Теория сложности вычислений

В теоретической информатике и математике теория сложности вычислений фокусируется на классификации вычислительных задач в зависимости от их использования ресурсов и исследует взаимосвязи между этими классификациями. Вычислительная задача – это задача, решаемая компьютером. Вычислительная задача решается путем механического применения математических шагов, таких как алгоритм .

Задача считается по своей сути сложной, если ее решение требует значительных ресурсов, независимо от используемого алгоритма. Теория формализует эту интуицию, вводя математические модели вычислений для изучения этих проблем и количественно оценивая их вычислительную сложность , то есть количество ресурсов, необходимых для их решения, таких как время и память. Также используются другие меры сложности, такие как объем связи (используется в сложности связи ), количество вентилей в схеме (используется в сложности схемы ) и количество процессоров (используется в параллельных вычислениях ). Одна из задач теории сложности вычислений — определить практические пределы того, что компьютеры могут и чего не могут делать. Проблема P против NP , одна из семи задач Премии тысячелетия . ^{[ 1 ]} является частью области вычислительной сложности.

Тесно связанными областями теоретической информатики являются анализ алгоритмов и теория вычислимости . Ключевое различие между анализом алгоритмов и теорией сложности вычислений состоит в том, что первая посвящена анализу количества ресурсов, необходимых конкретному алгоритму для решения проблемы, тогда как вторая задает более общий вопрос обо всех возможных алгоритмах, которые можно использовать для решения задачи. решить ту же проблему. Точнее, теория сложности вычислений пытается классифицировать проблемы, которые можно или невозможно решить с помощью соответствующим образом ограниченных ресурсов. В свою очередь, наложение ограничений на доступные ресурсы — это то, что отличает сложность вычислений от теории вычислимости: последняя теория спрашивает, какие типы проблем в принципе могут быть решены алгоритмически.

Вычислительные проблемы

Тур коммивояжера по 14 городам Германии.

Проблемные случаи

можно Вычислительную задачу рассматривать как бесконечную совокупность примеров вместе с набором (возможно, пустым) решений для каждого экземпляра. Входная строка вычислительной задачи называется экземпляром задачи, и ее не следует путать с самой задачей. В теории сложности вычислений проблема относится к абстрактному вопросу, который необходимо решить. Напротив, примером этой проблемы является довольно конкретное высказывание, которое может служить входными данными для решения проблемы. Например, рассмотрим проблему проверки простоты . Экземпляром является число (например, 15), и решением является «да», если число простое, и «нет» в противном случае (в этом случае 15 не является простым и ответ «нет»). Другими словами, экземпляр — это конкретный вход в задачу, а решение — это результат, соответствующий данному входу.

Чтобы еще больше подчеркнуть разницу между задачей и примером, рассмотрим следующий вариант решения задачи о коммивояжере : существует ли маршрут длиной не более 2000 километров, проходящий через все 15 крупнейших городов Германии? Количественный ответ на этот конкретный пример проблемы малопригоден для решения других случаев проблемы, таких как запрос на поездку туда и обратно через все объекты Милана , общая длина которых составляет не более 10 км. По этой причине теория сложности рассматривает вычислительные проблемы, а не конкретные экземпляры проблем.

Представление экземпляров проблем

При рассмотрении вычислительных задач экземпляром задачи является строка в алфавите . Обычно в качестве алфавита принимается двоичный алфавит (т. е. набор {0,1}), и, таким образом, строки представляют собой битовые строки . Как и в реальном компьютере , математические объекты, отличные от битовых строк, должны быть соответствующим образом закодированы. Например, целые числа могут быть представлены в двоичной записи , а графы могут быть закодированы непосредственно с помощью матриц смежности или путем кодирования их списков смежности в двоичном формате.

Несмотря на то, что некоторые доказательства теорем теории сложности регулярно предполагают некоторый конкретный выбор входной кодировки, мы стараемся сохранить обсуждение достаточно абстрактным, чтобы быть независимым от выбора кодировки. Этого можно достичь, гарантируя, что различные представления могут быть эффективно преобразованы друг в друга.

Проблемы принятия решений как формальные языки

Проблемы принятия решений являются одним из центральных объектов исследования в теории сложности вычислений. Проблема принятия решения — это тип вычислительной задачи, ответ на которую — да или нет (альтернативно: 1 или 0). Задачу принятия решения можно рассматривать как формальный язык , где членами языка являются экземпляры, вывод которых — «да», а не-членами — те экземпляры, вывод которых — «нет». Цель состоит в том, чтобы с помощью алгоритма решить , является ли данная входная строка членом рассматриваемого формального языка. Если алгоритм, решающий эту задачу, возвращает ответ «да» , говорят, что алгоритм принимает входную строку, в противном случае говорят, что он отклоняет входные данные.

Примером проблемы принятия решения является следующий. Входные данные — произвольный граф . Задача состоит в том, чтобы решить, связен данный граф или нет. Формальный язык, связанный с этой проблемой решения, тогда представляет собой набор всех связанных графов — чтобы получить точное определение этого языка, нужно решить, как графы кодируются как двоичные строки.

Функциональные проблемы

Функциональная задача один выходной результат ( суммарной функции — это вычислительная задача, в которой для каждого входного сигнала ожидается ), но выходной результат более сложен, чем в задаче принятия решения , то есть выходной сигнал — это не просто «да» или «нет». Яркие примеры включают задачу коммивояжера и задачу факторизации целых чисел .

Соблазнительно думать, что понятие функциональных проблем гораздо богаче, чем понятие проблем принятия решений. Однако на самом деле это не так, поскольку функциональные проблемы можно преобразовать в проблемы принятия решений. Например, умножение двух целых чисел можно выразить как набор троек. $(a,b,c)$ такое, что отношение $a\times b=c$ держит. Решение о том, является ли данная тройка членом этого множества, соответствует решению задачи умножения двух чисел.

Измерение размера экземпляра

Чтобы измерить сложность решения вычислительной задачи, можно посмотреть, сколько времени потребуется лучшему алгоритму для решения проблемы. Однако время работы в целом может зависеть от экземпляра. В частности, для решения более крупных случаев потребуется больше времени. Таким образом, время, необходимое для решения проблемы (или необходимое пространство, или любая мера сложности), рассчитывается как функция размера экземпляра. Размер ввода обычно измеряется в битах. Теория сложности изучает, как алгоритмы масштабируются по мере увеличения размера входных данных. Например, в задаче выяснить, связен ли граф, сколько еще времени потребуется, чтобы решить задачу для графа с $2n$ вершин по сравнению со временем, затраченным на граф с $n$ вершины?

