, Хаскелл Б. (1951). Очертания формалистической философии математики . Эльзевир. п. 56. ИСБН 9780444533685 .
- ^ Шапиро, Стюарт (2005). "Формализм". Оксфордский справочник по философии . Хондерих, Тед (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780191532658 . ОСЛК 62563098 .
- ^ Бертран Рассел «Мое философское развитие» , 1959, гл. Х.
Внешние ссылки
[ редактировать ]
СМИ, связанные с формализмом (дедуктивным) на Викискладе?
