Теория аукционов

Теория аукционов — это раздел прикладной экономики , который изучает, как участники торгов действуют на аукционах , и исследует, как особенности аукционов стимулируют предсказуемые результаты. Теория аукционов — это инструмент, используемый для проектирования реальных аукционов. Продавцы используют теорию аукционов для увеличения доходов, позволяя покупателям осуществлять закупки по более низкой цене. Слияние цены между покупателем и продавцом является экономическим равновесием . Теоретики аукционов разрабатывают правила аукционов для решения проблем, которые могут привести к сбою рынка . Дизайн этих наборов правил способствует использованию оптимальных стратегий назначения ставок в различных информационных условиях. 2020 года Нобелевская премия по экономике была присуждена Полу Р. Милгрому и Роберту Б. Уилсону «за усовершенствования в теории аукционов и изобретение новых форматов аукционов ».

Введение

Аукционы облегчают транзакции, обеспечивая соблюдение определенного набора правил, касающихся распределения ресурсов группы участников торгов. Теоретики рассматривают аукционы как экономические игры , имеющие два аспекта: формат и информацию. Формат определяет правила объявления цен, размещения ставок, обновления цен, закрытия аукциона и способа выбора победителя. Отличия аукционов в отношении информации связаны с асимметрией информации, существующей между участниками торгов. На большинстве аукционов участники торгов имеют некоторую личную информацию, которую они предпочитают скрывать от своих конкурентов. Например, участники торгов обычно знают свою личную оценку объекта, которая неизвестна другим участникам торгов и продавцу; однако поведение участников торгов может повлиять на оценки других участников торгов.

История

Якобы историческое событие, связанное с аукционами, — это обычай в Вавилонии, а именно, когда мужчины делают предложение женщинам, чтобы жениться на них. Чем привычнее аукционная система, тем больше ситуаций, когда аукционы проводятся. Существуют аукционы по продаже различных вещей, таких как домашний скот, редкие и необычные предметы и финансовые активы.

Некооперативные игры имеют долгую историю, начиная с модели дуополии Курно . лауреат 1994 года по экономике Нобелевский Джон Нэш доказал теорему общего существования для некооперативных игр, которая выходит за рамки простых игр с нулевой суммой . Эта теория была обобщена Викри (1961) для рассмотрения ненаблюдаемой стоимости каждого покупателя. К началу 1970-х годов теоретики аукционов начали определять условия равновесных торгов для аукционов по одному объекту при наиболее реалистичных форматах аукционов и информационных настройках. Последние разработки в теории аукционов показывают, как можно эффективно проводить аукционы с несколькими объектами.

Типы аукционов

Основная статья: Типы аукционов

Традиционно существует четыре типа аукционов, которые используются для продажи одного предмета:

