Коллектор CR

В математике — многообразие CR или многообразие Коши–Римана . является дифференцируемым многообразием вместе с геометрической структурой, смоделированной на основе реальной гиперповерхности в комплексном векторном пространстве или, в более общем смысле, смоделированной на ребре клина .

Формально CR-многообразие — это дифференцируемое многообразие M вместе с выделенным комплексным распределением L или, другими словами, комплексное подрасслоение комплексифицированного . касательного расслоения $\mathbb {C} TM=TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ такой, что

• $[L,L]\subseteq L$ ( L интегрируемо формально ​ )
• $L\cap {\bar {L}}=\{0\}$.

Подрасслоение L называется CR-структурой на многообразии M .

Аббревиатура CR означает « Коши-Риман » или «Комплекс-Вещественный».

Введение и мотивация

Понятие структуры CR пытается по сути описать свойство быть гиперповерхностью (или некоторыми вещественными подмногообразиями более высокой коразмерности) в комплексном пространстве путем изучения свойств голоморфных векторных полей , касающихся гиперповерхности.

Предположим, например, что M — гиперповерхность $\mathbb {C} ^{2}$ заданное уравнением

$F(z,w):=|z|^{2}+|w|^{2}=1,$

где z и w — обычные комплексные координаты на $\mathbb {C} ^{2}$. Голоморфное расслоение касательное $\mathbb {C} ^{2}$ состоит из всех линейных комбинаций векторов

${\frac {\partial }{\partial z}},\quad {\frac {\partial }{\partial w}}.$

Распределение L на M состоит из всех комбинаций этих векторов касающихся M , . Касательные векторы должны аннулировать определяющее уравнение для M , поэтому L состоит из комплексных скалярных кратных

${\bar {w}}{\frac {\partial }{\partial z}}-{\bar {z}}{\frac {\partial }{\partial w}}.$

В частности, L состоит из голоморфных векторных полей, аннулирующих F . Обратите внимание, что L дает структуру CR на M для [ L , L ] = 0 (поскольку L одномерен) и $L\cap {\bar {L}}=\{0\}$ поскольку ∂/∂ z и ∂/∂ w линейно независимы от своих комплексно-сопряженных.

В более общем смысле, предположим, что M — реальная гиперповерхность в $\mathbb {C} ^{n},$ с определяющим уравнением F ( z ₁ , ..., z _n ) = 0. Тогда структура CR L состоит из тех линейных комбинаций основных голоморфных векторов на $\mathbb {C} ^{n}$:

${\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}$

которые аннулируют определяющую функцию. В этом случае, $L\cap {\bar {L}}=\{0\}$ по той же причине, что и раньше. Более того, [ L , L ] ⊂ L , поскольку коммутатор голоморфных векторных полей, аннулирующий F, является голоморфным векторным полем, аннулирующим F. снова

Вложенные и абстрактные CR-многообразия

Существует резкий контраст между теориями вложенных CR-многообразий (гиперповерхностей и ребер клиньев в комплексном пространстве) и абстрактных CR-многообразий (задаваемых комплексным распределением L ). Многие формальные геометрические особенности схожи. К ним относятся:

• Понятие выпуклости (обеспечиваемое формой Леви )
• Дифференциальный оператор , аналогичный оператору Дольбо , и связанные с ним когомологии ( касательный комплекс Коши–Римана ).

Однако вложенные CR-многообразия обладают некоторой дополнительной структурой: задачей Неймана и Дирихле для уравнений Коши–Римана.

В этой статье сначала рассматривается геометрия вложенных CR-многообразий, показано, как определить эти структуры внутренне, а затем обобщается их на абстрактную среду.

