Закон Стефана – Больцмана

«Закон Стефана» перенаправляется сюда. Не путать с уравнением Стефана или формулой Стефана .

Суммарная излучаемая энергия, $j\equiv M^{\circ }$, черного тела в зависимости от его температуры, $T$. Верхняя (черная) кривая изображает закон Стефана – Больцмана: $M^{\circ }=\sigma \,T^{4}$. Нижняя (синяя) кривая — полная энергия согласно приближению Вина , $M_{W}^{\circ }=M^{\circ }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,$

Закон Стефана-Больцмана , также известный как закон Стефана , описывает интенсивность теплового излучения , испускаемого веществом, с точки зрения температуры этого вещества . Он назван в честь Йозефа Стефана , который эмпирически вывел эту зависимость, и Людвига Больцмана, который вывел закон теоретически.

Для идеального поглотителя/излучателя или черного тела закон Стефана-Больцмана гласит, что полная энергия, излучаемая на единицу площади поверхности в единицу времени (также известная как световая активность излучения ), прямо пропорциональна четвертой степени температуры черного тела, T : $$M^{\circ }=\sigma \,T^{4}.$$

Константа пропорциональности , $\sigma$, называется константой Стефана–Больцмана . Он имеет значение

σ = 5,670 374 419 ... × 10 ⁻⁸  W⋅m ⁻² ⋅K ⁻⁴ . ‍

В общем случае закон Стефана–Больцмана для световой мощности принимает вид: $$M=\varepsilon \,M^{\circ }=\varepsilon \,\sigma \,T^{4},$$где $\varepsilon$ – излучательная способность поверхности, испускающей излучение. Коэффициент излучения обычно находится между нулем и единицей. Излучательная способность, равная единице, соответствует черному телу.

Подробное объяснение

Выходная мощность излучения (ранее называемая излучательной способностью ), $M$, имеет размеры потока энергии (энергия в единицу времени на единицу площади), а СИ единицы измерения - джоули в секунду на квадратный метр (Дж⋅с ⁻¹ ⋅m ⁻² ), или, что эквивалентно, ватты на квадратный метр (Вт⋅м ⁻² ). Единицей абсолютной температуры в системе СИ , Т , является кельвин (К).

Чтобы найти полную мощность , $P$, излучаемый объектом, умножьте мощность излучения на площадь поверхности объекта, $A$: $$P=A\cdot M=A\,\varepsilon \,\sigma \,T^{4}.$$

Материя, которая не поглощает все падающее излучение, излучает меньше общей энергии, чем черное тело. Выбросы сокращаются в разы $\varepsilon$, где излучательная способность , $\varepsilon$, является материальным свойством, которое, по большей части, удовлетворяет $0\leq \varepsilon \leq 1$. В целом излучательная способность может зависеть от длины волны , направления и поляризации . Однако излучательная способность, которая появляется в ненаправленной форме закона Стефана-Больцмана, представляет собой полусферическую полную излучательную способность , которая отражает излучение, суммированное по всем длинам волн, направлениям и поляризациям.

Форма закона Стефана-Больцмана, включающая излучательную способность, применима ко всему веществу при условии, что вещество находится в состоянии локального термодинамического равновесия (ЛТР), так что его температура четко определена. (Это тривиальный вывод, поскольку излучательная способность, $\varepsilon$, определяется как величина, которая делает это уравнение действительным. Нетривиальным является утверждение о том, что $\varepsilon \leq 1$, что является следствием закона теплового излучения Кирхгофа . )

Так называемое серое тело — это тело, спектральная излучательная способность которого не зависит от длины волны, так что полная излучательная способность $\varepsilon$, является константой. В более общем (и реалистичном) случае спектральная излучательная способность зависит от длины волны. Полная излучательная способность, применимая к закону Стефана-Больцмана, может быть рассчитана как средневзвешенное значение спектральной излучательной способности, при этом спектр излучения черного тела служит весовой функцией . Отсюда следует, что если спектральная излучательная способность зависит от длины волны, то полная излучательная способность зависит от температуры, т. е. $\varepsilon =\varepsilon (T)$. Однако если зависимость от длины волны мала, то мала будет и зависимость от температуры.

Частицы длин волн и субволновых масштабов, метаматериалы , и другие наноструктуры не подпадают под лучеоптические ограничения и могут быть рассчитаны на коэффициент излучения более 1.

