Разложение Жордана – Шевалле

В математике , особенно в линейной алгебре , разложение Жордана-Шевалле , названное в честь Камиллы Жордана и Клода Шевалле , выражает линейный оператор уникальным способом как сумму двух других линейных операторов, которые легче понять. В частности, одна часть потенциально диагонализуема , а другая нильпотентна . Эти две части являются полиномами в операторе, что позволяет им хорошо вести себя при алгебраических манипуляциях.

Разложение имеет краткое описание, когда задана жорданова нормальная форма оператора, но оно существует при более слабых гипотезах, чем те, которые необходимы для существования жордановой нормальной формы. Следовательно, разложение Жордана–Шевалле можно рассматривать как обобщение жордановой нормальной формы, что также отражено в нескольких ее доказательствах.

Она тесно связана с основной теоремой Веддерберна об ассоциативных алгебрах , которая также приводит к нескольким аналогам в алгебрах Ли . Аналоги разложения Жордана – Шевалле также существуют для элементов линейных алгебраических групп и групп Ли посредством мультипликативной переформулировки. Декомпозиция является важным инструментом в изучении всех этих объектов и была разработана именно для этой цели.

Во многих текстах потенциально диагонализуемая часть также характеризуется как полупростая часть.

Введение

оператор в конечномерном векторном пространстве Основной вопрос линейной алгебры заключается в том, можно ли диагонализовать . Например, это тесно связано с собственными значениями оператора. В некоторых контекстах можно иметь дело со многими операторами, которые не являются диагонализуемыми. Даже над алгебраически замкнутым полем диагонализация может не существовать. В этом контексте нормальная форма Жордана достигает наилучшего результата, подобного диагонализации. У линейных операторов над полем , которое не является алгебраически замкнутым , собственный вектор может вообще отсутствовать. Этот последний момент не является главной проблемой, связанной с разложением Жордана – Шевалле. Чтобы избежать этой проблемы, вместо этого рассматриваются потенциально диагонализируемые операторы , которые допускают диагонализацию над некоторым полем (или, что то же самое, над алгебраическим замыканием рассматриваемого поля).

Операторы, которые «наиболее далеки» от диагонализуемости, являются нильпотентными операторами . Оператор (или, в более общем смысле, элемент кольца ) $x$ называется нильпотентным, если существует некоторое положительное целое число $m\geq 1$ такой, что $x^{m}=0$. В некоторых контекстах абстрактной алгебры бывает так, что наличие нильпотентных элементов кольца значительно усложняет работу с ними. В некоторой степени это справедливо и для линейных операторов. Разложение Жордана – Шевалле «выделяет» нильпотентную часть оператора, что делает его потенциально недиагонализуемым. Поэтому, когда оно существует, сложности, вносимые нильпотентными операторами и их взаимодействием с другими операторами, можно понять с помощью разложения Жордана – Шевалле.

Исторически разложение Жордана – Шевалле было мотивировано приложениями к теории алгебр Ли и линейных алгебраических групп . как описано в разделах ниже .

Разложение линейного оператора

Позволять $K$ будь полем , $V$ конечномерное векторное пространство над $K$, и $T$ линейный оператор над $V$ (эквивалентно матрице с записями из $K$). Если минимальный полином $T$ раскалывается $K$ (например, если $K$ алгебраически замкнуто), то $T$ имеет жорданову нормальную форму $T=SJS^{-1}$. Если $D$ диагональ $J$, позволять $R=J-D$ быть оставшейся частью. Затем $T=SDS^{-1}+SRS^{-1}$ представляет собой разложение, при котором $SDS^{-1}$ диагонализуема и $SRS^{-1}$ является нильпотентным. Эта повторная формулировка нормальной формы как аддитивного разложения не только делает численные вычисления более стабильными. , но может быть обобщен на случаи, когда минимальный полином $T$ не разделяется.

Если минимальный полином $T$ распадается на отдельные линейные факторы, то $T$ является диагонализируемым. Следовательно, если минимальный полином $T$ по крайней мере сепарабельно , то $T$ потенциально диагонализуема. Разложение Жордана – Шевалле касается более общего случая, когда минимальный многочлен от $T$ является произведением разделимых полиномов.

Позволять $x:V\to V$ — любой линейный оператор в конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $K$. Разложение Жордана – Шевалле $x$ является выражением его в виде суммы

$x=x_{s}+x_{n}$ ,

где $x_{s}$ потенциально диагонализуема, $x_{n}$ нильпотентен, и $x_{s}x_{n}=x_{n}x_{s}$.

