Бикватернион

В абстрактной алгебре бикватернионы — это числа w + x i + y j + z k , где w , x , y и z — комплексные числа или их варианты, а также элементы { 1 , i , j , k } умножаются, как в группе кватернионов , и коммутируют с их коэффициентами. Существует три типа бикватернионов, соответствующих комплексным числам и их вариациям:

• Бикватернионы, когда коэффициенты являются комплексными числами .
• Сплит-бикватернионы , когда коэффициенты представляют собой расщепленные комплексные числа .
• Двойные кватернионы, когда коэффициенты являются двойственными числами .

Эта статья об обычных бикватернионах, названных Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1844 году. Некоторые из наиболее видных сторонников этих бикватернионов включают Александра Макфарлейна , Артура В. Конвея , Людвика Зильберштейна и Корнелиуса Ланцоса . Как показано ниже, единичная квазисфера бикватернионов обеспечивает представление группы Лоренца , которая является основой специальной теории относительности .

Алгебру бикватернионов можно рассматривать как тензорное произведение C ⊗ _R H , где C — поле комплексных чисел, а H — тело алгебры (вещественных) кватернионов . Другими словами, бикватернионы — это всего лишь комплексификация кватернионов. Рассматриваемые как комплексная алгебра, бикватернионы изоморфны алгебре 2 × 2 комплексных матриц размера M ₂ ( C ) . Они также изоморфны нескольким алгебрам Клиффорда, включая C ⊗ _R H = Cl ^[0]
₃ ( C ) знак равно Cl ₂ ( C ) знак равно Cl _1,2 ( р ) , алгебра Паули Cl _3,0 ( R ) , и четная часть Cl ^[0]
_1,3 ( р ) = Cl ^[0]
_3,1 ( R ) алгебры пространства-времени .

Определение

Пусть { 1 , i , j , k } будет базой для (вещественных) кватернионов H , и пусть u , v , w , x будут комплексными числами, тогда

$q=u\mathbf {1} +v\mathbf {i} +w\mathbf {j} +x\mathbf {k}$

является бикватернионом . Чтобы отличить квадратные корни из минус единицы в бикватернионах, Гамильтон и Артур В. Конвей использовал соглашение о представлении квадратного корня из минус единицы в скалярном поле C через h, чтобы избежать путаницы с i в группе кватернионов . Предполагается коммутативность скалярного поля с группой кватернионов:

$h\mathbf {i} =\mathbf {i} h,\ \ h\mathbf {j} =\mathbf {j} h,\ \ h\mathbf {k} =\mathbf {k} h.$

Гамильтон ввел термины «бивектор» , «бисопряженный» , «битенсор» и «биверзор» , чтобы расширить понятия, используемые с реальными H. кватернионами

Основное изложение бикватернионов Гамильтон сделал в 1853 году в его «Лекциях по кватернионам» . Издания «Элементов кватернионов » в 1866 году Уильяма Эдвина Гамильтона (сына Роуэна) и в 1899, 1901 годах Чарльза Джаспера Джоли уменьшили охват бикватернионов в пользу настоящих кватернионов.

Учитывая операции покомпонентного сложения и умножения в соответствии с группой кватернионов, этот набор образует 4-мерную алгебру над комплексными числами C . Алгебра бикватернионов ассоциативна , но не коммутативна . Бикватернион — это либо единица , либо делитель нуля . Алгебра бикватернионов образует композиционную алгебру и может быть построена из бикомплексных чисел . См. § Как композиционная алгебра ниже.

Место в теории колец

Линейное представление

Обратите внимание, что матричное произведение

${\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}$.

Поскольку h является мнимой единицей измерения , каждый из этих трех массивов имеет квадрат, равный отрицательному значению единичной матрицы .Когда это матричное произведение интерпретируется как i j = k , тогда получается подгруппа матриц, которая изоморфна группе кватернионов . Следовательно,

${\begin{pmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\end{pmatrix}}$

представляет бикватернион q знак равно ты 1 + v я + ш j + Икс k .Для любой комплексной матрицы 2 × 2 существуют комплексные значения u , v , w и x, чтобы представить ее в такой форме, чтобы кольцо матриц M(2, C ) было изоморфным. к бикватернионному кольцу .

Подалгебры

Рассматривая алгебру бикватернионов над скалярным полем действительных чисел R , множество

$\{\mathbf {1} ,h,\mathbf {i} ,h\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,h\mathbf {j} ,\mathbf {k} ,h\mathbf {k} \}$

образует базис , поэтому алгебра имеет восемь действительных измерений . Квадраты элементов h i , h j и h k все положительные, например ( h i ) ² = час ² я ² = (− 1 )(− 1 ) = + 1 .