Если входной размер $n$ , затраченное время можно выразить как функцию $n$ . Поскольку время, затраченное на разные входные данные одного и того же размера, может быть разным, временная сложность в худшем случае $T(n)$ определяется как максимальное время, затраченное на все входные данные размера $n$ . Если $T(n)$ является полиномом по $n$ , то алгоритм называется алгоритмом с полиномиальным временем . Тезис Кобэма утверждает, что проблему можно решить с возможным количеством ресурсов, если она допускает алгоритм с полиномиальным временем.

Модели машин и меры сложности

Машина Тьюринга

Иллюстрация машины Тьюринга

Машина Тьюринга — это математическая модель вычислительной машины общего назначения. Это теоретическое устройство, которое манипулирует символами, содержащимися на полоске ленты. Машины Тьюринга задуманы не как практическая вычислительная технология, а скорее как общая модель вычислительной машины — от продвинутого суперкомпьютера до математика с карандашом и бумагой. Считается, что если проблему можно решить с помощью алгоритма, то существует машина Тьюринга, решающая эту проблему. Действительно, это утверждение тезиса Чёрча-Тьюринга . Более того, известно, что все, что можно вычислить на других известных нам сегодня моделях вычислений, таких как машина с оперативной памятью , игра жизни Конвея , клеточные автоматы , лямбда-исчисление или любой язык программирования, можно вычислить на машине Тьюринга. Поскольку машины Тьюринга легко анализировать математически и считаются столь же мощными, как и любая другая модель вычислений, машина Тьюринга является наиболее часто используемой моделью в теории сложности.

Для определения классов сложности используются многие типы машин Тьюринга, такие как детерминированные машины Тьюринга , вероятностные машины Тьюринга , недетерминированные машины Тьюринга , квантовые машины Тьюринга , симметричные машины Тьюринга и альтернативные машины Тьюринга . В принципе, все они одинаково сильны, но когда ресурсы (например, время или пространство) ограничены, некоторые из них могут быть более мощными, чем другие.

Детерминированная машина Тьюринга — это самая простая машина Тьюринга, которая использует фиксированный набор правил для определения своих будущих действий. Вероятностная машина Тьюринга — это детерминированная машина Тьюринга с дополнительным запасом случайных битов. Способность принимать вероятностные решения часто помогает алгоритмам решать проблемы более эффективно. Алгоритмы, использующие случайные биты, называются рандомизированными алгоритмами . Недетерминированная машина Тьюринга — это детерминированная машина Тьюринга с дополнительной функцией недетерминизма, которая позволяет машине Тьюринга иметь несколько возможных будущих действий из данного состояния. Один из способов рассматривать недетерминизм состоит в том, что машина Тьюринга на каждом этапе разветвляется на множество возможных вычислительных путей, и если она решает проблему в любой из этих ветвей, говорят, что она решила проблему. Очевидно, что эта модель не является физически реализуемой моделью, это просто теоретически интересная абстрактная машина, порождающая особенно интересные классы сложности. Примеры см. недетерминированный алгоритм .

Другие модели машин

В литературе было предложено множество моделей машин, отличных от стандартных многоленточных машин Тьюринга , например машины с произвольным доступом . Возможно, это удивительно, но каждую из этих моделей можно преобразовать в другую без каких-либо дополнительных вычислительных мощностей. Потребление времени и памяти этих альтернативных моделей может различаться. ^{[ 2 ]} Все эти модели объединяет то, что машины работают детерминированно .

Однако некоторые вычислительные проблемы легче анализировать с точки зрения более необычных ресурсов. Например, недетерминированная машина Тьюринга — это вычислительная модель, которую можно расширять для одновременной проверки множества различных возможностей. Недетерминированная машина Тьюринга имеет мало общего с тем, как мы физически хотим вычислять алгоритмы, но ее ветвление точно охватывает многие математические модели, которые мы хотим анализировать, поэтому недетерминированное время является очень важным ресурсом при анализе вычислительных задач. .

Меры сложности

Для точного определения того, что значит решить задачу с использованием заданного количества времени и пространства, вычислительная модель, такая как детерминированная машина Тьюринга используется . Время , необходимое детерминированной машине Тьюринга $M$ на входе $x$ — это общее количество переходов состояний или шагов, которые машина делает, прежде чем она остановится и выдаст ответ («да» или «нет»). Машина Тьюринга $M$ Говорят, что он действует во времени $f(n)$ если время, требуемое $M$ на каждом входе длины $n$ самое большее $f(n)$ . Проблема с решением $A$ можно решить со временем $f(n)$ если существует машина Тьюринга, работающая во времени $f(n)$ это решает проблему. Поскольку теория сложности заинтересована в классификации проблем в зависимости от их сложности, наборы проблем определяются на основе некоторых критериев. Например, набор задач, решаемых за время $f(n)$ на детерминированной машине Тьюринга обозначается DTIME ( $f(n)$ ).

Аналогичные определения можно дать и для требований к пространству. Хотя время и пространство являются наиболее известными ресурсами сложности, любую меру сложности можно рассматривать как вычислительный ресурс. Меры сложности в общих чертах определяются аксиомами сложности Блюма . Другие меры сложности, используемые в теории сложности, включают сложность связи , сложность схемы и сложность дерева решений .

Сложность алгоритма часто выражается с помощью обозначения «большое О» .

Лучший, худший и средний случай сложности

Наилучшая , наихудшая и средняя сложность случая относятся к трем различным способам измерения временной сложности (или любой другой меры сложности) разных входных данных одного и того же размера. Поскольку некоторые входные данные размера $n$ может быть решен быстрее, чем другие, мы определяем следующие сложности:

Сложность в лучшем случае: это сложность решения проблемы для наилучшего ввода размера. $n$ .
Сложность в среднем случае: это сложность решения задачи в среднем. Эта сложность определяется только в отношении распределения вероятностей по входным данным. Например, если предполагается, что все входные данные одинакового размера появятся с одинаковой вероятностью, среднюю сложность случая можно определить относительно равномерного распределения по всем входным данным размера. $n$ .
Амортизированный анализ . Амортизированный анализ учитывает как дорогостоящие, так и менее затратные операции вместе по всей серии операций алгоритма.
Сложность наихудшего случая: это сложность решения проблемы для наихудшего входного размера. $n$ .

