Примеры групп

Некоторые элементарные примеры групп в математике приведены на странице Группы (математика) . Дополнительные примеры перечислены здесь.

Перестановки набора из трех элементов

Рассмотрим три цветных блока (красный, зеленый и синий), изначально расположенные в порядке RGB. Пусть a — операция «поменять местами первый блок и второй блок», а b — операция «поменять местами второй блок и третий блок».

Мы можем написать xy для операции «сначала сделайте y , затем сделайте x »; так что ab — это операция RGB → RBG → BRG, которую можно описать как «переместить первые два блока на одну позицию вправо и поместить третий блок в первую позицию». Если мы напишем e для «оставить блоки как есть» ( операция тождества ), то мы можем записать шесть перестановок трех блоков следующим образом:

е : RGB → RGB
а : RGB → GRB
б : RGB → RBG
из : RGB → BRG
ба : RGB → GBR
аба : RGB → BGR

Обратите внимание, что aa имеет эффект RGB → GRB → RGB; поэтому мы можем написать aa = e . Аналогично, bb = ( аба )( аба ) = е ; ( аб ) ( ба ) знак равно ( ба ) ( аб ) знак равно е ; поэтому каждый элемент имеет обратный .

Путем проверки мы можем определить ассоциативность и замыкание ; обратите внимание, в частности, что ( ba ) b = bab = b ( ab ).

Поскольку он построен из основных операций a и b , мы говорим, что набор { a , b } порождает эту группу. Группа, называемая симметрической группой S3 _, имеет порядок 6 и неабелева (поскольку, например, ab ≠ ba ).

Группа переводов самолета

Перенос – плоскости . это жесткое перемещение каждой точки плоскости на определенное расстояние в определенном направлении Например, «двигаться в северо-восточном направлении на 2 километра» — это перевод самолета. Два перевода, такие как a и b, могут быть составлены , чтобы сформировать новый перевод a ∘ b следующим образом: сначала следуйте предписанию b , затем предписанию a . Например, если

a = "переместиться на северо-восток на 3 километра"

и

b = «переместиться на юго-восток на 4 километра»

затем

a ∘ b = «перейти к пеленгу 8,13° на 5 километров» (азимут измеряется против часовой стрелки и с востока)

Или, если

a = «перейти к азимуту 36,87° на 3 километра» (азимут измеряется против часовой стрелки и с востока)

и

b = «перейти к азимуту 306,87° на 4 километра» (азимут измеряется против часовой стрелки и с востока)

затем

a ∘ b = «двигаться на восток на 5 километров»

(см. теорему Пифагора, чтобы узнать, почему это так с геометрической точки зрения).

Совокупность всех переводов плоскости с композицией в качестве операции образует группу:

Если a и b — переводы, то a ∘ b — тоже перевод.
Композиция переводов ассоциативна: ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ).
Элементом идентичности этой группы является перевод с предписанием «переместить ноль километров в любом направлении».
Обратный перевод достигается при прохождении того же расстояния в противоположном направлении.

Это абелева группа и наш первый (недискретный) пример группы Ли : группы, которая также является многообразием .

Группа симметрии квадрата: группа двугранников восьмого порядка.

Dih ₄ как двумерная точечная группа, D ₄ , [4], (*4•), порядок 4, с 4-кратным вращением и зеркальным генератором.	Dih ₄ в трехмерной группе диэдра D ₄ , [4,2] ⁺, (422), порядок 4, с образующей вертикального 4-кратного вращения порядка 4 и образующей 2-кратного горизонтального вращения

Группы очень важны для описания симметрии объектов, будь то геометрические (например, тетраэдр ) или алгебраические (например, набор уравнений). В качестве примера рассмотрим стеклянный квадрат определенной толщины (на котором написана буква «F», чтобы можно было различить разные положения).

Чтобы описать его симметрию, мы формируем совокупность всех тех жестких движений квадрата, которые не имеют видимой разницы (кроме буквы «F»). по-прежнему выглядит так же, движение является одним элементом набора, например . Например, если объект, повернутый на 90° по часовой стрелке , Мы также могли бы перевернуть его вокруг вертикальной оси, чтобы его нижняя поверхность стала верхней поверхностью, а левый край стал правым краем. Опять же, после выполнения этого движения стеклянный квадрат выглядит так же, поэтому это тоже элемент нашего набора, и мы называем его b . Движение, которое ничего не делает, обозначается e .

