Гауссовый луч

Мгновенное абсолютное значение реальной части амплитуды электрического поля гауссовой луча ТЭМ ₀₀ , фокальной области. Показ $|{\mathcal {Re}}(E(t_{1}))|$ Таким образом, с двумя пиками для каждого положительного волнового фронта .

Вверху: Профиль поперечной интенсивности гауссового луча, который распространяется из страницы. Синяя кривая: электрическая (или магнитная) амплитуда поля по сравнению с радиальным положением от оси луча. Черная кривая является соответствующей интенсивностью.

Луч для зеленого лазера 5 МВт, показывающий _{TEM 00} профиль

В оптике является гауссовый луч идеализированным пучком электромагнитного излучения которой , амплитуда в поперечной плоскости определяется гауссовой функцией ; Это также подразумевает профиль гауссовой интенсивности (излучение). Этот фундаментальный (или TEM ₀₀ ) поперечный гауссовый режим описывает предполагаемый выход из многих лазеров , так как такая луча расходится меньше и может быть сфокусирован лучше, чем любой другой. Когда гауссовый луч переориентируется идеальным объективом , производится новый гауссовый луч. Профили амплитуды электрического и магнитного поля вдоль круговой гауссовой луча данной длины волны и поляризации определяются двумя параметрами: талия W ₀ , которая является мерой ширины пучка в самой узкой точке и положением z относительно талия.

Поскольку гауссовая функция бесконечна в масштабах, совершенных гауссовых лучей не существуют в природе, а края любого такого пучка будет отрезана любым конечным линзом или зеркалом. Тем не менее, гауссу-это полезное приближение к реальному лучу для случаев, когда линзы или зеркала в луче значительно больше, чем размер пятна w ( z ) луча

По сути, гауссу - это решение осевого уравнения Гельмгольца , уравнения волны для электромагнитного поля. Хотя существуют другие решения, гауссовые семейства решений полезны для проблем, связанных с компактными лучами.

Математическая форма

Приведенные ниже уравнения предполагают луч с круглым поперечным сечением на всех значениях z ; одно поперечное измерение, R. Это можно увидеть, отметив, что появляется Балки с эллиптическими поперечными сечениями или с талиями в разных положениях в z для двух поперечных измерений ( астигматические лучи) также могут быть описаны как гауссовые лучи, но с различными значениями W ₀ и местоположения z = 0 для двух поперечных Размеры x и y .

Гауссовый профиль интенсивности луча с W ₀ = 2 λ .

Гауссовый луч - это поперечный электромагнитный (ТЭМ) режим . Математическое выражение для амплитуды электрического поля является решением уравнения параксиального Гельмгольца . Предполагая поляризацию в направлении x и распространение в направлении + z , электрическое поле в нотации фазора (комплекс) определяется как:

$${\mathbf {E} (r,z)}=E_{0}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left(\!-i\left(kz+k{\frac {r^{2}}{2R(z)}}-\psi (z)\right)\!\right)$$

где

• r - радиальное расстояние от центральной оси луча,
• z - осевое расстояние от фокуса луча (или «талия»),
• Я воображаемая единица ,
• k = 2 πn / λ -это волновое число (в радианах на метр) для длины волны свободного пространства λ , а n -показатель преломления среды, в которой распространяется луч,
• E ₀ = e (0, 0) , амплитуда электрического поля в начале координат ( r = 0 , z = 0 ),
• w ( z ) - это радиус, при котором амплитуды поля падают до 1/ e их осевых значений (то есть, где значения интенсивности падают до 1/ e ² их осевых значений), на плоскости z вдоль луча,
• w ₀ = w (0) - радиус талии ,
• R ( z ) - радиус кривизны луча волновых фронтов в z и
• ψ ( z ) = arctan ( z / z _r ) - это фаза Гуи при z , дополнительный фазовый термин за пределами того, что связано с фазовой скоростью света.

Физическое электрическое поле получается из амплитуды фазорного поля, приведенной выше путем принятия реальной части амплитуды раз в течение времени: коэффициент: $$\mathbf {E} _{\text{phys}}(r,z,t)=\operatorname {Re} (\mathbf {E} (r,z)\cdot e^{i\omega t}),$$ где ${\textstyle \omega }$ это угловая частота света, а T - время. Фактор времени включает в себя произвольную конвенцию о знаке , как обсуждалось в математических описаниях непрозрачности § Комплексной сопряженной неоднозначности .

Поскольку это решение зависит от параксиального приближения, оно не является точным для очень сильно расходящихся балок. Приведенная выше форма действительна в большинстве практических случаев, где w ₀ ≫ λ / n .

