Геометрическая оптика

Геометрическая оптика , или лучевая оптика , — это модель оптики , описывающая света распространение в терминах лучей . Луч в геометрической оптике — это абстракция, полезная для аппроксимации путей, по которым распространяется свет при определенных обстоятельствах.

Упрощающие предположения геометрической оптики включают в себя то, что световые лучи:

• распространяются по прямолинейным траекториям при движении в однородной среде
• изгибаться, а при определенных обстоятельствах может разделиться на две части на границе двух разнородных сред
• следовать изогнутым траекториям в среде, в которой показатель преломления изменяется
• может поглощаться или отражаться.

Геометрическая оптика не учитывает некоторые оптические эффекты, такие как дифракция и интерференция , которые рассматриваются в физической оптике . Это упрощение полезно на практике; это отличное приближение, когда длина волны мала по сравнению с размером структур, с которыми взаимодействует свет. Эти методы особенно полезны при описании геометрических аспектов изображений , включая оптические аберрации .

Объяснение

Дополнительная информация: лучи (оптика) и трассировка лучей (физика).

Когда свет проходит через пространство, колеблется амплитуда его . На этом изображении каждый гребень максимальной амплитуды отмечен плоскостью, иллюстрирующей волновой фронт . Луч перпендикулярная — это стрелка, этим параллельным поверхностям .

Луч света — это линия или кривая волновым , перпендикулярная света фронтам (и, следовательно, коллинеарная ) волновому вектору .Несколько более строгое определение светового луча следует из принципа Ферма , который гласит, что путь, пройденный лучом света между двумя точками, — это путь, который можно пройти за наименьшее время.

Геометрическую оптику часто упрощают, используя параксиальное приближение или «аппроксимацию малого угла». Тогда математическое поведение становится линейным , что позволяет описывать оптические компоненты и системы простыми матрицами. Это приводит к появлению методов гауссовской оптики и параксиальных трассировки лучей , которые используются для определения основных свойств оптических систем, таких как приблизительное положение изображения и объекта и увеличение .

Отражение

Основная статья: Отражение (физика)

Схема зеркального отражения

Глянцевые поверхности, такие как зеркала, отражают свет простым и предсказуемым образом. Это позволяет создавать отраженные изображения, которые можно связать с реальным ( реальным ) или экстраполированным ( виртуальным ) местоположением в пространстве.

На таких поверхностях направление отраженного луча определяется углом, который падающий луч образует с нормалью поверхности , линией, перпендикулярной поверхности в точке попадания луча. Падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости, а угол между отраженным лучом и нормалью к поверхности такой же, как угол между падающим лучом и нормалью. Это известно как Закон Отражения .

Для плоских зеркал закон отражения подразумевает, что изображения объектов расположены вертикально и находятся на том же расстоянии за зеркалом, что и объекты перед зеркалом. Размер изображения такой же, как размер объекта. ( Увеличение плоского зеркала равно единице.) Закон также подразумевает, что зеркальные изображения перевернуты по четности , что воспринимается как инверсия лево-право.

Зеркала с изогнутыми поверхностями можно моделировать с помощью трассировки лучей и использования закона отражения в каждой точке поверхности. В зеркалах с параболическими поверхностями параллельные лучи, падающие на зеркало, образуют отраженные лучи, сходящиеся в общем фокусе . Другие изогнутые поверхности также могут фокусировать свет, но с аберрациями из-за расходящейся формы, из-за которой фокус размывается в пространстве. В частности, сферические зеркала демонстрируют сферическую аберрацию . Изогнутые зеркала могут формировать изображения с увеличением больше или меньше единицы, причем изображение может быть вертикальным или перевернутым. Вертикальное изображение, образованное отражением в зеркале, всегда виртуально, а перевернутое изображение реально и может быть спроецировано на экран.

