Полугруппа с инволюцией

В математике , особенно в абстрактной алгебре , полугруппа с инволюцией или *-полугруппа — это полугруппа , наделенная инволютивным антиавтоморфизмом , который, грубо говоря, приближает ее к группе, поскольку эта инволюция, рассматриваемая как унарный оператор , демонстрирует определенные основные свойства операции взятия обратной в группе:

• Уникальность
• Двойное приложение «отменяет само себя».
• Тот же закон взаимодействия с бинарной операцией, что и в случае с обратной группой.

Поэтому неудивительно, что любая группа является полугруппой с инволюцией. Однако существуют важные естественные примеры полугрупп с инволюцией, которые не являются группами.

Примером из алгебры является мультипликативный моноид действительных линейной квадратных матриц порядка n (называемый полным линейным моноидом ). Карта , которая отправляет матрицу на транспонирование, является инволюцией, поскольку транспонирование четко определено для любой матрицы и подчиняется закону ( AB ) ^Т = Б ^Т А ^Т , который имеет ту же форму взаимодействия с умножением, что и обратные операции в общей линейной группе (которая является подгруппой полного линейного моноида). Однако для произвольной матрицы AA ^Т не равен единичному элементу (а именно диагональной матрице ). Другой пример, взятый из формального языка теории , — это свободная полугруппа , порожденная непустым множеством ( алфавитом ), с конкатенацией строк в качестве бинарной операции, а инволюцией является отображение, которое меняет линейный порядок букв в строке. Третий пример из базовой теории множеств — это совокупность всех бинарных отношений между множеством и самим собой, причем инволюция является обратным отношением , а умножение задаётся обычной композицией отношений .

Полугруппы с инволюцией были явно названы в статье Виктора Вагнера 1953 года (на русском языке) в результате его попытки соединить теорию полугрупп с теорией полукучек .

Формальное определение

Пусть S — полугруппа , бинарная операция которой записана мультипликативно. Инволюция в S — это унарная операция * над S (или преобразование * : S → S , x ↦ x *), удовлетворяющая следующим условиям:

1. Для всех x в S ( x *)* = x .
2. Для всех x , y в S имеем ( xy )* = y * x *.

Полугруппа S с инволюцией * называется полугруппой с инволюцией.

Полугруппы, удовлетворяющие только первой из этих аксиом, принадлежат к более широкому классу U-полугрупп .

В некоторых приложениях вторую из этих аксиом называют антидистрибутивной . Что касается естественной философии этой аксиомы, Х.С.М. Коксетер заметил, что она «становится ясной, когда мы думаем о [x] и [y] как об операциях надевания носков и обуви соответственно».

Примеры

1. Если S — коммутативная полугруппа, то тождественное отображение S является инволюцией.
2. Если S — группа , то отображение инверсии * : S → S определяется формулой x * = x. ⁻¹ является инволюцией. Более того, на абелевой группе и это отображение, и отображение из предыдущего примера являются инволюциями, удовлетворяющими аксиомам полугруппы с инволюцией.
3. Если S — инверсная полугруппа , то отображение инверсии представляет собой инволюцию, оставляющую идемпотенты инвариантными . Как отмечалось в предыдущем примере, отображение инверсии не обязательно является единственным отображением с этим свойством в обратной полугруппе. Вполне могут существовать и другие инволюции, которые оставляют все идемпотенты инвариантными; например, тождественное отображение коммутативной регулярной, а значит, и обратной, полугруппы, в частности, абелевой группы. Регулярная полугруппа является инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда она допускает инволюцию, относительно которой каждый идемпотент является инвариантом.
4. В основе каждой C*-алгебры лежит *-полугруппа. Важным примером является алгебра M _n ( C ) n x размером n матриц над C с сопряженным транспонированием в качестве инволюции.
5. Если X — множество, множество всех бинарных отношений на X представляет собой *-полугруппу, где * задано обратным отношением , а умножение задано обычной композицией отношений . Это пример *-полугруппы, которая не является регулярной полугруппой.
6. Если X — множество, то множество всех конечных последовательностей (или строк ) членов X образует свободный моноид при операции конкатенации последовательностей с обращением последовательности в качестве инволюции.
7. Прямоугольная полоса на декартовом произведении множества A с самим собой, т.е. с элементами из A × A , с произведением полугруппы, определенным как ( a , b )( c , d ) = ( a , d ), с инволюцией, являющейся изменение порядка элементов пары ( a , b )* = ( b , a ). Эта полугруппа также является регулярной полугруппой , как и все полосы.