В документах национальных и международных стандартов символ $M$ рекомендуется для обозначения лучистой яркости ; верхний индекс (°) указывает на термин, относящийся к черному телу. (Нижний индекс «е» добавляется, когда важно различать энергетическую ( радиометрическую ) величину световой энергии , $M_{\mathrm {e} }$, из аналогичной величины человеческого зрения ( фотометрической ), световой мощности , обозначаемой $M_{\mathrm {v} }$. ) В обычном использовании символ, используемый для обозначения светосилы (часто называемый излучательной способностью ), варьируется в разных текстах и ​​в разных областях.

Закон Стефана-Больцмана можно выразить как формулу зависимости яркости от температуры. Излучение измеряется в ваттах на квадратный метр на стерадиан (Вт⋅м ⁻² ⋅sr ⁻¹ ). Закон Стефана-Больцмана для излучения черного тела: $$L_{\Omega }^{\circ }={\frac {M^{\circ }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}\,T^{4}.$$

Закон Стефана – Больцмана, выраженный формулой плотности энергии излучения : $$w_{\mathrm {e} }^{\circ }={\frac {4}{c}}\,M^{\circ }={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4},$$где $c$ это скорость света.

История

В 1864 году Джон Тиндалл представил измерения инфракрасного излучения платиновой нити и соответствующий цвет нити. Пропорциональность четвертой степени абсолютной температуры была выведена Йозефом Стефаном (1835–1893) в 1877 году на основе экспериментальных измерений Тиндаля в статье Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur ( О связи между тепловым излучением и температурой). температура ) в Бюллетенях сессий Венской академии наук.

Вывод закона из теоретических соображений был представлен Людвигом Больцманом (1844–1906) в 1884 году на основе работ Адольфо Бартоли . Бартоли в 1876 году вывел существование радиационного давления из принципов термодинамики . Вслед за Бартоли Больцман рассматривал идеальную тепловую машину, использующую в качестве рабочего вещества электромагнитное излучение вместо идеального газа.

Закон практически сразу был экспериментально проверен. Генрих Вебер в 1888 году указал на отклонения при более высоких температурах, но к 1897 году идеальная точность в пределах погрешностей измерений была подтверждена до температур 1535 К. Закон, включая теоретическое предсказание постоянной Стефана-Больцмана как функции скорости света , постоянной Больцмана и постоянной Планка , является прямым следствием закона Планка , сформулированного в 1900 году.

Константа Стефана – Больцмана

Константа Стефана-Больцмана σ получена из других известных физических констант : $$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}$$где k — постоянная Больцмана , h — постоянная Планка , а c — скорость света в вакууме .

Начиная с переопределения базовых единиц СИ в 2019 году , которое устанавливает точные фиксированные значения для k , h и c , константа Стефана-Больцмана равна точно: $$\sigma =\left[{\frac {2\pi ^{5}\left(1.380\ 649\times 10^{-23}\right)^{4}}{15\left(2.997\ 924\ 58\times 10^{8}\right)^{2}\left(6.626\ 070\ 15\times 10^{-34}\right)^{3}}}\right]\,{\frac {\mathrm {W} }{\mathrm {m} ^{2}{\cdot }\mathrm {K} ^{4}}}$$Таким образом,

σ = 5,670 374 419 ... × 10 ⁻⁸  W⋅m ⁻² ⋅K ⁻⁴ .

До этого значение $\sigma$ рассчитывали по измеренному значению газовой постоянной .

Числовое значение постоянной Стефана – Больцмана в других системах единиц отличается, как показано в таблице ниже.

Константа Стефана–Больцмана, σ

Контекст	Ценить	Единицы
И	5.670 374 419 ... × 10 −8	W⋅m −2 ⋅K −4
СГС	5.670 374 419 ... × 10 −5	erg⋅cm −2 ⋅s −1 ⋅K −4
Обычные единицы США	1.713 441 ... × 10 −9	BTU⋅hr −1 ⋅ft −2 ⋅°Р −4
Термохимия	1.170 937 ... × 10 −7	cal ⋅ cm −2 ⋅ day −1 ⋅ K −4

Примеры

Температура Солнца

Логарифмические графики зависимости пиковой длины волны излучения и мощности излучения от температуры черного тела . Красные стрелки показывают, что черные тела с температурой 5780 К имеют пик 501 нм и 63,3 МВт/м. ² сияющее возбуждение.

