Радиан

«㎭» перенаправляется сюда. Не путать с Рад (единица радиации) .

Чтобы узнать о других значениях, см. Радиан (значения) .

Радиан
Дуга окружности той же длины, что и радиус этой окружности, образует угол в 1 радиан. Окружность образует угол в 2 π радиан.
Общая информация
Система единиц	И
Единица	угол
Символ	рад, Р
Конверсии
1 лайк и...	... равно...
миллирадианы	1000 мрад
поворачивается	⁠ 1 / 2 π ⁠ поворот
степени	⁠ 180 / π ⁠ ° ≈ 57.296°
градиенты	⁠ 200 / π ⁠ градус ≈ 63,662 г

Радиан ( , обозначаемый символом рад , является единицей измерения угла в Международной системе единиц СИ) и стандартной единицей измерения угла, используемой во многих областях математики . Он определяется так, что один радиан — это угол, опирающийся в центре круга на дугу, длина которой равна радиусу. Раньше эта единица была дополнительной единицей СИ , а в настоящее время является безразмерной производной единицей СИ . определяется в СИ как 1 рад = 1 и выражается через базовой единицы СИ метр (м) как рад = м/м . Обычно считается, что углы без явно указанных единиц измерения измеряются в радианах, особенно в математических трудах.

Определение

Один радиан определяется как угол, образуемый из центра круга и образующий дугу, длина которой равна радиусу круга. В более общем смысле, величина стянутого угла в радианах равна отношению длины дуги к радиусу круга; то есть, $\theta ={\frac {s}{r}}$, где θ — стянутый угол в радианах, s — длина дуги, а r — радиус. - Прямой угол это точно ${\frac {\pi }{2}}$ радианы.

Угол поворота (360°), соответствующий одному полному обороту, равен длине окружности, деленной на радиус, что составляет ${\frac {2\pi r}{r}}$, или 2 π . Таким образом, 2 π радиан равны 360 градусам.

Соотношение 2 π рад = 360° можно получить по формуле для длины дуги , ${\textstyle \ell _{\text{arc}}=2\pi r\left({\tfrac {\theta }{360^{\circ }}}\right)}$. Поскольку радиан является мерой угла, опирающегося на дугу длиной, равной радиусу окружности, ${\textstyle 1=2\pi \left({\tfrac {1{\text{ rad}}}{360^{\circ }}}\right)}$. Это можно еще упростить до ${\textstyle 1={\tfrac {2\pi {\text{ rad}}}{360^{\circ }}}}$. Умножение обеих частей на 360° дает 360° = 2 π рад .

Символ единицы

Международное бюро мер и весов и Международная организация по стандартизации укажите rad в качестве символа радиана. Альтернативные символы, которые использовались в 1909 году: ^с (надстрочная буква c для «круговой меры»), буква r или верхний индекс ^Р , но эти варианты используются нечасто, так как их можно принять за символ градуса (°) или радиуса (r). Следовательно, угол в 1,2 радиана сегодня будет записываться как 1,2 рад; архаичные обозначения могли включать 1,2 р, 1,2 ^рад , 1.2 ^с , или 1,2 ^Р .

В математических произведениях символ «рад» часто опускается. При количественном определении угла при отсутствии какого-либо символа принимаются радианы, а когда имеются в виду градусы, знак градуса ° используется .

Размерный анализ

См. также: § Как единица СИ.

Плоский угол можно определить как θ = s / r , где θ — стянутый угол в радианах, s — длина дуги, а r — радиус. Один радиан соответствует углу, для которого s = r , следовательно, 1 радиан = 1 м/м . Однако рад следует использовать только для выражения углов, а не для выражения отношений длин в целом. Аналогичный расчет с использованием площади кругового сектора θ = 2 A / r ² дает 1 радиан за 1 м ² /м ² . Ключевым фактом является то, что радиан — это безразмерная единица, равная 1 . В СИ 2019 года радиан определяется соответственно как 1 рад = 1 . В математике и во всех областях науки давно устоялась практика использования рад = 1 .

Джакомо Прандо пишет, что «текущее положение дел неизбежно приводит к призрачным появлениям и исчезновениям радиана в размерном анализе физических уравнений». Например, объект, подвешенный на веревке на шкиве, поднимется или опустится на y = rθ сантиметров, где r — радиус шкива в сантиметрах, а θ — угол поворота шкива в радианах. При умножении r на θ из результата исчезает единица радиан. Аналогично в формуле для угловой скорости катящегося колеса ω = v / r радианы появляются в единицах ω, но не в правой части. Энтони Френч называет это явление «вечной проблемой преподавания механики». Оберхофер говорит, что типичный совет игнорировать радианы во время анализа размерностей и добавлять или удалять радианы в единицах в соответствии с соглашением и контекстуальными знаниями «педагогически неудовлетворителен».

