Нормальный (геометрия)

Эта статья о нормалях к 3D-поверхностям. Информацию о нормальных к трехмерным кривым см. в формулах Френе – Серре .

Многоугольник и два его нормальных вектора

Нормаль к поверхности в определенной точке аналогична нормали к касательной плоскости к поверхности в той же точке.

В геометрии нормаль — это объект (например, линия , луч или вектор ), который перпендикулярен данному объекту. Например, нормаль к плоской кривой в данной точке — это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

Нормальный вектор длины один называется единичным нормальным вектором . Вектор кривизны — это вектор нормали, длина которого равна кривизне объекта. Умножение вектора нормали на -1 приводит к получению противоположного вектора , который можно использовать для обозначения сторон (например, внутренней или внешней).

В трехмерном пространстве или нормаль к поверхности просто нормаль к поверхности в точке P — это вектор, перпендикулярный плоскости поверхности в точке P. касательной Слово нормальный также используется как прилагательное: линия, нормальная к плоскости , нормальная составляющая силы , вектор нормали и т. д. Понятие нормальности обобщается до ортогональности ( прямых углов ).

Эта концепция была обобщена на дифференцируемые многообразия произвольной размерности, вложенные в евклидово пространство . Нормальное векторное пространство или нормальное пространство многообразия в точке $P$ - это набор векторов, ортогональных касательному пространству в точке $P.$ Нормальные векторы представляют особый интерес в случае гладких кривых и гладких поверхностей .

Нормаль часто используется в 3D-компьютерной графике (обратите внимание на единственное число, так как будет определена только одна нормаль) для определения ориентации поверхности по отношению к источнику света для плоского затенения или ориентации каждого из углов ( вершин ) поверхности для имитации изогнутая поверхность с затенением Фонга .

Основание нормали в интересующей точке Q (аналог основания перпендикуляра ) может быть определено в точке P на поверхности, где вектор нормали Q. содержит Нормальное расстояние точки Q до кривой или поверхности — это расстояние между Q и ее основанием P. евклидово

Нормаль к поверхностям в 3D-пространстве

Искривленная поверхность, показывающая единичные векторы нормали (синие стрелки) к поверхности.

Вычисление нормали к поверхности

Для выпуклого многоугольника (например, треугольника ) нормаль к поверхности может быть рассчитана как векторное произведение двух (непараллельных) ребер многоугольника.

Для плоскости, заданной уравнением $ax+by+cz+d=0,$ вектор $\mathbf {n} =(a,b,c)$ это нормально.

Для плоскости, уравнение которой задано в параметрической форме $$\mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,$$ где $\mathbf {r} _{0}$ это точка на плоскости и $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ - это непараллельные векторы, направленные вдоль плоскости, нормаль к плоскости - это вектор, нормаль к обоим $\mathbf {p}$ и $\mathbf {q} ,$ которое можно найти как векторное произведение $\mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .$

Если (возможно, неплоская) поверхность $S$ в 3D пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ параметризуется криволинейных системой координат $\mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),$ с $s$ и $t$ действительные переменные, то нормаль к S по определению является нормалью к касательной плоскости, определяемой векторным произведением частных производных $$\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.$$

Если поверхность $S$ задается неявно как множество точек $(x,y,z)$ удовлетворяющий $F(x,y,z)=0,$ тогда нормально в какой-то момент $(x,y,z)$ на поверхности определяется градиентом $$\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).$$ поскольку градиент в любой точке перпендикулярен заданному уровню $S.$

Для поверхности $S$ в $\mathbb {R} ^{3}$ представлен в виде графика функции $z=f(x,y),$ нормаль, направленную вверх, можно найти либо из параметризации $\mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),$ предоставление $$\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);$$ или, проще говоря, из его неявной формы $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,$ предоставление $\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).$ Поскольку поверхность не имеет касательной плоскости в особой точке , она не имеет четко определенной нормали в этой точке: например, вершина конуса . Вообще говоря, можно почти всюду определить нормаль для поверхности, непрерывной по Липшицу .

