Двумерная конформная теория поля

Двумерная конформная теория поля — это квантовая теория поля в евклидовом двумерном пространстве , инвариантная относительно локальных конформных преобразований .

В отличие от других типов конформных теорий поля , двумерные конформные теории поля имеют бесконечномерные алгебры симметрии. В ряде случаев это позволяет решить их точно, используя метод конформного бутстрапа .

Известные двумерные конформные теории поля включают минимальные модели , теорию Лиувилля , безмассовые свободные бозонные теории , модели Весса-Зумино-Виттена и некоторые сигма-модели .

Основные структуры

Геометрия

Двумерные конформные теории поля (КТП) определяются на римановых поверхностях , где локальные конформные отображения являются голоморфными функциями . Хотя КТМ предположительно может существовать только на данной римановой поверхности, ее существование на любой поверхности, кроме сферы, подразумевает ее существование на всех поверхностях. Учитывая КТМ, действительно возможно склеить две римановы поверхности там, где она существует, и получить КТМ на склеенной поверхности. С другой стороны, некоторые ЦФТ существуют только на сфере. Если не указано иное, в данной статье мы рассматриваем ЦФТ в сфере.

Симметрии и интегрируемость

Учитывая локальную комплексную координату $z$, действительное векторное пространство бесконечно малых конформных отображений имеет основу $(\ell _{n}+{\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup (i(\ell _{n}-{\bar {\ell }}_{n}))_{n\in \mathbb {Z} }$, с $\ell _{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}$. (Например, $\ell _{-1}+{\bar {\ell }}_{-1}$ и $i(\ell _{-1}-{\bar {\ell }}_{-1})$ генерировать переводы.) Ослабление предположения, что ${\bar {z}}$ представляет собой сопряжение комплексное $z$, т. е. комплексируя пространство бесконечно малых конформных отображений, получают комплексное векторное пространство с базисом $(\ell _{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup ({\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$.

С их естественными коммутаторами , дифференциальные операторы $\ell _{n}$ создать алгебру Витта . Согласно стандартным квантово-механическим аргументам, алгебра симметрии конформной теории поля должна быть центральным расширением алгебры Витта, т. е. алгебры Вирасоро , генераторами которой являются $(L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }$, плюс центральный генератор. В данной CFT центральный генератор принимает постоянное значение $c$, называемый центральным зарядом .

Таким образом, алгебра симметрии является продуктом двух копий алгебры Вирасоро: левоскользящей или голоморфной алгебры с генераторами. $L_{n}$и правая или антиголоморфная алгебра с генераторами ${\bar {L}}_{n}$.

В универсальной обертывающей алгебре алгебры Вирасоро можно построить бесконечное множество взаимно коммутирующих зарядов. Первый заряд $L_{0}-{\frac {c}{24}}$, второй заряд в генераторах Вирасоро квадратичный, третий заряд кубический и т.д. Это показывает, что любая двумерная конформная теория поля также является квантовой интегрируемой системой .

Пространство государств

Пространство состояний , также называемое спектром CFT, является представлением произведения двух алгебр Вирасоро.

Для состояния, которое является собственным вектором $L_{0}$ и ${\bar {L}}_{0}$ с собственными значениями $\Delta$ и ${\bar {\Delta }}$,

• $\Delta$ — левая конформная размерность ,
• ${\bar {\Delta }}$ — правое конформное измерение ,
• $\Delta +{\bar {\Delta }}$ - полная конформная размерность или энергия,
• $\Delta -{\bar {\Delta }}$ – конформный спин .

КТП называется рациональной , если ее пространство состояний разлагается на конечное число неприводимых представлений произведения двух алгебр Вирасоро. В рациональной КТМ, определенной на всех римановых поверхностях, центральный заряд и конформные размеры являются рациональными числами.

КТП называется диагональной , если ее пространство состояний представляет собой прямую сумму представлений типа $R\otimes {\bar {R}}$, где $R$ является неразложимым представлением левой алгебры Вирасоро и ${\bar {R}}$ является тем же представлением правой алгебры Вирасоро.

КПТ называется унитарным , если пространство состояний имеет положительно определенную эрмитову форму такую, что $L_{0}$ и ${\bar {L}}_{0}$ являются самосопряженными, $L_{0}^{\dagger }=L_{0}$ и ${\bar {L}}_{0}^{\dagger }={\bar {L}}_{0}$. Это подразумевает, в частности, что $L_{n}^{\dagger }=L_{-n}$, и что центральный заряд реален. Тогда пространство состояний является гильбертовым пространством . Хотя унитарность необходима для того, чтобы КТМ была правильной квантовой системой с вероятностной интерпретацией, многие интересные КТМ, тем не менее, не унитарны, включая минимальные модели и теорию Лиувилля для большинства допустимых значений центрального заряда.

