Преобразование Фурье дискретного времени

Не путать с дискретным преобразованием Фурье .

В математике преобразование Фурье с дискретным временем ( DTFT ) — это форма анализа Фурье , применимая к последовательности дискретных значений.

DTFT часто используется для анализа выборок непрерывной функции. Термин дискретное время относится к тому факту, что преобразование работает с дискретными данными, часто с выборками, интервал которых имеет единицы времени. Из равномерно расположенных выборок он создает функцию частоты, которая представляет собой периодическое суммирование непрерывного преобразования Фурье исходной непрерывной функции. При определенных теоретических условиях, описываемых теоремой выборки , исходная непрерывная функция может быть полностью восстановлена ​​из DTFT и, следовательно, из исходных дискретных выборок. DTFT само по себе является непрерывной функцией частоты, но его дискретные выборки можно легко вычислить с помощью дискретного преобразования Фурье (DFT) (см. § Выборка DTFT ), которое на сегодняшний день является наиболее распространенным методом современного анализа Фурье.

Оба преобразования обратимы. Обратное DTFT — это исходная выборочная последовательность данных. Обратное ДПФ представляет собой периодическое суммирование исходной последовательности. ( БПФ Быстрое преобразование Фурье ) — это алгоритм вычисления одного цикла ДПФ, а его обратное преобразование дает один цикл обратного ДПФ.

Введение

Связь с преобразованием Фурье

Начнем с общего определения преобразования Фурье интеграла :

$X(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.$

Это сводится к суммированию (см. Преобразование Фурье § Численное интегрирование ряда упорядоченных пар ), когда $x(t)$ заменяется дискретной последовательностью его выборок, $x(nT),$ для целых значений $n.$  $dt$ также заменяется на $T,$ уход :

$X_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot x(nT)} _{x[n]}\ e^{-i2\pi fTn},$

который представляет собой ряд Фурье по частоте с периодичностью $1/T.$ Нижний индекс $1/T$ отличает его от $X(f)$ и от формы угловой частоты DTFT. Т.е., когда частотная переменная, $\omega ,$ имеет нормированные единицы радианы /выборка , периодичность равна $2\pi ,$ и ряд Фурье :

$X_{2\pi }(\omega )=X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i\omega n}.$     ( Уравнение 1 )

Рис. 1. Изображение преобразования Фурье (вверху слева) и его периодического суммирования (DTFT) в левом нижнем углу. В правом нижнем углу показаны образцы DTFT, рассчитанные с помощью дискретного преобразования Фурье (DFT).

Полезность DTFT коренится в формуле суммирования Пуассона , которая говорит нам, что периодическая функция, представленная рядом Фурье, представляет собой периодическое суммирование преобразования Фурье :

Суммирование Пуассона

$X_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi fTn}\;=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-k/T\right).$     ( Уравнение 2 )

Целое число $k$ имеет единицы циклов/выборки и $1/T$ это частота дискретизации, $f_{s}$ ( выборок/сек ). Так $X_{1/T}(f)$ содержит точные копии $X(f)$ которые сдвинуты на кратное число $f_{s}$ герц и объединяются сложением. Для достаточно большого $f_{s}$ тот $k=0$ срок можно наблюдать в регионе $[-f_{s}/2,f_{s}/2]$ с небольшими искажениями ( алиасингами ) от других терминов или без них. На рис.1 изображен пример, где $1/T$ недостаточно велик, чтобы предотвратить наложение псевдонимов.

Мы также отмечаем, что $e^{-i2\pi fTn}$ представляет собой преобразование Фурье $\delta (t-nT).$ Таким образом, альтернативное определение DTFT :

$X_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.$     ( Уравнение 3 )

Модулированная гребенчатая функция Дирака — это математическая абстракция, которую иногда называют импульсной выборкой .