• Аукцион с запечатанными предложениями первой цены , на котором участники торгов помещают свои ставки в запечатанные конверты и одновременно передают их аукционисту. Конверты открываются, и побеждает тот, кто предложит наибольшую цену, заплатив сумму ставки. Эта форма аукциона требует стратегических соображений, поскольку участники торгов должны учитывать не только свои собственные оценки, но и возможные оценки других участников торгов. Первый формальный анализ такого аукциона был сделан Викри (1961). Для случая двух покупателей и равномерно распределенной стоимости он показал, что стратегия симметричного равновесия заключалась в том, чтобы подать заявку, равную половине оценки покупателя.
• Аукционы с закрытыми предложениями второй цены (аукционы Викри), которые аналогичны аукционам с закрытыми предложениями первой цены, за исключением того, что победитель платит цену, равную второй по величине ставке. Логика этого типа аукциона заключается в том, что доминирующей стратегией всех участников торгов является предложение их истинной стоимости. Уильям Викри был первым ученым, изучавшим аукционы второй цены, но их использование уходит корнями в историю: есть некоторые свидетельства того, что Гете продавал свои рукописи издателю, используя формат аукциона второй цены. Интернет-аукционы часто используют эквивалентную версию аукциона второй цены Викри, где участники торгов предоставляют доверенные ставки на товары. Прокси-ставка — это сумма, по которой человек оценивает какой-либо товар. Интернет-аукцион будет повышать цену предмета до тех пор, пока прокси-ставка победителя не окажется наверху. Однако физическое лицо должно заплатить только один прирост выше второй по величине цены, несмотря на его собственную приблизительную оценку.
• Открытые аукционы с возрастающими ставками (английские аукционы) — самый старый и, возможно, наиболее распространенный тип аукционов, в которых участники делают все более высокие ставки, каждый из которых прекращает торги, когда они не готовы платить больше, чем текущая самая высокая ставка. Это продолжается до тех пор, пока ни один из участников не будет готов сделать более высокую ставку; участник, предложивший самую высокую цену, выигрывает аукцион по окончательной ставке. Иногда лот продается только в том случае, если торги достигают резервной цены, установленной продавцом.
• Открытые аукционы с нисходящей ставкой (голландские аукционы) — это аукционы, на которых цена устанавливается аукционистом на достаточно высоком уровне, чтобы отпугнуть всех участников торгов, и постепенно снижается до тех пор, пока участник торгов не будет готов купить по текущей цене и выиграть аукцион.

Большая часть теорий аукционов вращается вокруг этих четырех «базовых» типов аукционов. Однако другие типы также получили некоторое академическое исследование (см. § Типы аукционов ). Мировые и технологические события также повлияли на нынешнюю аукционную систему. С появлением Интернета онлайн-аукционы стали альтернативой.

• Интернет-аукционы являются эффективной платформой для установления точных цен на основе спроса и предложения. Более того, они могут преодолевать географические границы. Сайты онлайн-аукционов используются для различных целей, например, для «гаражных продаж» в Интернете компаниями, ликвидирующими ненужные запасы. Существенная разница между онлайн-аукционами и традиционными аукционами заключается в том, что участники торгов в Интернете не могут осмотреть реальный товар, что приводит к различиям между первоначальным восприятием и реальностью.

Аукционный процесс

Существует шесть основных видов деятельности, которые дополняют процесс торговли на основе аукциона:

• Первоначальная регистрация покупателя и продавца: аутентификация торговых сторон, обмен криптографическими ключами во время онлайн-аукциона и создание профиля.
• Настройка конкретного аукциона: описание проданных или приобретенных предметов и установление правил аукциона. Правила аукциона определяют тип аукциона, дату начала, правила закрытия и другие параметры.
• Планирование и реклама, а также группировка предметов одной категории для выставления на аукцион вместе осуществляются для привлечения потенциальных покупателей. Популярные аукционы можно комбинировать с менее популярными, чтобы убедить людей посещать менее популярные.
• Этап торгов: собираются ставки и реализуются правила контроля ставок на аукционе.
• Оценка заявок и закрытие аукциона: объявляются победители и проигравшие.
• Торговый расчет: оплата продавцу, передача товара, комиссии агентам.

Теорема об аукционном конверте

Теорема об аукционном конверте определяет определенные вероятности, которые, как ожидается, возникнут на аукционе.

Эталонная модель

Эталонная модель аукционов, по определению McAfee и McMillan (1987), выглядит следующим образом:

• Все участники торгов нейтральны к риску.
• Каждый участник торгов имеет частную оценку объекта, которая почти всегда независимо рассчитывается на основе некоторого распределения вероятностей.
• Участники торгов обладают симметричной информацией.
• Оплата представлена ​​только как функция ставок.

Вероятность победы

На аукционе покупатель делает ставку $B(v)$ выигрывает, если противостоящие участники торгов сделают более низкие ставки.

Сопоставление оценок с предложениями строго возрастает; Таким образом, побеждает участник торгов с высокой оценкой.

