Продуктивная матрица

В линейной алгебре неотрицательная квадратная матрица $A$ порядка $n$ называется продуктивной или леонтьевской матрицей , если существует $n\times 1$ неотрицательная матрица-столбец $P$ такой как $P-AP$ является положительной матрицей .

История

Концепция производственной матрицы была разработана экономистом Василием Леонтьевым ( Нобелевская премия по экономике 1973 года) для моделирования и анализа отношений между различными секторами экономики. Взаимозависимые связи между последними можно изучить с помощью модели «затраты-выпуск» с использованием эмпирических данных.

Явное определение

Матрица $A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )$ продуктивно тогда и только тогда, когда $A\geqslant 0$ и $\exists P\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),P>0$ такой как $P-AP>0$.

Здесь $\mathrm {M} _{r,c}(\mathbb {R} )$ обозначает набор × c , матриц r действительных чисел размера тогда как $>0$ и $\geqslant 0$ указывает на положительную и неотрицательную матрицу соответственно.

Характеристики

Следующие свойства доказаны, например, в учебнике (Мишель, 1984).

Характеристика

Теорема Неотрицательная матрица $A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )$ продуктивно тогда и только тогда, когда $I_{n}-A$ обратим где с неотрицательным обратным, $I_{n}$ обозначает $n\times n$ идентификационная матрица .

Доказательство

"Если" :

Позволять $I_{n}-A$ быть обратимым с неотрицательным обратным,

Позволять $U\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )$ быть произвольной матрицей-столбцом с $U>0$.

Тогда матрица $P=(I_{n}-A)^{-1}U$ неотрицательен, поскольку является произведением двух неотрицательных матриц.

Более того, $P-AP=(I_{n}-A)P=(I_{n}-A)(I_{n}-A)^{-1}U=U>0$.

Поэтому $A$ является продуктивным.

«Только если»:

Позволять $A$ быть продуктивным, пусть $P>0$ такой, что $V=P-AP>0$.

Доказательство проводится методом доведения до абсурда .

Сначала предположим в противоречии $I_{n}-A$ является единичным .

Эндоморфизм , канонически связанный с $I_{n}-A$ не может быть инъективным в силу особенности матрицы.

Таким образом, некоторая ненулевая матрица-столбец $Z\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )$ существует такое, что $(I_{n}-A)Z=0$.

Матрица $-Z$ имеет те же свойства, что и $Z$, поэтому мы можем выбрать $Z$ как элемент ядра хотя бы с одной положительной записью.

Следовательно $c=\sup _{i\in [|1,n|]}{\frac {z_{i}}{p_{i}}}$ неотрицательен и достигается хотя бы с одним значением $k\in [|1,n|]$.

По определению $V$ и из $Z$, мы можем сделать вывод, что:

$cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=cp_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}$

$cp_{k}=z_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}z_{i}$, используя это $Z=AZ$ по конструкции.

Таким образом $cv_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(z_{i}-cp_{i})\leq \ 0$, используя это $z_{i}\leq cp_{i}$ по определению $c$.

Это противоречит $c>0$ и $v_{k}>0$, следовательно $I_{n}-A$ обязательно обратима.

Во-вторых, предположим от противоречия $I_{n}-A$ является обратимым, но имеет по крайней мере одну отрицательную запись в обратной записи.

Следовательно $\exists X\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),X\geqslant 0$ так, что существует хотя бы одна отрицательная запись в $Y=(I_{n}-A)^{-1}X$.

Затем $c=\sup _{i\in [|1,n|]}-{\frac {y_{i}}{p_{i}}}$ является положительным и достигается хотя бы с одним значением $k\in [|1,n|]$.

По определению $V$ и из $X$, мы можем сделать вывод, что:

$cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=-y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}$

$x_{k}=y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}y_{i}$, используя это $X=(I_{n}-A)Y$ по конструкции

$cv_{k}+x_{k}=-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(cp_{i}+y_{i})\geqslant 0$ используя это $-y_{i}\leqslant cp_{i}$ по определению $c$.

Таким образом $x_{k}\leq -cv_{k}<0$, противоречащий $X\geqslant 0$.

Поэтому $(I_{n}-A)^{-1}$ обязательно неотрицательен.

Транспонирование

Предложение Транспонирование продуктивной матрицы продуктивно.

Доказательство

Позволять $A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )$ продуктивная матрица.

Затем $(I_{n}-A)^{-1}$ существует и неотрицательна.

Еще $(I_{n}-A^{T})^{-1}=((I_{n}-A)^{T})^{-1}=((I_{n}-A)^{-1})^{T}$

Следовательно $(I_{n}-A^{T})$ обратима с неотрицательным обратным.

Поэтому $A^{T}$ является продуктивным.

Приложение

Основная статья: Анализ затрат-выпуска

При матричном подходе модели «затраты-выпуск» матрица потребления является продуктивной, если она экономически целесообразна и если последняя и вектор спроса неотрицательны.