Равномерность

В математике два множества или класса A и B равнозначны , если между ними существует взаимно однозначное соответствие (или биекция), то есть если существует функция из A в B такая, что для каждого элемента y из B , существует ровно один элемент x из A такой, что f ( x ) = y . ^[1] Говорят, что равночисленные множества имеют одинаковую мощность (количество элементов). ^[2] Изучение мощности часто называют равночисленностью ( равенством чисел ). термины «равносилие» ( равенство сил ) и «равносилие» ( равенство сил Вместо этого иногда используются ).

Равномерность обладает характерными свойствами отношения эквивалентности . ^[1] Утверждение о двух множеств A и B равноправности обычно обозначается

A\approx B\,

или

A\sim B

, или

|A|=|B|.

Определение равночисленности с использованием биекций может применяться как к конечным, так и к бесконечным множествам и позволяет утверждать, имеют ли два множества одинаковый размер, даже если они бесконечны. Георг Кантор , изобретатель теории множеств , показал в 1874 году, что существует более одного вида бесконечности, в частности, что совокупность всех натуральных чисел и совокупность всех действительных чисел , хотя оба они бесконечны, не являются равночисленными (см. первую несчетность Кантора). доказательство ). В своей скандальной статье 1878 года Кантор явно определил понятие «степени» множеств и использовал его для доказательства того, что множество всех натуральных чисел и множество всех рациональных чисел равноправны (пример, когда собственное подмножество бесконечного множества равно равнозначно исходному набору), и что декартово произведение даже счетного бесконечного числа копий действительных чисел равнозначно одной копии действительных чисел.

Теорема Кантора 1891 года предполагает, что ни одно множество не равнозначно своему собственному степенному множеству (множеству всех его подмножеств). ^[1] Это позволяет определять все большие и большие бесконечные множества, начиная с одного бесконечного множества.

Если аксиома выбора верна, то кардинальное число набора можно рассматривать как наименьшее порядковое число этой мощности (см. Начальный порядковый номер ). В противном случае его можно рассматривать (приемом Скотта ) как множество множеств минимального ранга, имеющих данную мощность. ^[1]

Утверждение, что любые два множества либо равнозначны, либо одно имеет меньшую мощность, чем другое, эквивалентно аксиоме выбора . ^[3]

Мощность

Равночисленные множества имеют между собой взаимно однозначное соответствие, ^[4] и говорят, что они имеют одинаковую мощность . Мощность набора X по сути является мерой количества элементов набора. ^[1] Равномерность обладает характерными свойствами отношения эквивалентности ( рефлексивность , симметрия и транзитивность ): ^[1]

Рефлексивность: Учитывая набор A , тождественная функция на A является биекцией A в себя, показывая, что каждый набор равнозначен самому себе: A ~ A. A
Симметрия: Для каждой биекции между двумя множествами A и B существует обратная функция , которая является биекцией между B и A , подразумевая, что если набор A равнозначен множеству B, то B также равнозначен A : A ~ B влечет B ~ A .
Транзитивность: Учитывая три множества A , B и C с двумя биекциями f : A → B и g : B → C , композиция g ∘ f этих биекций является биекцией из A в C , поэтому, если A и B равнозначны, а B и C равнозначны, то A и C равнозначны: A ~ B и B ~ C вместе подразумевают A ~ C .

Попытка определить мощность множества как класс эквивалентности всех равночисленных ему множеств проблематична в теории множеств Цермело-Френкеля , стандартной форме аксиоматической теории множеств , поскольку класс эквивалентности любого непустого множества был бы слишком большим. быть набором: это будет правильный класс . В рамках теории множеств Цермело–Френкеля отношения по определению ограничиваются множествами (бинарное отношение на множестве A является подмножеством декартова произведения A × A не существует множества всех множеств. ), и в множестве Цермело–Френкеля теория. В теории множеств Цермело-Френкеля вместо определения мощности набора как класса эквивалентности всех равнозначных ему множеств пытаются присвоить репрезентативный набор каждому классу эквивалентности ( кардинальное присвоение ). В некоторых других системах аксиоматической теории множеств, например, в теории множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя и теории множеств Морса-Келли , отношения распространяются на классы .

