Гиперэллиптическая кривая

Рис. 1: График гиперэллиптической кривой $C:y^{2}=f(x)$ где $$f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2).$$

В алгебраической геометрии g > 1 , заданная гиперэллиптическая кривая — это алгебраическая кривая рода уравнением вида $$y^{2}+h(x)y=f(x)$$где f ( x ) — многочлен степени n = 2 g + 1 > 4 или n = 2 g + 2 > 4 с n различными корнями, а h ( x ) — многочлен степени < g + 2 (если характеристика основного поля не равно 2, можно принять h ( x ) = 0).

Гиперэллиптическая функция — это элемент функционального поля такой кривой или многообразия Якобиана на кривой; эти два понятия идентичны для эллиптических функций , но различны для гиперэллиптических функций.

Род

Степень многочлена определяет род кривой: многочлен степени 2 g + 1 или 2 g + 2 дает кривую рода g . Когда степень равна 2 g + 1, кривая называется мнимой гиперэллиптической кривой . При этом кривая степени 2 g + 2 называется вещественной гиперэллиптической кривой . Это утверждение о роде остается верным для g = 0 или 1, но эти особые случаи не называются «гиперэллиптическими». В случае g = 1 (если выбрать выделенную точку) такая кривая называется эллиптической кривой .

Формулировка и выбор модели

Хотя эта модель является самым простым способом описания гиперэллиптических кривых, такое уравнение будет иметь особую точку на бесконечности в проективной плоскости . Эта особенность специфична для случая n > 3. Поэтому, задавая такое уравнение для задания неособой кривой, почти всегда предполагается, что неособая модель (также называемая гладким завершением ), эквивалентная в смысле имеется в виду бирациональная геометрия .

Точнее, уравнение определяет квадратичное расширение C ), и ( x имеется в виду именно это функциональное поле. Особую точку на бесконечности можно удалить (поскольку это кривая) с помощью процесса нормализации ( интегрального замыкания ). Оказывается, после этого имеется открытое покрытие кривой двумя аффинными графиками: уже заданным $$y^{2}=f(x)$$и еще один, предоставленный $$w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).$$

Карты склейки между двумя диаграммами имеют вид $$(x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})$$и $$(v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),$$где бы они ни были определены.

Фактически предполагается геометрическое сокращение: кривая C определяется как разветвленное двойное покрытие проективной прямой , ветвление происходит в корнях f , а также для нечетного n в бесконечной точке. Таким образом, случаи n = 2 g + 1 и 2 g + 2 могут быть объединены, поскольку мы могли бы также использовать автоморфизм проективной плоскости для перемещения любой точки ветвления от бесконечности.

Используя формулу Римана – Гурвица

Используя формулу Римана–Гурвица , гиперэллиптическая кривая рода g определяется уравнением степени n = 2 g + 2. Предположим , f : X → P ¹ — разветвленное накрытие степени ветвления 2 , где X — кривая рода g и P ¹ это сфера Римана . Пусть g ₁ = g и g ₀ — род P ¹ ( = 0 ), то формула Римана-Гурвица оказывается

$2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)$

где s всем разветвленным точкам X. — по Число разветвленных точек равно n в каждой разветвленной точке s имеем es _{, и} = 2, поэтому формула принимает вид

$2-2\times g=2(2-2\times 0)-n\times (2-1)$

поэтому n = 2 г + 2.

Возникновение и применение

Все кривые рода 2 гиперэллиптические, но для рода ≥ 3 кривая общего положения не является гиперэллиптической. Эвристически это видно с помощью проверки размерности пространства модулей . Считая константы, при n = 2 g + 2 совокупность из n точек, на которую распространяются автоморфизмы проективной прямой, имеет (2 g + 2) − 3 степени свободы, что меньше 3 g − 3, число модулей кривой рода g , если g не равно 2. Гораздо больше известно о гиперэллиптическом локусе в пространстве модулей кривых или абелевых многообразиях , хотя с помощью простых моделей сложнее продемонстрировать общие негиперэллиптические кривые. Одна геометрическая характеристика гиперэллиптических кривых осуществляется через точки Вейерштрасса . Более подробная геометрия негиперэллиптических кривых читается из теории канонических кривых , причем каноническое отображение равно 2 к 1 на гиперэллиптических кривых и 1 к 1 в противном случае для g > 2. Тригональные кривые - это те, которые соответствуют взятию кубический корень, а не квадратный корень многочлена.

Определение с помощью квадратичных расширений поля рациональных функций работает для полей в целом, за исключением характеристики 2; во всех случаях доступно геометрическое определение как разветвленное двойное накрытие проективной прямой, если предполагается, что расширение сепарабельно.

Гиперэллиптические кривые могут использоваться в криптографии гиперэллиптических кривых для криптосистем , основанных на задаче дискретного логарифмирования .

Возникают также гиперэллиптические кривые, составляющие целые компоненты связности определенных слоев пространства модулей абелевых дифференциалов.

Гиперэллиптичность кривых рода 2 была использована для доказательства гипотезы Громова о площади заполнения в случае заполнений рода =1.

Классификация

Гиперэллиптические кривые данного рода g имеют пространство модулей, тесно связанное с кольцом инвариантов бинарной формы степени 2 g +2.

История

Впервые были опубликованы гиперэллиптические функции. Адольфом Гепелем (1812-1847) в его последней статье «Абелевы трансценденты первого порядка» (в «Журнале чистой и прикладной математики» , том 35, 1847). Независимо Иоганн Г. Розенхайн над этим вопросом работал , опубликовавший «Обращения ультраэллиптических интегралов первого рода» (в «Mémoires des Savants» и др., т. 11, 1851).

См. также

• Поверхность Больцы
• Суперэллиптическая кривая

Ссылки

• «Гиперэллиптическая кривая» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Руководство пользователя по локальной арифметике гиперэллиптических кривых.