Преломление

Основная статья: Преломление

Иллюстрация закона Снелла

Преломление происходит, когда свет проходит через область пространства с изменяющимся показателем преломления. Простейший случай преломления возникает, когда существует граница раздела однородной среды с показателем преломления $n_{1}$ и еще одна среда с показателем преломления $n_{2}$. В таких ситуациях закон Снелла описывает результирующее отклонение светового луча: $$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$$где $\theta _{1}$ и $\theta _{2}$ – углы между нормалью (к границе раздела), падающей и преломленной волнами соответственно. Это явление также связано с изменением скорости света, как видно из приведенного выше определения показателя преломления, которое подразумевает: $$v_{1}\sin \theta _{2}\ =v_{2}\sin \theta _{1}$$где $v_{1}$ и $v_{2}$ – скорости волн в соответствующих средах.

Различные последствия закона Снелла включают тот факт, что для лучей света, идущих от материала с высоким показателем преломления к материалу с низким показателем преломления, взаимодействие с границей раздела может привести к нулевому пропусканию. Это явление называется полным внутренним отражением и позволяет использовать технологию оптоволокна . Когда световые сигналы проходят по оптоволоконному кабелю, они подвергаются полному внутреннему отражению, что позволяет практически не терять свет по длине кабеля. Также возможно создавать поляризованные световые лучи, используя комбинацию отражения и преломления: когда преломленный луч и отраженный луч образуют прямой угол , отраженный луч обладает свойством «плоской поляризации». Угол падения, необходимый для такого сценария, известен как угол Брюстера .

Закон Снелла можно использовать для прогнозирования отклонения световых лучей при их прохождении через «линейную среду», если известны показатели преломления и геометрия среды. Например, распространение света через призму приводит к отклонению светового луча в зависимости от формы и ориентации призмы. Кроме того, поскольку в большинстве материалов разные частоты света имеют немного разные показатели преломления, преломление можно использовать для создания дисперсионных спектров , которые выглядят как радуга. Открытие этого явления при прохождении света через призму приписывается Исааку Ньютону .

Некоторые среды имеют показатель преломления, который постепенно меняется в зависимости от положения, и, таким образом, лучи света проходят через среду, а не движутся по прямым линиям. Этот эффект является причиной миражей , наблюдаемых в жаркие дни, когда изменяющийся показатель преломления воздуха заставляет лучи света изгибаться, создавая видимость зеркальных отражений на расстоянии (как будто на поверхности бассейна с водой). Материал с переменным показателем преломления называется материалом с градиентным показателем (GRIN) и обладает множеством полезных свойств, используемых в современных технологиях оптического сканирования, включая копировальные аппараты и сканеры . Явление изучается в области градиентно-индексной оптики .

Схема трассировки лучей для простой собирающей линзы.

Устройство, которое создает сходящиеся или расходящиеся световые лучи за счет преломления, известно как линза . Тонкие линзы создают фокусные точки с обеих сторон, которые можно смоделировать с помощью уравнения производителя линз . В общем, существует два типа линз: выпуклые линзы , которые заставляют параллельные лучи света сходиться, и вогнутые линзы , которые заставляют параллельные лучи света расходиться. Подробное предсказание того, как изображения создаются этими линзами, можно сделать с помощью трассировки лучей, аналогичной изогнутым зеркалам. Подобно изогнутым зеркалам, тонкие линзы подчиняются простому уравнению, которое определяет расположение изображений при определенном фокусном расстоянии ( $f$) и расстояние до объекта ( $S_{1}$): $${\frac {1}{S_{1}}}+{\frac {1}{S_{2}}}={\frac {1}{f}}$$где $S_{2}$ — это расстояние, связанное с изображением, которое по соглашению считается отрицательным, если находится на той же стороне линзы, что и объект, и положительным, если на противоположной стороне линзы. Фокусное расстояние f считается отрицательным для вогнутых линз.

Входящие параллельные лучи фокусируются выпуклой линзой в перевернутое реальное изображение на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на дальней стороне линзы.

Входящие параллельные лучи фокусируются выпуклой линзой в перевернутое реальное изображение на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на дальней стороне линзы.