Поля и корреляционные функции

Соответствие поля состояния представляет собой линейную карту $v\mapsto V_{v}(z)$ из пространства состояний в пространство полей, коммутирующее с действием алгебры симметрии.

В частности, образ первичного состояния представления наименьшего веса алгебры Вирасоро является примарным полем $V_{\Delta }(z)$, такой, что

$L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .$

Поля-потомки получаются из первичных полей, действуя с режимами создания. $L_{n<0}$. Вырожденные поля соответствуют первичным состояниям вырожденных представлений. Например, вырожденное поле $V_{1,1}(z)$ подчиняется $L_{-1}V_{1,1}(z)=0$, из-за наличия нулевого вектора в соответствующем вырожденном представлении.

Ан $N$-точечная корреляционная функция – это число, линейно зависящее от $N$ поля, обозначаемые как $\left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle$ с $i\neq j\Rightarrow z_{i}\neq z_{j}$. В формулировке конформной теории поля в виде интеграла по путям корреляционные функции определяются как функциональные интегралы. В подходе конформного бутстрепа корреляционные функции определяются аксиомами. В частности, предполагается, что существует операторское расширение продукта (ОПЕ),

$V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,$

где $\{v_{i}\}$ является основой пространства состояний, а числа $C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})$ называются коэффициентами ОПЭ. При этом корреляционные функции предполагаются инвариантными относительно перестановок полей, другими словами, ОПЭ предполагается ассоциативным и коммутативным. (коммутативность ОПЭ $V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})$ не означает, что коэффициенты OPE инвариантны относительно $1\leftrightarrow 2$, поскольку расширение полей $V_{v_{i}}(z_{2})$ нарушает эту симметрию.)

Коммутативность OPE подразумевает, что первичные поля имеют целые конформные спины. $S\in \mathbb {Z}$. Первичное поле с нулевым конформным спином называется диагональным полем . Существуют также фермионные КТМ , которые включают фермионные поля с полуцелыми конформными спинами. $S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z}$, который антикоммутирует. Существуют также парафермионные КТМ , включающие поля с более общими рациональными спинами. $S\in \mathbb {Q}$. Парафермионы не только не коммутируют, но и их корреляционные функции многозначны.

Статистическая сумма тора — это особая корреляционная функция, которая зависит исключительно от спектра ${\mathcal {S}}$, а не на коэффициентах ОПЭ. Для комплексного тора ${\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}$ с модулем $\tau$, функция распределения равна

$Z(\tau )=\operatorname {Tr} _{\mathcal {S}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-{\frac {c}{24}}}$

где $q=e^{2\pi i\tau }$. Статистическая сумма тора совпадает с характером спектра, рассматриваемого как представление алгебры симметрий.

Киральная конформная теория поля

В двумерной конформной теории поля свойства называются киральными , если они следуют из действия одной из двух алгебр Вирасоро. Если пространство состояний можно разложить на факторизованные представления произведения двух алгебр Вирасоро, то все следствия конформной симметрии являются киральными. Другими словами, действия двух алгебр Вирасоро можно изучать отдельно.

Тензор энергии-импульса

Зависимость поля $V(z)$ предполагается, что его положение определяется

${\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).$

Отсюда следует, что ОПЕ

$T(y)V(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(y-z)^{n+2}}},$

определяет локально голоморфное поле $T(y)$ это не зависит от $z.$ (компонентом) Это поле отождествляется с тензором энергии-импульса . В частности, ОПЭ тензора энергии-импульса с первичным полем имеет вид

$T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(y-z)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{y-z}}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).$

ОПЭ тензора энергии-импульса с самим собой равна

$T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+O(1),$

где $c$ является центральным зарядом. (Этот ОПЭ эквивалентен коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро.)

Конформные идентичности Уорда

Конформные тождества Уорда представляют собой линейные уравнения, которым подчиняются корреляционные функции вследствие конформной симметрии. Их можно получить, изучая корреляционные функции, включающие вставки тензора энергии-импульса. Их решения — конформные блоки .

