Домен (математический анализ)

В математическом анализе область топологическом или регион — это непустое , связное и открытое множество в пространстве , в частности любое непустое связное открытое подмножество реального координатного пространства $R. н$ или комплексное координатное пространство $C н$ . Связное открытое подмножество координатного пространства часто используется для определения области определения функции , но в целом функции могут быть определены на множествах, которые не являются топологическими пространствами.

Основная идея связанного подмножества пространства восходит к XIX веку, но точные определения немного различаются от поколения к поколению, от автора к автору и от издания к изданию, поскольку концепции развивались, а термины переводились между немецкими, французскими и английскими произведениями. . В английском языке некоторые авторы используют термин домен , ^[1] некоторые используют термин регион , ^[2] некоторые используют оба термина как взаимозаменяемые, ^[3] а некоторые определяют эти два термина немного по-разному; ^[4] некоторые избегают двусмысленности, придерживаясь такой фразы, как « непустое связное открытое подмножество» . ^[5]

Конвенции

Одним из распространенных соглашений является определение домена как связного открытого множества, а региона — как объединения доменов, не имеющих ни одной, некоторых или всех своих предельных точек . ^[6] или Закрытая область закрытая область — это объединение области и всех ее предельных точек.

Различные степени гладкости границы области необходимы для выполнения различных свойств функций, определенных в области, таких как интегральные теоремы ( теорема Грина , теорема Стокса ), свойства пространств Соболева , а также для определения мер на границе и пространствах. следов (обобщенных функций , определенных на границе). Обычно рассматриваемыми типами областей являются области с непрерывной границей, липшицевой границей , $C 1$ граница и так далее.

Ограниченная область — это область, которая ограничена , т. е. содержится в некотором шаре. Ограниченная область определяется аналогично. или Внешний домен внешний домен — это домен, дополнение которого ограничено; иногда на его границе накладываются условия гладкости.

В комплексном анализе комплексная область (или просто область ) — это любое связное открытое подмножество плоскости $C.$ комплексной Например, вся комплексная плоскость является областью, как и открытый единичный диск , открытая верхняя полуплоскость и т. д. Часто комплексная область определения служит областью определения голоморфной функции . При изучении нескольких комплексных переменных определение области расширяется и включает в себя любое связное открытое подмножество $C. н$ .

В евклидовых пространствах протяженность одно-, двух- и трехмерных областей называются соответственно длиной , площадью и объемом .

Исторические заметки

Определение . Открытое множество называется связным, если его нельзя выразить в виде суммы двух открытых множеств. Открытое связное множество называется доменом.
Русский : Открытое множество точек называется связным, если его нельзя представить в виде суммы двух открытых наборов точек. Открытое связное множество точек называется регионом.

- Константин Каратеодори , ( Каратеодори, 1918 , стр. 222)

По словам Ханса Хана , ^[7] Понятие области как открытого связного множества было введено Константином Каратеодори в его знаменитой книге ( Carathéodory 1918 ). В этом определении Каратеодори рассматривает заведомо непустые непересекающиеся множества. Хан также отмечает, что слово « Gebiet » (« Домен ») ранее иногда использовалось как синоним открытого множества . ^[8] Грубая концепция старше. В XIX и начале XX века термины «домен» и «регион» часто использовались неофициально (иногда как синонимы) без явного определения. ^[9]

Однако термин «домен» иногда использовался для обозначения тесно связанных, но несколько разных понятий. Например, в своих влиятельных монографиях по эллиптическим уравнениям в частных производных Карло Миранда использует термин «область» для обозначения открытого связного множества. ^[10]^[11] и резервирует термин «домен» для обозначения внутренне связанного, ^[12] совершенное множество , каждая точка которого является точкой накопления внутренних точек, ^[10] вслед за своим бывшим хозяином Мауро Пиконе : ^[13] согласно этому соглашению, если множество $A$ является областью, то его замыкание $A$ является доменом. ^[10]

См. также

Аналитический многогранник - подмножество комплексного n-пространства, ограниченное аналитическими функциями.
Множество Каччиопполи - область с границей конечной меры.
Эрмитово симметричное пространство # Классические области - Многообразие с инверсионной симметрией
Интервал (математика) - Все числа между двумя заданными числами.
Липшицев домен
Бесточечная геометрия Уайтхеда - Геометрическая теория, основанная на областях