Встроенные коллекторы CR

Предварительные сведения

Вложенные CR-многообразия – это, прежде всего, подмногообразия $\mathbb {C} ^{n}.$ Определим пару подрасслоений комплексного касательного расслоения $\mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}$ к:

• $T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}$ состоит из комплексных векторов, аннулирующих антиголоморфные функции. В голоморфных координатах :

$T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).$

• $T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}$ состоит из комплексных векторов, аннулирующих голоморфные функции . В координатах:

$T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).$

Также актуальны характерные аннигиляторы из комплекса Дольбо :

• $\Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.$ В координатах,

$\Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).$

• $\Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.$ В координатах,

$\Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).$

Их внешние произведения обозначаются самоочевидным обозначением Ω ^{( п , q )} , а также оператор Дольбо и его комплексно-сопряженное отображение между этими пространствами через:

$\partial :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}$

${\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}$

Кроме того, имеет место разложение обычной внешней производной через $d=\partial +{\bar {\partial }}$.

Реальные подмногообразия комплексного пространства

Позволять $M\subset \mathbb {C} ^{n}$ быть вещественным подмногообразием, определенным локально как геометрическое место системы гладких вещественных функций.

$F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.$

Предположим, что комплексно-линейная часть дифференциала этой системы имеет максимальный ранг в том смысле, что дифференциалы удовлетворяют следующему условию независимости :

$\partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.$

Обратите внимание, что это условие строго сильнее, чем необходимо для применения теоремы о неявной функции : в частности, M является многообразием действительной размерности. $2n-k.$ Мы говорим, что M — общее вложенное CR-подмногообразие CR-коразмерности   k . Прилагательное общий указывает на то, что касательное пространство $TM$ охватывает касательное пространство $\mathbb {C} ^{n}$ над комплексными числами . В большинстве приложений k = 1, и в этом случае говорят, что многообразие имеет тип гиперповерхности .

Позволять $L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}$ быть подрасслоением векторов, уничтожающим все определяющие функции $F_{1},\ldots ,F_{k}.$ Заметим, что по обычным соображениям для интегрируемых распределений на гиперповерхностях L инволютивно. Более того, из условия независимости следует, что L — расслоение постоянного ранга n − k .

В дальнейшем предположим, что k = 1 (так что CR-многообразие имеет тип гиперповерхности), если не указано иное.

Форма Леви

Пусть M — CR-многообразие типа гиперповерхности с единственной определяющей функцией F = 0. Леви Форма M , названная в честь Эудженио Элиа Леви , является эрмитовой 2-формой

$h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.$

Это определяет метрику на L . M Говорят, что строго псевдовыпуклая (со стороны F<0 ), если h положительно определена (или псевдовыпуклая , если h положительно полуопределена). Многие аналитические результаты о существовании и единственности в теории CR-многообразий зависят от псевдовыпуклости.

Эта номенклатура возникла в результате изучения псевдовыпуклых областей : M — граница (строго) псевдовыпуклой области в $\mathbb {C} ^{n}$ тогда и только тогда, когда оно (строго) псевдовыпукло как CR-многообразие со стороны области. (См. плюрисубгармонические функции и многообразие Штейна .)

Абстрактные структуры CR

Абстрактная CR-структура на вещественном многообразии M вещественной размерности n состоит из комплексного подрасслоения L комплексифицированного касательного расслоения, которое формально интегрируемо в том смысле, что [ L , L ] ⊂ L , которое имеет нулевое пересечение со своим комплексно-сопряженным элементом. Коразмерность CR структуры CR равна $k=n-2\dim L,$ где dim L — комплексная размерность. В случае k = 1 структура CR называется гиперповерхностной . Большинство примеров абстрактных структур CR относятся к типу гиперповерхности.

Форма Леви и псевдовыпуклость

Предположим, что M — CR-многообразие гиперповерхностного типа. Форма Леви — это векторная 2-форма , определенная на L , со значениями в линейном расслоении.

$V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}$

данный

$h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.$

h определяет полуторалинейную форму на L, поскольку она не зависит от того, как v и w расширяются до сечений L по условию интегрируемости. Эта форма продолжается до эрмитовой формы на расслоении $L\oplus {\overline {L}}$ тем же выражением. Расширенную форму также иногда называют формой Леви.

Форму Леви альтернативно можно охарактеризовать с точки зрения двойственности. Рассмотрим линейное подрасслоение комплексного кокасательного расслоения, аннулирующего V

$H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .$

Для каждого локального сечения α ∈ Γ( H ₀ M ) пусть

$h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.$

Форма h _α является комплекснозначной эрмитовой формой, ассоциированной с α.

