Септическое уравнение

В алгебре септическое уравнение — это уравнение вида

ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,

где $а \neq 0$ .

– Септическая функция это функция вида

f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,

где $а \neq 0$ . Другими словами, это полином степени седьмой . Если $a = 0$ , то f — секстическая функция ( $b \neq 0$ ), функция квинтики ( $b = 0, c \neq 0$ ) и т. д.

Уравнение можно получить из функции, установив $f (x) = 0$ .

Коэффициенты , $a, b, c, d, e, f, g, h$ могут быть целыми числами , рациональными числами действительными числами , комплексными числами или, в более общем плане, членами любого поля .

Поскольку они имеют нечетную степень, септические функции на графике кажутся похожими на функции пятой степени и кубические , за исключением того, что они могут иметь дополнительные локальные максимумы и локальные минимумы (до трех максимумов и трех минимумов). Производной секстическая септической функции является функция .

Решаемые септики

Некоторые уравнения седьмой степени можно решить путем разложения на радикалы , но другие септики не могут. Эварист Галуа разработал методы определения того, может ли данное уравнение быть решено с помощью радикалов, что привело к возникновению области теории Галуа . Чтобы привести пример неприводимого, но разрешимого септика, можно обобщить разрешимую Муавра квинтику и получить:

x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,

,

где вспомогательное уравнение

y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,

.

Это означает, что септик получается путем исключения $u$ и $v$ между $x = u + v$ , $uv + α = 0$ и $u 7 + v 7 + β знак равно 0$ .

Отсюда следует, что семь корней септика определяются выражением

x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}

где $ωk — любой$ из 7 корней седьмой степени из единицы . Группа Галуа этого септика является максимальной разрешимой группой порядка 42. Ее легко обобщить на любые другие степени $k$ , не обязательно простые.

Другое разрешимое семейство:

x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,

Клунера члены которого фигурируют в базе данных числовых полей . Его дискриминант

\Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,

Группа Галуа этих септиков представляет собой диэдральную группу 14-го порядка.

Общее септическое уравнение можно решить с помощью знакопеременных или симметричных групп Галуа $A 7$ или $S 7$ . ^[1] Такие уравнения требуют для своего решения гиперэллиптических функций и связанных с тэта-функций рода ними 3. ^[1] Однако эти уравнения не изучались специально математиками девятнадцатого века, изучавшими решения алгебраических уравнений, поскольку решения секстических уравнений уже были на пределе своих вычислительных возможностей без компьютеров. ^[1]

Септиками называются уравнения низшего порядка, для которых неочевидно, что их решения можно получить путем составления непрерывных функций двух переменных. 13-я проблема Гильберта заключалась в гипотезе, что это невозможно в общем случае для уравнений седьмой степени. Владимир Арнольд решил эту проблему в 1957 году, продемонстрировав, что это всегда возможно. ^[2] Однако сам Арнольд считал, что настоящая проблема Гильберта заключается в том, можно ли для септиков получить их решения путем наложения алгебраических функций двух переменных. ^[3] По состоянию на 2023 год проблема все еще открыта.

Группы Галуа

Септические уравнения, разрешимые радикалами, имеют группу Галуа , которая является либо циклической группой порядка 7, либо диэдральной группой порядка 14, либо метациклической группой порядка 21 или 42. ^[1]
Группа $L (3, 2)$ Галуа (порядка 168) образуется перестановками семи меток вершин, которые сохраняют семь «линий» в плоскости Фано . ^[1] Септические уравнения с этой группой Галуа $L (3, 2)$ требуют для своего решения эллиптических , а не гиперэллиптических функций . ^[1]
В противном случае группа Галуа септика представляет собой либо знакопеременную группу порядка 2520, либо симметричную группу порядка 5040.

Септическое уравнение квадрата площади вписанного пятиугольника или шестиугольника

Квадрат площади вписанного пятиугольника является корнем септического уравнения, коэффициенты которого являются симметричными функциями сторон пятиугольника. ^[4] То же самое относится и к квадрату площади вписанного шестиугольника . ^[5]

См. также

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Р. Брюс Кинг (16 января 2009 г.), За пределами уравнения четвертой степени , Биркхаузер, стр. 143 и 144, ISBN 9780817648497
^ Васко Браттка (13 сентября 2007 г.), «Теорема суперпозиции Колмогорова» , наследие Колмогорова в математике , Springer, ISBN 9783540363514
^ В. И. Арнольд, От проблемы суперпозиции Гильберта к динамическим системам , с. 4
^ Вайсштейн, Эрик В. «Циклический Пентагон». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1]
^ Вайсштейн, Эрик В. «Циклический шестиугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [2]

[BeyondQuartic-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Р. Брюс Кинг (16 января 2009 г.), За пределами уравнения четвертой степени , Биркхаузер, стр. 143 и 144, ISBN 9780817648497

[2] Васко Браттка (13 сентября 2007 г.), «Теорема суперпозиции Колмогорова» , наследие Колмогорова в математике , Springer, ISBN 9783540363514

[3] В. И. Арнольд, От проблемы суперпозиции Гильберта к динамическим системам , с. 4

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Циклический Пентагон». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1]

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Циклический шестиугольник». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [2]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Полиномы и полиномиальные функции
По степени	Нулевой полином (степень неопределена или −1 или −∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уравнение Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертой степени (4) Уравнение четвертой степени Квинтическая функция (5) Секстическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный моном Биномиальный Трехчленный Нередуцируемый без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Горнера Проверка полиномиальной идентичности Результирующий Дискриминант База Грёбнер