В статистике вероятность получения «первой» оценки записывается как:

${\textstyle W=F_{({\scriptstyle {\text{1}}})}(v)}$

С независимыми оценками и N другими участниками торгов $W=F(v)^{N}$

Аукцион

Выплата покупателя составляет

$u(v,b)=w(b)(v-b)$

Позволять $B$ быть ставкой, которая максимизирует выигрыш покупателя.

Поэтому

$u(v,B)>u(v,b)=W(b)(v-b)$

Следовательно, равновесный выигрыш равен

$U(v)=W(B)(v-B))$

Необходимое условие для максимума:

$\partial u/\partial b=0$ когда $b=B$

Последний шаг — взять полную производную равновесного выигрыша.

$U'(v)=W(B)+\partial u/\partial b$

Второе слагаемое равно нулю. Поэтому

$U'(v)=W$

Затем

$U'(v)=W$$=F_{({\scriptstyle {\text{1}}})}(v)$

Пример равномерного распределения с двумя покупателями. Для равномерного распределения вероятность того, что один другой покупатель будет иметь более высокую стоимость, равна $F(v)=v$.

Затем $U'(v)=v$

Следовательно, равновесный выигрыш равен $U(v)=\textstyle \int _{0}^{v}\displaystyle xdx=(1/2)v^{2}$.

Вероятность победы равна $W=F(v)=v$.

$U(v)=W(B)(v-B))$

Затем

$(1/2)v^{2}=v(v-B(v))$.

Переставив это выражение,

$B(v)=(1/2)v$

С тремя покупателями, $U'(v)=W$$=F_{({\scriptstyle {\text{1}}})}(v)=F(v)^{2}=v^{2}$, затем $B(v)=(2/3)v$

С $N+1$ покупатели $B(v)=(N/(N+1))v$

Лебрен (1996) дает общее доказательство того, что не существует асимметричных равновесий.

Оптимальные аукционы

Аукционы с точки зрения покупателя

Принцип откровения – это простое, но мощное понимание.

В 1979 году Райли и Самуэльсон (1981) доказали общую теорему эквивалентности доходов , которая применима ко всем покупателям и, следовательно, к продавцам. Их главным интересом было выяснить, какое правило аукциона будет лучше для покупателей. Например, может существовать правило, согласно которому все покупатели платят невозвратную ставку (такие аукционы проводятся в режиме онлайн). Теорема эквивалентности показывает, что любой механизм распределения или аукцион, который удовлетворяет четырем основным предположениям эталонной модели, приведет к одинаковому ожидаемому доходу продавца. (Покупатель i со стоимостью v имеет одинаковую «выплату» или «излишек покупателя» на всех аукционах.)

Симметричные аукционы с коррелирующим распределением оценок

Первой моделью для широкого класса моделей была статья Милгрома и Вебера (1983) об аукционах с аффилированными оценками.

В недавнем рабочем документе об общих асимметричных аукционах Райли (2022) охарактеризовал равновесные предложения для всех распределений оценок. Оценка каждого покупателя может быть положительно или отрицательно коррелирована.

Принцип раскрытия применительно к аукционам заключается в том, что предельный выигрыш покупателя или «излишек покупателя» равен P(v), вероятности стать победителем.

В каждом аукционе с эффективным участием участников вероятность победы равна 1 для покупателя с высокой оценкой. Таким образом, предельный выигрыш покупателя на каждом таком аукционе одинаков. Следовательно, и выигрыш должен быть таким же.

Аукционы с точки зрения продавца (максимизация дохода)

Совершенно независимо и вскоре после этого Майерсон (1981) использовал принцип откровения для характеристики закрытых аукционов с высокими ставками, максимизирующих доход. В «обычном» случае это аукцион с эффективным участием. Поэтому установление резервной цены является оптимальным для продавца. В «нерегулярном» случае с тех пор было показано, что результат может быть реализован путем запрета ставок в определенных подинтервалах.

Ослабление каждого из четырех основных допущений эталонной модели приводит к появлению форматов аукционов с уникальными характеристиками.