Например, рассмотрим конформные тождества Уорда на сфере. Позволять $z$ быть глобальной комплексной координатой на сфере, рассматриваемой как $\mathbb {C} \cup \{\infty \}.$ Голоморфность тензора энергии-импульса при $z=\infty$ эквивалентно

$T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).$

Более того, вставив $T(z)$ в $N$-точечная функция первичных полей дает

$\left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle .$

Из последних двух уравнений можно вывести локальные тождества Уорда , которые выражают $N$-точечные функции полей-потомков в терминах $N$-точечные функции первичных полей. Более того, можно вывести три дифференциальных уравнения для любого $N$-точечная функция первичных полей, называемая глобальными конформными тождествами Уорда :

$\sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_{i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0,\qquad (k\in \{0,1,2\}).$

Эти тождества определяют, как двух- и трехточечные функции зависят от $z,$

$\left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{cases}}$

$\left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},$

где неопределенные коэффициенты пропорциональности являются функциями ${\bar {z}}.$

Уравнения БПЗ

Корреляционная функция, включающая вырожденное поле, удовлетворяет линейному уравнению в частных производных, называемому уравнением Белавина–Полякова–Замолодчикова в честь Александра Белавина , Александра Полякова и Александра Замолодчикова . Порядок этого уравнения — это уровень нулевого вектора в соответствующем вырожденном представлении.

Тривиальным примером является уравнение БПЗ первого порядка.

${\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\left\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle =0.$

что следует из

${\frac {\partial }{\partial z_{1}}}V_{1,1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.$

Первый нетривиальный пример касается вырожденного поля $V_{2,1}$ с исчезающим нулевым вектором на втором уровне,

$\left(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2}\right)V_{2,1}=0,$

где $b$ связано с центральным зарядом соотношением

$c=1+6\left(b+b^{-1}\right)^{2}.$

Затем $N$-точечная функция $V_{2,1}$ и $N-1$ другие первичные поля подчиняются:

$\left({\frac {1}{b^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{1}^{2}}}+\sum _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_{2,1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0.$

Уравнение порядка БПЗ $rs$ для корреляционной функции, включающей вырожденное поле $V_{r,s}$ можно вывести из исчезновения нулевого вектора и локальных тождеств Уорда . Благодаря глобальным тождествам Уорда четырехточечные функции можно записать через одну переменную вместо четырех, а уравнения БПЗ для четырехточечных функций можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Правила слияния

В OPE, который включает в себя вырожденное поле, исчезновение нулевого вектора (плюс конформная симметрия) ограничивает то, какие первичные поля могут появиться. Полученные ограничения называются правилами слияния . Использование импульса $\alpha$ такой, что

$\Delta =\alpha \left(b+b^{-1}-\alpha \right)$

вместо конформной размерности $\Delta$ для параметризации первичных полей правила объединения:

$V_{r,s}\times V_{\alpha }=\sum _{i=0}^{r-1}\sum _{j=0}^{s-1}V_{\alpha +\left(i-{\frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}$

в частности

${\begin{aligned}V_{1,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha }\\[6pt]V_{2,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{aligned}}$

Альтернативно, правила слияния имеют алгебраическое определение в терминах ассоциативного произведения слияния представлений алгебры Вирасоро с заданным центральным зарядом. Продукт слияния отличается от тензорного произведения представлений. (В тензорном произведении центральные заряды складываются.) В некоторых конечных случаях это приводит к структуре категории слияния .

Конформная теория поля квазирациональна , если произведение слияния двух неразложимых представлений представляет собой сумму конечного числа неразложимых представлений. Например, обобщенные минимальные модели квазирациональны, но не рациональны.

Конформный бутстрап

Метод конформного бутстрапа заключается в определении и решении CFT, используя только предположения симметрии и непротиворечивости, путем сведения всех корреляционных функций к комбинациям структурных констант и конформных блоков. В двух измерениях этот метод приводит к точным решениям некоторых CFT и к классификации рациональных теорий.

Структурные константы

Позволять $V_{i}$ быть лево- и право-первичным полем с лево- и право-конформными размерностями $\Delta _{i}$ и ${\bar {\Delta }}_{i}$. Согласно левому и правому глобальным тождествам Уорда трехточечные функции таких полей имеют вид

${\begin{aligned}&\left\langle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})V_{3}(z_{3})\right\rangle =C_{123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{3}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{3}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{3}}\ ,\end{aligned}}$

где $z_{i}$-независимый номер $C_{123}$ называется трехточечной структурной константой . Чтобы трехточечная функция была однозначной, лево- и право-конформные размерности первичных полей должны подчиняться

$\Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \ .$

Этому условию удовлетворяют бозоны ( $\Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z}$) и фермионные ( $\Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}$) поля. Однако оно нарушается парафермионными полями ( $\Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Q}$), чьи корреляционные функции поэтому не являются однозначными на сфере Римана.

Трехточечные структурные константы также появляются в OPE.

