Фаро перетасовать

Тасование фаро (американское), тасование с переплетением (британское) или тасование «ласточкин хвост» — это метод тасования игральных карт , при котором половина колоды удерживается в каждой руке большими пальцами внутрь, затем большие пальцы отпускают карты так, чтобы они падать на стол вперемежку. Диаконис, Грэм и Кантор также называют эту технику , когда она используется в магии.

Сравнение идеального тасования и тасования фараона, цифры обозначают положение каждой карты перед тасованием.

Математики используют термин «тасование фаро», чтобы описать точную перестановку колоды на две равные стопки по 26 карт, которые затем идеально чередуются.

Описание

Практикующий-правша держит карты сверху в левой руке и снизу в правой руке. Колода делится на две желательно равные части, просто слегка приподнимая половину карт большим пальцем правой руки и толкая пачку левой руки вперед от правой руки. Два пакета часто пересекают и постукивают друг о друга, чтобы выровнять их. Затем их сближают по коротким сторонам и сгибают вверх или вниз. Карты затем будут поочередно падать друг на друга, в идеале по одной из каждой половинки, подобно застежке-молнии . Изюминку можно добавить, соединив пакеты вместе, приложив давление и согнув их сверху.

Игра в Фаро заканчивается тем, что карты складываются в две равные стопки, которые дилер должен объединить, чтобы раздать их для следующей игры. По словам фокусника Джона Маскелина , был использован описанный выше метод, и он называет его «перетасовкой дилера фараонов». Маскелин был первым, кто дал четкие инструкции, но тасование использовалось и ассоциировалось с фаро раньше, как это обнаружил в основном математик и маг Перси Диаконис .

Идеальные перетасовки

Перетасовка фаро — это контролируемая перетасовка, которая не полностью рандомизирует колоду.

Идеальная тасовка фаро, при которой карты идеально чередуются, требует, чтобы тасующий разрезал колоду на две равные стопки и применял правильное давление, сдвигая полколоды друг в друга.

Тасование фаро, при котором исходная верхняя карта остается наверху, а исходная нижняя карта внизу, называется перетасовкой , а тасование, при котором исходная верхняя карта перемещается на вторую, а исходная нижняя карта на вторую снизу, называется тасованием фаро. как в случайном порядке . Эти имена придумал фокусник и программист Алекс Элмсли .

Перетасовка имеет тот же результат, что и удаление верхней и нижней карт, перетасовка оставшихся карт и последующая замена верхней и нижней карт на исходные позиции. Повторные перетасовки не могут изменить порядок всей колоды, только средние n−2 карты. Математические теоремы, касающиеся тасования фаро, обычно относятся к перетасовке.

Тасование имеет тот же результат, что и добавление одной лишней карты вверху и одной лишней карты внизу, перетасовка увеличенной колоды и последующее удаление лишних карт. Повторные тасования могут изменить порядок колоды.

Если кто-то сможет идеально перетасовать колоду, то 26 перетасовок изменят порядок колоды, а еще 26 вернут ее в исходный порядок.

В общем, $k$ идеальные перетасовки восстановят порядок $n$-колода карт, если $2^{k}\equiv 1{\pmod {n+1}}$. Например, 52 последовательных тасования восстанавливают порядок колоды из 52 карт, потому что $2^{52}\equiv 1{\pmod {53}}$.

В общем, $k$ идеальные перетасовки восстановят порядок $n$-колода карт, если $2^{k}\equiv 1{\pmod {n-1}}$. Например, если удастся выполнить подряд восемь перетасовок, то колода из 52 карт восстановится в исходном порядке, потому что $2^{8}\equiv 1{\pmod {51}}$. Однако для восстановления порядка колоды из 64 карт требуется всего 6 перетасовок фаро.

Другими словами, количество тасовок, необходимых для возврата колоды карт четного размера n в исходный порядок, определяется мультипликативным порядком 2 по модулю ( n + 1).

Например, для размера колоды n = 2, 4, 6, 8, 10, 12... необходимое количество тасовок: 2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11, ... (последовательность A002326 в OEIS ).

Согласно гипотезе Артина о примитивных корнях , из этого следует, что существует бесконечно много размеров колоды, которые требуют полного набора из n тасовок.

