Матричное кольцо

«Матричная алгебра» перенаправляется сюда. Для алгебраической теории матриц см. Матрица (математика) и Линейная алгебра .

В абстрактной алгебре кольцо матриц — это набор матриц с элементами в кольце R , образующих кольцо при сложении и умножении матриц . Множество всех матриц размера n × n с элементами из R представляет собой кольцо матриц, обозначаемое M _n ( R ). (альтернативные обозначения: Mat _n ( R ) и Р ^{n × n} ). Некоторые наборы бесконечных матриц образуют бесконечные матричные кольца . Подкольцо матричного кольца снова является матричным кольцом. По rng ​​можно формировать матричные rng.

Когда R — коммутативное кольцо, кольцо матриц M _n ( R ) является ассоциативной алгеброй над R и может называться матричной алгеброй . В этом случае, если M — матрица, а r находится в R , то матрица rM — это матрица M, каждый из ее элементов которой умножен на r .

Примеры

• Множество всех n × n квадратных матриц размера над R обозначается M _n ( R ). Иногда это называют «полным кольцом n матриц размера на n ».
• Множество всех верхнетреугольных матриц над R .
• Набор всех нижних треугольных матриц над R .
• Набор всех диагональных матриц над R . Эта подалгебра в _Mn ( R ) изоморфна прямому произведению копий n R. ​ ​
• Для любого набора индексов I кольцо эндоморфизмов правого R -модуля ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ изоморфно кольцу $\mathbb {CFM} _{I}(R)$ матриц с конечными столбцами, элементы которых индексируются I × I и каждый столбец которых содержит только конечное число ненулевых элементов. Кольцо эндоморфизмов M, рассматриваемое как левый R -модуль, изоморфно кольцу $\mathbb {RFM} _{I}(R)$ строко - конечных матриц .
• Если R — банахова алгебра , то условие конечности строки или столбца в предыдущем пункте можно ослабить. При наличии нормы абсолютно сходящиеся ряды вместо конечных сумм можно использовать . Например, матрицы, суммы столбцов которых представляют собой абсолютно сходящиеся последовательности, образуют кольцо. Аналогично, конечно, кольцо образуют и матрицы, суммы строк которых представляют собой абсолютно сходящиеся ряды. Эту идею можно использовать для представления операторов в гильбертовом пространстве . , например,
• Пересечение колец матриц, конечных по строкам и столбцам, образует кольцо $\mathbb {RCFM} _{I}(R)$.
• Если R коммутативен , то Mn ₍ R ) имеет структуру *-алгебры над R , где инволюция * на Mn ₍ R ) есть транспонирование матрицы .
• Если A — C*-алгебра , то Mn ₍ A ) — другая C*-алгебра. Если A неединичен, то Mn ₍ A ) также неединичен. По теореме Гельфанда–Наймарка существуют гильбертово пространство H и изометрический *-изоморфизм из A в нормозамкнутую подалгебру алгебры B ( H ) непрерывных операторов; это отождествляет M _n ( A ) с подалгеброй B ( H ^{⊕ n} ). Для простоты, если мы далее предположим, что H сепарабельна и A $\subseteq$ B ( H ) — C*-алгебра с единицей, мы можем разбить A на кольцо матриц над меньшей C*-алгеброй. Это можно сделать, зафиксировав проекцию p и, следовательно, ее ортогональную проекцию 1 − p ; можно отождествить А с ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$, где умножение матриц работает по назначению из-за ортогональности проекций. Чтобы отождествить A с кольцом матриц над C*-алгеброй, мы требуем, чтобы p и 1 − p имели одинаковый «ранг»; точнее, нам нужно, чтобы p и 1 − p были эквивалентны Мюррею–фон Нейману, т. е. существовала частичная изометрия u такая, что p = uu * и 1 − p = u * u . Это можно легко обобщить на матрицы большего размера.
• Комплексные матричные алгебры Mn ₍ C ) являются с точностью до изоморфизма единственными конечномерными простыми ассоциативными алгебрами над полем C комплексных чисел . До изобретения матричных алгебр Гамильтон в 1853 году ввел кольцо, элементы которого он назвал бикватернионами. а современные авторы назвали бы тензорами в C ⊗ _R H , которые, как позже было показано, изоморфны M ₂ ( C ). Один базис M ₂ ( C ) состоит из четырех матричных блоков (матрицы с одним 1 и всеми остальными элементами 0); другой базис задается единичной матрицей и тремя матрицами Паули .
• Кольцо матриц над полем — это алгебра Фробениуса с формой Фробениуса, заданной следом произведения: σ ( A , B ) = tr( AB ) .