Обратное преобразование

Операция, которая восстанавливает последовательность дискретных данных из функции DTFT, называется обратным DTFT . Например, обратное непрерывное преобразование Фурье обеих частей уравнения 3 дает последовательность в форме модулированной гребенчатой ​​функции Дирака :

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.$

Однако, отметив, что $X_{1/T}(f)$ является периодическим, вся необходимая информация содержится в любом интервале длины $1/T.$ И в уравнении 1 , и в уравнении 2 суммирование по $n$ представляют собой ряд Фурье с коэффициентами $x[n].$ Стандартные формулы для коэффициентов Фурье также являются обратными преобразованиями :

${\begin{aligned}x[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}$     ( Уравнение 4 )

Периодические данные

Когда последовательность входных данных $x[n]$ является $N$-периодическое, уравнение 2 можно вычислительно свести к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), потому что :

• Вся доступная информация содержится внутри $N$ образцы.
• $X_{1/T}(f)$ сходится к нулю везде, кроме целых чисел, кратных $1/(NT),$ известные как гармонические частоты. На этих частотах DTFT расходится с разной частотно-зависимой скоростью. И эти скорости определяются ДПФ одного цикла $x[n]$ последовательность.
• DTFT является периодическим, поэтому максимальное количество уникальных амплитуд гармоник равно $(1/T)/(1/(NT))=N.$

ДПФ одного цикла $x[n]$ последовательность такая :

$X[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .$

И $x[n]$ можно выразить через обратное преобразование :

$x[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .$

Обратное ДПФ иногда называют дискретным рядом Фурье (ДФС).

${\begin{aligned}X_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}$     

Из-за $N$-периодичность обеих функций $k,$ это можно упростить до :

$X_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),$

который удовлетворяет требованию обратного преобразования :

${\begin{aligned}x[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}X_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}$

Выборка DTFT

Когда DTFT является непрерывным, обычной практикой является вычисление произвольного количества выборок. $(N)$ одного цикла периодической функции $X_{1/T}$:  

${\begin{aligned}\underbrace {X_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{X_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}x_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}$

где $x_{_{N}}$ представляет собой периодическое суммирование :

$x_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n-mN].$ (см. Дискретный ряд Фурье )

The $x_{_{N}}$ последовательность является обратным ДПФ. Таким образом, наша выборка DTFT приводит к тому, что обратное преобразование становится периодическим. Массив $|X_{k}|^{2}$ значения известны как периодограмма , а параметр $N$ называется NFFT в одноименной функции Matlab.

Чтобы оценить один цикл $x_{_{N}}$ численно нам требуется конечная длина $x[n]$ последовательность. Например, длинная последовательность может быть усечена оконной функцией длины $L$ в результате были выявлены три случая, заслуживающие особого упоминания. Для простоты обозначений рассмотрим $x[n]$ значения ниже, чтобы представить значения, измененные оконной функцией.

Случай: прореживание частоты. $L=N\cdot I,$ для некоторого целого числа $I$ (обычно 6 или 8)

Цикл $x_{_{N}}$ сводится к суммированию $I$ сегменты длины $N.$ Затем ДПФ носит разные названия, например :

• окно-предполагаемое БПФ
• Вес, перекрытие, добавление (WOLA)

• многофазное ДПФ
• блок многофазных фильтров
• Многоблочное управление окнами и временные псевдонимы .

Напомним, что прореживание выборочных данных в одном домене (по времени или частоте) приводит к перекрытию (иногда называемому псевдонимом ) в другом, и наоборот. По сравнению с $L$-длина ДПФ, $x_{_{N}}$ суммирование/перекрытие приводит к уменьшению частоты, оставляя только образцы DTFT, наименее подверженные утечке спектра . Обычно это является приоритетом при реализации банка фильтров БПФ (канализатора). С обычной оконной функцией длины $L,$ гребешковые потери были бы неприемлемы. Таким образом, многоблочные окна создаются с использованием инструментов проектирования КИХ-фильтров . Их частотный профиль плоский в самой высокой точке и быстро падает в средней точке между остальными выборками DTFT. Чем больше значение параметра $I,$ тем лучше потенциальная производительность.

