Оценка (алгебра)
В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или теории алгебраических чисел ) оценка — это функция поля , которая обеспечивает меру размера или кратности элементов поля. Он обобщает на коммутативную алгебру понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля . в комплексном анализе , степени делимости числа на простое число в теории чисел и геометрической концепции контакта между двумя числами алгебраические или аналитические многообразия в алгебраической геометрии. Поле со значением называется значащим полем .
Определение
[ редактировать ]Начинаем со следующих объектов:
- поле группа K и его мультипликативная K × ,
- абелева (Γ , вполне упорядоченная группа +, ≥) .
Упорядочение и групповой закон на Γ распространяются на множество Γ ∪ {∞ } [а] по правилам
- ∞ ≥ α для всех α ∈ Γ ,
- ∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ для всех α ∈ Γ .
Тогда оценкой K является любое отображение
- v : K → Γ ∪ {∞}
который удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :
- v ( a ) = ∞ тогда и только тогда, когда a = 0 ,
- v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) ,
- v ( a + b ) ≥ min( v ( a ), v ( b ) ) , с равенством, если v ( a ) ≠ v ( b ).
Оценка v тривиальна , если v ( a ) = 0 для всех a из K × , в противном случае это нетривиально .
Второе свойство утверждает, что любое нормирование является групповым гомоморфизмом на K × . Третье свойство представляет собой версию неравенства треугольника в метрических пространствах , адаптированную к произвольному Γ (см. Мультипликативные обозначения ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство означает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.
Оценку можно интерпретировать как порядок члена ведущего порядка . [б] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющемуся порядком большего члена: [с] за исключением случаев, когда два термина имеют одинаковый порядок, и в этом случае они могут сокращаться, и сумма может иметь больший порядок.
Для многих приложений Γ является аддитивной подгруппой действительных чисел. [д] в этом случае ∞ можно интерпретировать как +∞ в расширенных действительных числах ; Обратите внимание, что для любого действительного числа a , и, таким образом, +∞ — это единица измерения двоичной операции минимума. Действительные числа (расширенные +∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое минимальным тропическим полукольцом . [и] и нормирование v является почти гомоморфизмом полукольца из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может нарушиться, когда два элемента с одинаковым нормированием складываются вместе.
Мультипликативная запись и абсолютные значения
[ редактировать ]Эта концепция была развита Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра», записав группу в мультипликативной записи как (Γ, ·, ≥) : [1]
Вместо ∞ мы присоединяем к Γ формальный символ O , при этом порядок и групповой закон расширяются правилами
- O ⩽ α для всех α ∈ Γ ,
- О · α = α · O = O для всех α ∈ Γ .
Тогда оценкой K является любое отображение
- | ⋅ | v : K → Γ ∪ { O }
удовлетворяющий следующим свойствам для всех a , b ∈ K :
- |а| v = O тогда и только тогда, когда a = 0 ,
- |ab| v = |a| v · |b| v ,
- |а+б| v ≤ max( |a| v , |b| v ) , с равенством, если |a| v ≠ |б| в .
(Обратите внимание, что направления неравенств обратны направлениям в аддитивных обозначениях.)
Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последнее условие представляет собой ультраметрическое неравенство, более сильную форму неравенства треугольника |a+b| v ≤ |а| v + |б| v и | ⋅ | v — абсолютное значение . В этом случае можно перейти к аддитивной записи с группой значений взяв v + ( a ) = −log |a| в .
Каждое нормирование на K определяет соответствующий линейный предпорядок : a ≼ b ⇔ |a| v ≤ |b| в . И наоборот, если " ≼ " удовлетворяет требуемым свойствам, мы можем определить оценку |a| v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b }, с умножением и упорядочиванием на основе K и ≼ .
Терминология
[ редактировать ]В данной статье мы используем определенные выше термины в аддитивных обозначениях. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:
- наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой», или «неархимедовой абсолютной величиной», или «ультраметрической абсолютной величиной»;
- наше «абсолютное значение» (удовлетворяющее неравенству треугольника) называется «оценкой» или «архимедовым абсолютным значением».