Примечания

^ For instance ( Sveshnikov & Tikhonov 1978 , §1.3 pp. 21–22 ).
^ Например ( Черчилль 1948 , §1.9, стр. 16–17 ); ( Альфорс 1953 , §2.2 стр. 58 ); ( Рудин 1974 , §10.1, стр. 213 ) сохраняет термин область определения для области определения функции; ( Carathéodory 1964 , стр. 97 ) использует термин «регион» для связного открытого множества и термин «континуум» для связного закрытого множества.
^ Например ( Таунсенд 1915 , §10, стр. 20 ); ( Кэрриер, Крук и Пирсон, 1966 , §2.2, стр. 32 ).
^ Например ( Черчилль 1960 , §1.9 стр. 17 ), который не требует, чтобы регион был подключен или открыт.
^ Например ( Dieudonné 1960 , §3.19, стр. 64–67 ) обычно использует фразу « открытое связное множество» , но позже определяет односвязную область ( §9.7, стр. 215 ); Тао, Теренс (2016). «246А, Примечания 2: сложная интеграция» . Кроме того, ( Бремерманн, 1956 ) назвал область открытым множеством, а область — составным открытым множеством.
^ Например ( Fuchs & Shabat 1964 , §6, стр. 22–23 ); ( Крейциг 1972 , §11.1 стр. 469 ); ( Квок 2002 , §1.4, стр. 23.)
^ См. ( Hahn 1921 , стр. 85, сноска 1 ).
↑ Хан (1921 , стр. 61, сноска 3 ), комментируя только что данное определение открытого множества («offene Menge»), точно утверждает: — « Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung «Gebiet» in Gebrauch, die wir (§ 5, С. 85) anders verwenden werden » (Вольный английский перевод:-) Раньше для таких наборов точек изредка использовался термин «Gebiet», и он будет использоваться нами в (§ 5, с. 85) с. другой смысл » .
^ Например ( Форсайт 1893 использует термин «регион» ) повсюду неофициально (например, §16, стр. 21 неформального выражения ) рядом с частью $z$ -плоскости и определяет область определения точки $a$ для функции $f$ как наибольшую $r$ -окрестность точки $а,$ которой $f$ голоморфна в ( §32, с. 52 ). В первом издании влиятельного учебника ( Whittaker 1902 ) термины «домен» и «регион» используются неформально и, очевидно, как взаимозаменяемые. Во втором издании ( Whittaker & Watson 1915 , §3.21, стр. 44 ) открытая область определяется как внутренняя часть простой замкнутой кривой , а закрытая область или область — как открытая область вместе с ее граничной кривой. ( Goursat 1905 , §262, стр. 10 ) определяет région [область] или aire [площадь] как связную часть плоскости. ( Таунсенд 1915 , §10, стр. 20 ) определяет область или область как связную часть комплексной плоскости, состоящую только из внутренних точек.
^ Jump up to: ^а ^б ^с См. (Миранда 1955 , стр. 1, 1970 , стр. 2).
↑ Именно в первом издании своей монографии Миранда (1955 , стр. 1) использует итальянский термин « campo », означающий буквально «поле», аналогично его значению в сельском хозяйстве : во втором издании книги Зейн К. Моттелер правильно переводит этот термин как «регион».
^ Внутренне связное множество — это множество, внутренность которого связна.
^ См. ( Пиконе 1923 , стр. 66).

Ссылки

Альфорс, Ларс (1953). Комплексный анализ . МакГроу-Хилл.
Бремерманн, HJ (1956). «Сложная выпуклость» . Труды Американского математического общества . 82 (1): 17–51. дои : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR 1992976 .
Каратеодори, Константин (1918). ( Лекции по действительным функциям на немецком языке). Б. Г. Тойбнер. ЯФМ 46.0376.12 . МР0225940 . Перепечатано в 1968 году (Челси).
Каратеодори, Константин (1964) [1954]. Теория функций комплексного переменного, вып. Я (2-е изд.). Челси. английский перевод Каратеодори, Константин (1950). Functionentheorie I (на немецком языке). Биркхойзер.
Кэрриер, Джордж ; Крук, Макс ; Пирсон, Карл (1966). Функции комплексной переменной: теория и методика . МакГроу-Хилл.
Черчилль, Рюэль (1948). Введение в сложные переменные и приложения (1-е изд.). МакГроу-Хилл.
Черчилль, Рюэль (1960). Комплексные переменные и приложения (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 9780070108530 .
Дьедонне, Жан (1960). Основы современного анализа . Академическая пресса.
Ивс, Ховард (1966). Функции комплексной переменной . Приндл, Вебер и Шмидт. п. 105.
Форсайт, Эндрю (1893). Теория функций комплексного переменного . Кембридж. ЖФМ 25.0652.01 .
Фукс, Борис; Шабат, Борис (1964). Функции комплексной переменной и некоторые их приложения. 1 . Пергамон. английский перевод Фукс, Борис; Шабат, Борис (1949). Функции комплексного переменного и некоторые их приложения (PDF) (in Russian). Физматгиз.
Гурса, Эдуард (1905). Курс математического анализа, том 2 [ Курс математического анализа, вып. 2 ] (на французском языке). Готье-Виллар.
Хан, Ганс (1921). Теория действительных функций. Первый том [ Теория действительных функций, том. Я ] (на немецком языке). Спрингер. ЖФМ 48.0261.09 .
Кранц, Стивен ; Паркс, Гарольд (1999). Геометрия областей в пространстве . Биркхойзер.
Крейциг, Эрвин (1972) [1962]. Высшая инженерная математика (3-е изд.). Уайли. ISBN 9780471507284 .
Квок, Юэ-Куэн (2002). Прикладные комплексные переменные для ученых и инженеров . Кембридж.
Миранда, Карло (1955). Уравнения в частных производных эллиптического типа (на итальянском языке). Спрингер. МР 0087853 . Збл 0065.08503 . Переведено как Миранда, Карло (1970). Дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа . Перевод Моттелера, Зейна К. (2-е изд.). Спрингер. МР 0284700 . Збл 0198.14101 .
Пиконе, Мауро (1923). «Часть первая – Вывод» (PDF) . Лекции по бесконечно малому анализу, вып. I [ Уроки анализа бесконечно малых ] (на итальянском языке). Математический кружок Катании. ЖФМ 49.0172.07 .
Рудин, Уолтер (1974) [1966]. Реальный и комплексный анализ (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 9780070542334 .
Соломенцев, Евгений (2001) [1994], «Домен» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Свешников, Алексей ; Тихонов, Андрей (1978). Теория функций комплексного переменного . Мир. английский перевод Свешников, Алексей; Ти́хонов, Андре́й (1967). Теория функций комплексной переменной (in Russian). Наука.
Таунсенд, Эдгар (1915). Функции комплексной переменной . Холт.
Уиттакер, Эдмунд (1902). Курс современного анализа (1-е изд.). Кембридж. ЖФМ 33.0390.01 .
Уиттакер, Эдмунд; Уотсон, Джордж (1915). Курс современного анализа (2-е изд.). Кембридж.