Операцией, аналогичной перетасовке для бесконечной последовательности, является последовательность чередования .

Пример

Для простоты мы будем использовать колоду из шести карт.

Ниже показан порядок колоды после каждого перемешивания. Колода такого размера возвращается в исходный порядок после трех перетасовок.

Шаг	Вершина Карта	2	3	4	5	Нижний Карта
Начинать
1
2
3

Ниже показан порядок колоды после каждого перетасовывания. Колода такого размера возвращается в исходный порядок после 4 перетасовок.

Шаг	Вершина Карта	2	3	4	5	Нижний Карта
Начинать
1
2
3
4

Как манипуляция колодой

Фокусник Алекс Элмсли обнаружил что контролируемую серию тасовок и тасовок можно использовать для перемещения верхней карты колоды вниз в любое желаемое положение. Хитрость заключается в том, чтобы выразить желаемое положение карты в виде двоичного числа , а затем выполнить тасование на входе для каждой 1 и тасование на выходе для каждого 0.

Например, чтобы переместить верхнюю карту вниз так, чтобы над ней было десять карт, выразите число десять в двоичном формате (1010 ₂ ). Перетасуйте вход, выход, вход, выход. Раздайте десять карт сверху колоды; одиннадцатая будет вашей оригинальной картой. Обратите внимание: не имеет значения, выражаете ли вы число десять как 1010 ₂ или 00001010 ₂ ; предварительные перетасовки не повлияют на результат, поскольку при перетасовке верхняя карта всегда остается сверху.

Аспекты теории групп

В математике идеальную перетасовку можно рассматривать как элемент симметричной группы .

В более общем плане, в $S_{2n}$, идеальное перемешивание — это перестановка, которая разбивает набор на две стопки и чередует их:

$S_{2n}$= ${\begin{pmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n-1&2n\\1&n+1&2&n+2&\cdots &n&2n\end{pmatrix}}$

Другими словами, это карта

$k\mapsto {\begin{cases}{\frac {k+1}{2}}&k\ {\text{odd}}\\n+{\frac {k}{2}}&k\ {\text{even}}\end{cases}}$

Аналогично, $(k,n)$- идеальная перетасовка является элементом $S_{kn}$ который разбивает набор на k стопок и чередует их.

The $(2,n)$-совершенная перетасовка, обозначаемая $\rho _{n}$, представляет собой состав $(2,n-1)$- идеальная перетасовка с $n$-цикл, поэтому знак $\rho _{n}$ является:

${\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{n+1}{\mbox{sgn}}(\rho _{n-1}).$

Таким образом, знак является 4-периодическим:

${\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}$

Первые несколько идеальных тасовок: $\rho _{0}$ и $\rho _{1}$ тривиальны и $\rho _{2}$ это транспозиция $(23)\in S_{4}$.

Ссылки

• Дьяконс, Перси ; Грэм, РЛ ; Кантор, WM (1983). «Математика идеальных тасовок» (PDF ) Достижения прикладной математики . 4 (2): 175–196. дои : 10.1016/0196-8858(83)90009-X .

• Эллис, Дж.; Фан, Х.; Шалит, Дж. (2002). «Циклы многосторонней идеальной перестановки» (PDF) . Дискретная математика и теоретическая информатика . 5 : 169–180. дои : 10.46298/dmtcs.308 . Проверено 26 декабря 2013 г.

• Маскелин, Джон (1894). Острые и плоские: полное раскрытие секретов мошенничества в азартных играх и играх на ловкость . Лонгманс, Грин и компания . Проверено 26 декабря 2013 г.

• Моррис, С. Брент (1998). Волшебные трюки, перетасовка карт и динамическая компьютерная память . Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-883-85527-5 . Проверено 26 декабря 2013 г.

• Колата, Джина (апрель 1982 г.). «Идеальные перетасовки и их связь с математикой». Наука . 216 (4545): 505–506. Бибкод : 1982Sci...216..505K . дои : 10.1126/science.216.4545.505 . ПМИД   17735734 .

• Джайн, Пейюш (май 2008 г.). «Простой алгоритм перетасовки на месте». arXiv : 0805.1598 [ cs.DS ].