Разложение Жордана-Шевалле — Пусть $x:V\to V$ любой оператор в конечномерном векторном пространстве $V$ над полем $K$. Затем $x$ допускает разложение Жордана-Шевалле тогда и только тогда, когда минимальный многочлен $x$ является произведением разделимых полиномов. Более того, в этом случае имеет место единственное разложение Жордана-Шевалле, и $x_{s}$ (и, следовательно, также $x_{n}$) можно записать в виде многочлена (с коэффициентами из $K$) в $x$ с нулевым постоянным коэффициентом.

Некоторые доказательства обсуждаются в ( Couty, Esterle & Zarouf 2011 ). Ниже также описаны два аргумента.

Если $K$ является совершенным полем , то каждый многочлен является произведением разделимых многочленов (поскольку каждый многочлен является произведением своих неприводимых факторов, а они разделимы над совершенным полем). Таким образом, в этом случае разложение Жордана–Шевалле всегда существует. Более того, над совершенным полем многочлен сепарабельен тогда и только тогда, когда он свободен от квадратов. Следовательно, оператор потенциально диагонализуем тогда и только тогда, когда его минимальный полином не содержит квадратов. В общем случае (над любым полем) минимальный многочлен линейного оператора бесквадратен тогда и только тогда, когда оператор полупрост . (В частности, сумма двух коммутирующих полупростых операторов всегда полупроста над совершенным полем. То же утверждение неверно над общими полями.) Свойство полупростости более актуально, чем потенциально диагонализируемость, в большинстве контекстов, где свойство Жордана – Шевалле применяется разложение, например, для алгебр Ли. По этим причинам многие тексты ограничиваются случаем идеальных полей.

Доказательство уникальности и необходимости

Что $x_{s}$ и $x_{n}$ являются полиномами в $x$ подразумевает, в частности, что они коммутируют с любым оператором, который коммутирует с $x$. Это наблюдение лежит в основе доказательства единственности.

Позволять $x=x_{s}+x_{n}$ — разложение Жордана–Шевалле, в котором $x_{s}$ и (следовательно, также) $x_{n}$ являются полиномами в $x$. Позволять $x=x_{s}'+x_{n}'$ — любое разложение Жордана–Шевалле. Затем $x_{s}-x_{s}'=x_{n}'-x_{n}$, и $x_{s}',x_{n}'$ оба ездят с $x$, следовательно, с $x_{s},x_{n}$ поскольку это полиномы от $x$. Сумма коммутирующих нильпотентных операторов снова нильпотентна, а сумма коммутирующих потенциально диагонализируемых операторов снова потенциально диагонализуема (поскольку они одновременно диагонализуемы над алгебраическим замыканием $K$). Поскольку единственным оператором, который одновременно потенциально диагонализуем и нильпотентен, является нулевой оператор, отсюда следует, что $x_{s}-x_{s}'=0=x_{n}-x_{n}'$.

Показать, что условие, $x$ иметь минимальный многочлен, который является произведением разделимых многочленов, предположим, что $x=x_{s}+x_{n}$ является некоторым разложением Жордана–Шевалле. Сдача в аренду $p$ — отделимый минимальный многочлен от $x_{s}$, можно проверить с помощью биномиальной теоремы, что $p(x_{s}+x_{n})$ можно записать как $x_{n}y$ где $y$ является некоторым полиномом от $x_{s},x_{n}$. Более того, для некоторых $\ell \geq 1$, $x_{n}^{\ell }=0$. Таким образом $p(x)^{\ell }=x_{n}^{\ell }y^{\ell }=0$ и поэтому минимальный полином $x$ должен разделить $p^{\ell }$. Как $p^{\ell }$ является произведением разделимых многочленов (а именно копий $p$), так же как и минимальный полином.

Конкретный пример несуществования

Если основное поле не идеально , то разложение Жордана – Шевалле может не существовать, поскольку возможно, что минимальный многочлен не является произведением разделимых многочленов. Простейшим примером такого рода является следующий. Позволять $p$ простое число, пусть $k$ быть несовершенным полем характеристики $p,$ (например $k=\mathbb {F} _{p}(t)$) и выберите $a\in k$ это не $p$ая сила. Позволять $V=k[X]/\left(X^{p}-a\right)^{2},$ позволять $x={\overline {X}}$ быть изображением в частном и пусть $T$ быть $k$-линейный оператор, заданный умножением на $x$ в $V$. Обратите внимание, что минимальный полином в точности равен $\left(X^{p}-a\right)^{2}$, который неотделим и является квадратом. В силу необходимости условия разложения Жордана–Шевалле (как показано в последнем разделе) этот оператор не имеет разложения Жордана–Шевалле. Может быть поучительно конкретно увидеть, почему по крайней мере нет разложения на бесквадратную и нильпотентную часть.