Подалгебра , заданная

$\{x+y(h\mathbf {i} ):x,y\in \mathbb {R} \}$

кольцо изоморфно плоскости расщепленных комплексных чисел , которая имеет алгебраическую структуру, построенную на единичной гиперболе . Элементы h j и h k также определяют такие подалгебры.

Более того,

$\{x+y\mathbf {j} :x,y\in \mathbb {C} \}$

— подалгебра, изоморфная бикомплексным числам .

Третья подалгебра, кокватернионами порождается hj , и hk называемая . Видно, что ( h j )( h k ) = (− 1 ) i и что квадрат этого элемента равен − 1 . Эти элементы образуют двугранную группу квадрата. Таким образом, линейное подпространство с базисом { 1 , i , h j , h k } замкнуто относительно умножения и образует кокватернионную алгебру.

контексте квантовой механики hj и hk ( или и спинорной алгебры бикватернионы hi, их В негативы ) C рассматриваемые в представлении M2 _Паули ( , ) , называются матрицами .

Алгебраические свойства

Бикватернионы имеют два сопряжения :

• бисопряженный минус или бискалярный бивектор равен $q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,$ и
• комплексное сопряжение коэффициентов бикватернионов ${\bar {q}}={\bar {w}}+{\bar {x}}\mathbf {i} +{\bar {y}}\mathbf {j} +{\bar {z}}\mathbf {k}$

где ${\bar {z}}=a-bh$ когда $z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .$

Обратите внимание, что $(pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad {\overline {pq}}={\bar {p}}{\bar {q}},\quad {\overline {q^{*}}}={\bar {q}}^{*}.$

Ясно, что если $qq^{*}=0$ тогда q — делитель нуля. В противном случае $\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }$ является комплексным числом. Дальше, $qq^{*}=q^{*}q$ легко проверяется. Это позволяет определить обратное выражение

• $q^{-1}=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-1}$, если $qq^{*}\neq 0.$

Связь с преобразованиями Лоренца

Дополнительная информация: преобразование Лоренца через кватернионы и гиперболические числа и релятивистские бикватернионы Нётер (1910), Кляйна (1910), Конвея (1911), Зильберштейна (1911).

Рассмотрим теперь линейное подпространство

$M=\lbrace q\colon q^{*}={\bar {q}}\rbrace =\lbrace t+x(h\mathbf {i} )+y(h\mathbf {j} )+z(h\mathbf {k} )\colon t,x,y,z\in \mathbb {R} \rbrace .$

M не является подалгеброй, поскольку не замкнута относительно произведений ; например $(h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.$ Действительно, M не может образовать алгебру, если она даже не является магмой .

Предложение: Если q находится в M , то $qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

Доказательство. Из определений

${\begin{aligned}qq^{*}&=(t+xh\mathbf {i} +yh\mathbf {j} +zh\mathbf {k} )(t-xh\mathbf {i} -yh\mathbf {j} -zh\mathbf {k} )\\&=t^{2}-x^{2}(h\mathbf {i} )^{2}-y^{2}(h\mathbf {j} )^{2}-z^{2}(h\mathbf {k} )^{2}\\&=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.\end{aligned}}$

Определение: Пусть бикватернион g удовлетворяет $gg^{*}=1.$ Тогда преобразование Лоренца, связанное с g, задается формулой

$T(q)=g^{*}q{\bar {g}}.$

Предложение: Если q находится в M , то T ( q ) находится в M. также

Доказательство: $(g^{*}q{\bar {g}})^{*}={\bar {g}}^{*}q^{*}g={\overline {g^{*}}}{\bar {q}}g={\overline {g^{*}q{\bar {g}})}}.$

Предложение: $\quad T(q)(T(q))^{*}=qq^{*}$

Доказательство: сначала заметим, что из условия gg * = 1 следует, что сумма квадратов четырех его комплексных компонентов равна единице. Тогда сумма квадратов комплексно-сопряженных этих компонентов также равна единице. Поэтому, ${\bar {g}}({\bar {g}})^{*}=1.$ Сейчас

$(g^{*}q{\bar {g}})(g^{*}q{\bar {g}})^{*}=g^{*}q({\bar {g}}{\bar {g}}^{*})q^{*}g=g^{*}qq^{*}g=qq^{*}.$

Сопутствующая терминология

Поскольку бикватернионы были неотъемлемой частью линейной алгебры с самого начала математической физики , существует множество концепций, которые иллюстрируются или представлены бикватернионной алгеброй. Группа трансформации $G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace$ имеет две части, $G\cap H$ и $G\cap M.$ Первая часть характеризуется $g={\bar {g}}$ ; тогда преобразование Лоренца, соответствующее g, имеет вид $T(q)=g^{-1}qg$ с $g^{*}=g^{-1}.$ Такое преобразование представляет собой вращение путем умножения кватернионов , а их совокупность — SO(3) $\cong G\cap H.$ Но эта подгруппа группы G не является нормальной подгруппой , поэтому никакая факторгруппа не может быть сформирована.