[1] For instance ( Sveshnikov & Tikhonov 1978 , §1.3 pp. 21–22 ).

[2] Например ( Черчилль 1948 , §1.9, стр. 16–17 ); ( Альфорс 1953 , §2.2 стр. 58 ); ( Рудин 1974 , §10.1, стр. 213 ) сохраняет термин область определения для области определения функции; ( Carathéodory 1964 , стр. 97 ) использует термин «регион» для связного открытого множества и термин «континуум» для связного закрытого множества.

[3] Например ( Таунсенд 1915 , §10, стр. 20 ); ( Кэрриер, Крук и Пирсон, 1966 , §2.2, стр. 32 ).

[4] Например ( Черчилль 1960 , §1.9 стр. 17 ), который не требует, чтобы регион был подключен или открыт.

[5] Например ( Dieudonné 1960 , §3.19, стр. 64–67 ) обычно использует фразу « открытое связное множество» , но позже определяет односвязную область ( §9.7, стр. 215 ); Тао, Теренс (2016). «246А, Примечания 2: сложная интеграция» . Кроме того, ( Бремерманн, 1956 ) назвал область открытым множеством, а область — составным открытым множеством.

[6] Например ( Fuchs & Shabat 1964 , §6, стр. 22–23 ); ( Крейциг 1972 , §11.1 стр. 469 ); ( Квок 2002 , §1.4, стр. 23.)

[7] См. ( Hahn 1921 , стр. 85, сноска 1 ).

[8] Хан (1921 , стр. 61, сноска 3 ), комментируя только что данное определение открытого множества («offene Menge»), точно утверждает: — « Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung «Gebiet» in Gebrauch, die wir (§ 5, С. 85) anders verwenden werden » (Вольный английский перевод:-) Раньше для таких наборов точек изредка использовался термин «Gebiet», и он будет использоваться нами в (§ 5, с. 85) с. другой смысл » .

[9] Например ( Форсайт 1893 использует термин «регион» ) повсюду неофициально (например, §16, стр. 21 неформального выражения ) рядом с частью $z$ -плоскости и определяет область определения точки $a$ для функции $f$ как наибольшую $r$ -окрестность точки $а,$ которой $f$ голоморфна в ( §32, с. 52 ). В первом издании влиятельного учебника ( Whittaker 1902 ) термины «домен» и «регион» используются неформально и, очевидно, как взаимозаменяемые. Во втором издании ( Whittaker & Watson 1915 , §3.21, стр. 44 ) открытая область определяется как внутренняя часть простой замкнутой кривой , а закрытая область или область — как открытая область вместе с ее граничной кривой. ( Goursat 1905 , §262, стр. 10 ) определяет région [область] или aire [площадь] как связную часть плоскости. ( Таунсенд 1915 , §10, стр. 20 ) определяет область или область как связную часть комплексной плоскости, состоящую только из внутренних точек.

[M&Mp1-10] Jump up to: ^а ^б ^с См. (Миранда 1955 , стр. 1, 1970 , стр. 2).

[11] Именно в первом издании своей монографии Миранда (1955 , стр. 1) использует итальянский термин « campo », означающий буквально «поле», аналогично его значению в сельском хозяйстве : во втором издании книги Зейн К. Моттелер правильно переводит этот термин как «регион».

[12] Внутренне связное множество — это множество, внутренность которого связна.

[13] См. ( Пиконе 1923 , стр. 66).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]