Случай: $L=N+1$

Когда симметричный, $L$-длинная оконная функция ( $x$) усекается на 1 коэффициент, его называют периодическим или ДПФ-четным . Это обычная практика, но усечение незначительно влияет на DTFT (утечку спектра). Охарактеризовать этот эффект представляет по крайней мере академический интерес. Ан $N$ДПФ усеченного окна по длине создает выборки частоты с интервалом $1/N,$ вместо $1/L.$ Образцы имеют реальную стоимость, но их значения не совсем соответствуют DTFT симметричного окна. Периодическое суммирование, $x_{_{N}},$ вместе с $N$-длинное ДПФ, также может использоваться для выборки ДВПФ с интервалами $1/N.$ Эти выборки также имеют действительные значения и точно соответствуют DTFT (пример: File:Sampling the Discrete-time Fourier Transform.svg ). Чтобы использовать полное симметричное окно для спектрального анализа на $1/N$ интервал, можно было бы объединить $n=0$ и $n=N$ выборки данных (дополнительно, поскольку симметричное окно взвешивает их одинаково), а затем применить усеченное симметричное окно и $N$-длина ДПФ.

Рис. 2. ДПФ e ^i2πn/8 для L = 64 и N = 256

Рис. 3. ДПФ e ^i2πn/8 для L = 64 и N = 64

Случай: Частотная интерполяция. $L\leq N$

В этом случае ДПФ упрощается до более привычной формы :

$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.$

Чтобы воспользоваться преимуществами алгоритма быстрого преобразования Фурье для вычисления ДПФ, суммирование обычно выполняется по всем $N$ термины, хотя $N-L$ из них нули. Следовательно, случай $L<N$ часто называют заполнением нулями .

Спектральная утечка, которая увеличивается по мере $L$ уменьшается, вредно для некоторых важных показателей производительности, таких как разрешение нескольких частотных компонентов и количество шума, измеряемого каждой выборкой DTFT. Но эти вещи не всегда имеют значение, например, когда $x[n]$ последовательность представляет собой бесшумную синусоиду (или константу), сформированную оконной функцией. Кроме того, обычной практикой является использование заполнения нулями для графического отображения и сравнения подробных закономерностей утечки оконных функций. Чтобы проиллюстрировать это для прямоугольного окна, рассмотрим последовательность:

$x[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad$ и $L=64.$

На рисунках 2 и 3 представлены графики величин двух ДПФ разного размера, как указано на их этикетках. В обоих случаях доминирующая составляющая находится на частоте сигнала: $f=1/8=0.125$. На рис. 2 также видна картина спектральной утечки $L=64$ прямоугольное окно. Иллюзия на рис. 3 является результатом выборки DTFT только при пересечении нуля. Вместо DTFT последовательности конечной длины он создает впечатление бесконечно длинной синусоидальной последовательности. Факторами, способствующими возникновению иллюзии, являются использование прямоугольного окна и выбор частоты (1/8 = 8/64) ровно с 8 (целыми числами) циклами на 64 выборки. Окно Ханна даст аналогичный результат, за исключением того, что пик будет расширен до 3 выборок (см. Окно Ханна с четным ДПФ ).

Свертка

Основная статья: Теорема о свертке § Функции дискретной переменной (последовательности)

Теорема свертки для последовательностей :

$x*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].$

Важным частным случаем является круговая свертка последовательностей x и y, определяемая формулой $x_{_{N}}*y,$ где $x_{_{N}}$ представляет собой периодическое суммирование. Дискретно-частотная природа $\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}$ означает, что произведение с непрерывной функцией $\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}$ также дискретно, что приводит к значительному упрощению обратного преобразования :

$x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].$

Для последовательностей x и y , ненулевая длительность которых меньше или равна N , окончательное упрощение :

$x_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].$

Значение этого результата объясняется в разделах « Алгоритмы круговой свертки» и «Быстрая свертка» .