Говорят, что набор A имеет мощность, меньшую или равную мощности набора B , если существует взаимно-однозначная функция (инъекция) из A в B . Это обозначается | А | ≤ | Б |. Если A и B не равноправны, то говорят, что мощность A строго меньше мощности B . Это обозначается | А | < | Б |. Если аксиома выбора верна, то справедлив закон трихотомии для кардинальных чисел , так что любые два множества либо равночисленны, либо одно имеет строго меньшую мощность, чем другое. ^[1] Закон трихотомии кардинальных чисел также подразумевает аксиому выбора . ^[3]

Теорема Шредера –Бернштейна утверждает, что любые два множества A и B, для которых существуют две взаимно однозначные функции f : A → B и g : B → A , равнозначны: если | А | ≤ | Б | и | Б | ≤ | А |, то | А | = | Б |. ^[1]^[3] Эта теорема не опирается на аксиому выбора .

Теорема Кантора

Теорема Кантора подразумевает, что ни одно множество не равнозначно своему степенному множеству (множеству всех его подмножеств ). ^[1] Это справедливо даже для бесконечных множеств . В частности, набор степеней счетного бесконечного множества является несчетным множеством .

Предполагая существование бесконечного множества N, состоящего из всех натуральных чисел , и предполагая существование набора степеней любого данного набора, можно определить последовательность N , P ( N ), P ( P ( N )), P ( P ( P ( N ))), … бесконечных множеств, где каждый набор является степенным набором предыдущего. По теореме Кантора мощность каждого множества в этой последовательности строго превышает мощность предшествующего ему множества, что приводит к все большим и большим бесконечным множествам.

Работа Кантора подверглась резкой критике со стороны некоторых его современников, например Леопольда Кронекера , который решительно придерживался финитистской позиции. ^[5] философию математики и отверг идею о том, что числа могут образовывать действительную завершенную целостность ( актуальную бесконечность ). Однако идеи Кантора защищались другими, например Ричардом Дедекиндом , и в конечном итоге были в значительной степени приняты, решительно поддержаны Дэвидом Гильбертом . см . в разделе «Споры по поводу теории Кантора» Дополнительную информацию .

В рамках теории множеств Цермело – Френкеля аксиома степенного множества гарантирует существование степенного множества любого данного множества. Более того, аксиома бесконечности гарантирует существование хотя бы одного бесконечного множества, а именно множества, содержащего натуральные числа. Существуют альтернативные теории множеств , например, « общая теория множеств » (GST), теория множеств Крипке-Платека и теория карманных множеств (PST), которые намеренно опускают аксиому степенного множества и аксиому бесконечности и не позволяют определить бесконечная иерархия бесконечностей, предложенная Кантором.

Мощности, соответствующие множествам N , P ( N ), P ( P ( N )), P ( P ( P ( N ))), … являются числами бета $\beth _{0}$ , $\beth _{1}$ , $\beth _{2}$ , $\beth _{3}$ , …, с первым номером ставки $\beth _{0}$ быть равным $\aleph _{0}$ ( алеф ноль ), мощность любого счетного множества и второе число бет $\beth _{1}$ быть равным ${\mathfrak {c}}$ , мощность континуума .