$V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12i}(z_{1}-z_{2})^{\Delta _{i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{i}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+\cdots {\Big )}\ .$

Вклады полей-потомков, обозначенные точками, полностью определяются конформной симметрией.

Конформные блоки

Основная статья: конформный блок Вирасоро

Любую корреляционную функцию можно записать как линейную комбинацию конформных блоков : функций, определяемых конформной симметрией и помеченных представлениями алгебры симметрии. Коэффициенты линейной комбинации представляют собой произведения структурных констант.

В двумерной CFT алгебра симметрии факторизуется на две копии алгебры Вирасоро, а конформный блок, включающий в себя первичные поля, имеет голоморфную факторизацию : это произведение локально голоморфного фактора, который определяется движущейся влево алгеброй Вирасоро. алгебра и локально антиголоморфный фактор, определяемый правой подвижной алгеброй Вирасоро. Эти факторы сами по себе называются конформными блоками.

Например, использование OPE первых двух полей в четырехточечной функции первичных полей дает

$\left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{{\bar {\Delta }}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta }}_{i}\},\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,$

где ${\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\})$ представляет собой s-канальный четырехточечный конформный блок . Четырехточечные конформные блоки — это сложные функции, которые можно эффективно вычислить с помощью Алексея Замолодчикова рекурсивных соотношений . Если одно из четырех полей вырождено, то соответствующие конформные блоки подчиняются уравнениям БПЗ. Если, в частности, одно из четырех полей $V_{2,1}$, то соответствующие конформные блоки можно записать через гипергеометрическую функцию .

Как впервые объяснил Виттен, пространство конформных блоков двумерной КТП можно отождествить с квантовым гильбертовым пространством 2+1-мерной теории Черна-Саймонса , которое является примером топологической теории поля . Эта связь оказалась весьма плодотворной в теории дробного квантового эффекта Холла .

Конформные уравнения бутстрапа

Когда корреляционную функцию можно записать в терминах конформных блоков несколькими различными способами, равенство полученных выражений накладывает ограничения на пространство состояний и на константы трехточечной структуры. Эти ограничения называются конформными уравнениями начальной загрузки . В то время как тождества Уорда представляют собой линейные уравнения для корреляционных функций, конформные уравнения бутстрапа нелинейно зависят от трехточечных структурных констант.

Например, четырехточечная функция $\left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle$ можно записать в терминах конформных блоков тремя неэквивалентными способами, что соответствует использованию ОПЭ $V_{1}V_{2}$ ( s-канал ), $V_{1}V_{4}$ ( t-канал ) или $V_{1}V_{3}$ ( U-канал ). Равенство трех полученных выражений называется перекрестной симметрией четырехточечной функции и эквивалентно ассоциативности ОПЭ.

Например, статистическая сумма тора инвариантна относительно действия модулярной группы на модуль тора, что эквивалентно $Z(\tau )=Z(\tau +1)=Z(-{\frac {1}{\tau }})$. Эта инвариантность является ограничением на пространство состояний. Изучение модульных инвариантных статистических сумм тора иногда называют модульным бутстрапом .

Согласованность CFT на сфере эквивалентна перекрестной симметрии четырехточечной функции. Непротиворечивость КТМ на всех римановых поверхностях также требует модульной инвариантности одноточечной функции тора. Таким образом, модульная инвариантность статистической суммы тора не является ни необходимой, ни достаточной для существования CFT. Однако он широко изучался в рациональных CFT, поскольку характеры представлений проще, чем другие виды конформных блоков, такие как сферические четырехточечные конформные блоки.

Примеры

Минимальные модели

Основная статья: Минимальная модель (физика)

Минимальная модель — это КТП, спектр которой построен из конечного числа неприводимых представлений алгебры Вирасоро. Минимальные модели существуют только для определенных значений центрального заряда.

$c_{p,q}=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.$

Существует ADE . классификация минимальных моделей В частности, минимальная модель А-серии с центральным зарядом $c=c_{p,q}$ представляет собой диагональную КТМ, спектр которой построен из ${\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)$ вырожденные с наименьшим весом представления алгебры Вирасоро . Эти вырожденные представления помечены парами целых чисел, которые образуют таблицу Каца :

$(r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r,s)\simeq (p-r,q-s).$

Например, минимальная модель А-серии с $c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}$ описывает спиновые и энергетические корреляторы двумерной критической модели Изинга .

Теория Лиувилля

Основная статья: теория поля Лиувилля

Для любого $c\in \mathbb {C} ,$ Теория Лиувилля представляет собой диагональную КТП, спектр которой построен из модулей Верма с конформными размерностями.