Структура

• Кольцо матриц Mn ₍ R ) можно отождествить с кольцом эндоморфизмов свободного правого R -модуля ранга n ; то есть M _n ( R ) ≅ End _R ( R ^н ) . Умножение матриц соответствует композиции эндоморфизмов.
• Кольцо Mn ₍ D ) над телом D — артиново простое кольцо , особый тип полупростого кольца . Кольца $\mathbb {CFM} _{I}(D)$ и $\mathbb {RFM} _{I}(D)$ являются не простыми и не артиновыми, если множество I бесконечно, но они все же являются полными линейными кольцами .
• Теорема Артина –Веддерберна утверждает, что каждое полупростое кольцо изоморфно конечному прямому произведению. ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$, для некоторого неотрицательного целого числа r , положительных целых чисел n _i и тел D _i .
• Когда мы рассматриваем M _n ( C ) как кольцо линейных эндоморфизмов C ^н те матрицы, которые обращаются в нуль на данном подпространстве V, образуют левый идеал . И наоборот, для данного левого идеала I из M _n ( C ) пересечение нулевых пространств всех матриц в I дает подпространство C ^н . Согласно этой конструкции левые идеалы M _n ( C ) находятся в взаимно однозначном согласии с подпространствами C ^н .
• Существует биекция между двусторонними идеалами Mn _R ( идеалами и двусторонними R. ) А именно, для каждого идеала I из R множество всех матриц размера n × n с элементами в I является идеалом из M _n ( R ), и каждый идеал из M _n ( R ) возникает таким образом. Отсюда следует, что Mn ₍ R ) прост тогда и только тогда, когда R прост. При n ≥ 2 не каждый левый или правый идеал в Mn ₍ R ) правого идеала в R. возникает в соответствии с предыдущей конструкцией из левого или Например, набор матриц, чьи столбцы с индексами от 2 до n равны нулю, образует левый идеал в M _n ( R ).
• Предыдущее идеальное соответствие на самом деле возникает из-за того, что кольца R и _Mn ( R ) Морита-эквивалентны . Грубо говоря, это означает, что категория левых R -модулей и категория левых Mn ₍ R ) -модулей очень похожи. Благодаря этому существует естественное биективное соответствие между классами изоморфизма левых R -модулей и левыми Mn ₍ R ) -модулями, а также между классами изоморфизма левых идеалов R и левых идеалов Mn ₍ R ) . Идентичные утверждения справедливы для правых модулей и правых идеалов. Благодаря эквивалентности Морита, M _n ( R ) наследует любые Морита-инвариантные свойства R , такие как простота , артиновость , нётеровость , простота .

Свойства

• Если S — подкольцо R — , то Mn ₍ S ) подкольцо Mn ₍ R ) . Например, M _n ( Z ) является подкольцом M _n ( Q ).
• Кольцо матриц Mn ₍ R ) коммутативно тогда и только тогда, когда = 0 , R = 0 или R коммутативно и n n = 1 . Фактически это справедливо и для подкольца верхнетреугольных матриц. Вот пример, показывающий две верхние треугольные матрицы 2 × 2 , которые не коммутируют, предполагая, что 1 ≠ 0 в R :

  ${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}$

  и

  ${\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.$

• При n ≥ 2 кольцо матриц Mn ₍ R ) над ненулевым кольцом имеет делители нуля и нильпотентные элементы ; то же самое справедливо и для кольца верхнетреугольных матриц. Примером в 2 × 2 матрицах может быть:

  ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.$

• Центр матрицы M _n ( R ) состоит из скалярных кратных единичной n I , _в которой скаляр принадлежит центру R .
• Единичная группа M _n ( R ), состоящая из обратимых при умножении матриц, обозначается GL _n ( R ).
• Если F — поле, то для любых двух матриц и B из Mn ₍ F ) из AB = In _{равенства} следует BA = In _A . это верно не для каждого кольца R. Однако Кольцо R, все матричные кольца которого обладают указанным свойством, известно как стабильно конечное кольцо ( Lam 1999 , стр. 5).

Матричное полукольцо

Фактически, R должно быть всего лишь полукольцом чтобы Mn ₍ R ) было определено, . В этом случае Mn ₍ R ) представляет собой полукольцо, называемое матричным полукольцом . Аналогично, если R — коммутативное полукольцо, то Mn ₍ R ) — матричная полуалгебра .

Например, если R — булево полукольцо ( двухэлементная булева алгебра R = {0, 1} с 1 + 1 = 1 ), тогда Mn ₍ R ) — полукольцо бинарных отношений на множестве из n элементов, где объединение — это сложение, композиция отношений — это умножение, пустое отношение ( нулевая матрица ) — это ноль, а тождественное отношение ( тождественная матрица ) — это единство .

См. также

• Центральная простая алгебра
• Алгебра Клиффорда
• Теорема Гурвица (нормированные алгебры с делением)
• Типовое матричное кольцо
• Закон инерции Сильвестра

Ссылки

• Артин (2018), Алгебра , Пирсон
• Дросте, М.; Куич, В. (2009), «Полукольца и формальные степенные ряды», Справочник по взвешенным автоматам , Монографии по теоретической информатике. Серия EATCS, стр. 3–28, номер документа : 10.1007/978-3-642-01492-5_1 , ISBN.  978-3-642-01491-8
• Лам, Тай (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5
• Лам (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам (2-е изд.), Springer
• Ланг (2005), Бакалавриат по алгебре , Спрингер
• Серр (1979), Местные поля , Спрингер
• Серр (2006), Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.), Springer , исправленное 5-е издание.