Соответствующее распределение интенсивности (или излучения ) определяется

$$I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right),$$

где постоянная η является импедансом волны среды, в которой пропагандирует луч. Для свободного пространства η = η ₀ ≈ 377 Ом. I ₀ = | E ₀ | ² /2 η - это интенсивность в центре балки на его талии.

Если P ₀ - общая мощность луча, $$I_{0}={2P_{0} \over \pi w_{0}^{2}}.$$

Развивающаяся ширина луча

Гауссовая функция имеет 1/ e ² Диаметр ( 2 Вт , как используется в тексте) примерно в 1,7 раза больше FWHM .

В положении Z вдоль луча (измерено от фокуса) параметр w определяется гиперболической зависимостью : $$w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}},$$ где $$z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}$$ называется Rayleigh Drane, как подробно обсуждается ниже, и $n$ это показатель преломления среды.

Радиус луча w ( z ) , в любом положении z вдоль пучка, связан с полной шириной при половине максимальной (FWHM) распределения интенсивности в этом положении в соответствии с: $$w(z)={\frac {{\text{FWHM}}(z)}{\sqrt {2\ln 2}}}.$$

Кривизна волнового фронта

Кривизна волновых фронтов наибольшая на расстоянии Рэлея, z = ± z _r , по обе стороны от талии, пересекая ноль на самой талии. За пределами расстояния Рэйли, | z | > z _r , он снова уменьшается по величине, приближаясь к нулю в виде z → ± ∞ . Кривизна часто выражается с точки зрения его взаимного, R , радиус кривизны ; Для фундаментального гауссового луча кривизна в положении Z определяется:

$${\frac {1}{R(z)}}={\frac {z}{z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}},$$

образом, радиус кривизны r ( z ) Таким $$R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right].$$ Будучи взаимным кривизны, радиус кривизны реверсирует знак и бесконечен на талии пучка, где кривизна проходит через ноль.

Эллиптические и астигматические лучи

Многие лазерные лучи имеют эллиптическое поперечное сечение. Также распространены балки с положениями талии, которые различны для двух поперечных размеров, называемых астигматическими лучами. Эти лучи можно справиться с использованием двух вышеупомянутых уравнений эволюции, но с различными значениями каждого параметра для x и y и различными определениями точки z = 0 . Фаза Гуи представляет собой единое значение, рассчитанное правильно путем суммирования вклада из каждого измерения, с фазой Гуи в диапазоне ± π /4, внесенном в каждом измерении.

Эллиптический луч будет инвертировать его коэффициент эллиптичности, поскольку он распространяется от дальнего поля к талии. Измерение, которое было больше далеко от талии, будет меньше возле талии.

Гаусса как разложение на режимы

Произвольные решения уравнения параксиального Гельмгольца могут быть разложены в качестве суммы гермитовых -гоуссовских мод (чьи профили амплитуды разделяются в x и y с использованием координат декартовых ), лагерре -ггауссовые режимы (чьи амплитудные профили разделяются в R и θ с использованием цилиндрических координат ) или аналогичным образом, как комбинации инсе -гмауссовских мод (чьи профили амплитуды разделяются в ξ и η с использованием эллиптических координат ). В любой точке вдоль луча Z эти режимы включают тот же гауссовый фактор, что и фундаментальный гауссовый режим, умножающий дополнительные геометрические факторы для указанного режима. Однако разные режимы распространяются с другой фазой Gouy , поэтому чистый поперечный профиль из -за суперпозиции мод развивается в z , тогда как распространение любого режима отдельного эримита -гассов (или лагерре -гоусского) сохраняет одну и ту же форму вдоль луча.

Хотя есть и другие модальные разложения , гауссоны полезны для проблем, связанных с компактными пучками, то есть, где оптическая сила довольно близко ограничена вдоль оси. Даже когда лазер не лазера работает в фундаментальном режиме гауссов, его мощность, как правило, будет обнаружена среди режимов самого низкого порядка, используя эти разложения, поскольку пространственная степень режимов более высокого порядка будет иметь тенденцию превышать границы резонатора (полость) Полем «Гауссовый луч» обычно подразумевает радиацию, ограничиваемое фундаментальным (TEM ₀₀ ) гауссовым режимом.

Параметры луча

Геометрическая зависимость полей гауссового пучка регулируется длиной волны света ( в диэлектрической среде, если не в свободном пространстве) и следующими параметрами луча , все из которых соединены, как подробно описано в следующих разделах.