показывать Конкретный аргумент в пользу отсутствия разложения Джордана-Чавелли.

Note that $T$ has as its invariant $k$-linear subspaces precisely the ideals of $V$ viewed as a ring, which correspond to the ideals of $k[X]$ containing $\left(X^{p}-a\right)^{2}$. Since $X^{p}-a$ is irreducible in $k[X],$ ideals of $V$ are $0,$ $V$ and $J=\left(x^{p}-a\right)V.$ Suppose $T=S+N$ for commuting $k$-linear operators $S$ and $N$ that are respectively semisimple (just over $k$, which is weaker than semisimplicity over an algebraic closure of $k$ and also weaker than being potentially diagonalisable) and nilpotent. Since $S$ and $N$ commute, they each commute with $T=S+N$ and hence each acts $k[x]$-linearly on $V$. Therefore $S$ and $N$ are each given by multiplication by respective members of $V$ $s=S(1)$ and $n=N(1),$ with $s+n=T(1)=x$. Since $N$ is nilpotent, $n$ is nilpotent in $V,$ therefore ${\overline {n}}=0$ in $V/J,$ for $V/J$ is a field. Hence, $n\in J,$ therefore $n=\left(x^{p}-a\right)h(x)$ for some polynomial $h(X)\in k[X]$. Also, we see that $n^{2}=0$. Since $k$ is of characteristic $p,$ we have $x^{p}=s^{p}+n^{p}=s^{p}$. On the other hand, since ${\overline {x}}={\overline {s}}$ in $A/J,$ we have $h\left({\overline {s}}\right)=h\left({\overline {x}}\right),$ therefore $h(s)-h(x)\in J$ in $V.$ Since $\left(x^{p}-a\right)J=0,$ we have $\left(x^{p}-a\right)h(x)=\left(x^{p}-a\right)h(s).$ Combining these results we get $x=s+n=s+\left(s^{p}-a\right)h(s).$ This shows that $s$ generates $V$ as a $k$-algebra and thus the $S$-stable $k$-linear subspaces of $V$ are ideals of $V,$ i.e. they are $0,$ $J$ and $V.$ We see that $J$ is an $S$-invariant subspace of $V$ which has no complement $S$-invariant subspace, contrary to the assumption that $S$ is semisimple. Thus, there is no decomposition of $T$ as a sum of commuting $k$-linear operators that are respectively semisimple and nilpotent.

Если вместо полинома $\left(X^{p}-a\right)^{2}$, то же построение выполняется с ${X^{p}}-a$, результирующий оператор $T$ по-прежнему не допускает разложения Жордана–Шевалле по основной теореме. Однако, $T$ является полупростым. Тривиальное разложение $T=T+0$ следовательно, выражает $T$ как сумму полупростого и нильпотентного операторов, оба из которых являются полиномами от $T$.

Элементарное доказательство существования

Эта конструкция похожа на лемму Гензеля тем, что она использует алгебраический аналог теоремы Тейлора для нахождения элемента с определенным алгебраическим свойством с помощью варианта метода Ньютона . В таком виде оно взято из ( Geck 2022 ).

Позволять $x$ иметь минимальный полином $p$ и предположим, что это произведение разделимых полиномов. Это условие эквивалентно требованию существования некоторого сепарабельного $q$ такой, что $q\mid p$ и $p\mid q^{m}$ для некоторых $m\geq 1$. По лемме Безу существуют многочлены $u$ и $v$ такой, что ${uq+{vq'}}=1$. Это можно использовать для определения рекурсии $x_{n+1}=x_{n}-v(x_{n})q(x_{n})$, начиная с $x_{0}=x$. Сдача в аренду ${\mathfrak {X}}$ — алгебра операторов, являющихся полиномами от $x$, можно проверить по индукции, что для всех $n$:

• $x_{n}\in {\mathfrak {X}}$ потому что на каждом шаге применяется полином,
• $x_{n}-x\in q(x)\cdot {\mathfrak {X}}$ потому что $x_{n+1}-x=(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n}-x)$ и оба термина находятся в $q(x)\cdot {\mathfrak {X}}$ по предположению индукции,
• $q(x_{n})\in q(x)^{2^{n}}\cdot {\mathfrak {X}}$ потому что $q(x_{n+1})=q(x_{n})+q'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n+1}-x_{n})^{2}h$ для некоторых $h\in {\mathfrak {X}}$ (по алгебраической версии теоремы Тейлора). По определению $x_{n+1}$ а также из $u$ и $v$, это упрощается до $q(x_{n+1})=q(x_{n})^{2}(u(x_{n})+v(x_{n})^{2}h)$, что действительно заключается в $q(x)^{2^{n+1}}\cdot {\mathfrak {X}}$ по предположению индукции.