Обобщения формы Леви существуют, когда многообразие не относится к типу гиперповерхности, и в этом случае форма больше не принимает значения в линейном расслоении, а скорее в векторном расслоении. Тогда можно говорить не о форме Леви, а о совокупности форм Леви для структуры.

На абстрактных CR-многообразиях сильно псевдовыпуклого типа форма Леви порождает псевдоэрмитову метрику. Метрика определена только для голоморфных касательных векторов и поэтому является вырожденной. Затем можно определить тензоры связи, кручения и связанных с ними тензоров кривизны, например, кривизну Риччи и скалярную кривизну, используя эту метрику. Это порождает аналогичную проблему Ч. Р. Ямабе, впервые изученную Дэвидом Джерисоном и Джоном Ли . Связь, связанная с CR-многообразиями, была впервые определена и изучена Сидни М. Вебстером в его диссертации по изучению проблемы эквивалентности, а также независимо определена и изучена Танакой. Изложение этих понятий можно найти в статьях.

Один из основных вопросов CR-геометрии состоит в том, когда гладкое многообразие, наделенное абстрактной CR-структурой, может быть реализовано как вложенное многообразие в некотором $\mathbb {C} ^{n}$. Таким образом, мы не только встраиваем многообразие, но и требуем для глобального вложения, чтобы отображение, встраивающее абстрактное многообразие, в $\mathbb {C} ^{n}$ должен отодвинуть назад индуцированную структуру CR вложенного многообразия (исходя из того, что оно находится в $\mathbb {C} ^{n}$), так что обратная структура CR точно соответствует абстрактной структуре CR. Таким образом, глобальное встраивание представляет собой условие, состоящее из двух частей. Здесь вопрос распадается на два. Можно запросить локальную или глобальную встраиваемость.

Глобальная вложимость всегда верна для абстрактно определенных компактных CR-структур, которые являются сильно псевдовыпуклыми, то есть форма Леви положительно определена, когда действительная размерность многообразия равна 5 или выше по результату Луи Буте де Монвеля .

В измерении 3 существуют препятствия для глобальной встраиваемости. Делая небольшие возмущения стандартной структуры КЛ на трех сферах $S^{3},$ Получаемая в результате абстрактная структура CR не может быть внедрена глобально. Иногда это называют примером Росси. На самом деле этот пример восходит к Гансу Грауэрту , а также появляется в статье Альдо Андреотти и Юм-Тонг Сиу .

Результат Джозефа Дж. Кона утверждает, что глобальная вложимость эквивалентна условию, что лапласиан Кона имеет замкнутый диапазон. Это условие замкнутого диапазона не является CR-инвариантным условием.

В измерении 3 непертурбативный набор условий, которые являются CR-инвариантными, был найден Сагуном Чанильо , Хунг-Лин Чиу и Полом К. Янгом. что гарантирует глобальную вложимость абстрактных сильно псевдовыпуклых CR-структур, определенных на компактных многообразиях. В предположении, что оператор Ч. Р. Панейца неотрицательен, а константа Ч. Р. Ямабе положительна, существует глобальное вложение. Второе условие можно ослабить до условия, не инвариантного к CR, потребовав, чтобы вебстеровская кривизна абстрактного многообразия была ограничена снизу положительной константой. Это позволяет авторам получить точную нижнюю границу первого положительного собственного значения лапласиана Кона. Нижняя оценка является аналогом в CR-геометрии границы Андре Лихнеровича для первого положительного собственного значения оператора Лапласа–Бельтрами для компактных многообразий в римановой геометрии . Неотрицательность оператора CR Панейца в размерности 3 является CR-инвариантным условием, следующим образом, из конформных ковариантных свойств оператора CR Панейца на CR-многообразиях вещественной размерности 3, впервые обнаруженных Кенго Хирачи . CR-версия оператора Панейца, так называемый CR-оператор Панейца, впервые появляется в работе К. Робина Грэма и Джона Ли . Неизвестно, что оператор конформно-ковариантен в действительной размерности 5 и выше, а только в действительной размерности 3. Это всегда неотрицательный оператор в действительной размерности 5 и выше.