Луч талия

Смотрите также: диаметр луча

Ширина луча Гаусса W ( z ) как функция расстояния Z вдоль луча, которая образует гиперболу . w ₀ : пучка талия; Б : глубина фокуса; Z _r : Рейли диапазон ; Θ : общее угловое распространение

Форма гауссовой луча данной длины волны λ определяется исключительно одним параметром, пучка талия w ₀ . Это мера размера луча в точке его фокуса ( z = 0 в вышеуказанных уравнениях), где ширина пучка w ( z ) (как определено выше)-это наименьшее (и, также где интенсивность на оси ( r = 0 ) является самым большим). Из этого параметра определяются другие параметры, описывающие геометрию луча. Это включает в себя диапазон Rayleigh Z _r и асимптотическую дивергенцию луча θ , как подробно описано ниже.

Диапазон Рэлея и конфокальный параметр

Основная статья: длина Рэлея

Расстояние Rayleigh или диапазон Rayleigh z _R определяется с учетом размера талии Гауссового луча:

$$z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}.$$

Здесь λ - длина волны света, n - показатель преломления. На расстоянии от талии, равной диапазоне Рэлея Z _r , ширина w луча √ 2 больше, чем находится в фокусе, где w = w ₀ , пучка талия. Это также подразумевает, что интенсивность оси ( r = 0 ) существует половина интенсивности пика (при z = 0 ). Эта точка вдоль луча также оказывается там, где кривизна волнового фронта ( 1/ r ) является наибольшей.

Расстояние между двумя точками z = ± z _r называется конфокальным параметром или глубиной фокуса луча.

Пучок дивергенции

Дополнительная информация: дивергенция луча

Хотя хвосты гауссовой функции никогда не достигают нуля, для целей следующего обсуждения «край» луча считается радиусом, где r = w ( z ) . Вот где интенсивность упала до 1/ E ² его значения на осе. Теперь для z ≫ z _r параметр w ( z ) линейно увеличивается с z . Это означает, что далеко от талии, луча «край» (в вышеупомянутом смысле) является конусообразной. Угол между этим конусом (чей r = w ( z ) ) и осью луча ( r = 0 ) определяет дивергенцию луча: $$\theta =\lim _{z\to \infty }\arctan \left({\frac {w(z)}{z}}\right).$$

В параксиальном случае, как мы рассматривали, θ (в радианах) тогда приблизительно $$\theta ={\frac {\lambda }{\pi nw_{0}}}$$

где n -показатель преломления среды, пропагандируется луча, а λ -длина волны свободного пространства. Общее угловое распространение расходящегося луча или угла вершины вышеупомянутого конуса затем определяется $$\Theta =2\theta \,.$$

Затем этот конус содержит 86% от общей мощности гауссового луча.

Поскольку дивергенция обратно пропорциональна размеру пятна, для данной длины волны λ гауссовый луч, который сосредоточен на небольшом точке быстро расходится, когда он распространяется от фокуса. И наоборот, чтобы минимизировать дивергенцию лазерного луча в дальнем поле (и увеличить его пиковую интенсивность на больших расстояниях), он должен иметь большой поперечный сечение ( W ₀ ) на талии (и, следовательно, большой диаметр, где он запускается, Поскольку w ( z ) никогда не меньше, чем W ₀ ). Эта связь между шириной луча и дивергенцией является фундаментальной характеристикой дифракции и преобразования Фурье , который описывает дифракцию Фраунхофера . Луч с любым указанным профилем амплитуды также подчиняется этой обратной взаимосвязи, но фундаментальный гауссовый режим является особым случаем, когда продукт размера луча в фокусе и дивергенции дальнего поля меньше, чем для любого другого случая.

Поскольку модель гауссовского луча использует параксиальное приближение, она не работает, когда волновые фронты наклоняются более чем примерно в 30 ° от оси луча. Из приведенного выше выражения для дивергенции это означает, что модель гауссовой луча является точной только для балок с талиями, превышающими около 2 λ / π .

Качество лазерного луча количественно определяется продуктом параметров луча (BPP). Для гауссового луча BPP является продуктом дивергенции и размера талии пучка w ₀ . BPP реального пучка получается путем измерения минимального диаметра луча и дивергенции дальнего поля и принятия их продукта. Соотношение BPP реального луча к отношению к идеальному гауссовскому лучу на той же длине волны известно как m ² (« M квадрат »). Их ​ ² Для гауссового луча один. Все настоящие лазерные лучи имеют m ² Значения больше одного, хотя очень высокие качественные балки могут иметь значения, очень близкие к одному.

Численная апертура гауссового луча определяется как Na = N sin θ , где n - показатель преломления среды, через которую распространяется луч. Это означает, что диапазон Rayleigh связан с числовой апертурой $$z_{\mathrm {R} }={\frac {nw_{0}}{\mathrm {NA} }}.$$

Гуи фаза

Фаза Гуи представляет собой фазовый сдвиг, постепенно полученный пучком вокруг фокальной области. В положении Z фаза Гуи фундаментального гауссового луча определяется $$\psi (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right).$$

Гуи фаза.

