Jump to content

Оценка (алгебра)

(Перенаправлено с «Первого идеала оценки »)

В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или теории алгебраических чисел ) оценка — это функция поля , которая обеспечивает меру размера или кратности элементов поля. Он обобщает на коммутативную алгебру понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля . в комплексном анализе , степени делимости числа на простое число в теории чисел и геометрической концепции контакта между двумя числами алгебраические или аналитические многообразия в алгебраической геометрии. Поле со значением называется значащим полем .

Определение

[ редактировать ]

Начинаем со следующих объектов:

Упорядочение и групповой закон на Γ распространяются на множество Γ ∪ {∞ } [а] по правилам

  • ∞ ≥ α для всех α Γ ,
  • ∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ для всех α Γ .

Тогда оценкой K является любое отображение

v : K → Γ ∪ {∞}

который удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :

  • v ( a ) = ∞ тогда и только тогда, когда a = 0 ,
  • v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) ,
  • v ( a + b ) ≥ min( v ( a ), v ( b ) ) , с равенством, если v ( a ) ≠ v ( b ).

Оценка v тривиальна , если v ( a ) = 0 для всех a из K × , в противном случае это нетривиально .

Второе свойство утверждает, что любое нормирование является групповым гомоморфизмом на K × . Третье свойство представляет собой версию неравенства треугольника в метрических пространствах , адаптированную к произвольному Γ (см. Мультипликативные обозначения ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство означает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок члена ведущего порядка . [б] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющемуся порядком большего члена: [с] за исключением случаев, когда два термина имеют одинаковый порядок, и в этом случае они могут сокращаться, и сумма может иметь больший порядок.

Для многих приложений Γ является аддитивной подгруппой действительных чисел. [д] в этом случае ∞ можно интерпретировать как +∞ в расширенных действительных числах ; Обратите внимание, что для любого действительного числа a , и, таким образом, +∞ — это единица измерения двоичной операции минимума. Действительные числа (расширенные +∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое минимальным тропическим полукольцом . [и] и нормирование v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может нарушиться, когда два элемента с одинаковым нормированием складываются вместе.

Мультипликативная запись и абсолютные значения

[ редактировать ]

Эта концепция была развита Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра», записав группу в мультипликативной записи как (Γ, ·, ≥) : [1]

Вместо ∞ мы присоединяем к Γ формальный символ O , при этом порядок и групповой закон расширяются правилами

  • O α для всех α Γ ,
  • О · α = α · O = O для всех α Γ .

Тогда оценкой K является любое отображение

| ⋅ | v  : K → Γ ∪ { O }

удовлетворяющий следующим свойствам для всех a , b K :

  • |а| v = O тогда и только тогда, когда a = 0 ,
  • |ab| v = |a| v · |b| v ,
  • |а+б| v ≤ max( |a| v , |b| v ) , с равенством, если |a| v |б| в .

(Обратите внимание, что направления неравенств обратны направлениям в аддитивных обозначениях.)

Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последнее условие представляет собой ультраметрическое неравенство, более сильную форму неравенства треугольника |a+b| v |а| v + |б| v и | ⋅ | v абсолютное значение . В этом случае можно перейти к аддитивной записи с группой значений взяв v + ( a ) = −log |a| в .

Каждое нормирование на K определяет соответствующий линейный предпорядок : a b |a| v |b| в . И наоборот, если " " удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку |a| v = { b : b a a b }, с умножением и упорядочиванием на основе K и .

Терминология

[ редактировать ]

В данной статье мы используем определенные выше термины в аддитивных обозначениях. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

  • наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовой абсолютной величиной», или «ультраметрической абсолютной величиной»;
  • наше «абсолютное значение» (удовлетворяющее неравенству треугольника) называется «оценкой» или «архимедовым абсолютным значением».

Связанные объекты

[ редактировать ]

Существует несколько объектов, определенных по заданному значению v : K → Γ ∪ {∞} ;

  • группа ценностей или группа ценностей Γ v = v ( K × ), подгруппа Γ (хотя v обычно сюръективна, так что Γ v = Γ );
  • кольцо нормирования R v — это множество a K с v ( a ) ≥ 0,
  • простой идеал m v - это множество a K с v ( a 0 (фактически это максимальный идеал R ) > v ),
  • поле вычетов k v = R v / m v ,
  • место , K v связанное с . , класс v при эквивалентности, определенной ниже

Основные свойства

[ редактировать ]

Эквивалентность оценок

[ редактировать ]

Два нормирования v 1 и v 2 группы K с группой нормирования Γ 1 и Γ 2 соответственно называются эквивалентными , если существует сохраняющий порядок групповой изоморфизм φ : Γ 1 → Γ 2 такой, что v 2 ( a ) = φ ( v 1 ( a )) для всех a в K × . Это отношение эквивалентности .

Два нормирования K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо нормирования.

Класс эквивалентности нормировок поля называется местом . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел. точности классы эквивалентности нормировок p -адических пополнений это в

Расширение оценок

[ редактировать ]

Пусть v оценка K и пусть L расширение поля K. , — Расширение v L (до , определение w L это такое что ограничение w ) — на K равно v . Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления оценок .

Пусть L / K конечное расширение и пусть w — расширение v до L. , Индекс v Γ v в Γ w , e( w / v w : Γ ] , называется приведенным индексом ветвления w ) = над v . Он удовлетворяет условию e( w / v ) ≤ [ L : K ] ( степень расширения L / K ). Относительная степень w : над v определяется как f ( w / v = [ R w / m w ) R v / m v ] (степень расширения полей вычетов). Он также меньше или равен степени L / K . Когда L / K сепарабельна p , ветвления w v над v определяется как e w / индекс ) ( я , где п я неотделимая степень расширения R w / m w над R v / m v .

