Экзистенциальный граф

Экзистенциальный граф — это тип схематического или визуального обозначения логических выражений, созданный Чарльзом Сандерсом Пирсом , который писал о графической логике еще в 1882 году. и продолжал развивать этот метод до своей смерти в 1914 году. Они включают в себя как отдельные графические обозначения логических утверждений, так и логическое исчисление — формальную систему правил вывода, которую можно использовать для вывода новых теорем из существующих.

Фон

Пирс нашел алгебраическую нотацию (то есть символическую нотацию) логики, особенно логики предикатов: которая была еще очень новой при его жизни и в разработке которой он сам сыграл важную роль, была философски неудовлетворительной, потому что символы имели свое значение по простой условности. Напротив, он стремился к стилю письма, в котором знаки буквально несут в себе свое значение. – в терминологии его теории знаков: система иконических знаков, напоминающих или напоминающих изображаемые предметы и отношения.

Таким образом, разработка знаковой, графической и – по его замыслу – интуитивной и простой в освоении логической системы была проектом, над которым Пирс работал на протяжении всей своей жизни. После по крайней мере одного неудачного подхода - «Энтитативных графов» - с 1896 года наконец возникла закрытая система экзистенциальных графов. Хотя их создатель считал их явно превосходящей и более интуитивной системой как способ письма и исчисления, они не оказали большого влияния на историю логики; С одной стороны, это объясняется тем, что Пирс мало публиковался по этой теме и что опубликованные тексты были написаны не совсем понятно; и, с другой стороны, запись линейных формул в руках экспертов является менее сложным инструментом в обращении. Например, экзистенциальным графикам уделялось мало внимания. или рассматривались как громоздкий способ письма. Начиная с 1963 года, работы Дона Д. Робертса и Дж. Джея Земана, в которых графические системы Пирса систематически исследовались и представлялись, привели к лучшему пониманию. Однако сегодня только одно современное приложение играет практическую роль — концептуальные графы, представленные Джоном Ф. Совой в 1976 году и используемые в информатике для представления знаний. Экзистенциальные графы все чаще вновь появляются в качестве предмета исследования в связи с растущим интересом к графической логике. что выражается и в попытках заменить данные Пирсом правила вывода более интуитивными.

Общая система экзистенциальных графов состоит из трех дополняющих друг друга подсистем: альфа-графов, бета-графов и гамма-графов. Альфа-графы представляют собой чисто пропозициональную логическую систему. Основываясь на этом, бета-графики представляют собой логическое исчисление первого порядка. Гамма-графики, еще не полностью исследованные и не завершенные Пирсом, понимаются как дальнейшее развитие альфа- и бета-графиков. При правильной интерпретации гамма-графики охватывают как логику предикатов более высокого уровня, так и модальную логику. Еще в 1903 году Пирс начал новый подход, «Тинктурированные экзистенциальные графы», с помощью которого он хотел заменить предыдущие системы альфа-, бета- и гамма-графов и объединить их выразительность и производительность в одной новой системе. Как и гамма-графики, «Тинктурированные экзистенциальные графы» остались незавершенными.

В качестве исчислений альфа-, бета- и гамма-графики являются правильными (т. е. все выражения, полученные в виде графиков, семантически действительны). Альфа- и бета-графы также являются полными (т. е. все пропозициональные или предикатно-логические семантически действительные выражения могут быть получены как альфа- или бета-графы).

Графики

Пирс предложил три системы экзистенциальных графов:

• альфа , изоморфная и логике высказываний двухэлементной булевой алгебре ;
• beta , изоморфная логике первого порядка с единицей, со всеми закрытыми формулами;
• гамма , (почти) изоморфная нормальной модальной логике .

Альфа гнездится в бета и гамма . Бета не вложена в гамма , квантифицированная модальная логика более общая, чем предложенная Пирсом.

Альфа

Альфа-графики

Синтаксис ​ :

• Пустая страница;
• Отдельные буквы или фразы, написанные в любом месте страницы;
• Любой граф может быть заключен в простую замкнутую кривую, называемую разрезом или sep . Разрез может быть пустым. Разрезы могут вкладываться и объединяться по желанию, но никогда не должны пересекаться.

Любая правильно сформированная часть графа является подграфом .