Можно задаться вопросом, все ли компактно вложенные CR-многообразия в $\mathbb {C} ^{2}$ имеют неотрицательные операторы Панейца. Это своего рода обратный вопрос к обсуждавшимся выше теоремам вложения. В этом направлении Джеффри Кейс, Сагун Чанильо и Пол К. Янг доказали теорему устойчивости. То есть, если начать с семейства компактных CR-многообразий, вложенных в $\mathbb {C} ^{2},$ и CR-структура семьи $J_{t}$ изменяется вещественно-аналитическим образом по параметру $t,$ и константа CR Ямабе семейства многообразий равномерно ограничена снизу положительной константой, то оператор CR Paneitz остается неотрицательным для всего семейства, при условии, что у одного члена семейства оператор CR Paneitz неотрицательен. Обратный вопрос наконец решил Юя Такеучи. Он доказал, что для вложенных компактных CR-3-многообразий, которые являются строго псевдовыпуклыми, оператор CR Панейца, связанный с этим вложенным многообразием, неотрицательен.

Есть также результаты глобального встраивания для малых возмущений стандартной структуры CR для трехмерной сферы, принадлежащие Дэниелу Бернсу и Чарльзу Эпштейну . Эти результаты выдвигают гипотезу о предположениях о коэффициентах Фурье члена возмущения.

Реализация абстрактного CR-многообразия как гладкого многообразия в некотором $\mathbb {C} ^{n}$ ограничит Комплексное многообразие, которое, вообще говоря, может иметь особенности. Таково содержание проблемы Комплексного Плато, исследованной в статье Ф. Риза Харви и Х. Блейна Лоусона . также продолжил работу над проблемой комплексного плато. Стивен С.-Т. Яу .

Локальное вложение абстрактных CR-структур неверно в реальном измерении 3 из-за примера Луи Ниренберга (книга Чена и Мей-Чи Шоу, упомянутая ниже, также содержит доказательство Ниренберга). Пример Л. Ниренберга можно рассматривать как плавное возмущение неразрешимого комплексного векторного поля Ганса Леви . Можно начать с антиголоморфного векторного поля ${\overline {L}}$ о группе Гейзенберга, заданной формулой

${\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.$

Определенное выше векторное поле имеет два линейно независимых первых интеграла. То есть существует два решения однородного уравнения:

${\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.$

Поскольку мы находимся в реальном измерении три, формальное условие интегрируемости просто:

$\left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0$

что происходит автоматически. Обратите внимание, что форма Леви строго положительно определена, как показывает простой расчет:

$\left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},$

где голоморфное векторное поле L определяется формулой:

$L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.$

Первые интегралы, линейно независимые, позволяют реализовать структуру CR в виде графа в $\mathbb {C} ^{2}$ данный

$(z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})$

Таким образом, структура CR представляет собой не что иное, как ограничение Комплексной структуры $\mathbb {C} ^{2}$ к графику. Ниренберг строит единственное ненулевое комплексное векторное поле. $P,$ определенный в окрестности начала координат в $\mathbb {C} \times \mathbb {R} .$ Затем он показывает, что если $Pu=0$, затем $u$ должно быть константой. Таким образом, векторное поле $P$ не имеет первых интегралов. Векторное поле $P$ создается из антиголоморфного векторного поля для группы Гейзенберга, показанного выше, путем возмущения его гладкой комплексной функцией $\phi$ как показано ниже:

$P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}$

Таким образом, это новое векторное поле P не имеет никаких первых интегралов, кроме констант, и поэтому невозможно каким-либо образом реализовать эту возмущенную структуру CR в виде графа в любом виде. $\mathbb {C} ^{n}.$ Работа Л. Ниренберга была расширена до общего результата Говардом Якобовицем и Франсуа Тревом . В реальном измерении 9 и выше локальное вложение абстрактных строго псевдовыпуклых CR-структур верно по работе Масатаке Кураниши , а в реальном измерении 7 - по работе Акахори. Упрощенное изложение доказательства Кураниши принадлежит Вебстеру.