Фаза Гуи приводит к увеличению кажущейся длины волны вблизи талии ( z ≈ 0 ). Таким образом, фазовая скорость в этой области формально превышает скорость света. Это парадоксальное поведение должно пониматься как явление на почти поле , когда уход от фазовой скорости света (как бы применил именно к плоской волне) очень мал, за исключением случаев луча с большой численной апертурой , в этом случае случай Кривизна волн (см. Предыдущий раздел) существенно изменяется на расстоянии одной длины волны. Во всех случаях уравнение волны удовлетворяется в каждой позиции.

Знак фазы Гуи зависит от соглашения о знаке, выбранной для фазора электрического поля. С E. ^IoT Зависимость, фаза Гуи изменяется с π / 2 до + π /2 , в то время как с E ^{- IoT} Зависимость он изменяется от + π /2 на - π /2 вдоль оси.

Для фундаментального гауссового луча фаза Гуи приводит к чистому фазовому несоответствию в отношении скорости света, на сумму π -радиан (таким образом, обращение фазы), когда он перемещается из дальнего поля на одной стороне талии на дальнее поле на другая сторона. Это изменение фазы не наблюдается в большинстве экспериментов. Это, однако, имеет теоретическое значение и приобретает больший диапазон для гауссовых режимов высшего порядка .

Мощность и интенсивность

Власть через диафрагму

С пучком, сосредоточенным на апертуре , мощность P проходит через круг радиуса R в поперечной плоскости в z положении $$P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right],$$ где $$P_{0}={\frac {1}{2}}\pi I_{0}w_{0}^{2}$$ это общая мощность, передаваемая пучком.

Для круга радиуса r = w ( z ) доля мощности, передаваемой через круг $${\frac {P(z)}{P_{0}}}=1-e^{-2}\approx 0.865.$$

Точно так же около 90% мощности луча протекают через круг радиуса r = 1,07 × w ( z ) , 95% через круг радиуса r = 1,224 × w ( z ) и 99% через круг радиуса r = 1,52 × w ( z ) .

Пиковая интенсивность

Пиковая интенсивность на осевом расстоянии z от пучка талии может быть рассчитана как предел закрытой мощности в кругу радиуса r , разделенного на область круга πr ² По мере сжимания круга: $$I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}.$$

Предел может быть оценен с помощью правила L'Hôpital : $$I(0,z)={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.$$

Сложный параметр луча

Основная статья: Параметр сложного луча

Размер пятна и кривизна гауссового луча в зависимости от z вдоль луча также могут быть кодированы в параметре сложного луча q ( z ) дано: $$q(z)=z+iz_{\mathrm {R} }.$$

Взаимная Q ( z ) содержит кривизну волнового фронта и относительную интенсивность оси в его реальных и воображаемых частях соответственно:

$${1 \over q(z)}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over n\pi w^{2}(z)}.$$

Параметр сложного луча упрощает математический анализ распространения гауссовского луча, и особенно в анализе оптических резонаторных полостей с использованием матриц переноса лучей .

Затем, используя эту форму, более раннее уравнение для электрического (или магнитного) поля значительно упрощено. Если мы назваем вас относительной силой поля эллиптического гауссового пучка (с эллиптическими осями в направлениях x и y ), он может быть разделен на x и y в соответствии с: $$u(x,y,z)=u_{x}(x,z)\,u_{y}(y,z),$$

где $${\begin{aligned}u_{x}(x,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right),\\u_{y}(y,z)&={\frac {1}{\sqrt {{q}_{y}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {y^{2}}{2{q}_{y}(z)}}\right),\end{aligned}}$$

где q _x ( z ) и q _y ( z ) являются параметрами сложного луча в направлениях x и y .

Для общего случая профиля круглого луча z q _x ( ) = q _y ( z ) = q ( z ) и x ² + и ² = r ² , который дает $$u(r,z)={\frac {1}{q(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2q(z)}}\right).$$

Оптика луча

Диаграмма гауссовой луча, проходящей через объектив.

Когда гауссовый луч распространяется через тонкую линзу , исходящий луч также является (различным) гауссовым лучом, при условии, что луч проходит вдоль цилиндрической оси симметрии линзы и что линза больше ширины луча. Фокусное расстояние объектива $f$, лучевой радиус талии $w_{0}$, и положение на талии $z_{0}$ входящего луча можно использовать для определения радиуса балки талии $w_{0}'$ и позиция $z_{0}'$ исходящего луча.