Семантика такова :

• Пустая страница означает Истину ;
• Буквы, фразы, подграфы и целые графики могут быть истинными или ложными ;
• Охват подграфа разрезом эквивалентен логическому отрицанию или логическому дополнению . Следовательно, пустой разрез обозначает False ;
• Все подграфы внутри данного разреза молчаливо соединены .

Следовательно, альфа- графики представляют собой минималистскую систему обозначений логики предложений , основанную на выразительной адекватности «И» и « Не» . Альфа - графы представляют собой радикальное упрощение двухэлементной булевой алгебры и функторов истинности .

Глубина . объекта — это количество разрезов, которые его окружают

Правила вывода :

• Вставка. Любой подграф может быть вставлен в глубину с нечетным номером.
• Стирание. Любой подграф четной глубины может быть удален.

Правила эквивалентности :

• Двойной разрез. Вокруг любого подграфа можно провести пару разрезов, между которыми нет ничего. Аналогичным образом можно стереть два вложенных друг в друга выреза, между которыми ничего нет. Это правило эквивалентно логической инволюции и устранению двойного отрицания .
• Итерация/деитерация. Чтобы понять это правило, лучше всего рассматривать граф как древовидную структуру, имеющую узлы и предков . Любой подграф P в узле n может быть скопирован в любой узел в зависимости от n . Аналогично, любой подграф P в узле n может быть стерт, если существует копия P в некотором узле, являющемся предком n (т. е. в некотором узле, от которого зависит n ). Эквивалентное правило в алгебраическом контексте см. в C2 в разделе «Законы формы» .

Доказательство манипулирует графиком с помощью ряда шагов, каждый из которых оправдывается одним из приведенных выше правил. Если граф можно пошагово свести к пустой странице или пустому разрезу, это то, что сейчас называют тавтологией ( или ее дополнением, противоречием). Графы, которые нельзя упростить до определенной точки, являются аналогами выполнимых формул логики первого порядка .

Бета

Экзистенциальный график высказывания «Существует нечто, не являющееся человеком».

бета-экзистенциальные графы

В случае бетаграфов атомарными выражениями являются уже не пропозициональные буквы (P, Q, R,...) или утверждения («Идет дождь», «Пирс умер в бедности»), а предикаты в смысле логики предикатов ( см. там более подробную информацию), возможно, сокращенно до букв-предикатов (F, G, H,...). Предикат в смысле логики предикатов — это последовательность слов с четко определенными пробелами, которая становится пропозициональным предложением, если в каждый пробел вставить имя собственное. Например, последовательность слов «_ x — человек» является предикатом, поскольку она порождает повествовательное предложение «Пирс — человек», если в пустое место ввести имя собственное «Пирс». Аналогично, последовательность слов «_ ₁ богаче, чем _ ₂ » является предикатом, поскольку она приводит к утверждению «Сократ богаче Платона», если в пробелы вставлены имена собственные «Сократ» или «Платон».

Обозначение бетаграфов

Основной языковой прием — это линия идентичности, жирно нарисованная линия любой формы. Линия идентичности прикрепляется к пустому месту предиката, чтобы показать, что предикат применим хотя бы к одному человеку. Чтобы выразить, что предикат «_ есть человек» применим по крайней мере к одному индивидууму – т.е. сказать, что существует (по крайней мере) один человек – в пустом месте предиката «_ есть человек:"

Экзистенциальный график высказывания «Какой-то человек ест человека»

Бета-графики можно рассматривать как систему, в которой все формулы следует рассматривать как замкнутые, поскольку все переменные имеют неявную количественную оценку. Если «самая мелкая» часть линии идентичности имеет четную глубину, соответствующая переменная неявно определяется экзистенциально ( универсально ).

Земан (1964) был первым, кто заметил, что бета- графы изоморфны логике первого порядка с равенством (см. также Земан 1967). Однако вторичная литература, особенно Робертс (1973) и Шин (2002), не согласны с тем, как это происходит. Работы Пирса не затрагивают этот вопрос, поскольку логика первого порядка была впервые четко сформулирована только после его смерти, в первом издании 1928 года « Дэвида Гильберта и Вильгельма Аккермана Принципов математической логики» .

Гамма

Добавьте к синтаксису альфа второй вид простой замкнутой кривой , написанной с помощью пунктирной, а не сплошной линии. Пирс предложил правила для этого второго типа разреза, который можно рассматривать как примитивный унарный оператор модальной логики .