Порядок от дешевого к дорогостоящему следующий: лучший, средний ( дискретно-равномерного распределения ), амортизированный, худший.

Например, алгоритм детерминированной сортировки Quicksort решает проблему сортировки списка целых чисел. Худший случай — это когда опорной точкой всегда является наибольшее или наименьшее значение в списке (поэтому список никогда не делится). В этом случае алгоритм требует времени O ( $n^{2}$ ). Если предположить, что все возможные перестановки входного списка равновероятны, среднее время, затраченное на сортировку, составит $O(n\log n)$ . В лучшем случае каждый поворот делит список пополам, что также требует $O(n\log n)$ время.

Верхние и нижние оценки сложности задач

Чтобы классифицировать время вычислений (или аналогичные ресурсы, такие как потребление пространства), полезно продемонстрировать верхние и нижние границы максимального количества времени, необходимого наиболее эффективному алгоритму для решения данной проблемы. За сложность алгоритма обычно принимают сложность наихудшего случая, если не указано иное. Анализ конкретного алгоритма подпадает под область анализа алгоритмов . Чтобы показать верхнюю границу $T(n)$ о временной сложности задачи нужно лишь показать, что существует конкретный алгоритм, время работы которого не превышает $T(n)$ . Однако доказать нижние оценки гораздо сложнее, поскольку нижние оценки говорят обо всех возможных алгоритмах, решающих данную задачу. Фраза «все возможные алгоритмы» включает не только алгоритмы, известные сегодня, но и любой алгоритм, который может быть открыт в будущем. Чтобы показать нижнюю границу $T(n)$ для задачи требуется показать, что ни один алгоритм не может иметь временную сложность ниже, чем $T(n)$ .

Верхние и нижние границы обычно обозначаются с использованием большого обозначения O , которое скрывает постоянные коэффициенты и меньшие члены. Это делает границы независимыми от конкретных деталей используемой вычислительной модели. Например, если $T(n)=7n^{2}+15n+40$ , в большой записи O можно было бы написать $T(n)=O(n^{2})$ .

Классы сложности

Определение классов сложности

Класс сложности — это совокупность задач связанной сложности. Более простые классы сложности определяются следующими факторами:

Тип вычислительной задачи. Наиболее часто используемые задачи — это задачи принятия решений. Однако классы сложности могут быть определены на основе функциональных задач , задач подсчета , задач оптимизации , проблем обещаний и т. д.
Модель вычислений: Наиболее распространенной моделью вычислений является детерминированная машина Тьюринга, но многие классы сложности основаны на недетерминированных машинах Тьюринга, булевых схемах , квантовых машинах Тьюринга , монотонных схемах и т. д.
Ограничиваемый ресурс (или ресурсы) и граница: эти два свойства обычно указываются вместе, например «полиномиальное время», «логарифмическое пространство», «постоянная глубина» и т. д.

Некоторые классы сложности имеют сложные определения, которые не вписываются в эту структуру. Таким образом, типичный класс сложности имеет следующее определение:

Набор задач принятия решений, решаемых детерминированной машиной Тьюринга за время.

f(n)

. (Этот класс сложности известен как DTIME(

f(n)

).)

Но ограничение времени вычислений, приведенного выше, некоторой конкретной функцией $f(n)$ часто дает классы сложности, которые зависят от выбранной модели машины. Например, язык $\{xx\mid x{\text{ is any binary string}}\}$ может быть решена за линейное время на многоленточной машине Тьюринга, но обязательно требует квадратичного времени в модели одноленточной машины Тьюринга. Если мы допускаем полиномиальные изменения времени выполнения, тезис Кобэма-Эдмондса утверждает, что «временные сложности в любых двух разумных и общих моделях вычислений связаны полиномиально» ( Goldreich 2008 , Глава 1.2). Это формирует основу для класса сложности P , который представляет собой набор задач решения, решаемых детерминированной машиной Тьюринга за полиномиальное время. Соответствующий набор функциональных задач — FP .

Важные классы сложности

Многие важные классы сложности могут быть определены путем ограничения времени или пространства, используемого алгоритмом. Некоторые важные классы сложности задач принятия решений, определенные таким образом, следующие:

Ресурс	Детерминизм	Класс сложности	Ограничение ресурсов
Космос	Недетерминированный	НСПЕЙС ( $f(n)$ )	$O(f(n))$
		Нидерланды	$O(\log n)$
		НПСПЕЙС	$O({\text{poly}}(n))$
		НЕКСПСПЕЙС	$O(2^{{\text{poly}}(n)})$
	Детерминированный	ДСПЕЙС ( $f(n)$ )	$O(f(n))$
		л	$O(\log n)$
		PSPACE	$O({\text{poly}}(n))$
		EXPSPACE	$O(2^{{\text{poly}}(n)})$
Время	Недетерминированный	НВРЕМЯ ( $f(n)$ )	$O(f(n))$
		НАПРИМЕР	$O({\text{poly}}(n))$
		СЛЕДУЮЩЕЕ ВРЕМЯ	$O(2^{{\text{poly}}(n)})$
	Детерминированный	ВРЕМЯ ( $f(n)$ )	$O(f(n))$
		П	$O({\text{poly}}(n))$
		ВРЕМЯ ЭКСПРЕСС	$O(2^{{\text{poly}}(n)})$

Классы логарифмического пространства не учитывают пространство, необходимое для представления проблемы.

оказывается, что PSPACE = NPSPACE и EXPSPACE = NEXPSPACE По теореме Савича .

Другие важные классы сложности включают BPP , ZPP и RP , которые определяются с использованием вероятностных машин Тьюринга ; AC и NC , которые определяются с помощью логических схем; и BQP и QMA , которые определяются с использованием квантовых машин Тьюринга. #P — это важный класс сложности задач подсчета (не задач решения). Такие классы, как IP и AM, определяются с использованием систем интерактивных доказательств . ALL — это класс всех задач решения.

