Специальный прямоугольный треугольник

Особый прямоугольный треугольник — это прямоугольный треугольник с некоторой регулярной особенностью, которая упрощает вычисления в треугольнике или для которого существуют простые формулы. Например, прямоугольный треугольник может иметь углы , образующие простые соотношения, например 45–45–90°. Это называется прямоугольным треугольником, основанным на углах. Прямоугольный треугольник, основанный на сторонах, — это треугольник, в котором длины сторон образуют отношения целых чисел , например 3:4:5, или других специальных чисел, таких как золотое сечение . Знание отношений углов или отношений сторон этих особых прямоугольных треугольников позволяет быстро вычислять различные длины в геометрических задачах, не прибегая к более совершенным методам.

Угловой

Специальные прямоугольные треугольники , основанные на углах, определяются отношениями углов, из которых состоит треугольник. Углы этих треугольников таковы, что больший (прямой) угол, равный 90 градусам или ⁠ $π$ / 2 ⁠ радиан равен сумме двух других углов.

Длины сторон обычно вычисляются на основе единичного круга или других геометрических методов. Этот подход можно использовать для быстрого воспроизведения значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60°.

Специальные треугольники используются для расчета общих тригонометрических функций, как показано ниже:

степени	радианы	гул	поворачивается	грех	потому что	загар	хлопок
0°	0	0 ^г	0	⁠ √ 0 / 2 ⁠ = 0	⁠ √ 4 / 2 ⁠ = 1	0	неопределенный
30°	⁠ $π$ / 6 ⁠	⁠33 + 1 / 3 ⁠ ^г	⁠ 1 / 12 ⁠	⁠ √ 1 / 2 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠	⁠ √ 3 / 2 ⁠	⁠ 1 / √ 3 ⁠	√ 3
45°	⁠ $π$ / 4 ⁠	50 ^г	⁠ 1 / 8 ⁠	⁠ √ 2 / 2 ⁠ = ⁠ 1 / √ 2 ⁠	⁠ √ 2 / 2 ⁠ = ⁠ 1 / √ 2 ⁠	1	1
60°	⁠ $π$ / 3 ⁠	⁠66 + 2 / 3 ⁠ ^г	⁠ 1 / 6 ⁠	⁠ √ 3 / 2 ⁠	⁠ √ 1 / 2 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠	√ 3	⁠ 1 / √ 3 ⁠
90°	⁠ $π$ / 2 ⁠	100 ^г	⁠ 1 / 4 ⁠	⁠ √ 4 / 2 ⁠ = 1	⁠ √ 0 / 2 ⁠ = 0	неопределенный	0

45°–45°–90°

30°–60°–90°

Треугольник 45°–45°–90°, треугольник 30°–60°–90° и равносторонний /равноугольный (60°–60°–60°) треугольник - это три треугольника Мёбиуса на плоскости, то есть они мозаика плоскости с помощью отражений по бокам; см. группу «Треугольник» .

Треугольник 45° - 45° - 90°

В плоской геометрии деление квадрата по диагонали приводит к образованию двух равнобедренных прямоугольных треугольников , каждый из которых имеет один прямой угол (90°, ⁠ $π$ / 2 ⁠ радиан) и два других равных угла, каждый из которых равен половине прямого угла (45°, или ⁠ $π$ / 4 ⁠ радиан). Стороны в этом треугольнике относятся как 1:1: , √2 что непосредственно следует из теоремы Пифагора .

Из всех прямоугольных треугольников такие треугольники со углами 45° - 45° - 90° имеют наименьшее отношение гипотенузы к сумме катетов, а именно ⁠ √ 2 / 2 ⁠ . ^[1]^{: с. 282, с. 358} и наибольшее отношение высоты от гипотенузы к сумме катетов, а именно ⁠ √ 2 / 4 ⁠ . ^[1]^{: стр.282}

Треугольники с такими углами — единственно возможные прямоугольные треугольники, которые также являются равнобедренными треугольниками в евклидовой геометрии . Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии существует бесконечно много различных форм прямоугольных равнобедренных треугольников.

Треугольник 30° - 60° - 90°

Это треугольник, у которого три угла относятся как 1:2:3 и соответственно равны 30° ( ⁠ $π$ / 6 ⁠ ), 60° ( ⁠ $π$ / 3 ⁠ ) и 90° ( ⁠ $π$ / 2 ⁠ ). Стороны находятся в соотношении 1 : √ 3 : 2.

Доказательство этого факта очевидно с помощью тригонометрии . Геометрическое доказательство :

Нарисуйте равносторонний треугольник ABC со стороной 2 и точкой D, которая является серединой отрезка BC . Нарисуйте линию высоты A до D. от Тогда ABD — треугольник 30–60–90° с гипотенузой длины 2 и основанием BD длины 1.

Тот факт, что оставшийся участок AD имеет длину √ 3, непосредственно следует из теоремы Пифагора .