Для просмотра $G\cap M$ необходимо показать некоторую структуру подалгебры в бикватернионах. Пусть r представляет собой элемент сферы квадратных корней из минус единицы в вещественной подалгебре кватернионов H . Тогда ( час ) ² = +1 и плоскость бикватернионов, заданная формулой $D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace$ — коммутативная подалгебра, изоморфная плоскости расщепленных комплексных чисел . Так же, как обычная комплексная плоскость имеет единичную окружность, $D_{r}$ имеет единичную гиперболу, заданную формулой

$\exp(ahr)=\cosh(a)+hr\ \sinh(a),\quad a\in R.$

Как единичная окружность поворачивается путем умножения на один из своих элементов, так и гипербола поворачивается, потому что $\exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).$ Поэтому эти алгебраические операторы на гиперболе называются гиперболическими версорами . Единичная окружность в C и единичная гипербола в D _r являются примерами однопараметрических групп . Для каждого квадратного корня r из минус единицы в H существует однопараметрическая группа бикватернионов, заданная формулой $G\cap D_{r}.$

Пространство бикватернионов имеет естественную топологию через евклидову метрику в 8 -пространстве. По отношению к этой топологии G является топологической группой . Более того, она имеет аналитическую структуру, что делает ее шестипараметрической группой Ли . Рассмотрим подпространство бивекторов $A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace$. Тогда экспоненциальное отображение $\exp :A\to G$ переводит действительные векторы в $G\cap H$ и h -векторы $G\cap M.$ наличии коммутатора A G. образует Ли группы алгебру При Таким образом, это исследование шестимерного пространства служит для введения общих понятий теории Ли . Если рассматривать в матричном представлении, G называется специальной линейной группой SL(2,C) в M(2, C ) .

Многие концепции специальной теории относительности иллюстрируются с помощью изложенных бикватернионных структур. Подпространство M соответствует пространству Минковского , где четыре координаты определяют временные и пространственные положения событий в покоящейся системе отсчета . Любой гиперболический версор exp( ahr ) соответствует скорости в направлении r , равной скорости c tanh a, где c — скорость света . Инерциальную систему отсчета этой скорости можно сделать системой покоя, применив усиление Лоренца T, определяемое выражением g = exp(0,5 час ), поскольку тогда $g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}$ так что $T(\exp(ahr))=1.$Естественно, гиперболоид $G\cap M,$ который представляет диапазон скоростей субсветового движения, представляет физический интерес. Была проведена значительная работа по связыванию этого «пространства скоростей» с гиперболоидной моделью гиперболической геометрии . В специальной теории относительности параметр гиперболического угла гиперболического версора называется быстротой . Таким образом, мы видим, что группа бикватернионов G обеспечивает групповое представление группы Лоренца .

После введения спинорной теории, особенно в руках Вольфганга Паули и Эли Картана , бикватернионное представление группы Лоренца было вытеснено. Новые методы были основаны на базисных векторах из множества

$\{q\ :\ qq^{*}=0\}=\left\{w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \ :\ w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\right\}$

который называется сложным световым конусом . Приведенное выше представление группы Лоренца совпадает с тем, что физики называют четырьмя векторами . Помимо четырехвекторов, стандартная модель физики элементарных частиц также включает другие представления Лоренца, известные как скаляры , и (1, 0) ⊕ (0, 1) -представление, связанное, например, с тензором электромагнитного поля . Кроме того, физика элементарных частиц использует представления SL(2, C ) (или проективные представления группы Лоренца), известные как левые и правые спиноры Вейля , спиноры Майораны и спиноры Дирака . Известно, что каждое из этих семи представлений можно построить как инвариантные подпространства внутри бикватернионов.

Как композиционная алгебра

Хотя У. Р. Гамильтон представил бикватернионы в 19 веке, его математическая структура как особый тип алгебры над полем была завершена в 20 веке: бикватернионы могут быть созданы из бикомплексных чисел таким же образом, как Адриан Альберт создал действительные кватернионы из комплексных чисел в так называемой конструкции Кэли-Диксона . В этой конструкции бикомплексное число ( w , z ) имеет сопряженное ( w , z )* = ( w , – z ) .

Тогда бикватернион представляет собой пару бикомплексных чисел ( a , b ) , где произведение на второй бикватернион ( c , d ) равно

$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).$

Если $a=(u,v),b=(w,z),$ тогда двусопряженное $(a,b)^{*}=(a^{*},-b).$

Когда ( a , b )* записано как 4-вектор обычных комплексных чисел,

$(u,v,w,z)^{*}=(u,-v,-w,-z).$

Бикватернионы образуют пример алгебры кватернионов и имеют норму.