Теоремы об иерархии

Для классов сложности, определенных таким образом, желательно доказать, что ослабление требований, скажем, к времени вычислений действительно определяет больший набор проблем. В частности, хотя DTIME( $n$ ) содержится в DTIME( $n^{2}$ ), было бы интересно узнать, является ли включение строгим. Что касается требований времени и пространства, ответ на такие вопросы даются теоремами об иерархии времени и пространства соответственно. Их называют теоремами об иерархии, поскольку они создают правильную иерархию классов, определенных путем ограничения соответствующих ресурсов. Таким образом, существуют пары классов сложности, один из которых правильно включен в другой. Выведя такие правильные включения множества, мы можем перейти к количественным утверждениям о том, насколько еще необходимо дополнительное время или пространство, чтобы увеличить количество проблем, которые можно решить.

Точнее, теорема об иерархии времени утверждает, что ${\mathsf {DTIME}}{\big (}o(f(n)){\big )}\subsetneq {\mathsf {DTIME}}{\big (}f(n)\cdot \log(f(n)){\big )}$ .

Теорема о пространственной иерархии утверждает, что ${\mathsf {DSPACE}}{\big (}o(f(n)){\big )}\subsetneq {\mathsf {DSPACE}}{\big (}f(n){\big )}$ .

Теоремы об иерархии времени и пространства составляют основу большинства результатов разделения классов сложности. Например, теорема об иерархии времени говорит нам, что P строго содержится в EXPTIME, а теорема о пространственной иерархии говорит нам, что L строго содержится в PSPACE.

Снижение

Многие классы сложности определяются с использованием концепции сокращения. Редукция – это трансформация одной проблемы в другую. Он отражает неформальное представление о том, что проблема не менее сложна, чем другая проблема. Например, если проблема $X$ можно решить с помощью алгоритма $Y$ , $X$ это не сложнее, чем $Y$ , и мы говорим, что $X$ сводится к $Y$ . Существует много различных типов сокращений, основанных на методе сокращения, таких как сокращения Кука, сокращения Карпа и сокращения Левина, а также ограничениях сложности сокращений, таких как сокращения полиномиального времени или сокращения логарифмического пространства .

Наиболее часто используемым сокращением является сокращение за полиномиальное время. Это означает, что процесс приведения занимает полиномиальное время. Например, задачу возведения в квадрат целого числа можно свести к задаче умножения двух целых чисел. Это означает, что для возведения целого числа в квадрат можно использовать алгоритм умножения двух целых чисел. Действительно, это можно сделать, подав одинаковые входные данные на оба входа алгоритма умножения. Таким образом, мы видим, что возведение в квадрат не сложнее умножения, поскольку возведение в квадрат можно свести к умножению.

Это мотивирует концепцию сложности проблемы для класса сложности. Проблема $X$ сложно для класса задач $C$ если каждая проблема в $C$ можно свести к $X$ . Таким образом, никаких проблем в $C$ сложнее, чем $X$ , поскольку алгоритм для $X$ позволяет решить любую проблему $C$ . Понятие сложных задач зависит от типа используемой редукции. Для классов сложности, превышающих P, обычно используются сокращения за полиномиальное время. В частности, набор задач, сложных для NP, представляет собой набор NP-трудных задач.

Если проблема $X$ находится в $C$ и тяжело для $C$ , затем $X$ считается полным для $C$ . Это означает, что $X$ это самая сложная проблема в $C$ . (Поскольку многие проблемы могут быть одинаково трудными, можно сказать, что $X$ является одной из самых сложных проблем в $C$ .) Таким образом, класс NP-полных задач содержит наиболее трудные задачи в NP, в том смысле, что их, скорее всего, не будет в P. Поскольку проблема P = NP не решена, имея возможность свести известную NP-полная задача, $\Pi _{2}$ , к другой проблеме, $\Pi _{1}$ , будет означать, что не существует известного решения за полиномиальное время для $\Pi _{1}$ . Это связано с тем, что решение за полиномиальное время $\Pi _{1}$ даст полиномиальное решение для $\Pi _{2}$ . Аналогично, поскольку все задачи NP можно свести к набору, нахождение NP-полной задачи, которую можно решить за полиномиальное время, будет означать, что P = NP. ^{[ 3 ]}

Важные открытые проблемы

Проблема P и NP

Класс сложности P часто рассматривается как математическая абстракция, моделирующая те вычислительные задачи, которые допускают эффективный алгоритм. Эта гипотеза называется тезисом Кобэма-Эдмондса . Класс сложности NP , с другой стороны, содержит множество проблем, которые люди хотели бы эффективно решать, но для которых не известен эффективный алгоритм, например, проблема булевой выполнимости , проблема гамильтоновых путей и проблема вершинного покрытия . Поскольку детерминированные машины Тьюринга являются особыми недетерминированными машинами Тьюринга, легко заметить, что каждая задача из P также является членом класса NP.

Вопрос о том, равно ли P NP, является одним из наиболее важных открытых вопросов в теоретической информатике из-за широких последствий решения. ^{[ 3 ]} Если ответ положительный, можно доказать, что многие важные проблемы имеют более эффективные решения. К ним относятся различные типы задач целочисленного программирования в исследовании операций , многие проблемы в логистике , предсказании структуры белков в биологии , ^{[ 5 ]} и способность находить формальные доказательства теорем чистой математики . ^{[ 6 ]} Проблема P и NP — одна из задач Премии тысячелетия, предложенная Математическим институтом Клея . За решение проблемы предусмотрен приз в размере 1 000 000 долларов США. ^{[ 7 ]}

Проблемы в NP, о которых не известно, находятся в P или NP-полных

Ладнер показал, что если $P\neq NP$ то есть проблемы в $NP$ которых нет ни в $P$ ни $NP$ -полный. ^{[ 4 ]} Такие задачи называются NP-промежуточными задачами. Проблема изоморфизма графов , проблема дискретного логарифма и проблема целочисленной факторизации являются примерами проблем, которые считаются NP-промежуточными. Это одни из немногих проблем NP, о существовании которых неизвестно. $P$ или быть $NP$ -полный.