Лучи объекта, находящегося на конечном расстоянии, фокусируются дальше от линзы, чем фокусное расстояние; чем ближе объект к линзе, тем дальше изображение от линзы. В вогнутых линзах входящие параллельные лучи после прохождения через линзу расходятся таким образом, что кажется, что они возникли в вертикальном виртуальном изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на той же стороне линзы, к которой приближаются параллельные лучи. .

В вогнутых линзах входящие параллельные лучи после прохождения через линзу расходятся таким образом, что кажется, что они возникли в вертикальном виртуальном изображении на расстоянии одного фокусного расстояния от линзы, на той же стороне линзы, к которой приближаются параллельные лучи. .

Лучи от объекта на конечном расстоянии связаны с виртуальным изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и находится на той же стороне линзы, что и объект. Чем ближе объект к линзе, тем ближе к линзе виртуальное изображение.

Лучи от объекта на конечном расстоянии связаны с виртуальным изображением, которое находится ближе к линзе, чем фокусное расстояние, и находится на той же стороне линзы, что и объект.

Аналогично, увеличение линзы определяется выражением $$M=-{\frac {S_{2}}{S_{1}}}={\frac {f}{f-S_{1}}}$$где отрицательный знак по соглашению дается для обозначения вертикального объекта для положительных значений и перевернутого объекта для отрицательных значений. Подобно зеркалам, вертикальные изображения, создаваемые одиночными линзами, виртуальны, а перевернутые изображения реальны.

Объективы страдают от аберраций , которые искажают изображения и фокусные точки. Это связано как с геометрическими несовершенствами, так и с изменением показателя преломления для разных длин волн света ( хроматическая аберрация ).

Основная математика

Как математическое исследование, геометрическая оптика возникает как коротковолновый предел для решений гиперболических уравнений в частных производных (метод Зоммерфельда-Рунге) или как свойство распространения разрывов поля согласно уравнениям Максвелла (метод Люнебурга). В этом коротковолновом пределе можно локально аппроксимировать решение формулой $$u(t,x)\approx a(t,x)e^{i(k\cdot x-\omega t)}$$где $k,\omega$ удовлетворяют дисперсионному соотношению , а амплитуда $a(t,x)$ меняется медленно. Точнее, решение главного порядка имеет вид $$a_{0}(t,x)e^{i\varphi (t,x)/\varepsilon }.$$Этап $\varphi (t,x)/\varepsilon$ может быть линеаризован для восстановления большого волнового числа $k:=\nabla _{x}\varphi$и частота $\omega :=-\partial _{t}\varphi$. Амплитуда $a_{0}$ удовлетворяет уравнению переноса . Маленький параметр $\varepsilon \,$ выходит на сцену из-за сильно колебательных начальных условий. Таким образом, когда начальные условия колеблются намного быстрее, чем коэффициенты дифференциального уравнения, решения будут сильно колебательными и будут перемещаться по лучам. Если предположить, что коэффициенты в дифференциальном уравнении гладкие, то и лучи тоже будут гладкими. Другими словами, преломления не происходит. Мотивация для этого метода исходит из изучения типичного сценария распространения света, когда коротковолновый свет распространяется вдоль лучей, которые минимизируют (более или менее) время его прохождения. Его полноценное применение требует инструментов микролокального анализа .

Метод Зоммерфельда – Рунге

Метод получения уравнений геометрической оптики путем перехода к нулевой длине волны впервые был описан Арнольдом Зоммерфельдом и И. Рунге в 1911. Их вывод был основан на устном замечании Питера Дебая . Рассмотрим монохроматическое скалярное поле $\psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}$, где $\psi$ может быть любой из компонент электрического или магнитного поля и, следовательно, функция $\phi$ удовлетворять волновому уравнению $$\nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0$$где $k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}$ с $c$ это скорость света в вакууме. Здесь, $n(\mathbf {r} )$ – показатель преломления среды. Не ограничивая общности, введем $\phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}$ чтобы преобразовать уравнение в $$-k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.$$

Поскольку основной принцип геометрической оптики лежит в пределе $\lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0$, предполагается следующий асимптотический ряд: $$A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}$$

Для большого, но конечного значения $k_{o}$, ряд расходится, и нужно быть осторожным, сохраняя только подходящие первые несколько членов. Для каждого значения $k_{o}$, можно найти оптимальное количество сохраняемых терминов, а добавление большего количества терминов, чем оптимальное, может привести к ухудшению аппроксимации. Подставляя ряд в уравнение и собирая члены разных порядков, находим $${\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}$$в общем, $$O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.$$

Первое уравнение известно как уравнение эйконала , которое определяет эйконал. $S(\mathbf {r} )$ — уравнение Гамильтона–Якоби , записанное, например, в декартовых координатах, становится $$\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.$$

Остальные уравнения определяют функции $A_{m}(\mathbf {r} )$.