Уравнение объектива

Получившись Салеха и Тейха, взаимосвязь между институтами и исходящими лучами можно найти с учетом фазы , которая добавляется в каждую точку $(x,y)$ Гауссовского луча, когда он путешествует через объектив. Альтернативный подход из -за себя состоит в том, чтобы рассмотреть влияние тонкой линзы на гауссовые лучевые волны .

Точное решение вышеупомянутой проблемы выражается просто с точки зрения увеличения $M$

${\begin{aligned}w_{0}'&=Mw_{0}\\[1.2ex](z_{0}'-f)&=M^{2}(z_{0}-f).\end{aligned}}$

Увеличение, которое зависит от $w_{0}$ и $z_{0}$дается

$M={\frac {M_{r}}{\sqrt {1+r^{2}}}}$

где

$r={\frac {z_{R}}{z_{0}-f}},\quad M_{r}=\left|{\frac {f}{z_{0}-f}}\right|.$

Эквивалентное выражение для положения луча $z_{0}'$ является

${\frac {1}{z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{(z_{0}-f)}}}}+{\frac {1}{z_{0}'}}={\frac {1}{f}}.$

Ray Optics Это последнее выражение ясно показывает, что уравнение тонкой линзы восстанавливается в пределе, который $\left|\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}}}\right)\left({\tfrac {z_{R}}{z_{0}-f}}\right)\right|\ll 1$Полем Также можно отметить, что если $\left|z_{0}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}\right|\gg f$ тогда входящий луч "хорошо коллимируется", чтобы $z_{0}'\approx f$.

Луч фокусируется

В некоторых приложениях желательно использовать сходящуюся линзу, чтобы сфокусировать лазерный луч в очень маленьком месте. Математически это подразумевает минимизация увеличения $M$Полем Если размер луча ограничен размером доступной оптики, это, как правило, лучше всего достигается путем отправки максимально возможного коллимированного пучка через небольшую фокусную линзу, то есть максимизируя $z_{R}$ и минимизировать $f$Полем В этой ситуации оправдано сделать приближение $z_{R}^{2}/(z_{0}-f)^{2}\gg 1$, подразумевая это $M\approx f/z_{R}$ и дает результат $w_{0}'\approx fw_{0}/z_{R}$Полем Этот результат часто представлен в форме

${\begin{aligned}2w_{0}'&\approx {\frac {4}{\pi }}\lambda F_{\#}\\[1.2ex]z_{0}'&\approx f\end{aligned}}$

где

$F_{\#}={\frac {f}{2w_{0}}},$

который обнаружен после того, как предполагает, что среда имеет индекс преломления $n\approx 1$ и замена $z_{R}=\pi w_{0}^{2}/\lambda$Полем Факторы 2 введены из -за общего предпочтения представлять размер луча по диаметрам балки. $2w_{0}'$ и $2w_{0}$, а не радиусы талии $w_{0}'$ и $w_{0}$.

Волновое уравнение

В качестве особого случая электромагнитного излучения гауссовые лучи (и гауссовые моды высшего порядка, подробно описанные ниже) являются решениями волнового уравнения для электромагнитного поля в свободном пространстве или в однородной диэлектрической среде, Полученная путем объединения уравнений Максвелла для сгиба E и сгиба H , что привело к: $$\nabla ^{2}U={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}},$$ где C - это скорость света в среде , и вы могли бы либо ссылаться на вектор электрического или магнитного поля, как любое конкретное решение для любого определения другого. Решение гауссового луча действителен только в параксиальном приближении, то есть где распространение волны ограничено направлениями под небольшим углом оси. Без потери общности позвольте нам принять это направление, чтобы быть направлением + Z, и в этом случае решение, U как правило, можно записать в терминах , который не имеет зависимости от времени и относительно плавно изменяется в пространстве, с основным изменением, пространственно соответствующим волновому числу k в направлении Z : $$U(x,y,z,t)=u(x,y,z)e^{-i(kz-\omega t)}\,{\hat {\mathbf {x} }}\,.$$

Используя эту форму вместе с параксиальным приближением, ∂ ² u /∂ z ² затем можно практически пренебрегать. Поскольку решения уравнения электромагнитной волны сохраняются только для поляризаций, которые являются ортогональными направлению распространения ( z ), мы без потери общности считали поляризацию в направлении x , чтобы мы теперь решаем скалярное уравнение для U ( x , y , z ) .