Учитывая два таких движения x и y , можно определить композицию x ∘ y, движение y как указано выше: сначала выполняется , за которым следует движение x . В результате плита будет выглядеть так же, как раньше.

Дело в том, что совокупность всех этих движений с композицией в качестве операции образует группу. Эта группа представляет собой наиболее краткое описание симметрии квадрата. Химики используют группы симметрии этого типа для описания симметрии кристаллов и молекул .

Создание группы

Давайте еще раз исследуем группу симметрии нашего квадрата. Сейчас у нас есть элементы a , b и e , но мы можем легко сформировать больше: например, a ∘ a , также записываемый как a ², представляет собой поворот на 180°. а ³ представляет собой поворот на 270° по часовой стрелке (или поворот на 90° против часовой стрелки). Мы также видим, что б ² = e, а также a ⁴ = е . Вот интересный вопрос: что делает a ∘ b ? Сначала переверните горизонтально, затем поверните. Попытайтесь представить себе, что a ∘ b = b ∘ a ³. того, Кроме ² ∘ b представляет собой вертикальный флип и равен b ∘ a ².

Мы говорим, что элементы a и b порождают группу.

Эта группа порядка 8 имеет следующую таблицу Кэли :

∘	и	б	а	а ²	а ³	аб	а ²б	а ³б
и	и	б	а	а ²	а ³	аб	а ²б	а ³б
б	б	и	а ³б	а ²б	аб	а ³	а ²	а
а	а	аб	а ²	а ³	и	а ²б	а ³б	б
а ²	а ²	а ²б	а ³	и	а	а ³б	б	аб
а ³	а ³	а ³б	и	а	а ²	б	аб	а ²б
аб	аб	а	б	а ³б	а ²б	и	а ³	а ²
а ²б	а ²б	а ²	аб	б	а ³б	а	и	а ³
а ³б	а ³б	а ³	а ²б	аб	б	а ²	а	и

Для любых двух элементов группы в таблице фиксируется их состав. Здесь мы написали « а ³b " как сокращение от a ³ ∘ б .

В математике эта группа известна как группа диэдра восьмого порядка и обозначается либо Dih ₄ , D ₄ или D ₈ , в зависимости от соглашения. Это был пример неабелевой группы: операция ∘ здесь некоммутативна , что видно из таблицы; стол не симметричен относительно главной диагонали.

Нормальная подгруппа

Эта версия таблицы Кэли показывает, что в этой группе есть одна нормальная подгруппа , выделенная красным фоном. В этой таблице r означает вращения, а f означает перевороты. Поскольку подгруппа нормальна, левый смежный класс такой же, как и правый.

Групповой стол Д ₄
	и	р ₁	год ₂	р ₃	ж _в	ж _ч	ж _д	с _е
и	и	р ₁	год ₂	р ₃	ж _в	ж _ч	ж _д	с _е
р ₁	р ₁	год ₂	р ₃	и	с _е	ж _д	ж _в	ж _ч
год ₂	год ₂	р ₃	и	р ₁	ж _ч	ж _в	с _е	ж _д
р ₃	р ₃	и	р ₁	год ₂	ж _д	с _е	ж _ч	ж _в
ж _в	ж _в	ж _д	ж _ч	с _е	и	год ₂	р ₁	р ₃
ж _ч	ж _ч	с _е	ж _в	ж _д	год ₂	и	р ₃	р ₁
ж _д	ж _д	ж _ч	с _е	ж _в	р ₃	р ₁	и	год ₂
с _е	с _е	ж _в	ж _д	ж _ч	р ₁	р ₃	год ₂	и
Элементы e, r1 _, r2 _и r3 _{образуют} подгруппу , выделенную на рисунке. красный (верхняя левая область). Левый и правый смежный класс этой подгруппы выделен на зеленый (в последнем ряду) и желтый (последний столбец) соответственно.

Свободная группа на двух генераторах

Свободная группа с двумя образующими a и b состоит из всех конечных строк /слов, которые можно составить из четырех символов a , a. ⁻¹, б и б ⁻¹ так что ни один a не появляется непосредственно рядом с a ⁻¹ и ни один b не появляется непосредственно рядом с a b ⁻¹. Две такие строки можно объединить и преобразовать в строку этого типа путем многократной замены «запрещенных» подстрок пустой строкой. Например: « абаб ⁻¹а ⁻¹"объединённый с " абаб ⁻¹" дает" абаб ⁻¹а ⁻¹Абаб ⁻¹a ", которое сокращается до " абааб" ⁻¹а ". С помощью этой операции можно проверить, что набор этих строк образует группу, в которой пустая строка ε := "" является единичным элементом. (Обычно кавычки оставляются, поэтому необходим символ ε).