С помощью своего закона Стефан также определил температуру поверхности Солнца . Он сделал вывод на основе данных Жака-Луи Соре (1827–1890). что плотность потока энергии от Солнца в 29 раз превышает плотность потока энергии некоторой нагретой металлической ламели (тонкой пластины). Круглая ламель была помещена на таком расстоянии от измерительного прибора, чтобы ее можно было видеть с тем же угловым диаметром, что и Солнце. По оценкам Соре, температура ламели составляла примерно от 1900 до 2000 °C. Стефан предположил, что 1/3 потока энергии Солнца поглощается атмосферой Земли , поэтому за правильный поток энергии Солнца он принял значение, в 3/2 раза превышающее значение Соре, а именно 29×3/2 = 43,5.

Точные измерения атмосферного поглощения не проводились до 1888 и 1904 годов. Температура, полученная Стефаном, была средним значением предыдущих, 1950 ° C, и абсолютным термодинамическим значением 2200 К. Как 2,57 ⁴ = 43,5, из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза превышает температуру ламели, поэтому Стефан получил значение 5430 °С или 5700 К. Это было первое разумное значение температуры Солнца. . До этого значения варьировались от 1800 °C до 13 000 000 °C. были востребованы. Нижнее значение 1800 °С было определено Клодом Пуйе (1790–1868) в 1838 году с помощью закона Дюлонга–Пти . Пуйе также принял только половину значения правильного потока энергии Солнца.

Температура звезд

Температуру звезд , отличных от Солнца, можно приблизительно определить аналогичным способом, рассматривая излучаемую энергию как излучение черного тела . Так: $$L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}$$где L — светимость , σ — постоянная Стефана–Больцмана, R — радиус звезды, а T — эффективная температура . Эту формулу затем можно изменить для расчета температуры: $$T={\sqrt[{4}]{\frac {L}{4\pi R^{2}\sigma }}}$$или альтернативно радиус: $$R={\sqrt {\frac {L}{4\pi \sigma T^{4}}}}$$

Те же формулы можно упростить и для расчета параметров относительно Солнца: $${\begin{aligned}{\frac {L}{L_{\odot }}}&=\left({\frac {R}{R_{\odot }}}\right)^{2}\left({\frac {T}{T_{\odot }}}\right)^{4}\\[1ex]{\frac {T}{T_{\odot }}}&=\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/4}\left({\frac {R_{\odot }}{R}}\right)^{1/2}\\[1ex]{\frac {R}{R_{\odot }}}&=\left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\left({\frac {L}{L_{\odot }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}$$где $R_{\odot }$ радиус Солнца и так далее. Их также можно переписать в терминах площади поверхности A и световой способности . $M^{\circ }$: $${\begin{aligned}L&=AM^{\circ }\\[1ex]M^{\circ }&={\frac {L}{A}}\\[1ex]A&={\frac {L}{M^{\circ }}}\end{aligned}}$$где $A=4\pi R^{2}$ и $M^{\circ }=\sigma T^{4}.$

С помощью закона Стефана-Больцмана астрономы могут легко определить радиусы звезд. Закон также встречается в термодинамике черных дыр в так называемом излучении Хокинга .

Эффективная температура Земли

Аналогичным образом мы можем рассчитать эффективную температуру Земли T _⊕ , приравнивая энергию, полученную от Солнца, и энергию, излучаемую Землей, в приближении черного тела (собственное производство энергии Землей достаточно мало, чтобы его можно было пренебречь). Светимость Солнца L _⊙ определяется формулой: $$L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}$$

радиусом 0 _{На Земле эта энергия проходит через сферу с} , расстояние между Землей и Солнцем, а облученность (полученная мощность на единицу площади) определяется выражением $$E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}$$

Земля имеет радиус R _⊕ и, следовательно, поперечное сечение $\pi R_{\oplus }^{2}$. ( Таким образом, лучистый поток т.е. солнечная энергия), поглощаемый Землей, определяется выражением: $$\Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }$$

Поскольку в законе Стефана-Больцмана используется четвертая степень, он оказывает стабилизирующее воздействие на обмен, и поток, излучаемый Землей, имеет тенденцию быть равным поглощаемому потоку, близкому к установившемуся состоянию, где: $${\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}$$

T _⊕ Тогда можно найти : $${\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {6.957\times 10^{8}\;{\rm {m}} \over 2\times 1.495\ 978\ 707\times 10^{11}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}$$где T _⊙ — температура Солнца, R _⊙ радиус Солнца, а a ₀ — расстояние между Землей и Солнцем. Это дает эффективную температуру 6 °С на поверхности Земли, если предположить, что она прекрасно поглощает все падающие на нее выбросы и не имеет атмосферы.