Бесконечные множества Дедекинда

могут В некоторых случаях множество S и его собственное подмножество быть равночисленными. Например, набор четных натуральных чисел равнозначен множеству всех натуральных чисел. Множество, равнозначное собственному подмножеству самого себя, называется дедекинд-бесконечным . ^[1]^[3]

Аксиома счетного выбора (AC _ω ), слабый вариант аксиомы выбора (AC), необходима, чтобы показать, что множество, которое не является бесконечным по Дедекинду, на самом деле конечно . Аксиомы ZF теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора (ZF) недостаточно сильны, чтобы доказать, что каждое бесконечное множество является дедекиндово-бесконечным, но аксиомы теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой счетного выбора ( + AC _ω ) достаточно сильны. ^[6] Другие определения конечности и бесконечности множеств, кроме того, что дал Дедекинд, не требуют для этого аксиомы выбора, см. Конечное множество § Необходимые и достаточные условия конечности . ^[1]

Совместимость с заданными операциями

Равномерность совместима с основными операциями над множествами , что позволяет определить кардинальную арифметику . ^[1] В частности, равномерность совместима с непересекающимися объединениями : даны четыре множества A , B , C и D, где A и C с одной стороны, а B и D с другой стороны, попарно непересекающиеся и с A ~ B и C ~ D, тогда A ∪ C ~ Б ∪ D . Это используется для обоснования определения кардинального сложения .

Кроме того, равномерность совместима с декартовыми произведениями :

Если A ~ B и C ~ D то A × C ~ B × D. ,
А × Б ~ Б × А
( А × B ) × C ~ А × ( B × C )

Эти свойства используются для обоснования кардинального умножения .

Учитывая два набора X и Y , набор всех функций от Y до X обозначается X ^И. Тогда справедливы следующие утверждения:

Если A ~ B и C ~ D, то A ^С ~ Б ^Д.
А ^{Б ∪ С} ~ А ^Б × А ^С для непересекающихся B и C .
( А × Б ) ^С ~ А ^С × Б ^С
( А ^Б) ^С ~ А ^{B × C}

Эти свойства используются для обоснования кардинального возведения в степень .

Более того, набор степеней данного множества A (множество всех подмножеств A ) равнозначен множеству 2 ^А, набор всех функций из множества A в набор, содержащий ровно два элемента.

Категориальное определение

В теории категорий категория множеств , обозначаемая Set , представляет собой категорию, состоящую из совокупности всех множеств как объектов и совокупности всех функций между множествами как морфизмов , с композицией функций как композицией морфизмов. В Set изоморфизм в между двумя множествами является в точности биекцией, и два множества равнозначны именно в том случае, если они изоморфны как объекты Set .

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Суппес, Патрик (1972) [первоначально опубликовано компанией Д. ван Ностранда в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств . Дувр. ISBN 0486616304 .
^ Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Academic Press Inc. ISBN 0-12-238440-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джех, Томас Дж. (2008) [Первоначально опубликовано издательством North-Holland в 1973 году]. Аксиома выбора . Дувр. ISBN 978-0-486-46624-8 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Эквиполлент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 05 сентября 2020 г.
^ Тайлз, Мэри (2004) [первоначально опубликовано Basil Blackwell Ltd. в 1989 году]. Философия теории множеств: историческое введение в канторовский рай . Дувр. ISBN 978-0486435206 .
^ Херлих, Хорст (2006). Аксиома выбора . Конспект лекций по математике 1876 г. . Springer-Verlag. ISBN 978-3540309895 .

[suppes-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Суппес, Патрик (1972) [первоначально опубликовано компанией Д. ван Ностранда в 1960 году]. Аксиоматическая теория множеств . Дувр. ISBN 0486616304 .

[2] Эндертон, Герберт (1977). Элементы теории множеств . Academic Press Inc. ISBN 0-12-238440-7 .

[jech-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джех, Томас Дж. (2008) [Первоначально опубликовано издательством North-Holland в 1973 году]. Аксиома выбора . Дувр. ISBN 978-0-486-46624-8 .

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Эквиполлент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 05 сентября 2020 г.

[tiles-5] Тайлз, Мэри (2004) [первоначально опубликовано Basil Blackwell Ltd. в 1989 году]. Философия теории множеств: историческое введение в канторовский рай . Дувр. ISBN 978-0486435206 .

[herrlich-6] Херлих, Хорст (2006). Аксиома выбора . Конспект лекций по математике 1876 г. . Springer-Verlag. ISBN 978-3540309895 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]