Проблема изоморфизма графов задача определения изоморфности двух графов конечных — это вычислительная . Важная нерешенная проблема теории сложности заключается в том, является ли проблема изоморфизма графов актуальной. $P$ , $NP$ -полный, или NP-промежуточный. Ответ неизвестен, но считается, что задача как минимум не NP-полная. ^{[ 8 ]} Если изоморфизм графов NP-полный, полиномиальная временная иерархия схлопывается на второй уровень. ^{[ 9 ]} Поскольку широко распространено мнение, что полиномиальная иерархия не схлопывается ни на один конечный уровень, считается, что изоморфизм графов не является NP-полным. Лучший алгоритм для этой задачи, предложенный Ласло Бабаем и Юджином Луксом, имеет время выполнения. $O(2^{\sqrt {n\log n}})$ для графиков с $n$ вершин, хотя некоторые недавние работы Бабая предлагают некоторые потенциально новые взгляды на этот вопрос. ^{[ 10 ]}

Проблема целочисленной факторизации — это вычислительная задача определения простой факторизации данного целого числа. Сформулированная как проблема принятия решения, это проблема определения того, имеет ли входной простой множитель меньше, чем $k$ . Эффективный алгоритм факторизации целых чисел неизвестен, и этот факт лежит в основе нескольких современных криптографических систем, таких как алгоритм RSA . Задача целочисленной факторизации заключается в $NP$ и в $co{\text{-}}NP$ (и даже в УП и ко-УП ^{[ 11 ]}). Если проблема в $NP$ -завершена, полиномиальная временная иерархия рухнет на свой первый уровень (т. е. $NP$ будет равно $co{\text{-}}NP$ ). Самый известный алгоритм факторизации целых чисел — это решето общего числового поля , которое требует времени. $O(e^{\left({\sqrt[{3}]{\frac {64}{9}}}\right){\sqrt[{3}]{(\log n)}}{\sqrt[{3}]{(\log \log n)^{2}}}})$ ^{[ 12 ]} факторизовать нечетное целое число $n$ . Однако самый известный квантовый алгоритм для решения этой задачи, алгоритм Шора , работает за полиномиальное время. К сожалению, этот факт мало что говорит о том, в чем заключается проблема в отношении классов неквантовой сложности.

Разделения между другими классами сложности

Предполагается, что многие известные классы сложности неравны, но это не доказано. Например $P\subseteq NP\subseteq PP\subseteq PSPACE$ , но возможно, что $P=PSPACE$ . Если $P$ не равен $NP$ , затем $P$ не равен $PSPACE$ или. Поскольку существует много известных классов сложности между $P$ и $PSPACE$ , такой как $RP$ , $BPP$ , $PP$ , $BQP$ , $MA$ , $PH$ и т. д., возможно, что все эти классы сложности схлопнутся в один класс. Доказательство того, что любой из этих классов неравен, могло бы стать крупным прорывом в теории сложности.

В том же духе, $co{\text{-}}NP$ — это класс, содержащий задачи на дополнение (т. е. задачи с обратными ответами «да» или « нет» ) $NP$ проблемы. Считается, что ^{[ 13 ]} что $NP$ не равен $co{\text{-}}NP$ ; однако это еще не доказано. Понятно, что если эти два класса сложности не равны, то $P$ не равен $NP$ , с $P=co{\text{-}}P$ . Таким образом, если $P=NP$ у нас было бы $co{\text{-}}P=co{\text{-}}NP$ откуда $NP=P=co{\text{-}}P=co{\text{-}}NP$ .

Аналогично неизвестно, есть ли $L$ (множество всех задач, которые можно решить в логарифмическом пространстве) строго содержится в $P$ или равно $P$ . Опять же, между ними существует множество классов сложности, например $NL$ и $NC$ , и неизвестно, являются ли они разными или равными классами.

Есть подозрение, что $P$ и $BPP$ равны. Однако в настоящее время он открыт, если $BPP=NEXP$ .

несговорчивость

Проблема, которая теоретически может быть решена, но требует для этого непрактичных и ограниченных ресурсов (например, времени), известна как задача. неразрешимая проблема . ^{[ 14 ]} И наоборот, проблема, которую можно решить на практике, называется разрешимая проблема , буквально «проблема, с которой можно справиться». Термин «невозможно» (буквально «невозможно сделать») иногда используется как синоним слова « неразрешимый » . ^{[ 15 ]} хотя это может привести к путанице с возможным решением математической оптимизации . ^{[ 16 ]}

Разрешимые проблемы часто отождествляются с проблемами, которые имеют решения за полиномиальное время ( $P$ , $PTIME$ ); это известно как тезис Кобэма-Эдмондса . К проблемам, которые, как известно, являются неразрешимыми в этом смысле, относятся проблемы EXPTIME -трудные. Если $NP$ это не то же самое, что $P$ , то NP-трудные задачи также неразрешимы в этом смысле.

Однако эта идентификация неточна: решение за полиномиальное время с большой степенью или большим старшим коэффициентом быстро растет и может быть непрактичным для практических задач размера; и наоборот, решение с экспоненциальным временем, которое растет медленно, может быть практичным при реалистичных входных данных, или решение, которое занимает много времени в худшем случае, может занять короткое время в большинстве случаев или в среднем случае и, таким образом, все еще быть практичным. Сказать, что проблема не в $P$ не означает, что все крупные случаи проблемы сложны или даже что большинство из них таковы. Например, было показано, что проблема принятия решений в арифметике Пресбургера не решается. $P$ , однако написаны алгоритмы, которые в большинстве случаев решают задачу за разумное время. Аналогичным образом, алгоритмы могут решить задачу о NP-полном рюкзаке в широком диапазоне размеров за время, меньшее, чем квадратичное, а решатели SAT обычно обрабатывают большие экземпляры NP-полной задачи о булевой выполнимости .

Чтобы понять, почему алгоритмы с экспоненциальным временем обычно непригодны для использования на практике, рассмотрим программу, которая делает $2^{n}$ операции до остановки. Для маленьких $n$ , скажем, 100, и предположим для примера, что компьютер делает $10^{12}$ операций каждую секунду, программа будет работать примерно $4\times 10^{10}$ лет, что соответствует возрасту Вселенной . Даже при наличии гораздо более быстрого компьютера программа будет полезна только в очень небольших случаях, и в этом смысле неразрешимость проблемы в некоторой степени не зависит от технического прогресса. Однако алгоритм экспоненциального времени, который принимает $1.0001^{n}$ операции практичны до тех пор, пока $n$ становится относительно большим.