• Участники торгов, не склонные к риску, несут определенные издержки из-за участия в рискованном поведении, что влияет на их оценку продукта. На аукционах первой цены с закрытыми предложениями участники торгов, не склонные к риску, с большей готовностью делают более высокие ставки, чтобы увеличить вероятность победы, что, в свою очередь, увеличивает полезность ставки. Это позволяет аукционам первой цены с закрытыми предложениями приносить более высокий ожидаемый доход, чем английские аукционы и аукционы второй цены с закрытыми предложениями.
• В форматах с коррелирующими значениями , где оценки объекта участниками торгов не являются независимыми, один из участников торгов, воспринимая свою оценку объекта как высокую, повышает вероятность того, что другие участники торгов будут воспринимать свои собственные оценки как высокие. Ярким примером этого случая является « проклятие победителя» , когда результаты аукциона сообщают победителю, что все остальные оценили стоимость предмета меньше, чем они. Кроме того, принцип связи позволяет сравнивать доходы довольно общего класса аукционов с взаимозависимостью значений участников торгов.
• предполагает Асимметричная модель , что участники торгов разделены на два класса, которые получают оценки из разных источников (например, дилеры и коллекционеры на антикварном аукционе).
• В форматах с роялти или поощрительными выплатами продавец включает в функцию цены дополнительные факторы, особенно те, которые влияют на истинную стоимость товара (например, поставки, производственные затраты и выплаты роялти).

Теория эффективных торговых процессов, разработанная в статических рамках, в значительной степени опирается на предпосылку неповторения. Например, схема, оптимальная для продавца на аукционе (полученная Майерсоном), предполагает наилучшую самую низкую цену, которая превышает как оценку продавца, так и минимально возможную оценку покупателя.

Теоретико-игровые модели

Теоретико-игровая модель аукциона — это математическая игра , представленная набором игроков , набором действий ( стратегий ), доступных каждому игроку, и вектором выигрыша, соответствующим каждой комбинации стратегий. Как правило, игроками являются покупатель(и) и продавец(и). Набор действий каждого игрока представляет собой набор функций ставок или резервных цен (резервов). игрока Каждая функция ставки сопоставляет стоимость (в случае покупателя) или стоимость (в случае продавца) с ценой предложения . Выигрыш каждого игрока при использовании комбинации стратегий представляет собой ожидаемую полезность (или ожидаемую прибыль) этого игрока при этой комбинации стратегий.

Теоретико-игровые модели аукционов и стратегических торгов обычно попадают в одну из следующих двух категорий. В модели частных значений каждый участник (участник торгов) предполагает, что каждый из конкурирующих участников торгов получает случайное частное значение из распределения вероятностей . В модели общей стоимости участники имеют одинаковую оценку объекта, но у них нет абсолютно точной информации для получения этой оценки. Вместо знания точной стоимости предмета каждый участник может предположить, что любой другой участник получает случайный сигнал, который можно использовать для оценки истинной стоимости, на основе распределения вероятностей, общего для всех участников торгов. Обычно, но не всегда, модель частной стоимости предполагает, что оценки независимы между участниками торгов, тогда как модель общей стоимости обычно предполагает, что оценки независимы с точностью до общих параметров распределения вероятностей.

Более общей категорией стратегических торгов является модель связанных ценностей , в которой общая полезность участника торгов зависит как от его индивидуального частного сигнала, так и от некоторой неизвестной общей ценности. Модели как частных ценностей, так и модели общих ценностей можно воспринимать как расширение общей модели связанных ценностей.

Равновесие ex-post на простом аукционном рынке.

Когда необходимо сделать явные предположения о распределении стоимости участников торгов , в большинстве опубликованных исследований предполагается, что участники торгов симметричны . Это означает, что распределение вероятностей, из которого участники торгов получают свои значения (или сигналы), идентично для всех участников торгов. В модели частных ценностей, которая предполагает независимость, симметрия подразумевает, что ценности участников торгов являются « iid » – независимо и одинаково распределенными.

Важным примером (который не предполагает независимости) является и Вебера ( Милгрома общая симметричная модель 1982).