Связанные объекты
[ редактировать ]Существует несколько объектов, определенных по заданному значению v : K → Γ ∪ {∞} ;
- группа ценностей или группа ценностей Γ v = v ( K × ), подгруппа Γ (хотя v обычно сюръективна, так что Γ v = Γ );
- кольцо нормирования R v — это множество a ∈ K с v ( a ) ≥ 0,
- простой идеал m v - это множество a ∈ K с v ( a 0 (фактически это максимальный идеал R ) > v ),
- поле вычетов k v = R v / m v ,
- место , K v связанное с . , класс v при эквивалентности, определенной ниже
Основные свойства
[ редактировать ]Эквивалентность оценок
[ редактировать ]Два нормирования v 1 и v 2 группы K с группой нормирования Γ 1 и Γ 2 соответственно называются эквивалентными , если существует сохраняющий порядок групповой изоморфизм φ : Γ 1 → Γ 2 такой, что v 2 ( a ) = φ ( v 1 ( a )) для всех a в K × . Это отношение эквивалентности .
Два нормирования K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо нормирования.
Класс эквивалентности нормировок поля называется местом . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел. точности классы эквивалентности нормировок p -адических пополнений это в
Расширение оценок
[ редактировать ]Пусть v оценка K и пусть L — расширение поля K. , — Расширение v L (до , определение w L это такое что ограничение w ) — на K равно v . Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления оценок .
Пусть L / K — конечное расширение и пусть w — расширение v до L. , Индекс v Γ v в Γ w , e( w / v [Γ w : Γ ] , называется приведенным индексом ветвления w ) = над v . Он удовлетворяет условию e( w / v ) ≤ [ L : K ] ( степень расширения L / K ). Относительная степень w : над v определяется как f ( w / v = [ R w / m w ) R v / m v ] (степень расширения полей вычетов). Он также меньше или равен степени L / K . Когда L / K сепарабельна p , ветвления w v над v определяется как e w / индекс ) ( я , где п я — неотделимая степень расширения R w / m w над R v / m v .
Заполните значащие поля
[ редактировать ]Когда упорядоченная абелева группа Γ является аддитивной группой целых чисел , соответствующая оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, индуцирует в поле K. метрику Если K полно относительно этой метрики, то оно называется полным значным полем . Если K не является полным, можно использовать оценку для построения его завершения , как в примерах ниже, и разные оценки могут определять разные поля завершения.
В общем, оценка порождает равномерную структуру на K , и K называется полным значным полем, если оно полно как однородное пространство. Существует родственное свойство, известное как сферическая полнота : оно эквивалентно полноте, если но в целом сильнее.
Примеры
[ редактировать ]p-адическая оценка
[ редактировать ]Самый простой пример - это p -адическая оценка ν p, связанная с простым целым числом p на рациональных числах. со оценочным кольцом где это локализация в высшем идеале . Группа оценки представляет собой целые аддитивные числа. Для целого числа оценка ν p ( a ) измеряет делимость a на степени p :
а для дроби ν p ( a / b ) = ν p ( a ) - ν p ( b ).
Запись этого мультипликативно дает p -адическое абсолютное значение , которое обычно имеет в качестве основания , так .
Завершение относительно ν p — поле чисел p-адических .
Порядок исчезновения
[ редактировать ]Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X = F 1 и возьмем точку a ∈ X. Для многочлена с , определим v a ( f ) = k, порядок исчезновения в точке x = a ; и v а ( ж / г ) знак равно v а ( ж ) - v а ( г ). Тогда кольцо нормирования R состоит из рациональных функций без полюса в точке x = a , а пополнением является формальных рядов Лорана кольцо F (( x − a )). Это можно обобщить на поле рядов Пюизо K {{ t }} (дробные степени), поле Леви-Чивита (его пополнение Коши) и поле рядов Хана , причем оценка во всех случаях возвращает наименьший показатель степени t появляющийся в сериале.