Основные понятия и свойства

Элемент x полугруппы с инволюцией иногда называют эрмитовым (по аналогии с эрмитовой матрицей ), когда он остается инвариантным инволюцией, то есть x * = x . Элементы формы xx * или x * x всегда являются эрмитовыми, как и все степени эрмитовых элементов. Как отмечено в разделе примеров, полугруппа S является обратной полугруппой тогда и только тогда, когда S является регулярной полугруппой и допускает инволюцию, такую ​​что каждый идемпотент является эрмитовым.

Некоторые основные понятия могут быть определены на *-полугруппах способом, аналогичным понятиям, возникающим из регулярного элемента в полугруппе . Частичная изометрия — это элемент s такой, что ss * s = s ; множество частичных изометрий полугруппы S обычно обозначается сокращенно PI( S ). Проекция — это идемпотентный элемент e , который также является эрмитовым, что означает, что ee = e и e * = e . Каждая проекция является частичной изометрией, и для каждой частичной изометрии s , s * s и ss * являются проекциями. Если e и f — проекции, то e = ef тогда и только тогда, когда e = fe .

Частичные изометрии могут быть частично упорядочены по принципу s ≤ t, определяемому как выполняемый всякий раз, когда s = ss * t и ss * = ss * tt *. Эквивалентно, s ≤ t тогда и только тогда, когда s = et и e = ett * для некоторой проекции e . В *-полугруппе PI( S ) представляет собой упорядоченный группоид с частичным произведением, равным s ⋅ t = st, если s * s = tt *.

Примеры

В качестве примеров этих понятий в *-полугруппе бинарных отношений на множестве частичные изометрии представляют собой отношения, которые являются дифункциональными . Проекциями в этой *-полугруппе являются отношения частичной эквивалентности .

Частичные изометрии в C*-алгебре — это именно те изометрии, которые определены в этом разделе. В случае Mn _. ( C ) можно сказать больше Если E и F — проекции, то E ⩽ F тогда и только тогда, когда im E ⊆ im F . Для любых двух проекций, если E ∩ F = V , то единственная проекция J с образом V и ядром, ортогональным дополнением к V, является пересечением E и F . проекции образуют встречную полурешетку , частичные изометрии на Mn _{Поскольку} ( C ) образуют обратную полугруппу с произведением $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$.

Еще один простой пример этих понятий представлен в следующем разделе.

Понятия регулярности

Существуют два родственных, но не тождественных понятия регулярности в *-полугруппах. Они были представлены почти одновременно Нордалем и Шейблихом (1978) и Дразиным (1979) соответственно.

Регулярные *-полугруппы (Нордаль и Шейблих)

Как упоминалось в предыдущих примерах , инверсные полугруппы являются подклассом *-полугрупп. Из учебника также известно, что инверсную полугруппу можно охарактеризовать как регулярную полугруппу, в которой любые два идемпотента коммутируют. В 1963 году Борис М. Шейн показал, что следующие две аксиомы дают аналогичную характеристику инверсных полугрупп как подмногообразия *-полугрупп:

• х = хх * х
• ( хх *)( х * х ) = ( х * х )( х *)

Первое из них похоже на определение регулярного элемента, но на самом деле оно дано в терминах инволюции. Точно так же вторая аксиома, по-видимому, описывает коммутацию двух идемпотентов. Однако известно, что регулярные полугруппы не образуют многообразия, поскольку их класс не содержит свободных объектов (результат, установленный Д.Б. Макалистером в 1968 г.). Эта линия рассуждений побудила Нордаля и Шейблиха начать в 1977 году исследование (разнообразия) *-полугрупп, которые удовлетворяют только первым из этих двух аксиом; из-за сходства формы со свойством, определяющим регулярные полугруппы, это многообразие было названо регулярными *-полугруппами.