Асимметричные аукционы

Самая ранняя статья об асимметричном распределении значений принадлежит Викри (1961). Оценка одного покупателя равномерно распределена по замкнутому интервалу [0,1]. Другой покупатель имеет известную стоимость 1/2. Как равновесное, так и равномерное распределение ставок будут поддерживать [0,1/2].

Скачки ставок;

Предположим, что оценки покупателей равномерно распределены на [0,1] и [0,2] и покупатель 1 имеет более широкую поддержку. Затем оба продолжают предлагать половину своей оценки, за исключением v=1.

Скачковая ставка: покупатель 2 переходит от ставки 1/2 к ставке 3/4. Если покупатель 1 последует этому примеру, он уменьшит свою прибыль вдвое и увеличит вероятность выигрыша менее чем в два раза (из-за правила разрешения ничьей - подбрасывания монеты).

Поэтому покупатель 2 не прыгает. Это делает покупателя 1 намного лучше. Он выигрывает за использование, если его оценка выше 1/2.

Следующая статья Маскина и Райли (2000) дает качественную характеристику равновесных предложений, когда «сильный покупатель» S имеет распределение стоимости, которое доминирует над распределением стоимости «слабого покупателя» в предположении условного стохастического доминирования (первого порядка). стохастическое доминирование для каждого распределения значений, усеченного вправо). Еще одним ранним вкладом является статья Кейта Верера 1999 года. Позже опубликованное исследование включает статью Сьюзан Эти 2001 года в Econometrica : а также работы Рени и Замира (2004).

Эквивалент дохода

Основная статья: Эквивалентность доходов

Одним из основных открытий теории аукционов является теорема об эквивалентности доходов . Ранние результаты эквивалентности были сосредоточены на сравнении доходов на наиболее распространенных аукционах. Первое такое доказательство для случая двух покупателей и равномерно распределенных ценностей было сделано Викри (1961) . В 1979 году Райли и Самуэльсон (1981) доказали гораздо более общий результат. (Совершенно независимо и вскоре после этого это же было получено Майерсоном (1981 ). Теорема эквивалентности доходов утверждает, что любой механизм распределения или аукцион, который удовлетворяет четырем основным предположениям эталонной модели, приведет к тому же ожидаемому доходу для продавец (и игрок i типа v могут рассчитывать на одинаковый излишек на всех типах аукционов). Базовая версия теоремы утверждает, что, пока справедливо предположение о среде симметричной независимой частной стоимости (SIPV), все стандартные аукционы приносят одинаковую ожидаемую прибыль аукционисту и один и тот же ожидаемый излишек участнику торгов.

Проклятие победителя

Основная статья: Проклятие победителя

Проклятие победителя — это явление, которое может возникнуть при общих настройках стоимости , когда фактические значения для разных участников торгов неизвестны, но коррелируют, и участники торгов принимают решения о торгах на основе оценочных значений. В таких случаях победителем, как правило, становится участник торгов с самой высокой оценкой, но результаты аукциона покажут, что оценки остальных участников торгов стоимости предмета меньше, чем у победителя, создавая у победителя впечатление, что они «слишком много ставить».

В равновесии такой игры «проклятие победителя» не возникает, поскольку участники торгов учитывают предвзятость в своих стратегиях торгов. Однако с поведенческой и эмпирической точки зрения проклятие победителя является обычным явлением, подробно описанным Ричардом Талером .

Оптимальные аукционы

Используя одинаково и независимо распределенные частные оценки, Райли и Самуэльсон (1981) показали, что в любом аукционе или подобных ему действиях (таких как «Война на истощение») распределение является «эффективным для участников», т. е. предмет распределяется покупателю, предложившему самую высокую цену, с вероятностью 1. Затем они показали что эквивалентность распределения подразумевала эквивалентность выплат для всех резервных цен. Затем они показали, что дискриминация покупателей с низкой стоимостью путем установления минимальной или резервной цены увеличит ожидаемый доход. Вместе с Майерсоном они показали, что наиболее выгодная резервная цена не зависит от количества участников торгов. Резервная цена вступает в силу только в том случае, если есть единственная ставка. Таким образом, это эквивалентно вопросу, какая резервная цена максимизирует доход от одного покупателя. Если значения равномерно распределены в интервале [0, 100], то вероятность p(r) того, что стоимость этого покупателя меньше r, равна p(r) = (100-r)/100. Таким образом, ожидаемый доход