Треугольник 30–60–90° — единственный прямоугольный треугольник, углы которого находятся в арифметической прогрессии . Доказательство этого факта простое и следует из того, что если α , α + δ , α + 2 δ — углы прогрессии, то сумма углов 3 α + 3 δ = 180°. После деления на 3 угол α + δ должен составлять 60°. Прямой угол равен 90°, оставшийся угол равен 30°.

Сторонний

стороны которых имеют целую длину (все стороны известны как тройки Пифагора) , имеют углы, которые не могут быть рациональными числами градусов Прямоугольные треугольники , . ^[2] (Это следует из теоремы Нивена .) Они наиболее полезны тем, что их легко запомнить, и любое кратное число сторон дает одно и то же соотношение. Используя формулу Евклида для построения троек Пифагора, стороны должны находиться в соотношении

м ² − п ² : 2 мин : м ² + н ²

где m и n — любые положительные целые числа такие, что m > n .

Общие пифагоровы тройки

Хорошо известны несколько пифагорейских троек, в том числе со сторонами в пропорциях:

3 :	4 :	5
5 :	12 :	13
8 :	15 :	17
7 :	24 :	25
9 :	40 :	41

Треугольники 3:4:5 — единственные прямоугольные треугольники, ребра которых расположены в арифметической прогрессии . Треугольники, основанные на тройках Пифагора, являются героновскими , то есть имеют целую площадь и целые стороны.

Возможное использование треугольника 3:4:5 в Древнем Египте с предполагаемым использованием веревки с узлами для построения такого треугольника, а также вопрос о том, была ли теорема Пифагора известна в то время, широко обсуждались. ^[3] Впервые эту гипотезу высказал историк Мориц Кантор в 1882 году. ^[3] Известно, что в Древнем Египте прямые углы были точно проложены; что их геодезисты использовали для измерений веревки; ^[3] что Плутарх записал в «Исиде и Осирисе» (около 100 г. н.э.), что египтяне восхищались треугольником 3:4:5; ^[3] и что в Берлинском папирусе 6619 из Среднего царства Египта (до 1700 г. до н.э.) говорится, что «площадь квадрата в 100 равна площади двух меньших квадратов. Сторона одного равна ⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1/4 ⁠ . » стороны другого ^[4] Историк математики Роджер Л. Кук отмечает: «Трудно представить, чтобы кто-то интересовался такими условиями, не зная теоремы Пифагора». ^[3] В ответ на это Кук отмечает, что ни в одном египетском тексте до 300 г. до н. э. фактически не упоминается использование теоремы для определения длины сторон треугольника и что существуют более простые способы построения прямого угла. Кук заключает, что гипотеза Кантора остается неопределенной: он предполагает, что древние египтяне, вероятно, знали теорему Пифагора, но «нет никаких доказательств того, что они использовали ее для построения прямых углов». ^[3]

Ниже приведены все тройные отношения Пифагора, выраженные в наименьшей форме (кроме пяти наименьших в наименьшей форме в списке выше) с обеими сторонами, не являющимися гипотенузами, меньшими 256:

11 :	60 :	61
12 :	35 :	37
13 :	84 :	85
15 :	112 :	113
16 :	63 :	65
17 :	144 :	145
19 :	180 :	181
20 :	21 :	29
20 :	99 :	101
21 :	220 :	:221

24 :	143 :	145
28 :	45 :	53
28 :	195 :	197
32 :	255 :	257
33 :	56 :	65
36 :	77 :	85
39 :	80 :	89
44 :	117 :	125
48 :	55 :	73
51 :	140 :	149

52 :	165 :	173
57 :	176 :	185
60 :	91 :	109
60 :	221 :	229
65 :	72 :	97
84 :	187 :	205
85 :	132 :	157
88 :	105 :	137
95 :	168 :	193
96 :	247 :	265

104 :	153 :	185
105 :	208 :	233
115 :	252 :	277
119 :	120 :	169
120 :	209 :	241
133 :	156 :	205
140 :	171 :	221
160 :	231 :	281
161 :	240 :	289
204 :	253 :	325
207 :	224 :	305

Почти равнобедренные пифагоровы тройки

Равнобедренные прямоугольные треугольники не могут иметь стороны с целыми значениями, поскольку отношение гипотенузы к любой другой стороне равно √ 2 , а √ 2 не может быть выражено как отношение двух целых чисел . Однако бесконечно много почти равнобедренных существует прямоугольных треугольников. Это прямоугольные треугольники с целыми сторонами, у которых длины негипотенузных ребер отличаются на единицу. ^[5]^[6] Такие почти равнобедренные прямоугольные треугольники можно получить рекурсивно:

а ₀ = 1, б ₀ = 2

а _п = 2 б _{п -1} + а _{п -1}

б _п = 2 а _н + б _{п -1}

a _n — длина гипотенузы, n = 1, 2, 3, .... Эквивалентно,

({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}

где { x , y } — решения уравнения Пелля x ² − 2 года ² = −1 , причем гипотенуза y является нечетными членами чисел Пелля 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408, 985 , 2378... (последовательность A000129 в OEIS ).. Наименьшее пифагорово число Получающиеся тройки: ^[7]

