Линейная дробная трансформация

В математике линейная дробная трансформация , грубо говоря, является переносимым преобразованием формы

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.

зависит от природы $A, B, C, D$ и $Z.$ Точное определение Другими словами, линейное фракционное преобразование - это преобразование , которое представлено фракцией , число которых числитель и знаменатель являются линейными .

В самых основных условиях $A, B, C, D$ и $Z$ являются комплексными числами (в этом случае преобразование также называется преобразованием Möbius ) или, в более общем смысле, элементами поля . Условием перевертильности является то, что $AD - BC ♠ 0$ . На протяжении всей области линейное дробное преобразование является ограничением области проективной трансформации или гомографии проективной линии .

Когда $A, B, C, D$ являются целочисленными (или, в целом, принадлежат к интегральной области ), $Z$ должен быть рациональным числом (или принадлежать к области фракций интегрального домена. В этом случае Условие инвертируемости состоит в том, что $AD - BC$ должна быть единицей домена (то есть $1$ или $-1$ в случае целых чисел). ^{[ 1 ]}

В наиболее общей обстановке $A, B, C, D$ и $Z$ являются элементами кольца , такие как квадратные матрицы . Примером такого линейного фракционного преобразования является преобразование Кейли , которое первоначально было определено на 3 × 3 кольце реальной матрицы .

Линейные фракционные преобразования широко используются в различных областях математики и ее применения к инженерии, такие как классическая геометрия , теория чисел (они используются, например, в доказательстве последней теоремы Фермата ), теории группы , теории управления .

Общее определение

В целом, линейная дробная трансформация является гомографией P ( $A),$ проективной над кольцом $A.$ линии Когда $А$ является коммутативным кольцом , то линейное дробное преобразование имеет знакомую форму

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},

где $A, B, C, D$ элементами $такого$ , что $AD - BC$ это единица - $а$ (то есть $AD - BC$ имеет мультипликативную обратную в $являются$ )

В некоммутативном кольце $,$ с $(z, t)$ в $A 2$ , единицы $U$ определяют отношение эквивалентности $(z,t)\sim (uz,ut).$ Класс эквивалентности в проективной линии над A написан $u [z : t]$ , где скобки обозначают проективные координаты . Затем линейные дробные преобразования действуют справа от элемента $p (a)$ :

U[z:t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb:\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1}(za+tb):\ 1].

Кольцо встроено в свою проективную линию с помощью $z \to U [z : 1]$ , поэтому $t = 1$ восстанавливает обычное выражение. Это линейное фракционное преобразование является четко определенным, поскольку $U [ZA + TB : ZC + TD]$ не зависит от того, какой элемент выбирается из своего класса эквивалентности для операции.

Линейные дробные преобразования по $форме$ группы , проективная линейная группа обозначена $\operatorname {PGL} _{2}(A).$

Группа $\operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {Z} )$ линейных дробных преобразований называется модульной группой . Он был широко изучен из -за его многочисленных применений к теории чисел , которые включают, в частности, доказательство последней теоремы Ферма .

Использование в гиперболической геометрии

В сложной плоскости - обобщенный круг это либо линия, либо круг. При завершении точки в бесконечности обобщенные круги в плоскости соответствуют кругам на поверхности сферы Римана , выражение сложной проективной линии. Линейные дробные преобразования проникают эти круги на сфере и соответствующие конечные точки обобщенных кругов в сложной плоскости.

Чтобы построить модели гиперболической плоскости, единичный диск и верхняя половина плоскости используются для представления точек. Эти подмножества сложной плоскости предоставляется метрика с метрикой Cayley -Klein . Затем расстояние между двумя точками вычисляется с использованием обобщенного круга через точки и перпендикулярно границе подмножества, используемой для модели. Этот обобщенный круг пересекает границу в двух других точках. Все четыре точки используются в поперечном соотношении , что определяет метрику Cayley -Klein. Линейные фракционные преобразования оставляют инвариантом поперечного соотношения, поэтому любое линейное дробное преобразование, которое оставляет устойчивым элементом диска или верхних полупрофилей, является изометрией метрического гиперболической плоскости пространства . С тех пор, как Анри Пуанкаре объяснил эти модели, они были названы в его честь: модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре . Каждая модель имеет группу изометрий, которая является подгруппой группы Mobius : изометрическая группа для модели диска- $SU (1, 1)$ , где линейные дробные преобразования являются «особыми унитарными», а для верхней полуплодности изометрия-изометрия. группа есть $PSL (2, R)$ , проективная линейная группа линейных дробных преобразований с реальными записями и детерминантами, равными одним. ^{[ 2 ]}

Использовать в более высокой математике

Преобразования Мёбиуса обычно появляются в теории продолжающихся фракций , и в теории аналитических чисел эллиптических кривых и модульных форм , поскольку они описывают авторфизмы верхней полуплоскости под действием модульной группы . Они также дают канонический пример фибрации HOPF , где геодезический поток , вызванный линейным дробным преобразованием, разлагает сложное проективное пространство в стабильные и нестабильные многообразии , при этом горьки появляются перпендикулярно геодезике. См. Anosov Flow для проработанного примера фибрации: в этом примере геодезика дается дробным линейным преобразованием

(i\exp(t),\ 1){\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ (ai\exp(t)+b,\ ci\exp(t)+d)\thicksim ({\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}},\ 1)

с $A$ , $B$ , $C$ и $D$ реальными числами , с $AD - BC = 1$ . Грубо говоря, центральный коллектор генерируется параболическими преобразованиями , нестабильным коллектором гиперболических преобразований и стабильным коллектором эллиптических преобразований.