p(r)*r = (100 - r)*r/100 =(r-50)*(r-50) + 25

Таким образом, ожидаемая резервная цена, максимизирующая доход, равна 50. Также рассматривается вопрос о том, может ли когда-нибудь оказаться более выгодным разработать механизм, который присуждает лот участнику торгов, отличному от участника с самой высокой стоимостью. Удивительно, но это так. Как затем показали Маскин и Райли, это эквивалентно исключению заявок в течение определенных интервалов времени, превышающих оптимальную резервную цену.

Бюлоу и Клемперер (1996) показали, что аукцион с n участниками торгов и оптимально выбранной резервной ценой приносит продавцу меньшую прибыль, чем стандартный аукцион с n+1 участниками торгов и без резервной цены.

Классификация JEL

В системе классификации журнала экономической литературы теория игр классифицируется как C7 в разделе «Математические и количественные методы», а аукционы классифицируются как D44 в разделе «Микроэкономика».

Приложения к бизнес-стратегии

Ученые в области экономики управления отметили некоторые применения теории аукционов в бизнес-стратегии. А именно, теорию аукционов можно применять к играм на упреждение и играм на истощение .

Игры на упреждение — это игры, в которых предприниматели опережают другие фирмы, выходя на рынок с новой технологией до того, как она будет готова к коммерческому внедрению. Ценность, получаемая от ожидания, пока технология станет коммерчески жизнеспособной, также увеличивает риск того, что конкурент выйдет на рынок упреждающим образом. Упреждающие игры можно смоделировать как закрытый аукцион по первой цене. Обе компании предпочли бы выйти на рынок, когда технология будет готова к коммерческому внедрению; это можно считать оценкой обеих компаний. Однако одна фирма может располагать информацией о том, что технология станет жизнеспособной раньше, чем считает другая фирма. Тогда компания, обладающая лучшей информацией, «предложит» выйти на рынок раньше, даже если риск неудачи выше.

Игры на истощение — это игры, направленные на то, чтобы вынудить другие фирмы уйти с рынка. Это часто происходит в авиационной отрасли, поскольку эти рынки считаются высококонкурентными. Когда на рынок выйдет новая авиакомпания, она снизит цены, чтобы завоевать долю рынка. Это вынуждает существующие авиакомпании также снижать цены, чтобы не потерять долю рынка. Это создает аукционную игру. Обычно участники рынка используют стратегию попыток обанкротить существующие фирмы. Таким образом, аукцион измеряется тем, сколько каждая фирма готова потерять, оставаясь в игре на истощение. Фирма, которая дольше всех продержится в игре, получает долю рынка. Эту стратегию в последнее время стали использовать такие сервисы потокового развлекательного вещания, как Netflix , Hulu , Disney+ и HBO Max , которые являются убыточными фирмами, пытающимися завоевать долю рынка, делая ставки на расширение развлекательного контента.

Нобелевская премия

Два профессора Стэнфордского университета, Пол Милгром и Роберт Уилсон , получили Нобелевскую премию по экономике 2020 года за развитие теории аукционов путем изобретения нескольких новых форматов аукционов, включая одновременный многораундовый аукцион (SMRA), который сочетает в себе преимущества как английского (открытого -возмущение), а также аукционы с закрытыми предложениями. Считается, что SMRA решает проблему, стоящую перед Федеральной комиссией по связи (FCC). Если бы FCC продала все свои телекоммуникационные частотные интервалы, используя традиционный метод аукциона, она в конечном итоге либо раздала бы лицензии бесплатно, либо в конечном итоге стала бы телекоммуникационной монополией в Соединенных Штатах.