Люнебургский метод

Метод получения уравнений геометрической оптики путем анализа поверхностей разрывов решений уравнений Максвелла был впервые описан Рудольфом Карлом Люнебургом в 1944 году. Это не ограничивает электромагнитное поле специальной формой, требуемой методом Зоммерфельда-Рунге, который предполагает амплитуду $A(k_{o},\mathbf {r} )$ и фаза $S(\mathbf {r} )$ удовлетворить уравнение ${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$. Этому условию удовлетворяют, например, плоские волны, но оно не является аддитивным.

Основной вывод подхода Люнебурга заключается в следующем:

Теорема. Предположим, что поля $\mathbf {E} (x,y,z,t)$ и $\mathbf {H} (x,y,z,t)$ (в линейной изотропной среде, описываемой диэлектрическими проницаемостями $\varepsilon (x,y,z)$ и $\mu (x,y,z)$) имеют конечные разрывы вдоль (движущейся) поверхности в $\mathbf {R} ^{3}$ описывается уравнением $\psi (x,y,z)-ct=0$. Тогда из уравнений Максвелла в интегральной форме следует, что $\psi$ удовлетворяет уравнению эйконала : $$\psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},$$где $n$ – показатель преломления среды (гауссовы единицы).

Примером такой поверхности разрыва является начальный волновой фронт, исходящий от источника, который начинает излучать в определенный момент времени.

Таким образом, поверхности разрыва поля становятся волновыми фронтами геометрической оптики с соответствующими полями геометрической оптики, определяемыми как: $${\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}$$

Эти поля подчиняются уравнениям переноса, согласующимся с уравнениями переноса подхода Зоммерфельда-Рунге. Световые лучи в теории Люнебурга определяются как траектории, ортогональные поверхностям разрыва, и можно показать, что они подчиняются принципу наименьшего времени Ферма , тем самым устанавливая идентичность этих лучей со световыми лучами стандартной оптики.

Изложенные выше разработки можно обобщить на анизотропные среды.

Доказательство теоремы Люнебурга основано на исследовании того, как уравнения Максвелла управляют распространением разрывов решений. Основная техническая лемма такова:

Техническая лемма. Позволять $\varphi (x,y,z,t)=0$ быть гиперповерхностью (трехмерным многообразием) в пространстве-времени $\mathbf {R} ^{4}$ на котором одно или несколько из: $\mathbf {E} (x,y,z,t)$, $\mathbf {H} (x,y,z,t)$, $\varepsilon (x,y,z)$, $\mu (x,y,z)$, имеют конечный разрыв. Тогда в каждой точке гиперповерхности справедливы следующие формулы: $${\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}$$где $\nabla$ оператор действует в $xyz$-пространство (для каждого фиксированного $t$), а квадратные скобки обозначают разницу значений по обе стороны от поверхности разрыва (установленной в соответствии с произвольным, но фиксированным соглашением, например, градиент $\nabla \varphi$ указывая в направлении вычитаемых из величины величин ).