В 1993 году Метрический комитет Американской ассоциации учителей физики уточнил, что радиан должен явно указываться в количествах только в том случае, если при использовании других угловых мер будут получены разные числовые значения, например, в величинах угловой меры (рад), угловой скорости (рад). /с), угловое ускорение (рад/с ² ), и крутильной жесткости (Н⋅м/рад), а не в величинах крутящего момента (Н⋅м) и углового момента (кг⋅м ² /с).

По крайней мере дюжина ученых в период с 1936 по 2022 год внесли предложения рассматривать радиан как базовую единицу измерения базовой величины (и измерения) «плоского угла». Обзор предложений Куинси выделяет два класса предложений. Первый вариант меняет единицу измерения радиуса на метры на радиан, но это несовместимо с размерным анализом площади круга , π r. ² . Другой вариант — ввести размерную константу. По словам Куинси, этот подход «логически строг» по сравнению с SI, но требует «модификации многих знакомых математических и физических уравнений». Размерная константа для угла является «довольно странной», и сложность изменения уравнений для добавления размерной константы, вероятно, помешает широкому использованию.

В частности, Куинси выделяет предложение Торренса ввести константу η, равную 1 обратному радиану (1 рад ⁻¹ ) аналогично введению константы ε ₀ . С этим изменением формула для угла, образуемого в центре круга, s = rθ , изменяется и становится s = ηrθ , а ряд Тейлора для синуса угла θ становится: $$\operatorname {Sin} \theta =\sin _{\text{rad}}x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\eta \theta -{\frac {(\eta \theta )^{3}}{3!}}+{\frac {(\eta \theta )^{5}}{5!}}-{\frac {(\eta \theta )^{7}}{7!}}+\cdots ,$$где $x=\eta \theta =\theta /{\text{rad}}$.Функция Sin, написанная с заглавной буквы , является «полной» функцией, которая принимает аргумент с размером угла и не зависит от выраженных единиц измерения: в то время как sin _rad — это традиционная функция для чистых чисел , которая предполагает, что ее аргумент находится в радианах. $\operatorname {Sin}$ можно обозначить $\sin$ если понятно, что имеется в виду полная форма.

Текущую систему SI можно рассматривать относительно этой системы как естественную систему единиц уравнение η = 1 , в которой предполагается, что выполняется , или, аналогично, 1 рад = 1 . Это соглашение о радианах позволяет опускать η в математических формулах.

Определение радиана как базовой единицы может быть полезно для программного обеспечения, где недостаток более длинных уравнений минимален. Например, библиотека единиц измерения Boost определяет угловые единицы с помощью plane_angle измерение, и Mathematica аналогичным образом считает, что углы имеют угловое измерение. система единиц

Конверсии

Преобразование общих углов

Повороты	радианы	Степени	Градианы
0 ход	0 рад	0°	0 г
⁠ 1/72 ​ ⁠ ​ поворота	⁠ π / 36 ⁠ или ⁠ 𝜏 / 72 ⁠ рад	5°	⁠5 + 5 / 9 ⁠ г
⁠ 1/24 ​ ⁠ ​ поворота	⁠ π / 12 ⁠ или ⁠ 𝜏 / 24 ⁠ рад	15°	⁠16 + 2 / 3 ⁠ г
⁠ 1/16 ​ ⁠ ​ поворот	⁠ π / 8 ⁠ или ⁠ 𝜏 / 16 ⁠ рад	22.5°	25 г
⁠ 1/12 ​ ⁠ ​ поворот	⁠ π / 6 ⁠ или ⁠ 𝜏 / 12 ⁠ рад	30°	⁠33 + 1 / 3 ⁠ г
⁠ 1/10 ​ ⁠ ​ поворот	⁠ π / 5 ⁠ или ⁠ 𝜏 / 10 ⁠ рад	36°	40 г
⁠ 1/8 ​ ⁠ ​ поворота	⁠ π / 4 ⁠ или ⁠ 𝜏 / 8 ⁠ рад	45°	50 г
⁠ 1 / 2 π или 𝜏 ⁠ поворот	1 рад	ок. 57,3°	ок. 63,7 г
⁠ 1 / 6 ⁠ поворот	⁠ π / 3 ⁠ или ⁠ 𝜏 / 6 ⁠ рад	60°	⁠66 + 2 / 3 ⁠ г
⁠ 1/5 ​ ⁠ ​ поворот	⁠ 2 π или 𝜏 / 5 ⁠ рад	72°	80 г
⁠ 1/4 ​ ⁠ ​ поворота	⁠ π / 2 ⁠ или ⁠ 𝜏 / 4 ⁠ рад	90°	100 г
⁠ 1/3 ​ ⁠ ​ поворота	⁠ 2 π или 𝜏 / 3 ⁠ рад	120°	⁠133 + 1 / 3 ⁠ г
⁠ 2 / 5 ⁠ поворот	4 / π или 2𝜏 или 5 рад α	144°	160 г
⁠ 1 / 2 ⁠ поворот	π или ⁠ 𝜏 / 2 ⁠ рад	180°	200 г
⁠ 3 / 4 ⁠ поворот	⁠ 3 π или ρ / 2 ⁠ или ⁠ 3𝜏 / 4 ⁠ рад	270°	300 г
1 ход	𝜏 или 2π рад	360°	400 г