Таким образом, как только $2^{n}\geq m$, $q(x_{n})=0$ по третьему пункту, так как $p\mid q^{m}$ и $p(x)=0$, поэтому минимальный полином $x_{n}$ разделит $q$ и, следовательно, быть разделимыми. Более того, $x_{n}$ будет многочленом $x$ по первому пункту и $x_{n}-x$ будет нильпотентным по второму пункту (фактически, $(x_{n}-x)^{m}=0$). Поэтому, $x=x_{n}+(x-x_{n})$ тогда представляет собой разложение Жордана – Шевалле $x$. КЭД

Это доказательство, помимо того, что оно совершенно элементарно, имеет то преимущество, что оно алгоритмическое : по теореме Кэли-Гамильтона , $p$ можно принять за характеристический многочлен $x$и во многих контекстах $q$ можно определить из $p$. Затем $v$ можно определить с помощью алгоритма Евклида . Итерация применения полинома $vq$ в матрицу, то это может быть выполнено до тех пор, пока либо $v(x_{n})q(x_{n})=0$ (потому что тогда все последующие значения будут равны) или $2^{n}$ превышает размерность векторного пространства, на котором $x$ определяется (где $n$ — количество выполненных шагов итерации, как указано выше).

Доказательство существования с помощью теории Галуа

Это доказательство или его варианты обычно используются для установления разложения Жордана – Шевалле. Его преимущество состоит в том, что оно очень прямое и довольно точно описывает, насколько близко можно подойти к разложению Жордана – Шевалле: Если $L$ является полем расщепления минимального многочлена $x$ и $G$ группа автоморфизмов есть $L$ которые исправляют базовое поле $K$, то набор $F$ элементов $L$ которые фиксируются всеми элементами $G$ поле с включениями $K\subseteq F\subseteq L$ (см. переписку Галуа ). Ниже утверждается, что $x$ допускает разложение Жордана–Шевалле по $F$, а не любое меньшее поле. Этот аргумент не использует теорию Галуа . Однако теория Галуа требует вывести из этого приведенное выше условие существования Жордана-Шевалле.

Выше было замечено, что если $x$ имеет жорданову нормальную форму (т.е. если минимальный многочлен от $x$ расщепляется), то оно имеет разложение Жордана Шевалле. В этом случае также можно непосредственно видеть, что $x_{n}$ (и, следовательно, также $x_{s}$) является многочленом от $x$. Действительно, достаточно проверить это на разложении жордановой матрицы $J=D+R$. Это технический аргумент, но он не требует никаких ухищрений, кроме китайской теоремы об остатках .

показывать Доказательство (разложение Жордана-Шевалле по нормальной форме Жордана)

In the Jordan normal form, we have written $V=\bigoplus _{i=1}^{r}V_{i}$ where $r$ is the number of Jordan blocks and $x|_{V_{i}}$ is one Jordan block. Now let $f(t)=\operatorname {det} (tI-x)$ be the characteristic polynomial of $x$. Because $f$ splits, it can be written as $f(t)=\prod _{i=1}^{r}(t-\lambda _{i})^{d_{i}}$, where $r$ is the number of Jordan blocks, $\lambda _{i}$ are the distinct eigenvalues, and $d_{i}$ are the sizes of the Jordan blocks, so $d_{i}=\dim V_{i}$. Now, the Chinese remainder theorem applied to the polynomial ring $k[t]$ gives a polynomial $p(t)$ satisfying the conditions $p(t)\equiv 0{\bmod {t}},\,p(t)\equiv \lambda _{i}{\bmod {(}}t-\lambda _{i})^{d_{i}}$ (for all i). (There is a redundancy in the conditions if some $\lambda _{i}$ is zero but that is not an issue; just remove it from the conditions.) The condition $p(t)\equiv \lambda _{i}{\bmod {(}}t-\lambda _{i})^{d_{i}}$, when spelled out, means that $p(t)-\lambda _{i}=g_{i}(t)(t-\lambda _{i})^{d_{i}}$ for some polynomial $g_{i}(t)$. Since $(x-\lambda _{i}I)^{d_{i}}$ is the zero map on $V_{i}$, $p(x)$ and $x_{s}$ agree on each $V_{i}$; i.e., $p(x)=x_{s}$. Also then $q(x)=x_{n}$ with $q(t)=t-p(t)$. The condition $p(t)\equiv 0{\bmod {t}}$ ensures that $p(t)$ and $q(t)$ have no constant terms. This completes the proof of the theorem in case the minimal polynomial of $x$ splits.