Ориентация

Векторное поле нормалей к поверхности

Нормаль к (гипер)поверхности обычно масштабируется до единичной длины , но не имеет однозначного направления, поскольку ее противоположность также является единичной нормалью. Для поверхности, которая является топологической границей трехмерного множества, можно различать две нормальные ориентации : нормаль, направленную внутрь, и нормаль, указывающую наружу . Для ориентированной поверхности нормаль обычно определяется по правилу правой руки или его аналогу в более высоких измерениях.

Если нормаль построена как векторное произведение касательных векторов (как описано в тексте выше), это псевдовектор .

Преобразование нормалей

в этом разделе мы используем только верхнюю $3\times 3$ матрица, поскольку перевод не имеет значения для расчета

При применении преобразования к поверхности часто бывает полезно получить нормали для результирующей поверхности из исходных нормалей.

В частности, учитывая матрицу преобразования 3 × 3 $\mathbf {M} ,$ мы можем определить матрицу $\mathbf {W}$ который преобразует вектор $\mathbf {n}$ перпендикулярно касательной плоскости $\mathbf {t}$ в вектор $\mathbf {n} ^{\prime }$ перпендикулярно преобразованной касательной плоскости $\mathbf {Mt} ,$ по следующей логике:

Напишите n' как $\mathbf {Wn} .$ Мы должны найти $\mathbf {W} .$ $${\begin{alignedat}{5}W\mathbb {n} {\text{ is perpendicular to }}M\mathbb {t} \quad \,&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )\cdot (M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=(W\mathbb {n} )^{\mathrm {T} }(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\left(\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }W^{\mathrm {T} }\right)(M\mathbb {t} )\\&{\text{ if and only if }}\quad 0=\mathbb {n} ^{\mathrm {T} }\left(W^{\mathrm {T} }M\right)\mathbb {t} \\\end{alignedat}}$$

Выбор $\mathbf {W}$ такой, что $W^{\mathrm {T} }M=I,$ или $W=(M^{-1})^{\mathrm {T} },$ будет удовлетворять приведенному выше уравнению, давая $W\mathbb {n}$ перпендикулярно $M\mathbb {t} ,$ или $\mathbf {n} ^{\prime }$ перпендикулярно $\mathbf {t} ^{\prime },$ по мере необходимости.

Поэтому при преобразовании нормалей поверхности следует использовать обратную транспозицию линейного преобразования. Обратное транспонирование равно исходной матрице, если матрица ортонормирована, то есть чисто вращательная, без масштабирования или сдвига.

Гиперповерхности в n -мерном пространстве

Для $(n-1)$-мерная гиперплоскость в $n$-мерное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ заданный его параметрическим представлением $$\mathbf {r} \left(t_{1},\ldots ,t_{n-1}\right)=\mathbf {p} _{0}+t_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +t_{n-1}\mathbf {p} _{n-1},$$ где $\mathbf {p} _{0}$ является точкой на гиперплоскости и $\mathbf {p} _{i}$ для $i=1,\ldots ,n-1$ — линейно независимые векторы, направленные вдоль гиперплоскости, нормаль к гиперплоскости — любой вектор $\mathbf {n}$ в нулевом пространстве матрицы $P={\begin{bmatrix}\mathbf {p} _{1}&\cdots &\mathbf {p} _{n-1}\end{bmatrix}},$ значение $P\mathbf {n} =\mathbf {0} .$ То есть любой вектор, ортогональный всем векторам в плоскости, по определению является нормалью к поверхности. Альтернативно, если гиперплоскость определяется как множество решений одного линейного уравнения $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=c,$ тогда вектор $\mathbb {n} =\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ это нормально.