Заполните значащие поля

[ редактировать ]

Когда упорядоченная абелева группа Γ является аддитивной группой целых чисел , соответствующая оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, индуцирует в поле K. метрику Если K полно относительно этой метрики, то оно называется полным значным полем . Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершения , как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.

В общем, оценка порождает равномерную структуру на K , и K называется полным значным полем, если оно полно как однородное пространство. Существует родственное свойство, известное как сферическая полнота : оно эквивалентно полноте, если но в целом сильнее.

p-адическая оценка

[ редактировать ]

Самый простой пример - это p -адическая оценка ν p, связанная с простым целым числом p на рациональных числах. со оценочным кольцом где это локализация в высшем идеале . Группа оценки представляет собой целые аддитивные числа. Для целого числа оценка ν p ( a ) измеряет делимость a на степени p :

а для дроби ν p ( a / b ) = ν p ( a ) - ν p ( b ).

Запись этого мультипликативно дает p -адическое абсолютное значение , которое обычно имеет в качестве основания , так .

Завершение относительно ν p — поле чисел p-адических .

Порядок исчезновения

[ редактировать ]

Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X = F 1 и возьмем точку a ∈ X. Для многочлена с , определим v a ( f ) = k, порядок исчезновения в точке x = a ; и v а ( ж / г ) знак равно v а ( ж ) - v а ( г ). Тогда кольцо нормирования R состоит из рациональных функций без полюса в точке x = a , а пополнением является формальных рядов Лорана кольцо F (( x a )). Это можно обобщить на поле рядов Пюизо K {{ t }} (дробные степени), поле Леви-Чивита (его пополнение Коши) и поле рядов Хана , причем оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель степени t появляющийся в сериале.

π -адическая оценка

[ редактировать ]

Обобщая предыдущие примеры, пусть R область главных идеалов , K ее поле частных , а неприводимый элемент R. π Поскольку каждая область главного идеала является уникальной областью факторизации , каждый ненулевой элемент a из R может быть записан (по существу) однозначно как

где e's - неотрицательные целые числа, а - pi неприводимые элементы R , которые не являются ассоциированными с π . В частности, целое число e a однозначно определяется a .

Тогда π -адическая оценка K определяется выражением

Если π' — другой неприводимый элемент из R такой, что (π') = (π) (т. е. они порождают один и тот же идеал в R ), то π-адическая нормировка и π'-адическая нормировка равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать P -адическим нормированием, где P = (π).

P -адическая оценка в области Дедекинда

[ редактировать ]

Предыдущий пример можно обобщить на домены Дедекинда . Пусть R — дедекиндова область, K — поле частных, и пусть P — ненулевой простой идеал R . Тогда локализация R , в P , обозначаемая R P представляет собой область главного идеала, поле частных которой K. равно Конструкция предыдущего раздела, примененная к простому идеалу PR P группы R P, дает P -адическую нормировку K .

Векторные пространства над полями оценки

[ редактировать ]

Предположим, что Γ ∪ {0} — множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретна, если ее диапазон (группа оценок) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим, что векторное пространство над K и что A и B — подмножества X. X Тогда мы говорим, что A поглощает B , если существует α K такое, что λ K и |λ| ≥ |α| следует, что B ⊆ λ A . A называется радиальным или поглощающим, если A поглощает каждое конечное подмножество X . Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Кроме того, A называется окружённым, если λ из K и |λ| ≥ |α| подразумевает λ A ⊆ A . Множество окружённых подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. Оболочка кружке A в — это пересечение всех подмножеств X в кружке, содержащих A .

Предположим, что X и Y — векторные пространства над полем недискретного нормирования K , пусть A ⊆ X , B ⊆ Y и пусть f : X → Y — линейное отображение. Если B обведен или радиален, то то же самое . Если A обведено кружком, то и f(A) тоже, но если A радиально, то f(A) будет радиальным при дополнительном условии, что f сюръективен.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Символ ∞ обозначает элемент, не принадлежащий Γ , и не имеет другого значения. Его свойства просто определяются данными аксиомами .
  2. ^ При использовании здесь минимального соглашения оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядок ведущего термина порядка, но при использовании максимального соглашения ее можно интерпретировать как порядок.
  3. ^ Опять же, поменяно местами, поскольку используется минимальное соглашение.
  4. ^ Каждая архимедова группа изоморфна подгруппе добавляемых действительных чисел, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедова упорядоченного поля .
  5. ^ В тропическом полукольце минимум и сложение действительных чисел считаются тропическим сложением и тропическим умножением ; это полукольцевые операции.
  • Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и К -теория Милнора , Математические обзоры и монографии, том. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  0-8218-4041-Х , Збл   1103.12002
  • Джейкобсон, Натан (1989) [1980], «Оценки: параграф 6 главы 9», Базовая алгебра II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company , ISBN  0-7167-1933-9 , Збл   0694.16001 . Шедевр по алгебре, написанный одним из ведущих авторов.
  • Глава VI Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1976) [1960], Коммутативная алгебра, Том II , Тексты для выпускников по математике , том. 29, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90171-8 , Збл   0322.13001
  • Шефер, Хельмут Х .; Вольф, член парламента (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг . стр. 10–11. ISBN  9780387987262 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 4d5719d7c06044cc37a9dfd51b3ef07c__1707146700
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/4d/7c/4d5719d7c06044cc37a9dfd51b3ef07c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Valuation (algebra) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)