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на четные и нечетные части , получается четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие :

${\begin{aligned}{\mathsf {Time\ domain}}\quad &\ x\quad &=\quad &x_{_{RE}}\quad &+\quad &x_{_{RO}}\quad &+\quad i\ &x_{_{IE}}\quad &+\quad &\underbrace {i\ x_{_{IO}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}\quad &X\quad &=\quad &X_{RE}\quad &+\quad &\overbrace {i\ X_{IO}} \quad &+\quad i\ &X_{IE}\quad &+\quad &X_{RO}\end{aligned}}$

Отсюда вытекают различные зависимости, например :

• Преобразование действительной функции $(x_{_{RE}}+x_{_{RO}})$ это четная симметричная функция $X_{RE}+i\ X_{IO}.$ И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
• Преобразование мнимой функции $(i\ x_{_{IE}}+i\ x_{_{IO}})$ нечетная симметричная функция $X_{RO}+i\ X_{IE},$ и обратное верно.
• Преобразование четно-симметричной функции $(x_{_{RE}}+i\ x_{_{IO}})$ это действительная функция $X_{RE}+X_{RO},$ и обратное верно.
• Преобразование нечетно-симметричной функции $(x_{_{RO}}+i\ x_{_{IE}})$ — мнимая функция $i\ X_{IE}+i\ X_{IO},$ и обратное верно.

Связь с Z-преобразованием

$X_{2\pi }(\omega )$ представляет собой ряд Фурье , который также можно выразить через двустороннее Z-преобразование . Т.е .:

$X_{2\pi }(\omega )=\left.X_{z}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}=X_{z}(e^{i\omega }),$

где $X_{z}$ Обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье. Следовательно, мы также можем выразить часть Z-преобразования через преобразование Фурье :

${\begin{aligned}X_{z}(e^{i\omega })&=\ X_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}$

Обратите внимание, что при изменении параметра T члены $X_{2\pi }(\omega )$ оставаться постоянной разлукой $2\pi$ друг от друга, а их ширина увеличивается или уменьшается. Члены X _{1/ T} ( f ) остаются постоянной ширины, а их расстояние 1/ T масштабируется вверх или вниз.

Таблица дискретных преобразований Фурье

Некоторые распространенные пары преобразований показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения :

• $\omega =2\pi fT$ — действительное число, представляющее непрерывную угловую частоту (в радианах на выборку). ( $f$ измеряется в циклах/сек, и $T$ находится в секундах/выборку.) Во всех случаях в таблице DTFT является 2π-периодическим (в $\omega$).
• $X_{2\pi }(\omega )$ обозначает функцию, определенную на $-\infty <\omega <\infty$.
• $X_{o}(\omega )$ обозначает функцию, определенную на $-\pi <\omega \leq \pi$, и ноль в другом месте. Затем: $$X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k).$$
• $\delta (\omega )$ это дельта-функция Дирака
• $\operatorname {sinc} (t)$ нормализованная функция sinc
• $\operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}$
• $\operatorname {tri} (t)$ это функция треугольника
• n — целое число, представляющее область дискретного времени (в выборках).
• $u[n]$ - дискретная ступенчатая функция
• $\delta [n]$ это дельта Кронекера $\delta _{n,0}$

Временной интервал х [ н ]	Частотная область Икс 2 п ( ω )	Примечания	Ссылка
$\delta [n]$	$X_{2\pi }(\omega )=1$
$\delta [n-M]$	$X_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}$	целое число $M$
$\sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!$	$X_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ $X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ нечетное М $X_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,$ даже М	целое число $M>0$
$u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!$ $X_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!$	The $1/(1-e^{-i\omega })$ Этот термин следует интерпретировать как распределение в смысле главного значения Коши вокруг его полюсов в точке $\omega =2\pi k$.
$a^{n}u[n]$	$X_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!$	$0<|a|<1$
$e^{-ian}$	$X_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),$ -π < а < π $X_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)$	действительное число $a$
$\cos(a\cdot n)$	$X_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],$ $X_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{o}(\omega -2\pi k)$	действительное число $a$ с $-\pi <a<\pi$
$\sin(a\cdot n)$	$X_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]$	действительное число $a$ с $-\pi <a<\pi$
$\operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]\equiv \operatorname {rect} \left[{n-M \over N-1}\right]$	$X_{o}(\omega )={\sin(N\omega /2) \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!$	целое число $M,$ и нечетное целое число $N$
$\operatorname {sinc} (W(n+a))$	$X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }$	действительные числа $W,a$ с $0<W<1$
$\operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,$	$X_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)$	действительное число $W$, $0<W<0.5$
${\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\text{elsewhere}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )=j\omega$	он работает как дифференцирующий фильтр
${\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}$	$X_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }$	действительные числа $W,a$ с $0<W<1$
${\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )=|\omega |$
${\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}$	$X_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}$	Преобразование Гильберта
${\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]$	$X_{o}(\omega )=$	действительные числа $A,B$ сложный $C$

