RC-цепь

Цепь резистор -конденсатор ( RC-цепь ), или RC-фильтр или RC-сеть , представляет собой электрическую цепь, состоящую из резисторов и конденсаторов . Он может управляться источником напряжения или тока , и они будут вызывать разные реакции. RC-цепь первого порядка состоит из одного резистора и одного конденсатора и представляет собой простейший тип RC-цепи.

RC-цепи можно использовать для фильтрации сигнала путем блокировки определенных частот и пропускания других. Двумя наиболее распространенными RC-фильтрами являются фильтры верхних частот и фильтры нижних частот ; для полосовых и полосовых фильтров обычно требуются RLC-фильтры , хотя грубые фильтры можно сделать с помощью RC-фильтров.

Введение

Существует три основных компонента линейной пассивной с сосредоточенными параметрами аналоговой схемы : резистор (R), конденсатор (C) и катушка индуктивности (L). Они могут быть объединены в цепь RC, цепь RL , цепь LC и цепь RLC , при этом аббревиатуры указывают, какие компоненты используются. Эти схемы, среди них, демонстрируют большое количество важных типов поведения, которые являются фундаментальными для большей части аналоговой электроники . В частности, они способны действовать как пассивные фильтры . В этой статье рассматривается RC-цепь как в последовательной , так и в параллельной форме, как показано на схемах ниже.

Естественный ответ

Простейшая RC-цепь состоит из резистора и заряженного конденсатора, соединенных друг с другом в один контур без внешнего источника напряжения. Как только цепь замыкается, конденсатор начинает разряжать накопленную энергию через резистор. Напряжение на конденсаторе, которое зависит от времени, можно найти с помощью закона тока Кирхгофа . Ток через резистор должен быть равен по величине (но противоположному знаку) производной по времени накопленного заряда на конденсаторе. Это приводит к линейному дифференциальному уравнению

C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0\,,

где $С$ – емкость конденсатора.

Решение этого уравнения для $V$ дает формулу экспоненциального затухания :

V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\,,

где $V 0$ — напряжение конденсатора в момент времени $t = 0$ .

Время, необходимое для падения напряжения до $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ V 0 / e ⁠$ называется постоянной времени RC и определяется как ^[1]

\tau =RC\,.

В этой формуле $τ$ измеряется в секундах, $R$ – в омах, а $C$ – в фарадах.

Комплексный импеданс

Комплексное сопротивление Омах $Z C$ (в ) конденсатора емкостью $C$ (в фарадах ) равно

Z_{C}={\frac {1}{sC}}

Комплексная частота $s$ , вообще говоря, является комплексным числом ,

s=\sigma +j\omega \,,

где

$j$ представляет мнимую единицу : $j 2 = -1$ ,
$σ$ — константа экспоненциального распада (в неперах в секунду), а
$ω$ — синусоидальная угловая частота (в радианах в секунду ).

Синусоидальное устойчивое состояние

Синусоидальное устойчивое состояние — это особый случай, в котором входное напряжение представляет собой чистую синусоиду (без экспоненциального затухания). Как результат, $\sigma =0$ и импеданс становится

Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}\,.

Последовательная схема

Если рассматривать схему как делитель напряжения , напряжение на конденсаторе составит:

V_{C}(s)={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)

а напряжение на резисторе равно:

V_{R}(s)={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.

Передаточные функции

Передаточная функция от входного напряжения к напряжению на конденсаторе равна

H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.

Аналогично, передаточная функция от входа к напряжению на резисторе равна

H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.

Полюсы и нули

Обе передаточные функции имеют один полюс, расположенный в точке

s=-{\frac {1}{RC}}\,.

Кроме того, передаточная функция напряжения на резисторе имеет ноль, расположенный в начале координат .

Усиление и фаза

Величина выигрыша по двум компонентам равна

G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}

и

G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,

а фазовые углы равны

\phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)

и

\phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.

Эти выражения вместе можно заменить в обычное выражение для вектора , представляющего выходные данные:

{\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}

Текущий

Ток в цепи везде одинаков, так как цепь включена последовательно:

I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.

Импульсный отклик

Импульсная характеристика для каждого напряжения представляет собой обратное преобразование Лапласа соответствующей передаточной функции. Он представляет собой реакцию схемы на входное напряжение, состоящее из импульса или дельта-функции Дирака .

Импульсная характеристика напряжения конденсатора равна

h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,

где $u (t)$ — ступенчатая функция Хевисайда , а $τ = RC$ — постоянная времени .

Аналогично, импульсная характеристика напряжения резистора равна

h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,

где $δ (t)$ — дельта-функция Дирака

Вопросы частотной области

Это выражения частотной области . Их анализ покажет, какие частоты схемы (или фильтры) пропускают, а какие отклоняют. Этот анализ основан на рассмотрении того, что происходит с этими выигрышами, когда частота становится очень большой или очень маленькой.

При $ω \to \infty$ :

G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.

При $ω \to 0$ :

G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.

Это показывает, что если выходной сигнал подается через конденсатор, высокие частоты ослабляются (замыкаются на землю) и пропускаются низкие частоты. Таким образом, схема ведет себя как фильтр нижних частот . Однако если выходной сигнал подается через резистор, высокие частоты пропускаются, а низкие частоты ослабляются (поскольку конденсатор блокирует сигнал, когда его частота приближается к 0). В этой конфигурации схема ведет себя как фильтр верхних частот .

Диапазон частот, который пропускает фильтр, называется его полосой пропускания . Точка, в которой фильтр ослабляет сигнал до половины его нефильтрованной мощности, называется частотой среза . Для этого необходимо уменьшить коэффициент усиления схемы до

G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}

.

Решение приведенного выше уравнения дает

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}

это частота, которую фильтр будет ослаблять до половины своей первоначальной мощности.

Очевидно, что фазы также зависят от частоты, хотя этот эффект в целом менее интересен, чем изменение коэффициента усиления.

При $ω \to 0$ :

\phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.

При $ω \to \infty$ :

\phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.

Таким образом, при постоянном токе (0 Гц ) напряжение конденсатора находится в фазе с напряжением сигнала, а напряжение резистора опережает его на 90°. По мере увеличения частоты напряжение конденсатора отстает на 90° относительно сигнала, а напряжение резистора становится синфазным с сигналом.

Соображения во временной области

Этот раздел основан на знании $e$ , натуральной логарифмической константы .

временной области — использовать преобразования Лапласа выражений для $VC,$ и $VR Самый простой способ получить поведение во$ приведенных выше. Это эффективно преобразует $jω \to s$ . Предполагая пошаговый ввод (т. е. $V in = 0$ до $t = 0$ , а затем $V in = V$ после этого):

{\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}

Разложение частных дробей и обратное преобразование Лапласа дают:

{\begin{aligned}V_{C}(t)&=V\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=Ve^{-{\frac {t}{RC}}}\,.\end{aligned}}

Эти уравнения предназначены для расчета напряжения на конденсаторе и резисторе соответственно во время зарядки конденсатора ; для разряда уравнения обратные. Эти уравнения можно переписать в терминах заряда и тока, используя соотношения $C = ⁠ Q / V ⁠$ и $V = IR$ (см. закон Ома ).

Таким образом, напряжение на конденсаторе с течением времени стремится к $V$ , а напряжение на резисторе стремится к 0, как показано на рисунках. Это соответствует интуитивному предположению, что конденсатор будет заряжаться от напряжения питания с течением времени и в конечном итоге будет полностью заряжен.

Эти уравнения показывают, что последовательная RC-цепь имеет постоянную времени , обычно обозначаемую $τ = RC$ , обозначающую время, в течение которого напряжение на компоненте либо возрастает (на конденсаторе), либо падает (на резисторе) в пределах $⁠ 1 / e ⁠$ от его конечного значения. То есть $τ$ необходимое $VC — это время ,$ для достижения $V (1 - ⁠ 1 / e ⁠)$ и $VR,$ чтобы достичь $V (⁠ 1 / e ⁠)$ .

Скорость изменения дробная 1 $— ⁠ 1 / е ⁠$ за $τ$ . Таким образом, при переходе от $t = Nτ$ к $t = (N + 1) τ$ напряжение переместится примерно на 63,2% пути от уровня при $t = Nτ$ к своему конечному значению. Таким образом, конденсатор будет заряжен примерно до 63,2% после $τ$ и практически полностью заряжен (99,3%) примерно через $5 τ$ . Когда источник напряжения заменяется на короткое замыкание, при полностью заряженном конденсаторе напряжение на конденсаторе падает экспоненциально с $t$ от $V$ до 0. Конденсатор будет разряжен примерно до 36,8% после $τ$ и, по существу, полностью разряжен (0,7% ) примерно через $5 τ$ . Обратите внимание, что ток $I$ в цепи ведет себя так же, как и напряжение на резисторе, согласно закону Ома .

Эти результаты также могут быть получены путем решения дифференциальных уравнений, описывающих схему:

{\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}

Первое уравнение решается с использованием интегрирующего коэффициента , а второе легко выводится; решения точно такие же, как и те, которые получены с помощью преобразований Лапласа.

Интегратор

Рассмотрим выходной сигнал конденсатора на высокой частоте, т.е.

\omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.

Это означает, что у конденсатора недостаточно времени для зарядки, и поэтому его напряжение очень мало. Таким образом, входное напряжение примерно равно напряжению на резисторе. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим выражение для $I$ приведено выше:

I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,

но обратите внимание, что описанное частотное условие означает, что

\omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,

так

I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}

это просто закон Ома .

Сейчас,

V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,

так

V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,,

который является интегратором на конденсаторе .

Дифференциатор

Рассмотрим выходной сигнал резистора на низкой частоте, т.е.

\omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.

Это означает, что конденсатор успевает зарядиться до тех пор, пока его напряжение не станет практически равным напряжению источника. Снова обратимся к выражению $I$ , когда

R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,

так

{\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}

Сейчас,

{\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,,\end{aligned}}

который является дифференциатором на резисторе .

Интегрирование и дифференцирование также могут быть достигнуты путем размещения соответствующих резисторов и конденсаторов на входе и обратной связи контуре операционных усилителей (см. «Интегратор операционного усилителя» и «Дифференциатор операционного усилителя» ).

Параллельная схема

Параллельная RC-цепь обычно представляет меньший интерес, чем последовательная. Во многом это связано с тем, что выходное напряжение $V out$ равно входному напряжению $V in$ — в результате эта схема не действует как фильтр входного сигнала, если он не питается от источника тока .

При комплексных сопротивлениях:

{\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}

Это показывает, что ток конденсатора сдвинут по фазе на 90° с током резистора (и источника). В качестве альтернативы можно использовать основные дифференциальные уравнения:

{\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}

При питании от источника тока передаточная функция параллельной RC-цепи равна:

{\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.

Синтез

Иногда требуется синтезировать RC-цепь по заданной рациональной функции в s . Чтобы синтез был возможен в пассивных элементах, функция должна быть положительно-вещественной функцией . Для синтеза в виде RC-цепи все критические частоты ( полюсы и нули ) должны находиться на отрицательной действительной оси и чередоваться между полюсами и нулями с равным количеством каждого. Кроме того, критическая частота, ближайшая к началу координат, должна быть полюсом, если предположить, что рациональная функция представляет собой импеданс, а не адмиттанс.

Синтез может быть достигнут с помощью модификации синтеза Фостера или синтеза Кауэра, используемых для синтеза LC-схем . В случае синтеза Кауэра лестничная сеть резисторов и конденсаторов. получится ^[2]

См. также

Ссылки

^ Горовиц и Хилл, с. 1.13
^ Бакши и Бакши, стр. 3-30–3-37.

Библиография

Бакши, UA; Бакши А.В., Анализ цепей - II , Технические публикации, 2009. ISBN 9788184315974 .
Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд, Искусство электроники (3-е издание), Cambridge University Press, 2015 г. ISBN 0521809266 .

[1] Горовиц и Хилл, с. 1.13

[2] Бакши и Бакши, стр. 3-30–3-37.

[1]

[2]