Этот факт можно использовать для вывода разложения Жордана–Шевалле в общем случае. Позволять $L$ — поле разложения минимального многочлена $x$, так что $x$ допускает жорданову нормальную форму над $L$. Тогда, согласно только что приведенному аргументу, $x$ имеет разложение Жордана – Шевалле $x={c(x)}+{(x-{c(x)})}$ где $c$ представляет собой многочлен с коэффициентами из $L$, $c(x)$ диагонализируема (более $L$) и $x-c(x)$ является нильпотентным.

Позволять $\sigma$ быть полевым автоморфизмом $L$ который исправляет $K$. Затем $$c(x)+(x-{c(x)})=x={\sigma (x)}={\sigma ({c(x)})}+{\sigma (x-{c(x)})}$$Здесь $\sigma (c(x))=\sigma (c)(x)$ является полиномом по $x$, так и есть $x-c(x)$. Таким образом, $\sigma (c(x))$ и $\sigma (x-c(x))$ добираться. Также, $\sigma (c(x))$ потенциально диагонализуема и $\sigma ({x-c(x)})$ является нильпотентным. Таким образом, в силу единственности разложения Жордана–Шевалле (по $L$), $\sigma (c(x))=c(x)$ и $\sigma (c(x))=c(x)$. Следовательно, по определению $x_{s},x_{n}$ являются эндоморфизмами (представленными матрицами) над $F$. Наконец, поскольку $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ содержит $L$-базис, охватывающий пространство, содержащее $x_{s},x_{n}$, по тому же рассуждению мы также видим, что $c$ имеет коэффициенты в $F$. КЭД

Если минимальный полином $x$ является произведением разделимых полиномов, то расширение поля $L/K$ Галуа есть , то $F=K$.

Связь с теорией алгебр

Сепарабельные алгебры

Разложение Жордана – Шевалле очень тесно связано с основной теоремой Веддерберна в следующей формулировке:

Основная теорема Веддерберна — Пусть $A$ — конечномерная ассоциативная алгебра над полем $K$ с радикалом Джейкобсона $J$. Затем $A/J$ сепарабельна тогда и только тогда, когда $A$ имеет сепарабельную полупростую подалгебру $B$ такой, что $A=B\oplus J$.

Обычно термин «сепарабельная» в этой теореме относится к общей концепции сепарабельной алгебры , и тогда теорема может быть установлена ​​как следствие более общего результата высокой мощности. Однако если вместо этого интерпретировать его в более фундаментальном смысле, что каждый элемент имеет отделимый минимальный полином, то это утверждение по существу эквивалентно разложению Жордана – Шевалле, как описано выше. Это дает другой способ рассмотрения разложения, и, например, ( Jacobson 1979 ) использует этот путь для его установления.

показывать Доказательство эквивалентности основной теоремы Веддерберна и разложения Жордана-Шевалле.

To see how the Jordan–Chevalley decomposition follows from the Wedderburn principal theorem, let $V$ be a finite-dimensional vector space over the field $K$, $x:V\to V$ an endomorphism with a minimal polynomial which is a product of separable polynomials and $A=K[x]\subset \operatorname {End} (V)$ the subalgebra generated by $x$. Note that $A$ is a commutative Artinian ring, so $J$ is also the nilradical of $A$. Moreover, $A/J$ is separable, because if $a\in A$, then for minimal polynomial $p$, there is a separable polynomial $q$ such that $q\mid p$ and $p\mid q^{m}$ for some $m\geq 1$. Therefore $q(a)\in J$, so the minimal polynomial of the image $a+J\in A/J$ divides $q$, meaning that it must be separable as well (since a divisor of a separable polynomial is separable). There is then the vector-space decomposition $A=B\oplus J$ with $B$ separable. In particular, the endomorphism $x$ can be written as $x=x_{s}+x_{n}$ where $x_{s}\in B$ and $x_{n}\in J$. Moreover, both elements are, like any element of $A$, polynomials in $x$. Conversely, the Wedderburn principal theorem in the formulation above is a consequence of the Jordan–Chevalley decomposition. If $A$ has a separable subalgebra $B$ such that $A=B\oplus J$, then $A/J\cong B$ is separable. Conversely, if $A/J$ is separable, then any element of $A$ is a sum of a separable and a nilpotent element. As shown above in #Proof of uniqueness and necessity, this implies that the minimal polynomial will be a product of separable polynomials. Let $x\in A$ be arbitrary, define the operator $T_{x}:A\to A,a\mapsto ax$, and note that this has the same minimal polynomial as $x$. So it admits a Jordan–Chevalley decomposition, where both operators are polynomials in $T_{x}$, hence of the form $T_{s},T_{n}$ for some $s,n\in A$ which have separable and nilpotent minimal polynomials, respectively. Moreover, this decomposition is unique. Thus if $B$ is the subalgebra of all separable elements (that this is a subalgebra can be seen by recalling that $s$ is separable if and only if $T_{s}$ is potentially diagonalisable), $A=B\oplus J$ (because $J$ is the ideal of nilpotent elements). The algebra $B\cong A/J$ is separable and semisimple by assumption.