Легко вычислить, чтобы установить, что регулярная *-полугруппа также является регулярной полугруппой, поскольку x * оказывается инверсией x . Прямоугольная полоса из примера 7 — это правильная *-полугруппа, не являющаяся обратной полугруппой. Также легко проверить, что в регулярной *-полугруппе произведение любых двух проекторов является идемпотентом. В вышеупомянутом примере с прямоугольной полосой проекции представляют собой элементы формы ( x , x ) и [как и все элементы полосы] идемпотентны. Однако две разные проекции в этой зоне не обязательно коммутируют, и их произведение не обязательно является проекцией, поскольку ( a , a )( b , b ) = ( a , b ).

Полугруппы, удовлетворяющие только x ** = x = xx * x (но не обязательно антидистрибутивности * по умножению), также изучались под названием I-полугрупп .

П-системы

К проблеме определения того, является ли регулярная полугруппа регулярной *-полугруппой (в смысле Нордаля и Шейблиха), обратился М. Ямада (1982). Он определил P-систему F(S) как подмножество идемпотентов системы S, обычно обозначаемое E(S). Используя обычное обозначение V( a ) для обратных a , F(S) должно удовлетворять следующим аксиомам:

1. Для любого а из S существует единственное а° в V( a ) такое, что аа ° и а ° а находятся в F(S)
2. Для любого a из S и b из F(S) a°ba находится в F(S), где ° — четко определенная операция из предыдущей аксиомы.
3. Для любых a , b в F(S), ab находится в E(S); примечание: не обязательно в F(S)

Регулярная полугруппа S является *-регулярной полугруппой, как это определено Нордалем и Шейблихом, тогда и только тогда, когда она имеет p-систему F(S). В этом случае F(S) — множество проекций S относительно операции о, определяемой F(S). В инверсной полугруппе вся полурешетка идемпотентов является p-системой. Кроме того, если регулярная полугруппа S имеет мультипликативно замкнутую p-систему (т. е. подполугруппу), то S является инверсной полугруппой. Таким образом, p-систему можно рассматривать как обобщение полурешетки идемпотентов обратной полугруппы.

*-регулярные полугруппы (Дразин)

Полугруппа S с инволюцией * называется *-регулярной полугруппой (в смысле Дразина), если для каждого S x * x H -эквивалентен некоторому обратному x , где H — отношение Грина H. из Это определяющее свойство можно сформулировать несколькими эквивалентными способами. Другой вариант — сказать, что каждый L -класс содержит проекцию. Аксиоматическое определение — это условие, что для каждого x в S существует элемент x ′ такой, что x ′ xx ′ = x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′)* = xx ′ , ( x ′ x )* = х ′ х . Майкл П. Дразин первым доказал, что при заданном x элемент x ′, удовлетворяющий этим аксиомам, уникален. Это называется инверсией Мура-Пенроуза x . Это согласуется с классическим определением Мура – ​​Пенроуза обратной квадратной матрицы .

One motivation for studying these semigroups is that they allow generalizing the Moore–Penrose inverse's properties from Одной из причин изучения этих полугрупп является то, что они позволяют обобщить свойства инверсии Мура – ​​Пенроуза из $\mathbb {R}$‍ and и $\mathbb {C}$к более общим наборам. to more general sets.