Процесс одновременных многораундовых аукционов заключается в том, что проводятся аукционы, состоящие из трех-четырех раундов. Каждый участник торгов подписывает свою ставку, а аукционист объявляет всем участникам самую высокую ставку в конце каждого раунда. Все участники торгов могут корректировать и менять свою аукционную цену и стратегию после того, как услышат самую высокую ставку в определенном раунде. Аукцион будет продолжаться до тех пор, пока самая высокая ставка текущего раунда не станет ниже самой высокой ставки предыдущего раунда.

Первой отличительной чертой SMRA является то, что аукцион проводится одновременно по разным предметам; следовательно, это серьезно увеличивает затраты для спекулянтов. По той же причине закрытые торги могут гарантировать, что все торги отражают оценку продукта, предложенную участником торгов. Второе отличие состоит в том, что торги проводятся в несколько раундов, и в каждом раунде объявляется самая высокая цена торгов, что позволяет участникам торгов больше узнать о предпочтениях и информации своих конкурентов и соответствующим образом скорректировать свою стратегию, тем самым уменьшая эффект асимметричной информации внутри аукцион. Кроме того, многораундовые торги могут поддерживать активность участника торгов на аукционе. Это существенно увеличило объем информации, которую имеет участник торгов о самой высокой ставке, поскольку в конце каждого раунда организатор объявляет самую высокую ставку после торгов.

Дальнейшее чтение

• Кэссиди, Р. (1967). Аукционы и аукционная торговля. Издательство Калифорнийского университета . Влиятельный ранний опрос.
• Клемперер, П. (ред.). (1999б). Экономическая теория аукционов. Эдвард Элгар. Сборник основополагающих статей по теории аукционов.
• Клемперер, П. (1999a). Теория аукционов: Путеводитель по литературе. Журнал экономических обзоров, 13 (3), 227–286. Хороший современный обзор; первую главу предыдущей книги.
• Клемперер, Пол (2004). Аукционы: теория и практика . Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-11925-2 . Черновой вариант доступен в Интернете
• Кришна, Виджай (2002). Теория аукционов . Нью-Йорк: Эльзевир . ISBN  978-0-12-426297-3 . Очень хороший современный учебник по теории аукционов.
• Макафи, Р.П. и Дж. Макмиллан (1987). «Аукционы и торги». Журнал экономической литературы . 25 : 708–47. Опрос.
• Майерсон, Роджер Б. (1981). «Оптимальный аукционный дизайн». Математика исследования операций . 6 (1): 58–73. дои : 10.1287/moor.6.1.58 . ISSN   0364-765X . S2CID   12282691 . В этой основополагающей статье были представлены эквивалентность доходов и оптимальные аукционы.
• Райли Дж. и Самуэльсон В. (1981). Оптимальные аукционы. Американский экономический обзор , 71(3), 381–392. Основополагающий документ; опубликовано одновременно с цитированной выше статьей Майерсона.
• Парсонс С., Родригес-Агилар Дж. А. и Кляйн М. (2011). Аукционы и торги: Руководство для компьютерщиков .
• Шохам, Йоав; Лейтон-Браун, Кевин (2009). Мультиагентные системы: алгоритмические, теоретико-игровые и логические основы . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-89943-7 . Недавний учебник; см. главу 11, в которой теория аукционов представлена ​​с вычислительной точки зрения. Можно скачать бесплатно в Интернете .
• Викри, Уильям (1961). «Контрспекуляции, аукционы и закрытые тендеры». Журнал финансов . 16 (1): 8–37. дои : 10.1111/j.1540-6261.1961.tb02789.x .
• Уилсон, Р. (1987a). Теория аукционов. В Дж. Итвелле, М. Милгейте, П. Ньюмане (ред.), The New Palgrave Dictionary of Economics , vol. Я. Лондон: Макмиллан.

Внешние ссылки

• Аукционы на GameTheory.net , также доступны на Wayback Machine.