$N(u,v,w,z)=u^{2}+v^{2}+w^{2}+z^{2}.$

Два бикватерниона p и q удовлетворяют условиям N ( pq ) = N ( p ) N ( q ) , что указывает на то, что N является квадратичной формой, допускающей композицию, так что бикватернионы образуют композиционную алгебру .

См. также

• Бикватернионная алгебра
• Гиперкомплексное число
• Гиперкомплексный анализ
• Йоахим Ламбек
• Использование Макфарлейна
• Коэффициентное кольцо

Ссылки

• Артур Буххейм (1885) «Мемуары о бикватернионах» , Американский журнал математики 7 (4): 293–326 из Jstor . раннего содержания
• Конвей, Артур В. (1911), «О применении кватернионов к некоторым недавним разработкам в теории электричества», Proceedings of the Royal Irish Academy , 29A : 1–9 .
• Диксон, Леонард (1914), Линейные алгебры, §13 «Эквивалентность комплексных кватернионов и матричных алгебр» через HathiTrust
• Фьюри, К. (2012). «Единая теория идеалов». Физ. Преподобный Д. 86 (2): 025024. arXiv : 1002.1497 . Бибкод : 2012PhRvD..86b5024F . дои : 10.1103/PhysRevD.86.025024 . S2CID   118458623 .
• Фрэнсис; Косовский (2005), «Построение спиноров в геометрической алгебре» , Annals of Physics , 317 (2): 317, 384–409, arXiv : math-ph/0403040 , Bibcode : 2005AnPhy.317..383F , doi : 10.1016 /j.aop.2004.11.008 , S2CID   119632876
• Гарлинг, DJH (2011), Алгебры Клиффорда: Введение , Cambridge University Press
• Жирар, PR (1984), «Группа кватернионов и современная физика», Европейский журнал физики , 5 (1): 25–32, Бибкод : 1984EJPh....5...25G , doi : 10.1088/0143-0807 /01.05.007 , S2CID   250775753
• Гамильтон, Виллиан Р. (1850), «О геометрической интерпретации некоторых результатов, полученных расчетами с бикватернионами» , Труды Королевской ирландской академии , 5 : 388
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1853), Лекции по кватернионам, статья 669 , Ходжес и Смит; [и т. д. и т. д.]
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1866), Гамильтон, Уильям Эдвин (редактор), Элементы кватернионов (1-е изд.), Longmans, Green & Co.
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1899), Джоли, Джаспер Джоли (редактор), Элементы кватернионов , том. Я (2-е изд.), Longmans, Green & Co.
• Гамильтон, Уильям Роуэн (1901), Джоли, Джаспер Джоли (редактор), Элементы кватернионов , том. II (2-е изд.), Longmans, Green & Co.
• Герман, Роберт (1974), Спиноры, Алгебры Клиффорда и Кэли , Междисциплинарная математика, том. VII, Math Sci Press, стр. 250–265, ISBN.  0-915692-06-6
• Килмистер, CW (1994), Поиски Эддингтона фундаментальной теории , Cambridge University Press, стр. 121, 122, 179, 180, ISBN  978-0-521-37165-0
• Кравченко, Владислав (2003), Прикладной кватернионный анализ , Heldermann Verlag, ISBN  3-88538-228-8
• Ланцос, Корнелиус (1949), Вариационные принципы механики , University of Toronto Press , стр. 304–312.
• Зильберштейн, Людвик (1912), «Кватернионная форма относительности» , Philosophical Magazine , Series 6, 23 (137): 790–809, doi : 10.1080/14786440508637276
• Зильберштейн, Людвик (1914), Теория относительности
• Synge, JL (1972), «Кватернионы, преобразования Лоренца и матрицы Конвея-Дирака-Эддингтона», Сообщения Дублинского института перспективных исследований , серия A, 21
• Сангвин, Стивен Дж.; Элл, Тодд А.; Ле Биан, Николя (2010), «Фундаментальные представления и алгебраические свойства бикватернионов или комплексифицированных кватернионов», Успехи в области прикладной алгебры Клиффорда , 21 (3): 1–30, arXiv : 1001.0240 , doi : 10.1007/s00006-010-0263- 3 , S2CID   54729224
• Сангвин, Стивен Дж.; Альфсманн, Дэниел (2010), «Определение бикватернионных делителей нуля, включая идемпотенты и нильпотенты», « Достижения в прикладной алгебре Клиффорда» , 20 (2): 401–410, arXiv : 0812.1102 , Bibcode : 2008arXiv0812.1102S , doi : 10.10 07 /s00006-010-0202-3 , S2CID   14246706
• Танишли, М. (2006), «Калибровочное преобразование и электромагнетизм с бикватернионами», Europhysical Letters , 74 (4): 569, Бибкод : 2006EL.....74..569T , doi : 10.1209/epl/i2005-10571- 6 , S2CID   250862773