Земли равно Альбедо 0,3, что означает, что 30% солнечной радиации, попадающей на планету, рассеивается обратно в космос без поглощения. Влияние альбедо на температуру можно приблизительно оценить, предположив, что поглощенная энергия умножается на 0,7, но планета по-прежнему излучает как черное тело (последнее по определению эффективной температуры , которую мы и рассчитываем). Такое приближение снижает температуру в 0,7 раза. ^1/4 , что дает 255 К (-18 ° C; -1 ° F).

Вышеупомянутая температура соответствует температуре Земли, видимой из космоса, а не температуре земли, а средней по всем излучающим телам Земли от поверхности до большой высоты. Из-за парникового эффекта фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 К (15 ° C; 59 ° F), что выше, чем эффективная температура 255 К (-18 ° C; -1 ° F), и даже выше. чем температура 279 К (6 ° C; 43 ° F), которую имело бы черное тело.

В приведенном выше обсуждении мы предположили, что вся поверхность Земли имеет одну температуру. Еще один интересный вопрос — какова будет температура поверхности черного тела на Земле, если предположить, что оно достигает равновесия с падающим на него солнечным светом. Это, конечно, зависит от угла падения солнца на поверхность и от того, сколько воздуха прошел солнечный свет. Когда солнце находится в зените, а поверхность горизонтальна, интенсивность излучения может достигать 1120 Вт/м. ² . Тогда закон Стефана-Больцмана дает температуру $$T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}$$или 102 °C (216 °F). (Выше атмосферы результат еще выше: 394 К (121 °C; 250 °F).) Мы можем думать о земной поверхности как о «пытающейся» достичь равновесной температуры в течение дня, но охлаждаемой атмосферой, и «пытается» достичь равновесия со звездным и, возможно, лунным светом ночью, но согревается атмосферой.

Происхождение

Термодинамический вывод плотности энергии

Тот факт, что плотность энергии ящика с излучением пропорциональна $T^{4}$ можно получить с помощью термодинамики. В этом выводе используется соотношение между давлением излучения p и внутренней энергии. плотностью $u$, соотношение, которое можно показать , используя форму электромагнитного тензора энергии-напряжения . Это отношение: $$p={\frac {u}{3}}.$$

Теперь, исходя из фундаментального термодинамического соотношения $$dU=T\,dS-p\,dV,$$получим следующее выражение после деления на $dV$ и фиксация $T$: $$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.$$

Последнее равенство вытекает из следующего соотношения Максвелла : $$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.$$

Из определения плотности энергии следует, что $$U=uV$$где плотность энергии излучения зависит только от температуры, поэтому $$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.$$

Теперь равенство $$u=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,$$ после замены $\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}.$

Между тем, давление – это скорость изменения количества движения на единицу площади. Поскольку импульс фотона равен энергии, деленной на скорость света, $$u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}},$$где множитель 1/3 получается из проекции переданного импульса на нормаль к стенке сосуда.

Поскольку частная производная $\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}$ может быть выражено как связь только между $u$ и $T$ (если изолировать ее с одной стороны равенства), частную производную можно заменить обычной производной. После разделения дифференциалов равенство принимает вид $${\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},$$что сразу приводит к $u=AT^{4}$, с $A$ как некоторая константа интегрирования.

Вывод из закона Планка

Вывод закона Стефана-Больцмана с использованием закона Планка .

Закон можно получить, рассматривая небольшую плоскую поверхность черного тела, расходящуюся в полусферу. В этом выводе используются сферические координаты , где θ — зенитный угол, а φ — азимутальный угол; а малая плоская поверхность черного тела лежит в плоскости xy, где θ = ^п / ₂ .

Интенсивность света, излучаемого поверхностью черного тела, определяется законом Планка : $$I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}},$$где

• $I(\nu ,T)$ это количество мощности на единицу площади поверхности на единицу телесного угла на единицу частоты, излучаемое на частоте $\nu$ черным телом при Т. температуре
• $h$ Планка постоянная
• $c$ это скорость света , а
• $k$ — постоянная Больцмана .