Земан (1964) был первым, кто заметил, что гамма -графы эквивалентны известным модальным логикам S4 и S5 . Следовательно, гамма- графики можно рассматривать как своеобразную форму нормальной модальной логики . Это открытие Земана до сих пор не привлекло особого внимания, но, тем не менее, включено сюда как представляющий интерес.

роль Пирса

Экзистенциальные графы являются любопытным детищем Пирса логика / математика и основателя основного направления семиотики . Графическая логика Пирса — лишь одно из многих его достижений в области логики и математики. В серии статей, начавшихся в 1867 году и завершившихся его классической статьей в Американском журнале математики 1885 года , Пирс разработал большую часть двухэлементной булевой алгебры , исчисления высказываний , квантификации и исчисления предикатов , а также некоторые элементарные теории множеств . Теоретики моделей считают Пирса первым в своем роде. Он также расширил Де Моргана алгебру отношений . Он остановился на металогике (которая ускользнула даже от Principia Mathematica ).

теория Пирса Но развивающаяся семиотическая заставила его усомниться в ценности логики, сформулированной с использованием традиционных линейных обозначений, и предпочесть, чтобы логика и математика записывались в двух (или даже трех) измерениях. Его работа вышла за рамки диаграмм Эйлера и Венна в 1880 году их редакции . В работе Фреге 1879 года «Begriffsschrift» также использовалась двумерная система обозначений логики, но она сильно отличалась от системы Пирса.

В первой опубликованной статье Пирса по графической логике (перепечатанной в третьем томе его « Сборника статей ») была предложена система, двойственная (по сути) альфа - экзистенциальным графам, называемая энтитативными графами . Он очень скоро отказался от этого формализма в пользу экзистенциальных графов. В 1911 году Виктория леди Уэлби показала экзистенциальные графики К. К. Огдену , который посчитал, что их можно с пользой объединить с мыслями Уэлби в «менее заумной форме». В остальном они не привлекали особого внимания при его жизни и неизменно подвергались клевете или игнорированию после его смерти, вплоть до защиты докторских диссертаций Робертсом (1964) и Земаном (1964).

См. также

• Нор оператор
• Концептуальный график
• Чарльз Сандер Пирс
• Пропозициональное исчисление

Дальнейшее чтение

Первичная литература

• 1931–1935 и 1958. Сборник статей Чарльза Сандерса Пирса . Том 4, Книга II: «Экзистенциальные графы», состоит из параграфов 347–584. Обсуждение также начинается в пункте 617.
  • Параграфы 347–349 (II.1.1. «Логическая диаграмма») - определение Пирса «Логическая диаграмма (или график)» в Болдуина Словаре философии и психологии (1902), т. 2, с. 28 . Классика по истории психологии Епринт .
  • Параграфы 350–371 (II.1.2. «О диаграммах Эйлера») — из «Графиков» (рукопись 479) в. 1903.
  • Пункты 372–584 Эпринт .
  • Параграфы 372–393 (II.2. «Символическая логика») - часть «Символической логики» Пирса в Словаре философии и психологии Болдуина (1902) , т. 2, стр. 645–650 , начиная (около верха второго столбца) с «Если определить символическую логику...». Параграф 393 (DPP2 Болдуина, стр. 650) написан Пирсом и Кристиной Лэдд-Франклин («CSP, CLF»).
  • Параграфы 394–417 (II.3. «Экзистенциальные графы») — из брошюры Пирса «Программа по некоторым темам логики» , стр. 15–23, Alfred Mudge & Son, Бостон (1903).
  • Параграфы 418–509 (II.4. «Об экзистенциальных графах, диаграммах Эйлера и логической алгебре») — из «Логических трактатов, № 2» (рукопись 492), ок. 1903.
  • Параграфы 510–529 (II.5. «Гамма-часть экзистенциальных графов») — из «Лекций Лоуэлла 1903 года», лекция IV (рукопись 467).
  • Параграфы 530–572 (II.6.) — «Пролегомены к апологии прагматизма» (1906), «Монист» , т. XVI, н. 4, стр. 492-546 . Исправления (1907 г.) в «Монисте против XVII», с. 160 .
  • Параграфы 573–584 (II.7. «Улучшение гамма-графиков») - из «Для Национальной академии наук, апрельское собрание 1906 года в Вашингтоне» (рукопись 490).
  • Параграфы 617–623 (по крайней мере) (в книге III, гл. 2, § 2, абзацы 594–642) - из «Некоторые удивительные лабиринты: объяснение любопытства первого», The Monist , т. XVIII, 1908, н. 3, стр. 416-464 , см. начальные стр. 440 .
• 1992. «Лекция третья: Логика родственников», Рассуждение и логика вещей , стр. 146–164. Кетнер, Кеннет Лейн (редактирование и введение) и Хилари Патнэм (комментарии). Издательство Гарвардского университета . Лекции Пирса 1898 года в Кембридже, Массачусетс.
• 1977, 2001. Семиотика и значение : переписка между К.С. Пирсом и Викторией Леди Уэлби . Хардвик, CS, изд. Лаббок, Техас: Издательство Техасского технологического университета. 2-е издание 2001 г.
• Транскрипция MS 514 Пирса (1909 г.), отредактированная с комментариями Джона Совы .