Между градусами

Как уже говорилось, один радиан равен ${180^{\circ }}/{\pi }$. Таким образом, чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить на ${180^{\circ }}/{\pi }$.

${\text{angle in degrees}}={\text{angle in radians}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}$

Например:

$1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }$

$2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }$

${\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }$

И наоборот, чтобы перевести градусы в радианы, умножьте на ${\pi }/{180^{\circ }}$.

${\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}$

Например:

$1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175{\text{ rad}}$

$23^{\circ }=23^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.4014{\text{ rad}}$

Радианы можно преобразовать в обороты (один оборот — это угол, соответствующий обороту), разделив количество радиан на 2 π .

Между градианами

$2\pi$ радианы равны одному обороту , что по определению составляет 400 градиан (400 гонов или 400 ^г ). Чтобы перевести радианы в градины, умножьте на $200^{\text{g}}/\pi$, и для преобразования градианов в радианы умножьте на $\pi /200^{\text{g}}$. Например,

$1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}$

$50^{\text{g}}=50^{\text{g}}\cdot {\frac {\pi }{200^{\text{g}}}}\approx 0.7854{\text{ rad}}$

Использование

Математика

Некоторые распространенные углы, измеряемые в радианах. Все большие многоугольники на этой диаграмме являются правильными многоугольниками .

В исчислении и большинстве других разделов математики, помимо практической геометрии , углы измеряются в радианах. Это связано с тем, что радианы обладают математической естественностью, которая приводит к более элегантной формулировке некоторых важных результатов.

Результаты анализа с использованием тригонометрических функций можно элегантно изложить, если аргументы функций выражены в радианах. Например, использование радианов приводит к простой предела формуле

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,$

что лежит в основе многих других тождеств в математике, в том числе

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.$

Благодаря этим и другим свойствам тригонометрические функции появляются в решениях математических задач, не связанных явно с геометрическим смыслом функций (например, решения дифференциального уравнения ${\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y$, оценка интеграла $\textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}},$ и так далее). Обнаружено, что во всех таких случаях аргументы функций наиболее естественно записываются в форме, которая в геометрическом контексте соответствует радианному измерению углов.

Тригонометрические функции также имеют простое и элегантное разложение в ряд при использовании радианов. Например, если x выражен в радианах, ряд Тейлора для sin x принимает вид:

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .$

Если бы x было выражено в градусах, то ряд содержал бы беспорядочные множители, включающие степени π /180: если x — количество градусов, то число радиан равно y = π x /180 , поэтому

$\sin x_{\mathrm {deg} }=\sin y_{\mathrm {rad} }={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .$

Подобным же образом математически важные отношения между функциями синуса и косинуса и показательной функцией (см., например, формулу Эйлера ) могут быть элегантно сформулированы, когда аргументы функций выражаются в радианах (и в противном случае это беспорядочно).

Физика

Радиан широко используется в физике, когда требуются угловые измерения. Например, угловая скорость обычно выражается в единицах радиан в секунду (рад/с). Один оборот в секунду соответствует 2 π радиан в секунду.

Точно так же единицей измерения углового ускорения часто является радиан в секунду в секунду (рад/с). ² ).

Для целей размерного анализа единицами угловой скорости и углового ускорения являются с. ⁻¹ и с ⁻² соответственно.