В идеальных полях этот результат упрощается. Действительно, $A/J$ тогда всегда отделима в смысле минимальных полиномов: если $a\in A$, то минимальный полином $p$ является произведением разделимых многочленов, поэтому существует разделимый многочлен $q$ такой, что $q\mid p$ и $p\mid q^{m}$ для некоторых $m\geq 1$. Таким образом $q(a)\in J$. Итак, в $A/J$, минимальный полином $a+J$ делит $q$ и, следовательно, является разделимым. Ключевым моментом в теореме является не то, что $A/J$ сепарабельна (поскольку это условие пусто), но она полупроста, то есть ее радикал тривиален.

То же утверждение верно и для алгебр Ли, но только в нулевой характеристике. В этом состоит содержание теоремы Леви . (Обратите внимание, что понятия полупростости в обоих результатах действительно совпадают, поскольку в обоих случаях это эквивалентно сумме простых подалгебр или наличию тривиального радикала, по крайней мере, в конечномерном случае.)

Сохранение под изображениями

Важным моментом в доказательстве приведенной выше основной теоремы Веддерберна является то, что элемент $x\in A$ соответствует линейному оператору $T_{x}:A\to A$ с теми же свойствами. В теории алгебр Ли это соответствует присоединенному представлению алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$. Этот разложенный оператор имеет разложение Жордана – Шевалле. $\operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x)_{s}+\operatorname {ad} (x)_{n}$. Как и в ассоциативном случае, это соответствует разложению $x$, но полиномы недоступны в качестве инструмента. Одним из контекстов, в которых это имеет смысл, является ограниченный случай, когда ${\mathfrak {g}}$ содержится в алгебре Ли ${\mathfrak {gl}}(V)$ эндоморфизмов конечномерного векторного пространства $V$ над идеальным полем $K$. Действительно, любую полупростую алгебру Ли . таким образом можно реализовать

Если $x=x_{s}+x_{n}$ есть разложение Жордана, тогда $\operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x_{s})+\operatorname {ad} (x_{n})$ является йордановым разложением присоединенного эндоморфизма $\operatorname {ad} (x)$ в векторном пространстве ${\mathfrak {g}}$. Действительно, во-первых, $\operatorname {ad} (x_{s})$ и $\operatorname {ad} (x_{n})$ ездить на работу с тех пор $[\operatorname {ad} (x_{s}),\operatorname {ad} (x_{n})]=\operatorname {ad} ([x_{s},x_{n}])=0$. Во-вторых, вообще говоря, для каждого эндоморфизма $y\in {\mathfrak {g}}$, у нас есть:

1. Если $y^{m}=0$, затем $\operatorname {ad} (y)^{2m-1}=0$, с $\operatorname {ad} (y)$ это разница левого и правого умножения на y .
2. Если $y$ полупросто, то $\operatorname {ad} (y)$ является полупростым, поскольку полупростое эквивалентно потенциально диагонализуемому над совершенным полем (если $y$ диагональна над базисом $\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$, затем $\operatorname {ad} (y)$ диагональен над базисом, состоящим из отображений $M_{ij}$ с $b_{i}\mapsto b_{j}$ и $b_{k}\mapsto 0$ для $k\neq 0$).

Следовательно, в силу единственности $\operatorname {ad} (x)_{s}=\operatorname {ad} (x_{s})$ и $\operatorname {ad} (x)_{n}=\operatorname {ad} (x_{n})$.