Проблема локального вложения остается открытой в вещественном измерении 5.

Тангенциальный комплекс Коши–Римана (лапласиан Кона, комплекс Кона–Росси)

Прежде всего необходимо определить кограничный оператор ${\overline {\partial _{b}}}$. Для CR-многообразий, возникающих как границы комплексных многообразий, этот оператор можно рассматривать как ограничение ${\overline {\partial }}$ от внутренней части к границе. Индекс b напоминает, что мы находимся на границе. Кограничный оператор переводит формы (0,p) в формы (0,p+1). Можно даже определить кограничный оператор для абстрактного CR-многообразия, даже если он не является границей комплексного многообразия. Это можно сделать с помощью соединения Webster. Кограничный оператор ${\overline {\partial _{b}}}$ образует комплекс, т. ${\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0$. Этот комплекс называется тангенциальным комплексом Коши-Римана или комплексом Кона-Росси. Исследование этого комплекса и изучение групп когомологий этого комплекса было проведено в фундаментальной работе Джозефа Дж. Кона и Хьюго Росси.

С тангенциальным комплексом CR связан фундаментальный объект в геометрии CR и нескольких комплексных переменных — лапласиан Кона. Он определяется как:

$\Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}$

Здесь ${\overline {\partial _{b}}}^{\star }$ обозначает формальное сопряжение ${\overline {\partial _{b}}}$ относительно $L^{2}(M)$ где форма объема может быть получена из контактной формы, которая связана со структурой CR. См., например, статью Дж. М. Ли в «Американском журнале», упомянутую ниже. Обратите внимание, что лапласиан Кона переводит формы (0,p) в формы (0,p). Функции, аннулируемые лапласианом Кона, называются CR-функциями . Они являются граничными аналогами голоморфных функций . Действительные части функций CR называются плюригармоническими функциями CR . Кон-лапласиан $\Box _{b}$ — неотрицательный, формально самосопряженный оператор. Он вырожден и имеет набор характеристик, в котором его символ исчезает. На компактном, сильно псевдовыпуклом абстрактном CR-многообразии оно имеет дискретные положительные собственные значения, стремящиеся к бесконечности, а также стремящиеся к нулю. Ядро состоит из CR-функций и поэтому бесконечномерно. Если положительные собственные значения лапласиана Кона ограничены снизу положительной константой, то лапласиан Кона имеет замкнутый диапазон и наоборот. Таким образом, для вложенных CR-структур, используя результат Кона, изложенный выше, мы заключаем, что компактная CR-структура, которая является сильно псевдовыпуклой, вложена тогда и только тогда, когда лапласиан Кона имеет положительные собственные значения, ограниченные снизу положительной константой. Лапласиан Кона всегда имеет нулевое собственное значение, соответствующее функциям CR.

Оценки для $\Box _{b}$ и ${\overline {\partial _{b}}}$ были получены в различных функциональных пространствах и в различных условиях. Эти оценки легче всего получить, когда многообразие сильно псевдовыпуклое, поскольку тогда можно заменить многообразие, соприкоснув его до достаточно высокого порядка с группой Гейзенберга. Затем, используя групповое свойство и сопутствующую структуру свертки группы Гейзенберга, можно записать обратные/параметрики или относительные параметрики в виде $\Box _{b}$.