π -адическая оценка
[ редактировать ]Обобщая предыдущие примеры, пусть R — область главных идеалов , K ее поле частных , а — неприводимый элемент R. — π Поскольку каждая область главного идеала является уникальной областью факторизации , каждый ненулевой элемент a из R может быть записан (по существу) однозначно как
где e's - неотрицательные целые числа, а - pi неприводимые элементы R , которые не являются ассоциированными с π . В частности, целое число e a однозначно определяется a .
Тогда π -адическая оценка K определяется выражением
Если π' — другой неприводимый элемент из R такой, что (π') = (π) (т. е. они порождают один и тот же идеал в R ), то π-адическая нормировка и π'-адическая нормировка равны. Таким образом, π-адическое нормирование можно назвать P -адическим нормированием, где P = (π).
P -адическая оценка в области Дедекинда
[ редактировать ]Предыдущий пример можно обобщить на домены Дедекинда . Пусть R — дедекиндова область, K — поле частных, и пусть P — ненулевой простой идеал R . Тогда локализация R , в P , обозначаемая R P представляет собой область главного идеала, поле частных которой K. равно Конструкция предыдущего раздела, примененная к простому идеалу PR P группы R P, дает P -адическую нормировку K .
Векторные пространства над полями оценки
[ редактировать ]Предположим, что Γ ∪ {0} — множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретна, если ее диапазон (группа оценок) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).
Предположим, что — векторное пространство над K и что A и B — подмножества X. X Тогда мы говорим, что A поглощает B , если существует α ∈ K такое, что λ ∈ K и |λ| ≥ |α| следует, что B ⊆ λ A . A называется радиальным или поглощающим, если A поглощает каждое конечное подмножество X . Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Кроме того, A называется окружённым, если λ из K и |λ| ≥ |α| подразумевает λ A ⊆ A . Множество окружённых подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. Оболочка кружке A в — это пересечение всех подмножеств X в кружке, содержащих A .
Предположим, что X и Y — векторные пространства над полем недискретного нормирования K , пусть A ⊆ X , B ⊆ Y и пусть f : X → Y — линейное отображение. Если B обведен или радиален, то то же самое . Если A обведено кружком, то и f(A) тоже, но если A радиально, то f(A) будет радиальным при дополнительном условии, что f сюръективен.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Символ ∞ обозначает элемент, не принадлежащий Γ , и не имеет другого значения. Его свойства просто определяются данными аксиомами .
- ^ При использовании здесь минимального соглашения оценка скорее интерпретируется как отрицательный порядок ведущего термина порядка, но при использовании максимального соглашения ее можно интерпретировать как порядок.
- ^ Опять же, поменяно местами, поскольку используется минимальное соглашение.
- ^ Каждая архимедова группа изоморфна подгруппе добавляемых действительных чисел, но существуют неархимедовы упорядоченные группы, такие как аддитивная группа неархимедова упорядоченного поля .
- ^ В тропическом полукольце минимум и сложение действительных чисел считаются тропическим сложением и тропическим умножением ; это полукольцевые операции.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Эмиль Артин Геометрическая алгебра , страницы с 47 по 49, через Интернет-архив
- Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и К -теория Милнора , Математические обзоры и монографии, том. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-4041-Х , Збл 1103.12002
- Джейкобсон, Натан (1989) [1980], «Оценки: параграф 6 главы 9», Базовая алгебра II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company , ISBN 0-7167-1933-9 , Збл 0694.16001 . Шедевр по алгебре, написанный одним из ведущих авторов.
- Глава VI Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1976) [1960], Коммутативная алгебра, Том II , Тексты для выпускников по математике , том. 29, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90171-8 , Збл 0322.13001
- Шефер, Хельмут Х .; Вольф, член парламента (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 3. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг . стр. 10–11. ISBN 9780387987262 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Данилов, В.И. (2001) [1994], «Оценка» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Дискретная оценка в PlanetMath .
- Оценка в PlanetMath .
- Вайсштейн, Эрик В. «Оценка» . Математический мир .