В настоящее время хронологическое критическое издание работ Пирса «Сочинения » распространяется только на 1892 год. Большая часть работ Пирса по логическим графам состоит из рукописей, написанных после этой даты и до сих пор не опубликованных. Следовательно, наше понимание графической логики Пирса, вероятно, изменится по мере появления остальных 23 томов хронологического издания.

Вторичная литература

• Хаммер, Эрик М. (1998), «Семантика экзистенциальных графов», Journal of Philosophical Logic 27 : 489–503.
• Кетнер, Кеннет Лейн
  • (1981), «Лучший пример семиозиса и его использования в преподавании семиотики», Американский журнал семиотики , т. I, n. 1–2, стр. 47–83. Статья представляет собой введение в экзистенциальные графы.
  • (1990), «Элементы логики: введение в экзистенциальные графики Пирса» , издательство Техасского технологического университета, Лаббок, Техас, 99 страниц, в спиральном переплете.
• Кейруш, Жоао и Стьернфельт, Фредерик
  • (2011), «Диаграмматическое рассуждение и логическое представление Пирса», Semiotica vol. 186 (1/4). (Специальный выпуск диаграммной логики Пирса.) [1]
• Робертс, Дон Д.
  • (1964), «Экзистенциальные графики и естественная дедукция» в Муре, Э.К., и Робине, Р.С., ред., Исследования по философии К.С. Пирса, 2-я серия . Амхерст, Массачусетс: Издательство Массачусетского университета . Первая публикация, демонстрирующая сочувствие и понимание графической логики Пирса.
  • (1973). Экзистенциальные графы К.С. Пирса. Джон Бенджаминс. Результат его диссертации 1963 года.
• Шин, Сун-Джу (2002), Знаковая логика графиков Пирса . МТИ Пресс.
• Саламеа, Фернандо . Логика непрерывности Пирса. Доцент Пресс, Бостон, Массачусетс. 2012. ISBN 9 780983 700494.
  • Часть II: Экзистенциальные графики Пирса, стр. 76–162.
• Земан, Джей Джей
  • (1964), Графическая логика К.С. Пирса. Архивировано 14 сентября 2018 г. в Wayback Machine. Неопубликованный доктор философии. диссертацию подал в Чикагский университет .
  • (1967), «Система неявной количественной оценки», Журнал символической логики 32 : 480–504.

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : логика Пирса и Сун-Джу Шина Эрика Хаммера.
• Дау, Фритьоф, Экзистенциальные графики Пирса --- Литература и ссылки. Аннотированная библиография по экзистенциальным графам.
• Готшалл, Кристиан, Proof Builder. Архивировано 12 февраля 2006 г. в Wayback Machine — Java-апплет для построения альфа-графиков.
• Лю, Синь-Вэнь, « Литература по экзистенциальным графам К.С. Пирса » (через Wayback Machine), Институт философии Китайской академии социальных наук, Пекин, КНР.
• Сова, Джон Ф. «Законы, факты и контексты: основы мультимодального рассуждения» . Проверено 23 октября 2009 г. (Примечание. Экзистенциальные графы и концептуальные графы .)
• Ван Хёвельн, Брэм, « Экзистенциальные графы. Архивировано 29 августа 2009 г. в Wayback Machine », кафедра когнитивных наук, Политехнический институт Ренсселера . Только Альфа.
• Земан, Джей Дж., « Экзистенциальные графы ». С четырьмя онлайн-статьями Пирса.