Точно так же алгоритм с полиномиальным временем не всегда практичен. Если время его работы, скажем, $n^{15}$ , неразумно считать его эффективным, и он по-прежнему бесполезен, за исключением небольших случаев. Действительно, на практике даже $n^{3}$ или $n^{2}$ алгоритмы часто непрактичны для задач реального размера.

Теория непрерывной сложности

Теория непрерывной сложности может относиться к теории сложности задач, которые включают в себя непрерывные функции, аппроксимируемые дискретизацией, как это изучается в численном анализе . Один подход к теории сложности численного анализа ^{[ 17 ]} это сложность, основанная на информации .

Теория непрерывной сложности может также относиться к теории сложности использования аналоговых вычислений , которая использует непрерывные динамические системы и дифференциальные уравнения . ^{[ 18 ]} Теорию управления можно рассматривать как форму вычислений, а дифференциальные уравнения используются при моделировании систем с непрерывным временем и гибридных систем с дискретным и непрерывным временем. ^{[ 19 ]}

История

Ранним примером анализа сложности алгоритма является анализ времени выполнения алгоритма Евклида, выполненный Габриэлем Ламе в 1844 году.

Прежде чем начались настоящие исследования, явно посвященные сложности алгоритмических задач, различными исследователями были заложены многочисленные основы. Наиболее влиятельным среди них было определение машины Тьюринга, данное Аланом Тьюрингом в 1936 году, которое оказалось очень надежным и гибким упрощением компьютера.

Начало систематических исследований вычислительной сложности приписывается основополагающей статье 1965 года «О вычислительной сложности алгоритмов» Юриса Хартманиса и Ричарда Э. Стернса , в которой были изложены определения временной сложности и пространственной сложности , а также доказаны теоремы об иерархии. ^{[ 20 ]} Кроме того, в 1965 году Эдмондс предложил считать «хорошим» алгоритмом тот, время работы которого ограничено полиномом от размера входных данных. ^{[ 21 ]}

Более ранние статьи, изучающие проблемы, решаемые машинами Тьюринга с конкретными ограниченными ресурсами, включают ^{[ 20 ]} Джона Майхилла Определение линейных ограниченных автоматов (Майхилл, 1960), исследование элементарных множеств Рэймондом Смалльяном (1961), а также Хисао Ямады . статья ^{[ 22 ]} по вычислениям в реальном времени (1962). Несколько ранее Борис Трахтенброт (1956) исследовал еще одну специфическую меру сложности. пионер этой области из СССР ^{[ 23 ]} Как он помнит:

Однако [мой] первоначальный интерес [к теории автоматов] все больше отступал в пользу вычислительной сложности, захватывающего слияния комбинаторных методов, унаследованных от теории переключения , с концептуальным арсеналом теории алгоритмов. Эти идеи пришли мне в голову ранее, в 1955 году, когда я ввел термин «сигнальная функция», который сегодня широко известен как «мера сложности». ^{[ 24 ]}

В 1967 году Мануэль Блюм сформулировал набор аксиом (теперь известный как аксиомы Блюма ), определяющих желаемые свойства мер сложности на множестве вычислимых функций, и доказал важный результат, так называемую теорему об ускорении . Эта область начала процветать в 1971 году, когда Стивен Кук и Леонид Левин доказали существование практически важных задач, которые являются NP-полными . В 1972 году Ричард Карп сделал шаг вперед в этой идее в своей знаковой статье «Сводимость среди комбинаторных задач», в которой он показал, что 21 разнообразная комбинаторная задача и задача теории графов , каждая из которых печально известна своей вычислительной неразрешимостью, являются NP-полными. ^{[ 25 ]}

См. также

Работает над сложностью

Вупулури, Шьям; Дориа, Франсиско А., ред. (2020), Распутывая сложность: жизнь и работа Грегори Чайтина , World Scientific, doi : 10.1142/11270 , ISBN 978-981-12-0006-9 , S2CID 198790362

Ссылки

Цитаты

^ «Проблема P против NP | Математический институт Клэя» . www.claymath.org . Архивировано из оригинала 6 июля 2018 года . Проверено 6 июля 2018 г.
^ См. Arora & Barak 2009 , Глава 1: Вычислительная модель и почему это не имеет значения.
^ Перейти обратно: ^а ^б См. Sipser 2006 , Глава 7: Временная сложность.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ладнер, Ричард Э. (1975), «О структуре полиномиальной сводимости по времени», Журнал ACM , 22 (1): 151–171, doi : 10.1145/321864.321877 , S2CID 14352974 .
^ Бергер, Бонни А .; Лейтон, Т. (1998), «Сворачивание белка в гидрофобно-гидрофильной (HP) модели является NP-полным», Journal of Computational Biology , 5 (1): 27–40, CiteSeerX 10.1.1.139.5547 , doi : 10.1089/ cmb.1998.5.27 , ПМИД 9541869 .
^ Кук, Стивен (апрель 2000 г.), Проблема P и NP (PDF) , Институт математики Клэя , заархивировано из оригинала (PDF) 12 декабря 2010 г. , получено 18 октября 2006 г.
^ Яффе, Артур М. (2006), «Большой вызов тысячелетия в математике» (PDF) , Уведомления AMS , 53 (6), заархивировано (PDF) из оригинала 12 июня 2006 г. , получено 18 октября 2006 г.
^ Арвинд, Викраман; Курур, Пиюш П. (2006), «Изоморфизм графов в SPP», Information and Computation , 204 (5): 835–852, doi : 10.1016/j.ic.2006.02.002 .
^ Шёнинг, Уве (1988), «Изоморфизм графов в низкой иерархии», Journal of Computer and System Sciences , 37 (3): 312–323, doi : 10.1016/0022-0000(88)90010-4
^ Бабай, Ласло (2016). «Изоморфизм графов за квазиполиномиальное время». arXiv : 1512.03547 [ cs.DS ].
^ Фортнау, Лэнс (13 сентября 2002 г.). «Блог о сложности вычислений: факторинг» . weblog.fortnow.com .
^ Wolfram MathWorld: Сито с числовыми полями
^ Курс Боаза Барака по сложности вычислений, лекция 2.
^ Хопкрофт, Дж. Э., Мотвани, Р. и Уллман, Дж. Д. (2007) Введение в теорию автоматов, языки и вычисления , Аддисон Уэсли, Бостон/Сан-Франциско/Нью-Йорк (стр. 368)
^ Меран, Жерар (2014). Алгоритмы и сложность . Эльзевир. п. п. 4 . ISBN 978-0-08093391-7 .
^ Зобель, Джастин (2015). Написание статей по информатике . Спрингер. п. 132 . ISBN 978-1-44716639-9 .
^ Смейл, Стив (1997). «Теория сложности и численный анализ». Акта Нумерика . 6 . Издательство Кембриджского университета: 523–551. Бибкод : 1997AcNum...6..523S . CiteSeerX 10.1.1.33.4678 . дои : 10.1017/s0962492900002774 . S2CID 5949193 .
^ Женщина, Ласло; Кампаньоло, Мануэль (2009). «Обзор вычислений в непрерывном времени». arXiv : 0907.3117 [ cs.CC ].
^ Томлин, Клэр Дж.; Митчелл, Ян; Байен, Александр М.; Оиси, Мико (июль 2003 г.). «Вычислительные методы проверки гибридных систем». Труды IEEE . 91 (7): 986–1001. CiteSeerX 10.1.1.70.4296 . дои : 10.1109/jproc.2003.814621 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Фортнау и Гомер (2003)
^ Ричард М. Карп, « Комбинаторика, сложность и случайность », лекция на премию Тьюринга 1985 г.
^ Ямада, Х. (1962). «Вычисления в реальном времени и рекурсивные функции, не вычислимые в реальном времени». Транзакции IEEE на электронных компьютерах . EC-11 (6): 753–760. дои : 10.1109/TEC.1962.5219459 .
^ Трахтенброт, Б.А.: Функции сигнализации и табличные операторы. Учёные записки Пензенского пединститута (Известия Пензенского педагогического института) 4, 75–87 (1956) (на русском языке)
^ Борис Трахтенброт, « От логики к теоретической информатике – обновление ». В: Столпы информатики , LNCS 4800, Springer 2008.
^ Ричард М. Карп (1972), «Сводимость среди комбинаторных задач» (PDF) , в Р.Э. Миллере; Дж. У. Тэтчер (ред.), Сложность компьютерных вычислений , Нью-Йорк: Пленум, стр. 85–103, заархивировано из оригинала (PDF) 29 июня 2011 г. , получено 28 сентября 2009 г.