Определение нормали к поверхности в трехмерном пространстве можно расширить до $(n-1)$-мерные гиперповерхности в $\mathbb {R} ^{n}.$ Гиперповерхность может быть локально определена неявно как набор точек $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ удовлетворяющее уравнению $F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,$ где $F$ — заданная скалярная функция . Если $F$ , непрерывно дифференцируема то гиперповерхность является дифференцируемым многообразием в окрестности точек, где градиент не равен нулю. В этих точках вектор нормали задается градиентом: $$\mathbb {n} =\nabla F\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\left({\tfrac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\tfrac {\partial F}{\partial x_{2}}},\ldots ,{\tfrac {\partial F}{\partial x_{n}}}\right)\,.$$

Нормальная линия — это одномерное подпространство с базисом $\{\mathbf {n} \}.$

Многообразия, определяемые неявными уравнениями в n -мерном пространстве

Дифференциальное многообразие, определяемое неявными уравнениями в $n$-мерное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ — множество общих нулей конечного множества дифференцируемых функций в $n$ переменные $$f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).$$ Матрица Якоби многообразия – это $k\times n$ матрица, чья $i$-я строка — градиент $f_{i}.$ По теореме о неявной функции многообразие является многообразием в окрестности точки, где матрица Якоби имеет ранг $k.$ В такой момент $P,$ нормальное векторное пространство — это векторное пространство, созданное значениями в $P$ векторов градиента $f_{i}.$

Другими словами, разнообразие определяется как пересечение $k$ гиперповерхности, а нормальное векторное пространство в точке — это векторное пространство, порожденное векторами нормалей гиперповерхностей в этой точке.

Нормальное (аффинное) пространство в точке $P$ многообразия является аффинным подпространством, проходящим через $P$ и порождается нормальным векторным пространством в точке $P.$

Эти определения могут быть дословно распространены на те точки, где многообразие не является многообразием.

Пример

Пусть V — многообразие, определенное в трехмерном пространстве уравнениями $$x\,y=0,\quad z=0.$$ Этот сорт представляет собой объединение $x$-ось и $y$-ось.

В какой-то момент $(a,0,0),$ где $a\neq 0,$ строки матрицы Якобиана равны $(0,0,1)$ и $(0,a,0).$ Таким образом, нормальное аффинное пространство — это плоскость уравнения $x=a.$ Аналогично, если $b\neq 0,$ нормальный самолет в $(0,b,0)$ — плоскость уравнения $y=b.$

В точку $(0,0,0)$ строки матрицы Якобиана равны $(0,0,1)$ и $(0,0,0).$ Таким образом, нормальное векторное пространство и нормальное аффинное пространство имеют размерность 1, а нормальное аффинное пространство — это $z$-ось.

Использование

• Нормали к поверхности полезны при определении поверхностных интегралов векторных полей .
• Нормали поверхности обычно используются в компьютерной 3D-графике для расчетов освещения (см. закон косинуса Ламберта ), часто корректируются с помощью карт нормалей .
• Слои рендеринга, содержащие информацию о нормалях поверхности, могут использоваться в цифровой композиции для изменения видимого освещения визуализируемых элементов.
• В компьютерном зрении формы трехмерных объектов оцениваются по нормали к поверхности с использованием фотометрического стерео .
• Вектор нормали может быть получен как градиент функции расстояния со знаком .

Нормаль в геометрической оптике

Основная статья: Зеркальное отражение

Схема зеркального отражения

The Нормальный луч — это направленный наружу луч, перпендикулярный поверхности оптической среды в данной точке. При отражении света углом падения и углом отражения являются соответственно угол между нормальным и падающим лучом (в плоскости падения ) и угол между нормальным и отраженным лучом .

См. также

• Двойное пространство - в математике векторное пространство линейных форм.
• Эллипсоидный нормальный вектор
• Обычный пакет - векторный пакет, дополняющий касательный пакет, связанный со страницами встраивания, отображающими описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Псевдовектор - физическая величина, меняющая знак при неправильном вращении.
• Тангенциальная и нормальная составляющие
• Нормаль вершины - вектор направления, связанный с вершиной, предназначенный для замены истинной геометрической нормали поверхности. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Нормальный вектор» . Математический мир .
• Объяснение нормальных векторов из MSDN Microsoft.
• Понятный псевдокод для расчета нормали к поверхности из треугольника или многоугольника.