Количество $I(\nu ,T)~A\cos \theta ~d\nu ~d\Omega$ — мощность , излучаемая поверхностью площади A через телесный угол d Ω в диапазоне частот между ν и ν + dν .

Закон Стефана – Больцмана дает мощность, излучаемую на единицу площади излучающего тела: $${\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega$$

Обратите внимание, что косинус появляется потому, что черные тела являются ламбертовскими (т.е. они подчиняются закону косинуса Ламберта ), а это означает, что интенсивность, наблюдаемая вдоль сферы, будет равна фактической интенсивности, умноженной на косинус зенитного угла.Чтобы вывести закон Стефана–Больцмана, необходимо проинтегрировать ${\textstyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi }$ по полусфере и проинтегрируем $\nu$ от 0 до ∞.

$${\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}$$

Затем подключаем I : $${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu$$

Чтобы вычислить этот интеграл, сделайте замену: $${\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}$$что дает: $${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.$$

Интеграл справа является стандартным и имеет множество названий: это частный случай интеграла Бозе–Эйнштейна , полилогарифма или дзета-функции Римана. $\zeta (s)$. Значение интеграла $\Gamma (4)\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}$ (где $\Gamma (s)$ — гамма-функция ), что дает результат, который для идеальной поверхности черного тела: $$M^{\circ }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.$$

Наконец, это доказательство началось только с рассмотрения небольшой плоской поверхности. Однако любую дифференцируемую поверхность можно аппроксимировать совокупностью небольших плоских поверхностей. Пока геометрия поверхности не заставляет черное тело повторно поглощать собственное излучение, общая излучаемая энергия представляет собой просто сумму энергий, излучаемых каждой поверхностью; а общая площадь поверхности представляет собой просто сумму площадей каждой поверхности, поэтому этот закон справедлив и для всех выпуклых черных тел, пока поверхность имеет одинаковую температуру повсюду. Закон распространяется на излучение невыпуклых тел, используя тот факт, что выпуклая оболочка черного тела излучает так, как если бы она сама была черным телом.

Плотность энергии

Полную плотность энергии U можно рассчитать аналогичным образом, за исключением того, что интегрирование производится по всей сфере и без косинуса, а поток энергии (U c) следует разделить на скорость c, чтобы получить плотность энергии U : $$U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega$$Таким образом ${\textstyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$ заменяется на ${\textstyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$, что дает дополнительный коэффициент 4.

Таким образом, всего: $$U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}$$Продукт ${\frac {4}{c}}\sigma$ иногда называют постоянной радиации или константой плотности излучения .

Разложение по фотонам

Закон Стефана – Больцмана можно выразить как $$M^{\circ }=\sigma \,T^{4}=N_{\mathrm {phot} }\,\langle E_{\mathrm {phot} }\rangle$$где поток фотонов, $N_{\mathrm {phot} }$, определяется $$N_{\mathrm {phot} }=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {B_{\nu }}{h\nu }}\,\mathrm {d} \nu$$$$N_{\mathrm {phot} }=\left({1.5205\times 10^{15}}\;{\textrm {photons}}{\cdot }{\textrm {s}}^{-1}{\cdot }{\textrm {m}}^{-2}{\cdot }\mathrm {K} ^{-3}\right)\cdot T^{3}$$и средняя энергия фотона, $\langle E_{\textrm {phot}}\rangle$, определяется $$\langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T=\left({3.7294\times 10^{-23}}\mathrm {J} {\cdot }\mathrm {K} ^{-1}\right)\cdot T\,.$$

Марр и Уилкин (2012) рекомендуют обучать студентов $\langle E_{\textrm {phot}}\rangle$ вместо того, чтобы изучать закон смещения Вина , и чтобы описанное выше разложение изучалось при обучении закону Стефана-Больцмана.

См. также

• Излучение черного тела
• Закон Рэлея – Джинса
• Уравнение Сакумы – Хаттори

Ссылки

• Стефан, Дж. (1879), «О взаимосвязи между тепловым излучением и температурой» ( PDF) , Труды класса математических и естественных наук Императорской академии наук (на немецком языке), 79 : 391–428.
• Больцман, Л. (1884), «Вывод небольшого закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры электромагнитной теории света», Annals of Physics and Chemistry (на немецком языке), 258 (6) . ): 291–294, Бибкод : 1884AnP...258..291B , doi : 10.1002/andp.18842580616