Характеристики

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующие эффекты в частотной области.

• $*\!$ это дискретная свертка двух последовательностей
• $x[n]^{*}$ является комплексно-сопряженным числом x [ n ] .

Свойство	Временной интервал х [ н ]	Частотная область $X_{2\pi }(\omega )$	Примечания	Ссылка
Линейность	$a\cdot x[n]+b\cdot y[n]$	$a\cdot X_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )$	комплексные числа $a,b$
Обращение времени/Обращение частоты	$x[-n]$	$X_{2\pi }(-\omega )\!$
Сопряжение времени	$x[n]^{*}$	$X_{2\pi }(-\omega )^{*}\!$
Обращение времени и сопряжение	$x[-n]^{*}$	$X_{2\pi }(\omega )^{*}\!$
Реальная часть времени	$\Re {(x[n])}$	${\frac {1}{2}}(X_{2\pi }(\omega )+X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$
Мнимая часть времени	$\Im {(x[n])}$	${\frac {1}{2i}}(X_{2\pi }(\omega )-X_{2\pi }^{*}(-\omega ))$
Действительная часть по частоте	${\frac {1}{2}}(x[n]+x^{*}[-n])$	$\Re {(X_{2\pi }(\omega ))}$
Мнимая часть частоты	${\frac {1}{2i}}(x[n]-x^{*}[-n])$	$\Im {(X_{2\pi }(\omega ))}$
Сдвиг во времени/Модуляция по частоте	$x[n-k]$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}$	integer k
Сдвиг частоты/модуляция во времени	$x[n]\cdot e^{ian}\!$	$X_{2\pi }(\omega -a)\!$	действительное число $a$
Децимация	$x[nM]$	${\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}X_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!$	целое число $M$
Расширение времени	$\scriptstyle {\begin{cases}x[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$	$X_{2\pi }(M\omega )\!$	целое число $M$
Производная по частоте	${\frac {n}{i}}x[n]\!$	${\frac {dX_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!$
Интегрирование по частоте	$\!$	$\!$
Разница во времени	$x[n]-x[n-1]\!$	$\left(1-e^{-i\omega }\right)X_{2\pi }(\omega )\!$
Суммирование по времени	$\sum _{m=-\infty }^{n}x[m]\!$	${\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}X_{2\pi }(\omega )+\pi X(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!$
Свертка по времени/Умножение по частоте	$x[n]*y[n]\!$	$X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!$
Умножение по времени/Свертка по частоте	$x[n]\cdot y[n]\!$	${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }X_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!$	Периодическая свертка
Взаимная корреляция	$\rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!$	$R_{xy}(\omega )=X_{2\pi }(\omega )^{*}\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!$
Теорема Парсеваля	$E_{xy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y[n]^{*}}\!$	$E_{xy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{X_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )^{*}d\omega }\!$

См. также

• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Многомерное преобразование
• Зак трансформирует

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Порат, Боаз (1996). Курс цифровой обработки сигналов . Джон Уайли и сыновья. стр. 27–29 и 104–105. ISBN  0-471-14961-6 .
• Зиберт, Уильям М. (1986). Цепи, сигналы и системы . Серия MIT по электротехнике и информатике. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  0262690950 .
• Лайонс, Ричард Г. (2010). Понимание цифровой обработки сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  978-0137027415 .