Аналогично, разность фаз двух волн также может быть выражена с использованием радиана в качестве единицы измерения. Например, если разность фаз двух волн равна ( n ⋅2 π ) радиан, где n является целым числом, они считаются синфазными , а если разность фаз двух волн равна ( n ⋅2 π + π ) с n целое число, они считаются находящимися в противофазе.

Обратные радианы или обратные радианы (рад ^-1 ) используется в производных единицах, таких как метры на радиан (для угловой длины волны ) или джоули на радиан (эквивалент ньютон-метра ).

Префиксы и варианты

Метрические префиксы для дольных дробей используются с радианами. Миллирадиан 1 (мрад) — это тысячная доля радиана (0,001 рад), т.е. рад = 10. ³ мрад . В окружности 2 π × 1000 миллирадиан (≈ 6283,185 мрад). Итак, миллирадиан чуть меньше ⁠ 1/6283 окружностью ⁠ . угла, образованного полной Эта единица измерения угла окружности широко используется производителями оптических прицелов, использующих (стадиометрическую) дальномерную сетку . Расходимость лазерных лучей . также обычно измеряется в миллирадианах

Угловой мил является приближением к миллирадиану, используемому НАТО и другими военными организациями при артиллерийском обстреле и прицеливании . Каждый угловой мил представляет ⁠ 1/6400 составляет ⁠ и круга ⁠ 15/8 ⁠ 1,875 % или % меньше миллирадиана. Для небольших углов, обычно встречающихся при наведении на цель, удобство использования числа 6400 в расчетах перевешивает небольшие математические ошибки, которые оно вносит. В прошлом другие артиллерийские системы использовали различные приближения к цели. ⁠ 1/2000 ​ ​ π ⁠ ; например, Швеция использовала ⁠ 1/6300 ⁠ у и стрек СССР б/ ⁠ ​ 1/6000 ​ ⁠ . Основанный на миллирадианах, мил НАТО составляет примерно 1 м на расстоянии 1000 м (при таких малых углах кривизна незначительна).

Префиксы размером меньше милли- полезны при измерении очень малых углов. Микрорадианы (мкрад, 10 ⁻⁶ рад ) и нанорадианы (нрад, 10 ⁻⁹ рад ) используются в астрономии, а также могут использоваться для измерения качества луча лазеров со сверхмалой расходимостью. Более распространенным является угловая секунда , которая ⁠ π / 648 000 ⁠ рад (около 4,8481 микрорадиан).

SI, кратные радиану (рад)

Дробные			Множители
Ценить	символ СИ	Имя	Ценить	символ СИ	Имя
10 −1 рад	предательство	децирадиан	10 1 рад	дарад	десятилетний
10 −2 рад	чушь	сентирадианский	10 2 рад	насест	гекторадиан
10 −3 рад	Мистер	миллирадиан	10 3 рад	гриль	килорадиан
10 −6 рад	мкрад	микрорадиан	10 6 рад	Мистер	мегарадиан
10 −9 рад	около	Я написал	10 9 рад	Степень	в гараже
10 −12 рад	начинать	пикорадский	10 12 рад	Трад	террадианский
10 −15 рад	предательство	фемторадиан	10 15 рад	Начинать	наследие
10 −18 рад	плуг	адвокат	10 18 рад	Эрад	экзарадийский
10 −21 рад	из-за	зепторадиан	10 21 рад	Зрад	зеттарадиан
10 −24 рад	йрад	йокрадианец	10 24 рад	Йрад	йоттарадиан
10 −27 рад	Рад	ронторадианский	10 27 рад	Рад	Роннарадиан
10 −30 рад	выпускник	квекторадиан	10 30 рад	Град	кеттарадиан

История

До 20 века

Идея измерения углов по длине дуги использовалась математиками довольно рано. Например, аль-Каши (ок. 1400 г.) в качестве единиц использовал так называемые части диаметра , где одна часть диаметра составляла ⁠ 1/60 ​ ⁠ . радиан Они также использовали шестидесятеричные единицы диаметральной части. Ньютон в 1672 году говорил об «угловой величине кругового движения тела», но использовал ее лишь как относительную меру для разработки астрономического алгоритма.