Заменив это решение в уравнение волны выше, дает параксиальное приближение к уравнению скалярной волны: $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}.$$ Написание волновых уравнений в координатах светового конуса возвращает это уравнение без использования какого-либо приближения. Гауссовые лучи любой пучки талии W ₀ удовлетворяют параксиальному приближению к уравнению скалярной волны; Это наиболее легко подтверждается путем экспрессии волны при z в терминах параметра сложного луча q ( z ), как определено выше. Есть много других решений. В качестве решения для линейной системы также является любая комбинация решений (с использованием добавления или умножения константой) также является решением. Фундаментальный гауссовый, как правило, минимизирует продукт минимального размера пятна и отдаленного поля, как отмечалось выше. В поисках параксиальных решений, и, в частности, которые описывают лазерное излучение, которое не находится в фундаментальном гауссовом режиме, мы будем искать семейства решений с постепенно увеличивающимися продуктами их дивергенций и минимальных размеров пятен. Двумя важными ортогональными декомпозициями такого рода являются гермитовые-госсовые или лагуерре-гауссовые моды, соответствующие прямоугольной и круглой симметрии соответственно, как подробно описано в следующем разделе. С обоими из них, основным гауссовым лучом, который мы рассматривали, является режимом самого низкого порядка.

Режимы высшего порядка

См. Также: Поперечный режим

Эрмит-гауссовые режимы

Двенадцать Hermite-Gaussian режимов

Можно разложить когерентный параксиальный луч, используя ортогональный набор так называемых -гауссовых режимов , любой из которых дается продуктом фактора в X и фактором в Y. эримито Такое решение возможно из -за разделяемости в x и y в уравнении параксиального Гельмгольца, как написано в картезианских координатах . Таким образом, учитывая режим порядка ( l , m ), относящийся к направлениям x и y , амплитуда электрического поля при x , y , z может быть дано как: $$E(x,y,z)=u_{l}(x,z)\,u_{m}(y,z)\,\exp(-ikz),$$ где факторы зависимости x и y определяются как: $$u_{J}(x,z)=\left({\frac {\sqrt {2/\pi }}{2^{J}\,J!\;w_{0}}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{\!\!1/2}\!\!\left(-{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right)^{\!\!J/2}\!\!H_{J}\!\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\,\exp \left(\!-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right),$$ где мы использовали параметр сложного луча Q ( z ) (как определено выше) для пучка талии w ₀ при z из фокуса. В этой форме первым фактором является просто нормализующая постоянная, чтобы сделать набор u _J Orthonormal . Вторым фактором является дополнительная нормализация, зависящая от z , которая компенсирует расширение пространственной степени моды в соответствии с W ( z )/ W ₀ (из -за двух последних факторов). Он также содержит часть фазы Гуи. Третий фактор - это чистая фаза, которая усиливает сдвиг фазы Гуи для более высоких порядков j .

Последние два фактора объясняют пространственное изменение по сравнению с x (или y ). Четвертым фактором является полином Орден j («Форма физиков», то есть h ₁ ( x ) = 2 x ), в то время как пятый объясняет экспресс-эксп-амплитуду гауссовой амплитуды ( -x ² / W ( z ) ² ) , хотя это не очевидно, используя комплекс Q в показателях. Расширение этой экспоненциальной также дает фазовый коэффициент в x , который учитывает кривизну волнового фронта ( 1/ r ( z ) ) в z вдоль луча.

Hermite-Gaussian режимы обычно обозначаются «Tem _LM »; Таким образом, фундаментальный гауссовый луч можно назвать TEM ₀₀ (где ПЭМ является поперечной электромагнитной ). Умножение u _l ( x , z ) и u _m ( y , z ) , чтобы получить профиль двухмерного режима, и удаление нормализации, так что ведущий фактор просто называется E ₀ , мы можем написать ( l , m ) режим В более доступной форме:

$${\begin{aligned}E_{l,m}(x,y,z)={}&E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\,H_{l}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{w(z)}}{\Bigg )}\,H_{m}\!{\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,y}{w(z)}}{\Bigg )}\times {}\\&\exp \left({-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}(z)}}}\right)\exp \left({-i{\frac {k(x^{2}+y^{2})}{2R(z)}}}\right)\times {}\\&\exp {\big (}i\psi (z){\big )}\exp(-ikz).\end{aligned}}$$

В этой форме параметр w ₀ , как и прежде, определяет семейство режимов, в частности, масштабируя пространственную степень талии фундаментального режима и все другие модели режимов при z = 0 . Учитывая, что w ₀ , w ( z ) и r ( z ) имеют те же определения, что и для фундаментального гауссового луча, описанного выше . Можно видеть, что с L = M = 0 мы получаем фундаментальный гауссовый луч, описанный ранее (поскольку H ₀ = 1 ). Единственное конкретное различие в профилях x и y при любом z связано с полиномиальными факторами Hermite для номеров L и M. порядка Тем не менее, существует изменение эволюции фазы мод над z : $$\psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),$$

где комбинированный порядок режима n определяется как n = l + m . В то время как фазовый сдвиг Гуи для фундаментального (0,0) гауссовой моды изменяется только на ± π /2 радиан на все z (и только на ± π /4 радиан между ± z _r ), это увеличивается по фактору n + 1 для режимов более высокого порядка.