$\Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}$

Теория Лиувилля решена в том смысле, что ее трехточечные структурные константы явно известны. Теория Лиувилля имеет приложения к теории струн и двумерной квантовой гравитации.

Расширенные алгебры симметрии

В некоторых CFT алгеброй симметрии является не просто алгебра Вирасоро, а ассоциативная алгебра (т. е. не обязательно алгебра Ли), содержащая алгебру Вирасоро. Затем спектр разлагается на представления этой алгебры, и понятия диагональных и рациональных CFT определяются относительно этой алгебры.

Безмассовые теории свободного бозона

Основная статья: Безмассовые свободные скалярные бозоны в двух измерениях

В двух измерениях безмассовые теории свободных бозонов конформно инвариантны. Их алгеброй симметрии является аффинная алгебра Ли. ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$ построенная на основе абелевой алгебры Ли первого ранга. Произведение слияния любых двух представлений этой алгебры симметрии дает только одно представление, и это делает корреляционные функции очень простыми.

Рассмотрение минимальных моделей и теории Лиувилля как возмущенных свободных бозонных теорий приводит к методу кулоновского газа для вычисления их корреляционных функций. Более того, для $c=1,$ существует однопараметрическое семейство теорий свободных бозонов с бесконечными дискретными спектрами, которые описывают компактифицированные свободные бозоны , с параметром, являющимся радиусом компактификации.

Модели Весса – Зумино – Виттена

Основная статья: Модель Весса – Зумино – Виттена

Учитывая группу Ли $G,$ соответствующая модель Весса–Зумино–Виттена представляет собой КТП, алгебра симметрии которой представляет собой аффинную алгебру Ли, построенную на основе алгебры Ли $G.$ Если $G$ компактна, то эта КТМ рациональна, ее центральный заряд принимает дискретные значения и ее спектр известен.

Суперконформные теории поля

Алгебра симметрии суперсимметричного CFT — это супералгебра Вирасоро или более крупная алгебра. Суперсимметричные КТМ особенно важны для теории суперструн.

Теории, основанные на W-алгебрах

W-алгебры являются естественными расширениями алгебры Вирасоро. КФТ, основанные на W-алгебрах, включают обобщения минимальных моделей и теории Лиувилля, называемые соответственно W-минимальными моделями и конформными теориями Тоды . Конформные теории Тоды сложнее теории Лиувилля и менее понятны.

Сигма-модели

В двух измерениях классические сигма-модели конформно инвариантны, но только некоторые целевые многообразия приводят к квантовым сигма-моделям, которые конформно инвариантны. Примеры таких целевых многообразий включают торы и многообразия Калаби – Яу .

Логарифмические конформные теории поля

Основная статья: Логарифмическая конформная теория поля

Логарифмические конформные теории поля представляют собой двумерные КТП такие, что действие генератора алгебры Вирасоро $L_{0}$ в спектре недиагонализуема. В частности, спектр не может быть построен исключительно из представлений с наименьшим весом . Как следствие, зависимость корреляционных функций от положения полей может быть логарифмической. Это контрастирует со степенной зависимостью двух- и трехточечных функций, связанных с представлениями с наименьшим весом.

Модель Поттса с критическим Q-состоянием

Критический $Q$Модель Поттса с состояниями или критическая модель случайного кластера представляет собой конформную теорию поля, которая обобщает и объединяет критическую модель Изинга , модель Поттса и перколяцию . Модель имеет параметр $Q$, которое должно быть целым числом в модели Поттса, но может принимать любое комплексное значение в модели случайного кластера. Этот параметр связан с центральным зарядом соотношением

$Q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\qquad {\text{with}}\qquad c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\ .$

Особые значения $Q$ включать:

$Q$	$c$	Соответствующая статистическая модель
$0$	$-2$	Равномерное связующее дерево
$1$	$0$	перколяция
$2$	${\frac {1}{2}}$	Модель Изинга
${\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$	${\frac {7}{10}}$	Трикритическая модель Изинга
$3$	${\frac {4}{5}}$	Модель Поттса с тремя состояниями
$2+{\sqrt {2}}$	${\frac {25}{28}}$	Трикритическая модель Поттса с тремя состояниями
$4$	$1$	Модель Эшкина – Теллера

Известная статистическая сумма тора предполагает, что модель нерациональна с дискретным спектром.

Дальнейшее чтение

• П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. ISBN   0-387-94785-X .
• На странице конформной теории поля в String Theory Wiki перечислены книги и обзоры.
• Рибо, Сильвен (2014). «Конформная теория поля на плоскости». arXiv : 1406.4290 [ шестнадцатый ].