Понятие радианной меры обычно приписывают Роджеру Коутсу , который умер в 1716 году. К 1722 году его двоюродный брат Роберт Смит собрал и опубликовал математические сочинения Коутса в книге Harmonia mensurarum . В главе редакционных комментариев Смит привел, вероятно, первое опубликованное вычисление одного радиана в градусах, сославшись на не сохранившуюся заметку Котеса. Смит описал радиан во всем, кроме названия – «Теперь это число равно 180 градусам как радиус круга к полуокружности , это как 1 к 3,141592653589» – и признал его естественность как единицу угловой меры.

В 1765 году Леонард Эйлер неявно принял радиан за единицу угла. В частности, Эйлер определял угловую скорость как «Угловая скорость во вращательном движении — это скорость той точки, расстояние которой от оси вращения выражается единицей». Эйлер, вероятно, был первым, кто принял это соглашение, называемое соглашением о радианах, которое дает простую формулу для угловой скорости ω = v / r . Как обсуждалось в § Анализ размерностей , соглашение о радианах получило широкое распространение, а другие соглашения имеют тот недостаток, что требуют размерной константы, например ω = v /( ηr ) .

До того, как термин «радиан» получил широкое распространение, единицу измерения обычно называли круговой мерой угла. Термин радиан впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных вопросах, заданных Джеймсом Томсоном (братом лорда Кельвина ) в Королевском колледже в Белфасте . Он использовал этот термин еще в 1871 году, в то время как в 1869 году Томас Мьюир , тогда работавший в Сент-Эндрюсском университете , колебался между терминами «рад» , «радиал» и «радиан» . В 1874 году, после консультации с Джеймсом Томсоном, Мьюир принял радиан . Некоторое время после этого название радиан не было общепринятым. Тригонометрия школы Лонгмана до сих пор называлась радианом круговой меры . , опубликованная в 1890 году,

В 1893 году Александр Макфарлейн писал: «Истинным аналитическим аргументом в пользу круговых отношений является не отношение дуги к радиусу, а отношение удвоенной площади сектора к квадрату радиуса». По какой-то причине статья была исключена из опубликованных протоколов математического конгресса, состоявшегося в связи со Всемирной Колумбийской выставкой в ​​Чикаго (признано на стр. 167), и опубликована в частном порядке в его статьях по космическому анализу (1894). Макфарлейн пришел к этой идее соотношения площадей, рассматривая основу для гиперболического угла , который определяется аналогичным образом.

Как единица СИ

См. также: § Анализ размерностей.

Как Пол Куинси и др. пишет, «статус углов в Международной системе единиц (СИ) уже давно является источником споров и путаницы». В 1960 году CGPM установила систему СИ, а радиан был классифицирован как «дополнительная единица» наряду со стерадианом . Этот специальный класс официально рассматривался «либо как базовая единица, либо как производная единица», поскольку CGPM не могла принять решение о том, является ли радиан базовой единицей или производной единицей. Ричард Нельсон пишет: «Эта двусмысленность [в классификации дополнительных единиц] вызвала оживленную дискуссию по поводу их правильной интерпретации». В мае 1980 года Консультативный комитет по единицам (CCU) рассмотрел предложение сделать радианы базовой единицей СИ, используя константу α ₀ = 1 рад , но отказался от него, чтобы избежать переворота в нынешней практике.

В октябре 1980 года CGPM решила, что дополнительные единицы представляют собой безразмерные производные единицы, для которых CGPM разрешала свободу использовать или не использовать их в выражениях для производных единиц СИ. на том основании, что «[не существует формализма], который был бы в то же время последовательным и удобным и в котором величины плоского угла и телесного угла можно было бы рассматривать как основные величины» и что «[возможность трактовки радиана и стерадиана как SI базовые единицы] ставит под угрозу внутреннюю согласованность СИ, основанной только на семи базовых единицах». В 1995 году CGPM исключила класс дополнительных единиц и определила радиан и стерадиан как «безразмерные производные единицы, названия и символы которых могут, но не обязательно, использоваться в выражениях для других производных единиц СИ, если это удобно». Михаил Калинин в 2019 году раскритиковал решение CGPM 1980 года как «необоснованное» и заявил, что решение CGPM 1995 года использовало противоречивые аргументы и внесло «многочисленные неточности, несоответствия и противоречия в формулировки SI».

На заседании CCU в 2013 году Питер Мор выступил с докладом о предполагаемых несоответствиях, возникающих из-за определения радиана как безразмерной единицы, а не базовой единицы. Президент CCU Ян М. Миллс объявил это «огромной проблемой», и была создана Рабочая группа CCU по углам и безразмерным величинам в системе SI . КТС собрался в 2021 году, но не достиг консенсуса. Небольшое количество членов решительно утверждало, что радиан должен быть базовой единицей, но большинство считало, что статус-кво является приемлемым или что изменение вызовет больше проблем, чем решит. Была создана целевая группа, среди прочего, для «рассмотрения исторического использования дополнительных единиц СИ и рассмотрения вопроса о том, принесет ли их повторное введение пользу».