Учебники

Арора, Санджив ; Барак, Боаз (2009), Сложность вычислений: современный подход , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-42426-4 , Збл 1193,68112
Дауни, Род; Стипендиаты, Майкл (1999), Параметризованная сложность , Монографии по информатике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 9780387948836
Черный, Дин-Чжу; Ко, Кер-И (2000), Теория вычислительной сложности , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-34506-0
Гэри, Майкл Р .; Джонсон, Дэвид С. (1979). Компьютеры и трудноразрешимые проблемы: Руководство по теории NP-полноты . Серия книг по математическим наукам (1-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company . ISBN 9780716710455 . МР 0519066 . OCLC 247570676 .
Гольдрайх, Одед (2008), Вычислительная сложность: концептуальная перспектива , Cambridge University Press
ван Леувен, Ян , изд. (1990), Справочник по теоретической информатике (том A): алгоритмы и сложность , MIT Press, ISBN 978-0-444-88071-0
Пападимитриу, Христос (1994), Вычислительная сложность (1-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-201-53082-7
Сипсер, Майкл (2006), Введение в теорию вычислений (2-е изд.), США: Технология курса Thomson, ISBN 978-0-534-95097-2

Опросы

Халил, Хатем; Улери, Дана (1976), «Обзор текущих исследований сложности алгоритмов для уравнений в частных производных», Материалы ежегодной конференции - ACM 76 , стр. 197–201, doi : 10.1145/800191.805573 , ISBN 9781450374897 , S2CID 15497394
Кук, Стивен (1983), «Обзор вычислительной сложности», Communications of the ACM , 26 (6): 400–408, doi : 10.1145/358141.358144 , ISSN 0001-0782 , S2CID 14323396
Пока, Лэнс; Гомер, Стивен (2003), «Краткая история вычислительной сложности» (PDF) , Бюллетень EATCS , 80 : 95–133
Мертенс, Стефан (2002), «Сложность вычислений для физиков», Computing in Science & Engineering , 4 (3): 31–47, arXiv : cond-mat/0012185 , Bibcode : 2002CSE.....4c..31M , дои : 10.1109/5992.998639 , ISSN 1521-9615 , S2CID 633346

Внешние ссылки

[1] «Проблема P против NP | Математический институт Клэя» . www.claymath.org . Архивировано из оригинала 6 июля 2018 года . Проверено 6 июля 2018 г.

[2] См. Arora & Barak 2009 , Глава 1: Вычислительная модель и почему это не имеет значения.

[Sipser2006-3] Перейти обратно: ^а ^б См. Sipser 2006 , Глава 7: Временная сложность.

[Ladner75-4] Перейти обратно: ^а ^б Ладнер, Ричард Э. (1975), «О структуре полиномиальной сводимости по времени», Журнал ACM , 22 (1): 151–171, doi : 10.1145/321864.321877 , S2CID 14352974 .

[5] Бергер, Бонни А .; Лейтон, Т. (1998), «Сворачивание белка в гидрофобно-гидрофильной (HP) модели является NP-полным», Journal of Computational Biology , 5 (1): 27–40, CiteSeerX 10.1.1.139.5547 , doi : 10.1089/ cmb.1998.5.27 , ПМИД 9541869 .

[6] Кук, Стивен (апрель 2000 г.), Проблема P и NP (PDF) , Институт математики Клэя , заархивировано из оригинала (PDF) 12 декабря 2010 г. , получено 18 октября 2006 г.

[7] Яффе, Артур М. (2006), «Большой вызов тысячелетия в математике» (PDF) , Уведомления AMS , 53 (6), заархивировано (PDF) из оригинала 12 июня 2006 г. , получено 18 октября 2006 г.

[AK06-8] Арвинд, Викраман; Курур, Пиюш П. (2006), «Изоморфизм графов в SPP», Information and Computation , 204 (5): 835–852, doi : 10.1016/j.ic.2006.02.002 .