Конкретный пример ${\overline {\partial _{b}}}$ оператор может быть предоставлен в группе Гейзенберга. Рассмотрим общую группу Гейзенберга $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R}$ и рассмотрим антиголоморфные векторные поля, которые также являются групповыми левоинвариантными:

${\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .$

Тогда для функции u имеем форму (0,1) $\omega$

$\omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.$

С ${\overline {\partial _{b}}}^{\star }$ обращается в нуль на функциях, мы также имеем следующую формулу для лапласиана Кона для функций из группы Гейзенберга:

$\Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}$

где

$L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},$

являются групповыми левоинвариантными голоморфными векторными полями на группе Гейзенберга. Выражение для лапласиана Кона, приведенное выше, можно переписать следующим образом. Сначала легко проверяется, что

$[L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n$

Таким образом, путем элементарного расчета имеем:

$\Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT$

Первый оператор справа — действительный оператор и фактически представляет собой действительную часть лапласиана Кона. Его называют сублапласианом . Это основной пример того, что называется Хёрмандера . оператором суммы квадратов Очевидно, что оно неотрицательно, в чем можно убедиться при интегрировании по частям. Некоторые авторы определяют сублапласиан с противоположным знаком. В нашем случае мы имеем конкретно:

$\Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})$

где символ $\Delta _{b}$ является традиционным символом сублапласа. Таким образом

$\Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT$

Примеры

Каноническим примером компактного CR-многообразия является реальный $2n+1$ сфера как подмногообразие $\mathbb {C} ^{n+1}$. Пакет $L$ описанное выше, имеет вид

$L=\mathbb {C} TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}$

где $T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}$ — расслоение голоморфных векторов. Реальная форма этого определяется выражением $P=\Re (L\oplus {\bar {L}})$, расслоение, заданное в точке $p\in S^{2n+1}$ конкретно с точки зрения сложной структуры, $I$, на $\mathbb {C} ^{n+1}$ к

$P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathbb {C} ^{n+1}\},$

и почти сложная структура на $P$ это всего лишь ограничение $I$. Сфера является примером CR-многообразия с постоянной положительной кривизной Вебстера и нулевым кручением Вебстера. Группа Гейзенберга является примером некомпактного CR-многообразия с нулевым вебстеровским кручением и нулевой вебстеровской кривизной. Расслоение единичных кругов над компактными римановыми поверхностями с родом строго больше 1 также дает примеры CR-многообразий, которые являются сильно псевдовыпуклыми и имеют нулевое кручение Вебстера и постоянную отрицательную вебстеровскую кривизну. Эти пространства можно использовать в качестве пространств сравнения при изучении геодезических и теорем сравнения объемов на CR-многообразиях с нулевым кручением Вебстера, подобных теореме сравнения Х. Э. Рауха в римановой геометрии.

В последние годы изучаются и другие аспекты анализа группы Гейзенберга, такие как минимальные поверхности в группе Гейзенберга, проблема Бернштейна в группе Гейзенберга и потоки кривизны.

См. также

• Эухенио Элиа Леви
• Псевдовыпуклость

Ссылки

• Леви, Эухенио Элиа (1910), «Studii sui punti Singolari essenziali delle funzioni analitiche di Due or Più Variabili Complesse» , Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (на итальянском языке), XVII (1): 61–87, doi : 10.1007/BF02419336 , JFM   41.0487.01 , S2CID   122678686 . Важная работа по теории функций многих комплексных переменных . Английский перевод названия гласит: « исследования существенных особых точек аналитических функций двух или более комплексных переменных ».
• Боггесс, Альберт (1991). CR-многообразия и тангенциальный комплекс Коши Римана . ЦРК Пресс.
• Хилл, Д.; Нацинович, М. (1995). «Двойственность и когомологии распределения CR-многообразий» . Энн. Скуола Норм. Как дела. Пиза . 22 (2): 315–339. Архивировано из оригинала 5 июня 2011 г. Проверено 3 июня 2007 г.
• Чернь СС; Мозер, Дж. К. (1974). «Реальные гиперповерхности в комплексных многообразиях» . Акта математика . 133 : 219–271. дои : 10.1007/BF02392146 . S2CID   119515799 .
• Чирка, Э.М. (1991). «Введение в геометрию CR-многообразий». Российские математические обзоры . 46 : 95–197. дои : 10.1070/RM1991v046n01ABEH002728 . S2CID   250865854 .
• Драгомир, Сорин (1995). «О псевдоэрмитовых погружениях между строго псевдовыпуклыми CR-многообразиями». Американский журнал математики . 117 (1): 169–202. дои : 10.2307/2375040 . JSTOR   2375040 .