См. также

• Угловая частота
• Минута и секунда дуги
• Стерадиан , многомерный аналог радиана, который измеряет телесный угол.
• Тригонометрия

Ссылки

• Международное бюро мер и весов (20 мая 2019 г.), Международная система единиц (СИ) (PDF) (9-е изд.), ISBN  978-92-822-2272-0 , заархивировано (PDF) из оригинала 8 мая 2021 г.
• Бринсмэйд, Дж. Б. (декабрь 1936 г.). «Плоские и телесные углы. Их педагогическое значение при явном представлении». Американский журнал физики . 4 (4): 175–179. Бибкод : 1936AmJPh...4..175B . дои : 10.1119/1.1999110 .
• Ромен, Жак Э. (июль 1962 г.). «Угол как четвертая фундаментальная величина» . Журнал исследований Национального бюро стандартов . Раздел B. 66B (3): 97. doi : 10.6028/jres.066B.012 .
• Эдер, МЫ (январь 1982 г.). «Точка зрения на величину «плоского угла» ». Метрология . 18 (1): 1–12. Бибкод : 1982Метро..18....1Е . дои : 10.1088/0026-1394/18/1/002 . S2CID   250750831 .
• Торренс, AB (1 января 1986 г.). «Об углах и угловых величинах». Метрология . 22 (1): 1–7. Бибкод : 1986Метро..22....1Т . дои : 10.1088/0026-1394/22/1/002 . S2CID   250801509 .
• Браунштейн, КР (июль 1997 г.). «Углы — давайте относиться к ним честно» . Американский журнал физики . 65 (7): 605–614. Бибкод : 1997AmJPh..65..605B . дои : 10.1119/1.18616 .
• Леви-Леблон, Жан-Марк (сентябрь 1998 г.). «Размерные углы и универсальные константы» . Американский журнал физики . 66 (9): 814–815. Бибкод : 1998AmJPh..66..814L . дои : 10.1119/1.18964 .
• Фостер, Маркус П. (1 декабря 2010 г.). «Следующие 50 лет СИ: обзор возможностей эпохи электронной науки» . Метрология . 47 (6): Р41–Р51. дои : 10.1088/0026-1394/47/6/R01 . S2CID   117711734 .
• Мор, Питер Дж; Филлипс, Уильям Д. (1 февраля 2015 г.). «Безразмерные единицы в системе СИ» . Метрология . 52 (1): 40–47. arXiv : 1409.2794 . Бибкод : 2015Метро..52...40М . дои : 10.1088/0026-1394/52/1/40 .
• Куинси, Пол (1 апреля 2016 г.). «Диапазон возможностей обработки плоского угла и телесного угла в системе единиц». Метрология . 53 (2): 840–845. Бибкод : 2016Metro..53..840Q . дои : 10.1088/0026-1394/53/2/840 . S2CID   125438811 .
• Миллс, Ян (1 июня 2016 г.). «О единицах радиан и цикл для величины плоского угла». Метрология . 53 (3): 991–997. Бибкод : 2016Метро..53..991М . дои : 10.1088/0026-1394/53/3/991 . S2CID   126032642 .
• Куинси, Пол (1 октября 2021 г.). «Углы в СИ: подробное предложение решения проблемы». Метрология . 58 (5): 053002. arXiv : 2108.05704 . Бибкод : 2021Metro..58e3002Q . дои : 10.1088/1681-7575/ac023f . S2CID   236547235 .
• Леонард, BP (1 октября 2021 г.). «Предложение о согласованной по размерам обработке угла и телесного угла в Международной системе единиц (СИ)». Метрология . 58 (5): 052001. Бибкод : 2021Metro..58e2001L . дои : 10.1088/1681-7575/abe0fc . S2CID   234036217 .
• Мор, Питер Дж; Ширли, Эрик Л; Филлипс, Уильям Д; Тротт, Майкл (23 июня 2022 г.). «О размерности углов и их единиц» . Метрология . 59 (5): 053001. arXiv : 2203.12392 . Бибкод : 2022Метро..59e3001M . дои : 10.1088/1681-7575/ac7bc2 .

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с Радианом, на Викискладе?