В мультипликативной полугруппе M _n ( C ) квадратных матриц порядка n отображение, сопоставляющее матрицу A ее эрмитовой сопряженной A *, является инволюцией. Полугруппа M _n ( C ) является *-регулярной полугруппой с этой инволюцией. Инверсия Мура–Пенроуза A в этой *-регулярной полугруппе является классической инверсией Мура–Пенроуза A .

Свободная полугруппа с инволюцией

Как и все многообразия, категория полугрупп с инволюцией допускает свободные объекты . Конструкция свободной полугруппы (или моноида) с инволюцией основана на конструкции свободной полугруппы (и соответственно свободного моноида). Более того, конструкцию свободной группы легко получить, уточняя конструкцию свободного моноида с инволюцией.

Генераторы свободной полугруппы с инволюцией — это элементы объединения двух ( равнозначных ) непересекающихся множеств в биективном соответствии : $Y=X\sqcup X^{\dagger }$. (здесь обозначение $\sqcup \,$ подчеркнул, что объединение на самом деле является непересекающимся объединением .) В случае, когда два множества конечны, их объединение Y иногда называют алфавитом с инволюцией. или симметричный алфавит . Позволять $\theta :X\rightarrow X^{\dagger }$ быть биекцией; $\theta$ естественным образом продолжается до биекции ${}\dagger :Y\to Y$ по существу, взяв несвязное объединение $\theta$ (как набор) с его обратным , или в кусочном обозначении:

$y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}$

Теперь построим $Y^{+}\,$ как свободная полугруппа на $Y\,$ обычным способом с бинарной (полугрупповой) операцией над $Y^{+}\,$ является конкатенацией :

$w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}$ для некоторых букв $w_{i}\in Y.$

Биекция $\dagger$ на $Y$ затем расширяется как биекция ${}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}$ определяется как строковое обращение элементов $Y^{+}\,$ состоящие из более чем одной буквы:

$w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.$

Это отображение является инволюцией на полугруппе $Y^{+}\,$. Таким образом, полугруппа $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ с картой ${}^{\dagger }\,$ — полугруппа с инволюцией, называемая свободной полугруппой с инволюцией на X . (Несущественность конкретной личности $X^{\dagger }$ и биекции $\theta$ Такой выбор терминологии поясняется ниже с точки зрения универсального свойства конструкции.) Заметим, что в отличие от примера 6 инволюция каждой буквы является отдельным элементом в алфавите с инволюцией, и, следовательно, то же наблюдение распространяется и на свободный элемент. полугруппа с инволюцией.

Если в приведенной выше конструкции вместо $Y^{+}\,$ мы используем свободный моноид $Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}$, которая представляет собой просто свободную полугруппу, расширенную пустым словом $\varepsilon \,$ который является единичным элементом моноида ( $Y^{*}\,$) и соответствующим образом расширить инволюцию с помощью $\varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon$,получим свободный моноид с инволюцией .

Приведенная выше конструкция на самом деле является единственным способом расширить данную карту. $\theta \,$ от $X\,$ к $X^{\dagger }\,$, к инволюции на $Y^{+}\,$ (и аналогично на $Y^{*}\,$). Уточнение «свободно» для этих конструкций оправдано в обычном смысле, что они являются универсальными конструкциями . В случае свободной полугруппы с инволюцией дана произвольная полугруппа с инволюцией $S\,$ и карта $\Phi :X\rightarrow S$, то гомоморфизм полугрупп ${\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S$ существует такое, что $\Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}$, где $\iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ – карта включения , а композиция функций берется в порядке диаграммы . Строительство $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ как полугруппа с инволюцией единственна с точностью до изоморфизма . Аналогичное рассуждение справедливо для свободного моноида с инволюцией в терминах моноидных гомоморфизмов и единственности с точностью до изоморфизма конструкции $(X\sqcup X^{\dagger })^{*}$ как моноид с инволюцией.