Сопряженное представление — очень естественное и общее представление любой алгебры Ли. Приведенный выше аргумент иллюстрирует (и фактически доказывает) общий принцип, который обобщает это: если $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ — любое конечномерное представление полупростой конечномерной алгебры Ли над совершенным полем, то $\pi$ сохраняет разложение Жордана в следующем смысле: если $x=x_{s}+x_{n}$, затем $\pi (x_{s})=\pi (x)_{s}$ и $\pi (x_{n})=\pi (x)_{n}$.

Критерий нильпотентности

Разложение Жордана можно использовать для характеристики нильпотентности эндоморфизма. Пусть k — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики, $E=\operatorname {End} _{\mathbb {Q} }(k)$ кольцо эндоморфизмов k над рациональными числами и V - конечномерное векторное пространство над k . Учитывая эндоморфизм $x:V\to V$, позволять $x=s+n$ быть жордановым разложением. Затем $s$ является диагонализируемым; то есть, ${\textstyle V=\bigoplus V_{i}}$ где каждый $V_{i}$ является собственным пространством для собственного значения $\lambda _{i}$ с кратностью $m_{i}$. Тогда для любого $\varphi \in E$ позволять $\varphi (s):V\to V$ — эндоморфизм такой, что $\varphi (s):V_{i}\to V_{i}$ это умножение на $\varphi (\lambda _{i})$. Шевалле звонит $\varphi (s)$ копия ​ ​ $s$ данный $\varphi$. (Например, если $k=\mathbb {C}$, то комплексно-сопряженное эндоморфизм является примером реплики.) Теперь

Критерий нильпотентности — $x$ нильпотентен (т.е. $s=0$) тогда и только тогда, когда $\operatorname {tr} (x\varphi (s))=0$ для каждого $\varphi \in E$. Кроме того, если $k=\mathbb {C}$, то достаточно выполнения условия $\varphi =$ сложное сопряжение.

Доказательство: Во-первых, поскольку $n\varphi (s)$ является нильпотентным,

$0=\operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(s\varphi (s)|V_{i}\right)=\sum _{i}m_{i}\lambda _{i}\varphi (\lambda _{i})$.

Если $\varphi$ – комплексное сопряжение, отсюда следует $\lambda _{i}=0$ для каждого я . В противном случае возьмите $\varphi$ быть $\mathbb {Q}$-линейный функционал $\varphi :k\to \mathbb {Q}$ с последующим $\mathbb {Q} \hookrightarrow k$. Применяя это к приведенному выше уравнению, получаем:

$\sum _{i}m_{i}\varphi (\lambda _{i})^{2}=0$

и, поскольку $\varphi (\lambda _{i})$ все действительные числа, $\varphi (\lambda _{i})=0$ для каждого я . Тогда из изменения линейных функционалов следует $\lambda _{i}=0$ для каждого я . $\square$

Типичным применением указанного критерия является доказательство критерия Картана разрешимости алгебры Ли. Там написано: если ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$ — подалгебра Ли над полем k нулевой характеристики такая, что $\operatorname {tr} (xy)=0$ для каждого $x\in {\mathfrak {g}},y\in D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$, затем ${\mathfrak {g}}$ разрешима.

Доказательство: Без ограничения общности предположим, что k алгебраически замкнуто. По теореме Ли и теореме Энгеля достаточно показать для каждого $x\in D{\mathfrak {g}}$, $x$ is a nilpotent endomorphism of V . Write ${\textstyle x=\sum _{i}[x_{i},y_{i}]}$. Тогда нам нужно показать:

$\operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} ([x_{i},y_{i}]\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} (x_{i}[y_{i},\varphi (s)])$

равен нулю. Позволять ${\mathfrak {g}}'={\mathfrak {gl}}(V)$. Обратите внимание, что у нас есть: $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}$ и, поскольку $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)$ — полупростая часть жорданового разложения $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)$, отсюда следует, что $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)$ представляет собой полином без постоянного члена $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)$; следовательно, $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}$ и то же самое верно и с $\varphi (s)$ вместо $s$. То есть, $[\varphi (s),{\mathfrak {g}}]\subset D{\mathfrak {g}}$, что подразумевает утверждение с учетом предположения. $\square$

Вещественные полупростые алгебры Ли

В формулировке Шевалле и Мостоу аддитивное разложение утверждает, что элемент X в вещественной полупростой алгебре Ли g с разложением Ивасавы g = k ⊕ a ⊕ n может быть записан как сумма трех коммутирующих элементов алгебры Ли X = S + D + N , где S , D и N сопряжены с элементами из k , a и n соответственно. В общем случае члены разложения Ивасавы не коммутируют.