Хермит Гауссовые моды, с их прямоугольной симметрией, особенно подходят для модального анализа излучения из лазеров, чей дизайн полости асимметричен прямоугольным образом. С другой стороны, лазеры и системы с круглой симметрией могут лучше обрабатываться с помощью набора режимов Laguerre-Gaussian, представленных в следующем разделе.

Laguerre-Gaussian мод

Профили интенсивности первых 12 лагерре-гауссовых мод.

Профили луча, которые являются круглыми симметричными (или лазерами с полостями, которые являются цилиндрически симметричными), часто лучше всего решаются с использованием модального разложения Laguerre-Gaussian. Эти функции написаны в цилиндрических координатах с использованием обобщенных полиномов Laguerre . Каждый поперечный режим снова помечен с использованием двух целых чисел, в данном случае радиальный индекс P ≥ 0 и азимутальный индекс L, которые могут быть положительными или отрицательными (или нулевым):

Laguerre-Gaussian Beam с L = 1 и P = 0

$${\begin{aligned}u(r,\phi ,z)={}&C_{lp}^{LG}{\frac {1}{w(z)}}\left({\frac {r{\sqrt {2}}}{w(z)}}\right)^{\!|l|}\exp \!\left(\!-{\frac {r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)L_{p}^{|l|}\!\left({\frac {2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\times {}\\&\exp \!\left(\!-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}\right)\exp(-il\phi )\,\exp(i\psi (z)),\end{aligned}}$$

где l _р ^л являются обобщенными полиномами Laguerre . В ^LG
_LP - требуемая постоянная нормализации: $$C_{lp}^{LG}={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (p+|l|)!}}}\Rightarrow \int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\infty }dr\;r\,|u(r,\phi ,z)|^{2}=1,$$.

w ( z ) и r ( z ) имеют те же определения, что и выше . Как и в случае гермитовых-гауссовых мод более высокого порядка, величина фазы сдвига Laguerre-Gaussian 'Gouy преувеличено фактором n + 1 : $$\psi (z)=(N+1)\,\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right),$$ где в этом случае номер комбинированного режима n = | L | + 2 р . Как и прежде, изменения поперечной амплитуды содержатся в двух последних факторах на верхней линии уравнения, что снова включает в себя базовое падение гауссов в R, но теперь умноженное на полиноме Laguerre. Эффект режима вращения числа L , в дополнение к влиянию полинома Laguerre, в основном содержится в фазовом коэффициенте Exp ( - ILφ ) , в котором профиль луча продвигается (или замедляется) с помощью L Полные 2 π -фазы в одном вращении вокруг луча (в φ ). Это пример оптического вихря топологического заряда L и может быть связан с орбитальным угловым импульсом света в этом режиме.

Ince-Gaussian режимы

Профиль поперечной амплитуды самого низкого порядка даже инсей-гауссовых мод.

В эллиптических координатах можно написать режимы высшего порядка, используя полиномы Ince . Ровные и странные инсе-гауссовые режимы даны

$$u_{\varepsilon }\left(\xi ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\zeta \left(z\right)\right],$$ где ξ и η являются радиальными и угловыми эллиптическими координатами, определенными $${\begin{aligned}x&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\cosh \xi \cos \eta ,\\y&={\sqrt {\varepsilon /2}}\;w(z)\sinh \xi \sin \eta .\end{aligned}}$$ В ^м
_P ( η , ε ) являются ровными полиномами ince порядка P и степень M , где ε является параметром эллиптичности. Эрмит-гауссовые и лагуерре-гауссовые моды являются особым случаем инсе-гауссовых мод для ε = ∞ и ε = 0 соответственно.

Гипергеометрические моды

Существует еще один важный класс мод параксиальных волн в цилиндрических координатах , в которых сложная амплитуда пропорциональна конфликтной гипергеометрической функции .