[9] Шёнинг, Уве (1988), «Изоморфизм графов в низкой иерархии», Journal of Computer and System Sciences , 37 (3): 312–323, doi : 10.1016/0022-0000(88)90010-4

[10] Бабай, Ласло (2016). «Изоморфизм графов за квазиполиномиальное время». arXiv : 1512.03547 [ cs.DS ].

[11] Фортнау, Лэнс (13 сентября 2002 г.). «Блог о сложности вычислений: факторинг» . weblog.fortnow.com .

[12] Wolfram MathWorld: Сито с числовыми полями

[13] Курс Боаза Барака по сложности вычислений, лекция 2.

[14] Хопкрофт, Дж. Э., Мотвани, Р. и Уллман, Дж. Д. (2007) Введение в теорию автоматов, языки и вычисления , Аддисон Уэсли, Бостон/Сан-Франциско/Нью-Йорк (стр. 368)

[15] Меран, Жерар (2014). Алгоритмы и сложность . Эльзевир. п. п. 4 . ISBN 978-0-08093391-7 .

[16] Зобель, Джастин (2015). Написание статей по информатике . Спрингер. п. 132 . ISBN 978-1-44716639-9 .

[17] Смейл, Стив (1997). «Теория сложности и численный анализ». Акта Нумерика . 6 . Издательство Кембриджского университета: 523–551. Бибкод : 1997AcNum...6..523S . CiteSeerX 10.1.1.33.4678 . дои : 10.1017/s0962492900002774 . S2CID 5949193 .

[18] Женщина, Ласло; Кампаньоло, Мануэль (2009). «Обзор вычислений в непрерывном времени». arXiv : 0907.3117 [ cs.CC ].

[19] Томлин, Клэр Дж.; Митчелл, Ян; Байен, Александр М.; Оиси, Мико (июль 2003 г.). «Вычислительные методы проверки гибридных систем». Труды IEEE . 91 (7): 986–1001. CiteSeerX 10.1.1.70.4296 . дои : 10.1109/jproc.2003.814621 .

[Fortnow_2003-20] Перейти обратно: ^а ^б Фортнау и Гомер (2003)

[21] Ричард М. Карп, « Комбинаторика, сложность и случайность », лекция на премию Тьюринга 1985 г.

[22] Ямада, Х. (1962). «Вычисления в реальном времени и рекурсивные функции, не вычислимые в реальном времени». Транзакции IEEE на электронных компьютерах . EC-11 (6): 753–760. дои : 10.1109/TEC.1962.5219459 .

[23] Трахтенброт, Б.А.: Функции сигнализации и табличные операторы. Учёные записки Пензенского пединститута (Известия Пензенского педагогического института) 4, 75–87 (1956) (на русском языке)

[24] Борис Трахтенброт, « От логики к теоретической информатике – обновление ». В: Столпы информатики , LNCS 4800, Springer 2008.

[25] Ричард М. Карп (1972), «Сводимость среди комбинаторных задач» (PDF) , в Р.Э. Миллере; Дж. У. Тэтчер (ред.), Сложность компьютерных вычислений , Нью-Йорк: Пленум, стр. 85–103, заархивировано из оригинала (PDF) 29 июня 2011 г. , получено 28 сентября 2009 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

v т и Классы сложности
Considered feasible	DLOGTIME AC⁰ ACC⁰ TC⁰ L SL RL FL NL NL-complete NC SC CC P P-complete ZPP RP BPP BQP APX FP
Suspected infeasible	UP NP NP-complete NP-hard co-NP co-NP-complete TFNP FNP AM QMA PH ⊕P PP #P #P-complete IP PSPACE PSPACE-complete
Considered infeasible	EXPTIME NEXPTIME EXPSPACE 2-EXPTIME ELEMENTARY PR R RE ALL
Class hierarchies	Polynomial hierarchy Exponential hierarchy Grzegorczyk hierarchy Arithmetical hierarchy Boolean hierarchy
Families of classes	DTIME NTIME DSPACE NSPACE Probabilistically checkable proof Interactive proof system
List of complexity classes

v т и Информатика
Note: This template roughly follows the 2012 ACM Computing Classification System.
Hardware	Printed circuit board Peripheral Integrated circuit Very Large Scale Integration Systems on Chip (SoCs) Energy consumption (Green computing) Electronic design automation Hardware acceleration Processor Size / Form
Computer systems organization	Computer architecture Computational complexity Dependability Embedded system Real-time computing
Networks	Network architecture Network protocol Network components Network scheduler Network performance evaluation Network service
Software organization	Interpreter Middleware Virtual machine Operating system Software quality
Software notations and tools	Programming paradigm Programming language Compiler Domain-specific language Modeling language Software framework Integrated development environment Software configuration management Software library Software repository
Software development	Control variable Software development process Requirements analysis Software design Software construction Software deployment Software engineering Software maintenance Programming team Open-source model
Theory of computation	Model of computation Formal language Automata theory Computability theory Computational complexity theory Logic Semantics
Algorithms	Algorithm design Analysis of algorithms Algorithmic efficiency Randomized algorithm Computational geometry
Mathematics of computing	Discrete mathematics Probability Statistics Mathematical software Information theory Mathematical analysis Numerical analysis Theoretical computer science
Information systems	Database management system Information storage systems Enterprise information system Social information systems Geographic information system Decision support system Process control system Multimedia information system Data mining Digital library Computing platform Digital marketing World Wide Web Information retrieval
Security	Cryptography Formal methods Security hacker Security services Intrusion detection system Hardware security Network security Information security Application security
Human–computer interaction	Interaction design Social computing Ubiquitous computing Visualization Accessibility
Concurrency	Concurrent computing Parallel computing Distributed computing Multithreading Multiprocessing
Artificial intelligence	Natural language processing Knowledge representation and reasoning Computer vision Automated planning and scheduling Search methodology Control method Philosophy of artificial intelligence Distributed artificial intelligence
Machine learning	Supervised learning Unsupervised learning Reinforcement learning Multi-task learning Cross-validation
Graphics	Animation Rendering Photograph manipulation Graphics processing unit Mixed reality Virtual reality Image compression Solid modeling
Applied computing	Quantum Computing E-commerce Enterprise software Computational mathematics Computational physics Computational chemistry Computational biology Computational social science Computational engineering Differentiable computing Computational healthcare Digital art Electronic publishing Cyberwarfare Electronic voting Video games Word processing Operations research Educational technology Document management
Category Outline Glossaries