Мультипликативное разложение

Если $x$ является обратимым линейным оператором, возможно, будет удобнее использовать мультипликативное разложение Жордана–Шевалле. Это выражает $x$ как продукт

$x=x_{s}\cdot x_{u}$,

где $x_{s}$ потенциально диагонализируема, и $x_{u}-1$ нильпотентен (также говорят, что $x_{u}$ является унипотентным).

Мультипликативный вариант разложения следует из аддитивного, поскольку $x_{s}$ обратим (поскольку сумма обратимого оператора и нильпотентного оператора обратима)

$x=x_{s}+x_{n}=x_{s}\left(1+x_{s}^{-1}x_{n}\right)$

и $1+x_{s}^{-1}x_{n}$ является унипотентным. (И наоборот, с помощью того же типа аргументов можно вывести аддитивную версию из мультипликативной.)

Мультипликативная версия тесно связана с разложениями, встречающимися в линейной алгебраической группе. Для этого снова полезно предположить, что основное поле $K$ является совершенным, поскольку тогда разложение Жордана–Шевалле существует для всех матриц.

Линейные алгебраические группы

Позволять $G$ — линейная алгебраическая группа над совершенным полем. Тогда по существу по определению существует замкнутое вложение $G\hookrightarrow \mathbf {GL} _{n}$. Теперь к каждому элементу $g\in G$, по мультипликативному жорданову разложению существует пара полупростых элементов $g_{s}$ и унипотентный элемент $g_{u}$ априори в $\mathbf {GL} _{n}$ такой, что $g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}$. Но, как оказалось, элементы $g_{s},g_{u}$ можно показать, что он находится в $G$ (т. е. они удовлетворяют определяющим уравнениям G ) и что они не зависят от вложения в $\mathbf {GL} _{n}$; т. е. разложение является внутренним.

Когда G абелева, $G$ тогда является прямым произведением замкнутой подгруппы полупростых элементов в G и подгруппы унипотентных элементов.

Вещественные полупростые группы Ли

Мультипликативное разложение утверждает, что если g является элементом соответствующей связной полупростой группы Ли G с соответствующим разложением Ивасавы G = KAN , то g можно записать как произведение трех коммутирующих элементов g = sdu с s , d и u, сопряженными с элементами K A , соответственно и N . В общем случае члены разложения Ивасавы g = kan не коммутируют.

Ссылки

• Шевалле, Клод (1951), Теория групп Ли. Том II. Алгебраические группы , Герман, OCLC   277477632
• Кути, Даниэль; Эстерле, Жан; Заруф, Рашид (2010), Эффективное разложение Джордана-Шевалле и его последствия в обучении. (PDF) (препринт)
• Кути, Даниэль; Эстерле, Жан; Заруф, Рашид (16 июня 2011 г.), «Эффективное разложение Джордана-Шевалле и его последствия в обучении». (PDF) , Gazette des Mathématiciens , вып. 129, с. 29–49
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Гек, Мейнольф (18 июня 2022 г.), О разложении матрицы Жордана-Шевалле , arXiv : 2205.05432
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  0-8218-2848-7
• Хамфрис, Джеймс Э. (1981), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 21, Спрингер, ISBN  0-387-90108-6
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Springer, ISBN  978-0-387-90053-7
• Джейкобсон, Натан (1979) [1962], алгебры Ли , Дувр, ISBN  0-486-63832-4
• Лазард, М. (1954), «Теория реплик. Критерий Картана (лекция № 6)» , Семинар «Sophus Lie» , 1 , заархивировано из оригинала 4 июля 2013 г.
• Мостоу, Г.Д. (1954), "Факторные пространства разрешимых групп", Ann. математики. , 60 (1): 1–27, номер документа : 10.2307/1969700 , JSTOR   1969700.
• Мостоу, Г.Д. (1973), Сильная жесткость локально симметричных пространств , Анналы математических исследований, том. 78, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08136-0
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001
• Серр, Жан-Пьер (1992), Алгебры Ли и группы Ли: лекции, прочитанные в Гарвардском университете в 1964 году , Конспекты лекций по математике, том. 1500 (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-55008-2
• Варадараджан, В.С. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Тексты для аспирантов по математике, том. 102, Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-90969-9
• Уотерхаус, Уильям (1979), Введение в схемы аффинных групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 66, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-6217-6 , ISBN.  978-0-387-90421-4 , МР   0547117