Эскиз доказательства. Начните с уравнений Максвелла вдали от источников (гауссовы единицы): $${\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}$$

Используя теорему Стокса в $\mathbf {R} ^{4}$ из первого из приведенных выше уравнений можно заключить, что для любой области $D$ в $\mathbf {R} ^{4}$ с кусочно-гладкой (3-мерной) границей $\Gamma$ верно следующее: $$\oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0$$где $\mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})$ нормальная проекция внешнего блока $(x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})$ из $\Gamma$ на 3D-срез $t={\rm {const}}$, и $dS$ объем 3-формы на $\Gamma$. Аналогично из остальных уравнений Максвелла устанавливаются следующие условия: $${\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}$$

Теперь, рассматривая произвольные небольшие подповерхности $\Gamma _{0}$ из $\Gamma$ и создание небольших кварталов вокруг $\Gamma _{0}$ в $\mathbf {R} ^{4}$и, соответственно, вычитая указанные выше интегралы, получаем: $${\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}$$где $\nabla ^{4D}$ обозначает градиент в 4D $xyzt$-космос. И поскольку $\Gamma _{0}$ произвольно, подынтегральные выражения должны быть равны 0, что и доказывает лемму.

Теперь легко показать, что при распространении через сплошную среду поверхности разрыва подчиняются уравнению эйконала. В частности, если $\varepsilon$ и $\mu$ непрерывны, то разрывы $\mathbf {E}$ и $\mathbf {H}$ удовлетворить: $[\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]$ и $[\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]$. В этом случае два последних уравнения леммы можно записать в виде:

$${\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}$$

Взяв векторное произведение второго уравнения с $\nabla \varphi$ и подставив первые доходности: $$\nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0$$

Непрерывность $\mu$ и второе уравнение леммы влечет за собой: $\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0$, следовательно, для точек, лежащих на поверхности $\varphi =0$ только : $$\|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}$$

(Обратите внимание, что на этом этапе важно наличие разрыва, так как в противном случае нам пришлось бы делить на ноль.)

Из физических соображений можно без ограничения общности предположить, что $\varphi$ имеет следующий вид: $\varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct$, то есть двумерная поверхность, движущаяся в пространстве, смоделированная как поверхности уровня $\psi$. (Математически $\psi$ существует, если $\varphi _{t}\neq 0$ по теореме о неявной функции .)Приведенное выше уравнение записано в терминах $\psi$ становится: $$\|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}$$то есть, $$\psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}$$которое представляет собой уравнение эйконала и справедливо для всех $x$, $y$, $z$, поскольку переменная $t$ отсутствует. Другие законы оптики, такие как закон Снелла и формулы Френеля, можно получить аналогичным образом, рассматривая разрывы в $\varepsilon$ и $\mu$.

Общее уравнение с использованием четырехвекторной записи

В четырехвекторной записи, используемой в специальной теории относительности , волновое уравнение можно записать как $${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0$$

и замена $\psi =Ae^{iS/\varepsilon }$ приводит к $$-{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.$$

Следовательно, уравнение эйконала имеет вид $${\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.$$

Как только эйконал найден путем решения приведенного выше уравнения, волновой четырехвектор можно найти из $$k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.$$

См. также

• Гамильтонова оптика
• Геометрическая акустика

Дальнейшее чтение

• Роберт Альфред Герман (1900) Трактат по геометрической оптике с сайта Archive.org .
• «Свет очей и просвещенный пейзаж видения» — это рукопись на арабском языке о геометрической оптике, датируемая 16 веком.
• Теория систем лучей - В. Р. Гамильтон в трудах Королевской ирландской академии , Vol. XV, 1828 г.

Английские переводы некоторых ранних книг и статей

• Х. Брунс, «Эйконал»
• М. Малюс, «Оптический»
• Дж. Плукер, «Обсуждение общей формы световых волн»
• Э. Куммер, "Общая теория прямолинейных лучевых систем"
• Э. Куммер, доклад об оптически реализуемых прямолинейных лучевых системах
• Р. Мейбауэр, "Теория прямолинейных систем световых лучей"
• М. Паш, «О фокальных поверхностях лучевых систем и поверхностях особенностей комплексов»
• А. Левисталь, «Исследования по геометрической оптике»
• Ф. Кляйн, «Об эйконале Брунса»
• Р. Донто, "Об интегральных инвариантах и ​​некоторых моментах геометрической оптики"
• Т. де Дондер, «Об интегральных инвариантах оптики»

Внешние ссылки

• Лекция Фейнмана по геометрической оптике.