Это еще одна бесконечная неабелева группа.

Свободные группы важны в алгебраической топологии ; свободная группа в двух образующих также используется для доказательства парадокса Банаха – Тарского .

Набор карт

Наборы карт из набора в группу

Пусть G — группа, а S — множество. Набор отображений M ( S , G ) сам по себе является группой; а именно для двух отображений f , g из S в G мы определяем fg как карту такую, что ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) для каждого x в S и f ⁻¹ быть отображением таким, что f ⁻¹( Икс ) знак равно ж ( Икс ) ⁻¹.

Возьмите карты f , g и h в M ( S , G ). Для каждого x в S , оба f ( x ) и g ( x ) находятся в G как и ( fg )( x ). Следовательно, fg также находится в M ( S , G ), т.е. M ( S , G ) замкнуто. M ( S , G ) ассоциативен, потому что (( fg ) h )( x ) = ( fg )( x ) h ( x ) = ( f ( x ) g ( x )) h ( x ) = f ( x )( грамм ( Икс ) час ( Икс )) знак равно ж ( Икс )( gh )( Икс ) знак равно ( ж ( gh ))( Икс ). И существует отображение i такое, что i ( x ) = e где e — единичный элемент G. , Отображение i таково, что для всех f в M ( S , G ) имеем fi = if = f , т.е. i — единичный элемент M ( S , G ). Таким образом, M ( S , G ) на самом деле является группой.

Если G абелева, то ( fg )( x ) = f ( x ) g ( x ) = g ( x ) f ( x ) = ( gf )( x ), и, следовательно, M ( S , G ) абелева.

Группы автоморфизмов

Группы перестановок

Пусть G — множество биективных отображений множества S на себя. Тогда G образует группу при обычной композиции отображений. Эта группа называется симметричной группой и обычно обозначается $\operatorname {Sym} (S)$ , Σ _S или ${\mathfrak {S}}_{S}$ . Единичный элемент — тождественная карта S. это G Поскольку два отображения f , g в G биективны, fg также биективен. Следовательно, G замкнута. Композиция карт ассоциативна; следовательно, G — группа. S может быть конечным или бесконечным .

Группы матриц

Если n — некоторое положительное целое число , мы можем рассмотреть набор всех обратимых размером n на n матриц , скажем, с вещественными компонентами. Это группа, в которой используется умножение матриц в качестве операции . Она называется общей линейной группой и обозначается GL _n ( R ) или GL ( n , R ) (где R — множество действительных чисел). Геометрически он содержит все комбинации вращений, отражений, расширений и косых преобразований n -мерного евклидова пространства , которые фиксируют данную точку (начало координат).

Если мы ограничимся матрицами с определителем 1, то получим другую группу, специальную линейную группу , SL _n ( R ) или SL( n , R ). Геометрически это состоит из всех элементов GL _n ( R ), которые сохраняют как ориентацию, так и объем различных геометрических тел в евклидовом пространстве.

Если вместо этого мы ограничимся ортогональными матрицами , то мы получим ортогональную группу O _n ( R ) или O ( n , R ). Геометрически это состоит из всех комбинаций вращений и отражений, которые фиксируют начало координат. Это именно те преобразования, которые сохраняют длины и углы.

Наконец, если мы наложим оба ограничения, то получим специальную ортогональную группу SO _n ( R ) или SO( n , R ), состоящую только из вращений.

Эти группы являются нашими первыми примерами бесконечных неабелевых групп. Они также являются группами Ли . Фактически, большинство важных групп Ли (но не все) могут быть выражены как матричные группы .

Если эту идею обобщить на матрицы с комплексными числами в качестве элементов, мы получим дополнительные полезные группы Ли, такие как унитарная группа U( n ). Мы также можем рассматривать матрицы с кватернионами как записи; в этом случае не существует четко определенного понятия детерминанта (и, следовательно, нет хорошего способа определить кватернионный «объем»), но мы все равно можем определить группу, аналогичную ортогональной группе, симплектическую группу Sp( n ).

Более того, эту идею можно трактовать чисто алгебраически с матрицами над любым полем , но тогда группы не являются группами Ли.

См. также

Ссылки