3 :	4 :	5
20 :	21 :	29
119 :	120 :	169
696 :	697 :	985

4,059 :	4,060 :	5,741
23,660 :	23,661 :	33,461
137,903 :	137,904 :	195,025
803,760 :	803,761 :	1,136,689

Альтернативно, те же треугольники можно получить из квадратных треугольных чисел . ^[8]

Арифметические и геометрические прогрессии

Треугольник Кеплера — прямоугольный треугольник, стороны которого находятся в геометрической прогрессии . Если стороны образованы из геометрической прогрессии a , ar , ar ² тогда его общее отношение r определяется как r = √ φ, где φ — золотое сечение . Следовательно, его стороны находятся в соотношении 1: √ φ : φ . Таким образом, форма треугольника Кеплера однозначно (с точностью до масштабного коэффициента) определяется требованием нахождения его сторон в геометрической прогрессии.

Треугольник 3–4–5 — это единственный прямоугольный треугольник (с точностью до масштабирования), стороны которого находятся в арифметической прогрессии . ^[9]

Стороны правильных многоугольников

Позволять $a=2\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618$ — длина стороны правильного десятиугольника , вписанного в единичную окружность, где $\varphi$ это золотое сечение. Позволять $b=2\sin {\frac {\pi }{6}}=1$ длина стороны правильного шестиугольника в единичном круге, и пусть $c=2\sin {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1.176$ — длина стороны правильного пятиугольника в единичном круге. Затем $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , поэтому эти три длины образуют стороны прямоугольного треугольника. ^[10] Тот же треугольник образует половину золотого прямоугольника . Его также можно найти внутри правильного икосаэдра с длиной стороны $c$ : самый короткий отрезок линии из любой вершины $V$ в плоскость пяти своих соседей имеет длину $a$ , а концы этого отрезка вместе с любым из соседей $V$ образовать вершины прямоугольного треугольника со сторонами $a$ , $b$ , и $c$ . ^[11]

См. также

Прямоугольник Айля , объединяющий несколько особых прямоугольных треугольников.
Целочисленный треугольник
Спираль Теодора

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Посаментье, Альфред С. и Леман, Ингмар. Тайны треугольников . Книги Прометея, 2012.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Рациональный треугольник» . Математический мир .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Кук, Роджер Л. (2011). История математики: Краткий курс (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0 .
^ Жиллингс, Ричард Дж. (1982). Математика во времена фараонов . Дувр. п. 161 .
^ Забудь, ТВ; Ларкин, Т.А. (1968), «Пифагорейские триады формы x , x + 1, z, описываемые повторяющимися последовательностями» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94–104 .
^ Чен, CC; Пэн, Т. А. (1995), «Почти равнобедренные прямоугольные треугольники» (PDF) , Австралазийский журнал комбинаторики , 11 : 263–267, MR 1327342 .
^ (последовательность A001652 в OEIS )
^ Ниблом, Массачусетс (1998), «Заметки о множестве почти равнобедренных прямоугольных треугольников» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319–322, MR 1640364 .
^ Борегар, Раймонд А.; Сурьянараян, Э.Р. (1997), «Арифметические треугольники», Mathematics Magazine , 70 (2): 105–115, doi : 10.2307/2691431 , JSTOR 2691431 , MR 1448883 .
^ Евклида Элементы , Книга XIII, Предложение 10 .
^ nLab: пятиугольник, десятиугольник, шестиугольник .

Внешние ссылки

Треугольник 3 : 4 : 5
треугольник 30–60–90
Треугольник 45–45–90 – с интерактивной анимацией.

[PL-1] Jump up to: ^а ^б Посаментье, Альфред С. и Леман, Ингмар. Тайны треугольников . Книги Прометея, 2012.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Рациональный треугольник» . Математический мир .

[Cooke2011-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Кук, Роджер Л. (2011). История математики: Краткий курс (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 237–238. ISBN 978-1-118-03024-0 .

[4] Жиллингс, Ричард Дж. (1982). Математика во времена фараонов . Дувр. п. 161 .

[5] Забудь, ТВ; Ларкин, Т.А. (1968), «Пифагорейские триады формы x , x + 1, z, описываемые повторяющимися последовательностями» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94–104 .

[6] Чен, CC; Пэн, Т. А. (1995), «Почти равнобедренные прямоугольные треугольники» (PDF) , Австралазийский журнал комбинаторики , 11 : 263–267, MR 1327342 .

[7] (последовательность A001652 в OEIS )

[8] Ниблом, Массачусетс (1998), «Заметки о множестве почти равнобедренных прямоугольных треугольников» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319–322, MR 1640364 .

[9] Борегар, Раймонд А.; Сурьянараян, Э.Р. (1997), «Арифметические треугольники», Mathematics Magazine , 70 (2): 105–115, doi : 10.2307/2691431 , JSTOR 2691431 , MR 1448883 .

[10] Евклида Элементы , Книга XIII, Предложение 10 .

[11] Lab: пятиугольник, десятиугольник, шестиугольник .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]