Конструкция свободной группы не очень далека от конструкции свободного моноида с инволюцией. Дополнительный ингредиент, необходимый для определения понятия сокращенного слова и правила переписывания для создания таких слов, просто удаляя любые соседние пары букв вида $xx^{\dagger }$ или $x^{\dagger }x$. Можно показать, что порядок перезаписи (удаления) таких пар не имеет значения, т.е. любой порядок удалений дает один и тот же результат. (Иначе, эти правила определяют конфлюэнтную систему переписывания.) Эквивалентно, свободная группа строится из свободного моноида с инволюцией путем факторизации последнего по конгруэнтности $\{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}$, которое иногда называют сравнением Дейка — в определенном смысле оно обобщает язык Дика на несколько видов «круглых скобок». Однако упрощение в сравнении Дейка происходит независимо от порядка. Например, если ")" является инверсией "(", то $()=)(=\varepsilon$; одностороннее сравнение, которое появляется в собственно языке Дейка $\{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}$, который создается только для $()=\varepsilon$ (возможно, сбивчиво) называется сравнением Шамира . Фактор свободного моноида с инволюцией по конгруэнтности Шамира есть не группа, а моноид; назвал ее свободной полугруппой тем не менее ее первый открыватель Эли Шамир , хотя совсем недавно ее стали называть инволютивным моноидом порожденным X. , (Однако этот последний выбор терминологии противоречит использованию слова «инволютивный» для обозначения любой полугруппы с инволюцией - практика, также встречающаяся в литературе. )

Бэровские *-полугруппы

*-полугруппа Бэра — это *-полугруппа с (двусторонним) нулем, в которой правый аннулятор каждого элемента совпадает с правым идеалом некоторой проекции; формально это свойство выражается так: для всех x ∈ S существует проектор e такой, что

{ € у S | ху знак равно 0 } = еS .

Проекция e фактически однозначно определяется x .

Совсем недавно *-полугруппы Бэра стали также называть полугруппами Фулиса в честь Дэвида Джеймса Фулиса , который их глубоко изучил.

Примеры и приложения

Множество всех бинарных отношений на множестве (из примера 5 ) является бэровской *-полугруппой.

Бэровские *-полугруппы встречаются и в квантовой механике . в частности, как мультипликативные полугруппы бэровских *-колец .

Если H — гильбертово пространство , то мультипликативная полугруппа всех ограниченных операторов в H является *-полугруппой Бэра. Инволюция в этом случае отображает оператор в сопряженный с ним оператор .

*-полугруппы Бэра допускают координацию ортомодулярных решеток .

См. также

• Категория кинжала (она же категория с инволюцией) — обобщает понятие.
• *-алгебра
• Специальные классы полугрупп

Ссылки

• Марк В. Лоусон (1998). «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий». Всемирный научный ISBN   981-02-3316-7
• DJ Фулис (1958). Инволюционные полугруппы , докторская диссертация, Университет Тулейн, Новый Орлеан, Луизиана. Публикации DJ Foulis (по состоянию на 5 мая 2009 г.)
• У. Д. Манн, Особые инволюции , в книге А. Х. Клиффорда, К. Х. Хофмана, М. В. Мислова, Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 года, посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда , Cambridge University Press, 1996, ISBN   0521576695 . Это недавняя обзорная статья о полугруппах с (специальной) инволюцией.
• Дразин М.П., ​​Регулярные полугруппы с инволюцией , Тр. Симп. о регулярных полугруппах (ДеКалб, 1979), 29–46.
• Нордаль Т.Э. и Х.Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Semigroup Forum , 16 (1978), 369–377.
• Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24 (1), декабрь 1982 г., стр. 173–187.
• С. Црвенкович и Игорь Долинка, « Многообразия инволюционных полугрупп и инволюционных полуколец: обзор », Бюллетень Общества математиков Баня-Луки Vol. 9 (2002), 7–47.
• Эта статья включает в себя материалы из Free полугруппы с инволюцией на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .