Полугруппа с инволюцией

В математике , особенно в абстрактной алгебре , полугруппа с инволюцией или *-полугруппа — это полугруппа , наделенная инволютивным антиавтоморфизмом , который, грубо говоря, приближает ее к группе, поскольку эта инволюция, рассматриваемая как унарный оператор , демонстрирует определенные основные свойства операции взятия обратной в группе:

Уникальность
Двойное приложение «отменяет само себя».
Тот же закон взаимодействия с бинарной операцией, что и в случае с обратной группой.

Поэтому неудивительно, что любая группа является полугруппой с инволюцией. Однако существуют важные естественные примеры полугрупп с инволюцией, которые не являются группами.

Примером из алгебры является мультипликативный моноид действительных линейной квадратных матриц порядка n (называемый полным линейным моноидом ). Карта , которая отправляет матрицу на транспонирование, является инволюцией, поскольку транспонирование четко определено для любой матрицы и подчиняется закону ( AB ) ^Т = Б ^ТА ^Т, который имеет ту же форму взаимодействия с умножением, что и обратные операции в общей линейной группе (которая является подгруппой полного линейного моноида). Однако для произвольной матрицы AA ^Т не равен единичному элементу (а именно диагональной матрице ). Другой пример, взятый из формального языка теории , — это свободная полугруппа , порожденная непустым множеством ( алфавитом ), с конкатенацией строк в качестве бинарной операции, а инволюцией является отображение, которое меняет линейный порядок букв в строке. Третий пример из базовой теории множеств — это совокупность всех бинарных отношений между множеством и самим собой, причем инволюция является обратным отношением , а умножение задаётся обычной композицией отношений .

Полугруппы с инволюцией были явно названы в статье Виктора Вагнера 1953 года (на русском языке) в результате его попытки соединить теорию полугрупп с теорией полукучек . ^[1]

Формальное определение

Пусть S — полугруппа , бинарная операция которой записана мультипликативно. Инволюция в S — это унарная операция * над S (или преобразование * : S → S , x ↦ x *), удовлетворяющая следующим условиям:

Для всех x в S ( x *)* = x .
Для всех x , y в S имеем ( xy )* = y * x *.

Полугруппа S с инволюцией * называется полугруппой с инволюцией.

Полугруппы, удовлетворяющие только первой из этих аксиом, принадлежат к более широкому классу U-полугрупп .

В некоторых приложениях вторую из этих аксиом называют антидистрибутивной . ^[2] Что касается естественной философии этой аксиомы, Х.С.М. Коксетер заметил, что она «становится ясной, когда мы думаем о [x] и [y] как об операциях надевания носков и обуви соответственно». ^[3]

Примеры

Если S — коммутативная полугруппа, то тождественное отображение S является инволюцией.
Если S — группа , то отображение инверсии * : S → S определяется формулой x * = x. ⁻¹ является инволюцией. Более того, на абелевой группе и это отображение, и отображение из предыдущего примера являются инволюциями, удовлетворяющими аксиомам полугруппы с инволюцией. ^[4]
Если S — инверсная полугруппа , то отображение инверсии представляет собой инволюцию, оставляющую идемпотенты инвариантными . Как отмечалось в предыдущем примере, отображение инверсии не обязательно является единственным отображением с этим свойством в обратной полугруппе. Вполне могут существовать и другие инволюции, которые оставляют все идемпотенты инвариантными; например, тождественное отображение коммутативной регулярной, а значит, и обратной, полугруппы, в частности, абелевой группы. Регулярная полугруппа является инверсной полугруппой тогда и только тогда, когда она допускает инволюцию, относительно которой каждый идемпотент является инвариантом. ^[5]
В основе каждой C*-алгебры лежит *-полугруппа. Важным примером является алгебра M _n ( C ) n x размером n матриц над C с сопряженным транспонированием в качестве инволюции.
Если X — множество, множество всех бинарных отношений на X представляет собой *-полугруппу, где * задано обратным отношением , а умножение задано обычной композицией отношений . Это пример *-полугруппы, которая не является регулярной полугруппой.
Если X — множество, то множество всех конечных последовательностей (или строк ) членов X образует свободный моноид при операции конкатенации последовательностей с обращением последовательности в качестве инволюции.
Прямоугольная полоса на декартовом произведении множества A с самим собой, т.е. с элементами из A × A , с произведением полугруппы, определенным как ( a , b )( c , d ) = ( a , d ), с инволюцией, являющейся изменение порядка элементов пары ( a , b )* = ( b , a ). Эта полугруппа также является регулярной полугруппой , как и все полосы. ^[6]

Основные понятия и свойства

Элемент x полугруппы с инволюцией иногда называют эрмитовым (по аналогии с эрмитовой матрицей ), когда он остается инвариантным инволюцией, то есть x * = x . Элементы формы xx * или x * x всегда являются эрмитовыми, как и все степени эрмитовых элементов. Как отмечено в разделе примеров, полугруппа S является обратной полугруппой тогда и только тогда, когда S является регулярной полугруппой и допускает инволюцию, такую что каждый идемпотент является эрмитовым. ^[7]

Некоторые основные понятия могут быть определены на *-полугруппах способом, аналогичным понятиям, возникающим из регулярного элемента в полугруппе . Частичная изометрия — это элемент s такой, что ss * s = s ; множество частичных изометрий полугруппы S обычно обозначается сокращенно PI( S ). ^[8] Проекция — это идемпотентный элемент e , который также является эрмитовым, что означает, что ee = e и e * = e . Каждая проекция является частичной изометрией, и для каждой частичной изометрии s , s * s и ss * являются проекциями. Если e и f — проекции, то e = ef тогда и только тогда, когда e = fe . ^[9]

Частичные изометрии могут быть частично упорядочены по принципу s ≤ t, определенному как выполняемый всякий раз, когда s = ss * t и ss * = ss * tt *. ^[9] Эквивалентно, s ≤ t тогда и только тогда, когда s = et и e = ett * для некоторой проекции e . ^[9] В *-полугруппе PI( S ) представляет собой упорядоченный группоид с частичным произведением, равным s ⋅ t = st, если s * s = tt *. ^[10]

Примеры

В качестве примеров этих понятий в *-полугруппе бинарных отношений на множестве частичные изометрии представляют собой отношения, которые являются дифункциональными . Проекциями в этой *-полугруппе являются отношения частичной эквивалентности . ^[11]

Частичные изометрии в C*-алгебре — это именно те изометрии, которые определены в этом разделе. В случае Mn _. ( C ) можно сказать больше Если E и F — проекции, то E ⩽ F тогда и только тогда, когда im E ⊆ im F . Для любых двух проекций, если E ∩ F = V , то единственная проекция J с образом V и ядром, ортогональным дополнением к V, является пересечением E и F . проекции образуют встречную полурешетку , частичные изометрии на Mn _{Поскольку} ( C ) образуют обратную полугруппу с произведением $A(A^{*}A\wedge BB^{*})B$ . ^[12]

Еще один простой пример этих понятий представлен в следующем разделе.

Понятия регулярности

Существуют два родственных, но не тождественных понятия регулярности в *-полугруппах. Они были представлены почти одновременно Нордалем и Шейблихом (1978) и Дразиным (1979) соответственно. ^[13]

Регулярные *-полугруппы (Нордаль и Шейблих)

Как упоминалось в предыдущих примерах , инверсные полугруппы являются подклассом *-полугрупп. Из учебника также известно, что инверсную полугруппу можно охарактеризовать как регулярную полугруппу, в которой любые два идемпотента коммутируют. В 1963 году Борис М. Шейн показал, что следующие две аксиомы дают аналогичную характеристику инверсных полугрупп как подмногообразия *-полугрупп:

х = хх * х
( хх *)( х * х ) = ( х * х )( х *)

Первое из них похоже на определение регулярного элемента, но на самом деле оно дано в терминах инволюции. Точно так же вторая аксиома, по-видимому, описывает коммутацию двух идемпотентов. Однако известно, что регулярные полугруппы не образуют многообразия, поскольку их класс не содержит свободных объектов (результат, установленный Д.Б. Макалистером в 1968 г.). Эта линия рассуждений побудила Нордаля и Шейблиха начать в 1977 году исследование (разнообразия) *-полугрупп, которые удовлетворяют только первым из этих двух аксиом; из-за сходства формы со свойством, определяющим регулярные полугруппы, это многообразие было названо регулярными *-полугруппами.

Легко вычислить, чтобы установить, что регулярная *-полугруппа также является регулярной полугруппой, поскольку x * оказывается инверсией x . Прямоугольная полоса из примера 7 — это правильная *-полугруппа, не являющаяся обратной полугруппой. ^[6] Также легко проверить, что в регулярной *-полугруппе произведение любых двух проекторов является идемпотентом. ^[14] В вышеупомянутом примере с прямоугольной полосой проекции представляют собой элементы формы ( x , x ) и [как и все элементы полосы] идемпотентны. Однако две разные проекции в этой зоне не обязательно коммутируют, и их произведение не обязательно является проекцией, поскольку ( a , a )( b , b ) = ( a , b ).

Полугруппы, удовлетворяющие только x ** = x = xx * x (но не обязательно антидистрибутивности * по умножению), также изучались под названием I-полугрупп .

П-системы

К проблеме определения того, является ли регулярная полугруппа регулярной *-полугруппой (в смысле Нордаля и Шейблиха), обратился М. Ямада (1982). Он определил P-систему F(S) как подмножество идемпотентов системы S, обычно обозначаемое E(S). Используя обычное обозначение V( a ) для обратных a , F(S) должно удовлетворять следующим аксиомам:

Для любого а из S существует единственное а° в V( a ) такое, что аа ° и а ° а находятся в F(S)
Для любого a из S и b из F(S) a°ba находится в F(S), где ° — четко определенная операция из предыдущей аксиомы.
Для любых a , b в F(S), ab находится в E(S); примечание: не обязательно в F(S)

Регулярная полугруппа S является *-регулярной полугруппой, как это определено Нордалем и Шейблихом, тогда и только тогда, когда она имеет p-систему F(S). В этом случае F(S) — множество проекций S относительно операции о, определяемой F(S). В инверсной полугруппе вся полурешетка идемпотентов является p-системой. Кроме того, если регулярная полугруппа S имеет мультипликативно замкнутую p-систему (т. е. подполугруппу), то S является инверсной полугруппой. Таким образом, p-систему можно рассматривать как обобщение полурешетки идемпотентов обратной полугруппы.

*-регулярные полугруппы (Дразин)

Полугруппа S с инволюцией * называется *-регулярной полугруппой (в смысле Дразина), если для каждого S x * x H -эквивалентен некоторому обратному x , где H — отношение Грина H. из Это определяющее свойство можно сформулировать несколькими эквивалентными способами. Другой вариант — сказать, что каждый L -класс содержит проекцию. Аксиоматическое определение — это условие, что для каждого x в S существует элемент x ′ такой, что x ′ xx ′ = x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′)* = xx ′ , ( x ′ x )* = х ′ х . Майкл П. Дразин первым доказал, что при заданном x элемент x ′, удовлетворяющий этим аксиомам, уникален. Это называется инверсией Мура-Пенроуза x . Это согласуется с классическим определением Мура – Пенроуза обратной квадратной матрицы .

Одной из причин изучения этих полугрупп является то, что они позволяют обобщить свойства инверсии Мура – Пенроуза из ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ и ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠ к более общим наборам.

В мультипликативной полугруппе M _n ( C ) квадратных матриц порядка n отображение, сопоставляющее матрицу A ее эрмитовой сопряженной A *, является инволюцией. Полугруппа M _n ( C ) является *-регулярной полугруппой с этой инволюцией. Инверсия Мура–Пенроуза A в этой *-регулярной полугруппе является классической инверсией Мура–Пенроуза A .

Свободная полугруппа с инволюцией

Как и все многообразия, категория полугрупп с инволюцией допускает свободные объекты . Конструкция свободной полугруппы (или моноида) с инволюцией основана на конструкции свободной полугруппы (и соответственно свободного моноида). Более того, конструкцию свободной группы легко получить, уточняя конструкцию свободного моноида с инволюцией. ^[15]

Генераторы свободной полугруппы с инволюцией — это элементы объединения двух ( равнозначных ) непересекающихся множеств в биективном соответствии : $Y=X\sqcup X^{\dagger }$ . (Здесь обозначения $\sqcup \,$ подчеркнул, что объединение на самом деле является непересекающимся объединением .) В случае, когда два множества конечны, их объединение Y иногда называют алфавитом с инволюцией. ^[16] или симметричный алфавит . ^[17] Позволять $\theta :X\rightarrow X^{\dagger }$ быть биекцией; $\theta$ естественным образом продолжается до биекции ${}\dagger :Y\to Y$ по существу, взяв несвязное объединение $\theta$ (как набор) с его обратным , или в кусочном обозначении: ^[18]

y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}

Теперь построим $Y^{+}\,$ как свободная полугруппа на $Y\,$ обычным способом с бинарной (полугрупповой) операцией над $Y^{+}\,$ является конкатенацией :

w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}

для некоторых букв

w_{i}\in Y.

Биекция $\dagger$ на $Y$ затем расширяется как биекция ${}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}$ определяется как строковое обращение элементов $Y^{+}\,$ состоящие из более чем одной буквы: ^[16]^[18]

w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.

Это отображение является инволюцией на полугруппе $Y^{+}\,$ . Таким образом, полугруппа $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ с картой ${}^{\dagger }\,$ — полугруппа с инволюцией, называемая свободной полугруппой с инволюцией на X . ^[19] (Несущественность конкретной личности $X^{\dagger }$ и биекции $\theta$ Такой выбор терминологии поясняется ниже с точки зрения универсального свойства конструкции.) Заметим, что в отличие от примера 6 инволюция каждой буквы является отдельным элементом в алфавите с инволюцией, и, следовательно, то же наблюдение распространяется и на свободный элемент. полугруппа с инволюцией.

Если в приведенной выше конструкции вместо $Y^{+}\,$ мы используем свободный моноид $Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}$ , которая представляет собой просто свободную полугруппу, расширенную пустым словом $\varepsilon \,$ который является единичным элементом моноида ( $Y^{*}\,$ ) и соответствующим образом расширить инволюцию с помощью $\varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon$ ,получим свободный моноид с инволюцией . ^[18]

Приведенная выше конструкция на самом деле является единственным способом расширить данную карту. $\theta \,$ от $X\,$ к $X^{\dagger }\,$ , к инволюции на $Y^{+}\,$ (и аналогично на $Y^{*}\,$ ). Уточнение «свободно» для этих конструкций оправдано в обычном смысле, что они являются универсальными конструкциями . В случае свободной полугруппы с инволюцией дана произвольная полугруппа с инволюцией $S\,$ и карта $\Phi :X\rightarrow S$ , то гомоморфизм полугрупп ${\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S$ существует такое, что $\Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}$ , где $\iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ – карта включения , а композиция функций берется в порядке диаграммы . ^[19] Строительство $(X\sqcup X^{\dagger })^{+}$ как полугруппа с инволюцией единственна с точностью до изоморфизма . Аналогичное рассуждение справедливо для свободного моноида с инволюцией в терминах моноидных гомоморфизмов и единственности с точностью до изоморфизма конструкции $(X\sqcup X^{\dagger })^{*}$ как моноид с инволюцией.

Конструкция свободной группы не очень далека от конструкции свободного моноида с инволюцией. Дополнительный ингредиент, необходимый для определения понятия сокращенного слова и правила переписывания для создания таких слов, просто удаляя любые соседние пары букв вида $xx^{\dagger }$ или $x^{\dagger }x$ . Можно показать, что порядок перезаписи (удаления) таких пар не имеет значения, т.е. любой порядок удалений дает один и тот же результат. ^[15] (Иначе, эти правила определяют конфлюэнтную систему переписывания.) Эквивалентно, свободная группа строится из свободного моноида с инволюцией путем факторизации последнего по конгруэнтности $\{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}$ , которое иногда называют сравнением Дейка — в определенном смысле оно обобщает язык Дика на несколько видов «круглых скобок». Однако упрощение в сравнении Дейка происходит независимо от порядка. Например, если ")" является инверсией "(", то $()=)(=\varepsilon$ ; одностороннее сравнение, которое появляется в собственно языке Дейка $\{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}$ , который создается только для $()=\varepsilon$ (возможно, сбивчиво) называется сравнением Шамира . Фактор свободного моноида с инволюцией по конгруэнтности Шамира есть не группа, а моноид; назвал ее свободной полугруппой тем не менее ее первый открыватель Эли Шамир , хотя совсем недавно ее стали называть инволютивным моноидом порожденным X. , ^[17]^[20] (Однако этот последний выбор терминологии противоречит использованию слова «инволютивный» для обозначения любой полугруппы с инволюцией - практика, также встречающаяся в литературе. ^[21]^[22])

Бэровские *-полугруппы

*-полугруппа Бэра — это *-полугруппа с (двусторонним) нулем, в которой правый аннулятор каждого элемента совпадает с правым идеалом некоторой проекции; формально это свойство выражается так: для всех x ∈ S существует проектор e такой, что

{ € у S | ху знак равно 0 } = еS . ^[22]

Проекция e фактически однозначно определяется x . ^[22]

Совсем недавно *-полугруппы Бэра стали также называть полугруппами Фулиса в честь Дэвида Джеймса Фулиса , который их глубоко изучил. ^[23]^[24]

Примеры и приложения

Множество всех бинарных отношений на множестве (из примера 5 ) является бэровской *-полугруппой. ^[25]

Бэровские *-полугруппы встречаются и в квантовой механике . ^[22] в частности, как мультипликативные полугруппы бэровских *-колец .

Если H — гильбертово пространство , то мультипликативная полугруппа всех ограниченных операторов в H является *-полугруппой Бэра. Инволюция в этом случае отображает оператор в сопряженный с ним оператор . ^[25]

*-полугруппы Бэра допускают координацию ортомодулярных решеток . ^[23]

См. также

Категория кинжала (она же категория с инволюцией) — обобщает понятие.
*-алгебра
Специальные классы полугрупп

Примечания

^ Кристофер Холлингс (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 265. ИСБН 978-1-4704-1493-1 .
^ Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике . Спрингер. п. 4. ISBN 978-3-211-82971-4 .
^ HSM Коксетер, Введение в геометрию , с. 33
^ К. ван ден Берг; JPR Кристенсен; П. Рессель (2012). Гармонический анализ полугрупп: теория положительно определенных и связанных функций . Springer Science & Business Media. стр. 87–88. ISBN 978-1-4612-1128-0 .
^ Манн, Лемма 1
^ Jump up to: ^а ^б Нордаль и Шейблих
^ Исдаун, Дэвид и У. Д. Манн. «О полугруппах с инволюцией». Бюллетень Австралийского математического общества 48.01 (1993): 93–100.
^ Лоусон, с. 116
^ Jump up to: ^а ^б ^с Лоусон, с. 117
^ Лоусон, с. 118
^ Лоусон стр.122 и стр.35
^ Лоусон стр.120
^ Црвенкович и Долинка
^ Нордаль и Шейблих, Теорема 2.5.
^ Jump up to: ^а ^б Лоусон п. 51
^ Jump up to: ^а ^б Анджей Эренфойхт; Т. Харью; Гжегож Розенберг (1999). Теория 2-структур: основа декомпозиции и преобразования графов . Всемирная научная. стр. 13–14. ISBN 978-981-02-4042-4 .
^ Jump up to: ^а ^б Жак Сакарович. Элементы теории автоматов . Издательство Кембриджского университета. стр. 305–306.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Стивен Липскомб (1996). Симметричные инверсные полугруппы . Американское математическое соц. п. 86. ИСБН 978-0-8218-0627-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Лоусон п. 172
^ Ион Петре; Арто Саломаа (2009). «Алгебраические системы и автоматы с понижением». В Манфреде Дросте; Вернер Куич; Хайко Фоглер (ред.). Справочник по взвешенным автоматам . Спрингер. п. 271. ИСБН 978-3-642-01492-5 .
^ Карл-Герман Нееб (2000). Голоморфность и выпуклость в теории лжи . Вальтер де Грюйтер. п. 21. ISBN 978-3-11-015669-0 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Энрико Дж. Бельтраметти; Джанни Кассинелли (2010) [1981]. Логика квантовой механики . Издательство Кембриджского университета. п. 178. ИСБН 978-0-521-16849-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Т.С. Блит (2006). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer Science & Business Media. стр. 101–102. ISBN 978-1-84628-127-3 .
^ Хардинг, Джон. «Кинжалы, ядра, бэровские *-полугруппы и ортомодулярность». Журнал философской логики . 6 апреля 2013 г. два : 10.1007/s10992-013-9275-5
^ Jump up to: ^а ^б Фулис, Д. Д. Относительные обратные в *-полугруппах Бэра. Мичиганская математика. Дж. 10 (1963), вып. 1, 65–84. дои : 10.1307/mmj/1028998825 .

Ссылки

Марк В. Лоусон (1998). «Обратные полугруппы: теория частичных симметрий». Всемирный научный ISBN 981-02-3316-7
DJ Фулис (1958). Инволюционные полугруппы , докторская диссертация, Университет Тулейн, Новый Орлеан, Луизиана. Публикации DJ Foulis (по состоянию на 5 мая 2009 г.)
У. Д. Манн, Особые инволюции , в книге А. Х. Клиффорда, К. Х. Хофмана, М. В. Мислова, Теория полугрупп и ее приложения: материалы конференции 1994 года, посвященной работе Альфреда Х. Клиффорда , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0521576695 . Это недавняя обзорная статья о полугруппах с (специальной) инволюцией.
Дразин М.П., Регулярные полугруппы с инволюцией , Тр. Симп. о регулярных полугруппах (ДеКалб, 1979), 29–46.
Нордаль Т.Е. и Х.Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Semigroup Forum , 16 (1978), 369–377.
Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24 (1), декабрь 1982 г., стр. 173–187.
С. Црвенкович и Игорь Долинка, « Многообразия инволюционных полугрупп и инволюционных полуколец: обзор », Бюллетень Общества математиков Баня-Луки Vol. 9 (2002), 7–47.
Эта статья включает в себя материалы из Free полугруппы с инволюцией на PlanetMath , которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[Hollings2014-1] Кристофер Холлингс (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество. п. 265. ИСБН 978-1-4704-1493-1 .

[BrinkKahl1997-2] Крис Бринк; Вольфрам Каль; Гюнтер Шмидт (1997). Реляционные методы в информатике . Спрингер. п. 4. ISBN 978-3-211-82971-4 .

[3] HSM Коксетер, Введение в геометрию , с. 33

[BergChristensen2012-4] К. ван ден Берг; JPR Кристенсен; П. Рессель (2012). Гармонический анализ полугрупп: теория положительно определенных и связанных функций . Springer Science & Business Media. стр. 87–88. ISBN 978-1-4612-1128-0 .

[5] Манн, Лемма 1

[Nordahl_and_Scheiblich-6] Jump up to: ^а ^б Нордаль и Шейблих

[7] Исдаун, Дэвид и У. Д. Манн. «О полугруппах с инволюцией». Бюллетень Австралийского математического общества 48.01 (1993): 93–100.

[8] Лоусон, с. 116

[L117-9] Jump up to: ^а ^б ^с Лоусон, с. 117

[10] Лоусон, с. 118

[11] Лоусон стр.122 и стр.35

[12] Лоусон стр.120

[13] Црвенкович и Долинка

[14] Нордаль и Шейблих, Теорема 2.5.

[L51-15] Jump up to: ^а ^б Лоусон п. 51

[EhrenfeuchtHarju1999-16] Jump up to: ^а ^б Анджей Эренфойхт; Т. Харью; Гжегож Розенберг (1999). Теория 2-структур: основа декомпозиции и преобразования графов . Всемирная научная. стр. 13–14. ISBN 978-981-02-4042-4 .

[Sakarovitch-17] Jump up to: ^а ^б Жак Сакарович. Элементы теории автоматов . Издательство Кембриджского университета. стр. 305–306.

[Lipscomb1996-18] Jump up to: ^а ^б ^с Стивен Липскомб (1996). Симметричные инверсные полугруппы . Американское математическое соц. п. 86. ИСБН 978-0-8218-0627-2 .

[L172-19] Jump up to: ^а ^б Лоусон п. 172

[DrosteKuich2009-20] Ион Петре; Арто Саломаа (2009). «Алгебраические системы и автоматы с понижением». В Манфреде Дросте; Вернер Куич; Хайко Фоглер (ред.). Справочник по взвешенным автоматам . Спрингер. п. 271. ИСБН 978-3-642-01492-5 .

[Neeb2000-21] Карл-Герман Нееб (2000). Голоморфность и выпуклость в теории лжи . Вальтер де Грюйтер. п. 21. ISBN 978-3-11-015669-0 .

[BeltramettiCassinelli2010-22] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Энрико Дж. Бельтраметти; Джанни Кассинелли (2010) [1981]. Логика квантовой механики . Издательство Кембриджского университета. п. 178. ИСБН 978-0-521-16849-6 .

[Blyth2006-23] Jump up to: ^а ^б Т.С. Блит (2006). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer Science & Business Media. стр. 101–102. ISBN 978-1-84628-127-3 .

[24] Хардинг, Джон. «Кинжалы, ядра, бэровские *-полугруппы и ортомодулярность». Журнал философской логики . 6 апреля 2013 г. два : 10.1007/s10992-013-9275-5

[Foulis63-25] Jump up to: ^а ^б Фулис, Д. Д. Относительные обратные в *-полугруппах Бэра. Мичиганская математика. Дж. 10 (1963), вып. 1, 65–84. дои : 10.1307/mmj/1028998825 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]