Эти моды имеют единственный фазовый профиль и являются собственными функциями фотонного орбитального углового импульса . Их профили интенсивности характеризуются одним блестящим кольцом; Как и Laguerre -Gagussian режимы, их интенсивности падают до нуля в центре (по оптической оси), за исключением фундаментального (0,0) режима. Сложная амплитуда режима может быть записана в терминах нормализованной (безразмерной) радиальной координаты ρ = r / w ₀ и нормализованной продольной координаты ζ = z / z _R следующим образом:

$${\begin{aligned}u_{{\mathsf {p}}m}(\rho ,\phi ,\mathrm {Z} ){}={}&{\sqrt {\frac {2^{{\mathsf {p}}+|m|+1}}{\pi \Gamma ({\mathsf {p}}+|m|+1)}}}\;{\frac {\Gamma \left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}{\Gamma (|m|+1)}}\,i^{|m|+1}\times {}\\&\mathrm {Z} ^{\frac {\mathsf {p}}{2}}\,(\mathrm {Z} +i)^{-\left({\frac {\mathsf {p}}{2}}+|m|+1\right)}\,\rho ^{|m|}\times {}\\&\exp \left(-{\frac {i\rho ^{2}}{\mathrm {Z} +i}}\right)\,e^{im\phi }\,{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {\mathsf {p}}{2}},|m|+1;{\frac {\rho ^{2}}{\mathrm {Z} (\mathrm {Z} +i)}}\right)\end{aligned}}$$

где индекс вращения m является целым числом, и ${\mathsf {p}}\geq -|m|$ является реальным, γ ( x ) -это гамма-функция, а ₁ F ₁ ( A , B ; X ) -это смешная гипергеометрическая функция.

Некоторые подсемейства гипергеометрических гауссовых (Hygg) мод могут быть указаны в виде модифицированных мод Бессель-Гауссов, модифицированные экспоненциальные гауссовые режимы, и модифицированные режимы Laguerre -Gaussian.

Набор гипергеометрических-гауссовских мод является чрезмерным и не является ортогональным набором мод. Несмотря на его сложный профиль поля, моды Hygg имеют очень простой профиль на талии пучка ( z = 0 ): $$u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{{\mathsf {p}}+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }.$$

Смотрите также

• Бессель Бим
• Tophat Beam
• Лазерный лучевой профилировщик
• Квазиоптика

Ссылки

• Банки, Мигель А.; Гутьеррес-Вега, Хулио С. (2004). "Инсе Гауссоанские лучи " Опт. Летал 29 (2). OSA: 144–1 Bibcode : 2004optl ... 29..1444b Doi : 10.1364/ol.29.000144 . PMID   14743992
• Гарг, Анупам (2012). Классический электромагнетизм в двух словах . Принстон, Нью -Джерси: издательство Принстонского университета. ISBN  978-0691130187 .
• Губау, Г.; Шверинг, Ф. (1961). «О управляемом распространении электромагнитных волновых пучков». IRE Trans . 9 (3): 248–256. Bibcode : 1961tap .... 9..248g . doi : 10.1109/tap.1961.1144999 . MR   0134166 .
• наши обещания, E.; Zito, G.; Piccirillo, B.; Marrucci, L.; Сантамато, Э. (2007). "Гипергеометрические гауссовые лучи " Опт. Летал 32 (21). OSA: 3053–3 Arxiv : 0712.0 Bibcode : 2007optl ... 32.3053K Doi : 10.1364/ ol.32.0 PMID   17975 S2CID   46526713
• Мандель, Леонард; Вольф, Эмиль (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика . Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41711-2 Полем Глава 5, «Оптические лучи», с. 267.
• Pampaloni, F.; Enderlein, J. (2004). «Гауссовые, Эрмит-Гауссовые и Лагуерре-Гауссовые лучи: грунтовка». ARXIV : физика/0410021 .
• Sakpal, S.; Милион, Г.; Li, M.; Nouri, M.; Shahoei, H.; Lafave, T.; Ashrafi, S.; Macfarlane, D. (2018). «Стабильность инсе-гауссовых балок в эллиптических ядрах несколько режим волокон» . Опт. Летал ​ 43 (11): 2656–2659. BIBCODE : 2018OPTL ... 43.2656S . doi : 10.1364/ol.43.002656 . PMID   29856389 . S2CID   46921059 .
• Салех, Бахаа Эа; Тейх, Мэлвин Карл (1991). Фульжи фотоники Нью -Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-83965-5 Полем Глава 3, «Оптика луча», стр. 80–107.
• Зигман, Энтони Э. (1986). Лазеры . Университетские научные книги. ISBN  0-935702-11-3 Полем Глава 16.
• Быстрый, Орацио (2010). Принципы лазеров (5 -е изд.).
• Ярив, Амнон (1989). Квантовая электроника (3 -е изд.). Уайли. ISBN  0-471-60997-8 .

Внешние ссылки

• Учебное пособие по оптике гауссовского луча, Ньюпорт