Использование в теории управления

Линейные фракционные преобразования широко используются в теории контроля для решения задач взаимосвязи с контролем установки в механической и электротехнике . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Общая процедура объединения линейных фракционных преобразований с продуктом Redheffer Star позволяет им применять к теории рассеяния общих дифференциальных уравнений, включая подход S-матрицы в квантовой механике и теории квантовых поля, рассеяние акустических волн в средах (например термоклины и подводные лодки в океанах и т. Д.) И общий анализ рассеяния и связанных состояний в дифференциальных уравнениях. Здесь компоненты матрицы 3 × 3 относятся к входящим, связанным и исходящим состояниям. Возможно, простейший пример применения линейных дробных преобразований происходит при анализе демпфированного гармонического генератора . Другим элементарным применением является получение нормальной формы Frobenius , то есть сопутствующей матрицы полинома.

Конформное свойство

Коммутативные кольца чисел сплит-комплекса и двойных чисел соединяют обычные комплексные числа в виде колец, которые выражают угол и «вращение». каждом карта воображаемой случае , оси экспоненциальная $применяемая В к$ $ $ ^{[ 5 ]}

\exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,

\exp(y\epsilon )=1+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,

\exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.

«Угол» $y$ - это гиперболический угол , наклон или круглый угол в соответствии с кольцом хозяина.

Показано, что линейные фракционные преобразования являются конформными картами с учетом их генераторов : мультипликативная инверсия $z 1/ z$ и аффинные преобразования $z \to AZ + B.$ → Конформность может быть подтверждена, показывая, что генераторы все конформны. Перевод $Z \to Z + B$ является изменением происхождения и не имеет значения для угла. Чтобы увидеть, что $\to AZ является$ , рассмотрите полярное разложение A $Z$ и $Z.$ конформным В каждом случае угол $А$ добавляется к углу $z$ , что приводит к конформной карте. Наконец, инверсия является конформной, поскольку $z \to 1/ z$ отправляет $\exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.$

Смотрите также

Ссылки

^ NJ Young (1984) «Линейные дробные преобразования в кольцах и модулях» , Линейная алгебра и ее приложения 56: 251–90
^ Cl Siegel (A. Shenitzer & M. Tretkoff, Translators) (1971) Темы в теории сложных функций , том 2, Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 x
^ Джон Дойл, Энди Паккард, Кемин Чжоу, «Обзор LFTS, LMIS и MU», (1991) Труды 30 -й конференции по решению и контролю [1]
^ Хуан С. Кокберн, «Многомерные реализации систем с параметрической неопределенностью» [2]
^ Кисил, Владимир В. (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптические, параболические и гиперболические действия SL (2, R) . Лондон: Имперская колледж Пресс. п. XIV+192. doi : 10.1142/p835 . ISBN 978-1-84816-858-9 Полем MR 2977041 .

Ba Dubrovin, в Fomenko, Sp Novikov (1984) Современная геометрия-методы и применения , том 1, Глава 2, §15 Конформные преобразования евклидова и псевдо-эвклидных пространств нескольких измерений, Springer-Verlag ISBN 0-387-90872-2 .
Джеффри Фокс (1949) Элементарная теория с переменной гиперкомплекса и теория конформного картирования в гиперболическом плане , магистерская диссертация, Университет Британской Колумбии .
PG Gormley (1947) «Стереографическая проекция и линейная дробная группа трансформаций кватернионов», Труды Королевской ирландской академии , раздел A 51: 67–85.
AE Motter & Maf Rosa (1998) «Гиперболическое исчисление», достижения в прикладных алгебре Клиффорда 8 (1): от 109 до 28, §4 Конформные преобразования, стр. 119.
Цурусабуро Такасу (1941) Общее обращение с эллиптической соответствующей, гиперболической совместимой и параболической дифференциальной геометрией, 2 , Материалы Императорской академии 17 (8): 330–8, Ссылка от проекта Евклида , г -н 14282
Исаак Яглом (1968). Комплексные числа в геометрии , стр. 130 и 157, Академическая пресса

[1] NJ Young (1984) «Линейные дробные преобразования в кольцах и модулях» , Линейная алгебра и ее приложения 56: 251–90

[2] Cl Siegel (A. Shenitzer & M. Tretkoff, Translators) (1971) Темы в теории сложных функций , том 2, Wiley-Interscience ISBN 0-471-79080 x

[3] Джон Дойл, Энди Паккард, Кемин Чжоу, «Обзор LFTS, LMIS и MU», (1991) Труды 30 -й конференции по решению и контролю [1]

[4] Хуан С. Кокберн, «Многомерные реализации систем с параметрической неопределенностью» [2]

[5] Кисил, Владимир В. (2012). Геометрия преобразований Мёбиуса. Эллиптические, параболические и гиперболические действия SL (2, R) . Лондон: Имперская колледж Пресс. п. XIV+192. doi : 10.1142/p835 . ISBN 978-1-84816-858-9 Полем MR 2977041 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]