Вам понравилась теорема о неподвижной точке

В математике теорема Каристи о неподвижной точке (также известная как теорема Каристи-Кирка о неподвижной точке ) обобщает теорему Банаха о неподвижной точке для отображений полного метрического пространства в себя. Теорема Каристи о неподвижной точке изменяет $\varepsilon$- вариационный принцип Экланда (1974, 1979). Вывод теоремы Каристи эквивалентен метрической полноте, как доказал Уэстон (1977). Оригинальный результат принадлежит математикам Джеймсу Каристи и Уильяму Артуру Кирку .

Теорема Каристи о неподвижной точке может быть применена для получения других классических результатов о неподвижной точке, а также для доказательства существования ограниченных решений функционального уравнения .

Формулировка теоремы

Позволять $(X,d)$ быть полным метрическим пространством. Позволять $T:X\to X$ и $f:X\to [0,+\infty )$ — полунепрерывная снизу функция из $X$ в неотрицательные действительные числа . Предположим, что для всех точек $x$ в $X,$$$d(x,T(x))\leq f(x)-f(T(x)).$$

Затем $T$ имеет фиксированную точку в $X;$ то есть точка $x_{0}$ такой, что $T(x_{0})=x_{0}.$ В доказательстве этого результата используется лемма Цорна, гарантирующая существование минимального элемента , который оказывается искомой неподвижной точкой.