Юпана

Смотрите также: Математика инков

Набросок Кипукамайока из фильма «Первая новая корона и хорошее правительство» . Юпана . показана в левом нижнем углу

Артефакт инков «стол юпана», возможно, не имеющий отношения к историческому вычислительному инструменту.

Граф ( от кечуа : count «счет») — счетная доска , использовавшаяся для выполнения арифметических операций , возникшая еще во времена инков . Существует очень мало документации о его точной физической форме и о том, как он использовался.

Типы

Термин юпана относится к двум различным классам объектов:

• Столовая юпана (или археологическая юпана): система геометрических коробок разных размеров и материалов. Первый экземпляр этого типа был найден в 1869 году в эквадорской провинции Асуай , что побудило к поиску новых подобных объектов. Все образцы археологической юпаны сильно отличаются друг от друга. Некоторые археологические юпаны, найденные в Манчане (археологический памятник в Касме ) и Уаконес-Вилькауаси (в Каньете ), были встроены в пол.
• Пома де Айала Юпана : изображение на странице 360 книги « Первая новая корона и хорошее правительство» , написанной индейским летописцем Фелипе Гуаманом. Пома де Айала показывает шахматную доску 5x4 (показана справа). Шахматная доска, хотя и напоминает настольную юпану , отличается от этого стиля тем, что каждый из ее прямоугольных подносов имеет одинаковые размеры, в то время как настольные юпаны имеют подносы других многоугольных форм разных размеров.

Хотя они сильно отличаются друг от друга, большинство ученых, занимавшихся настольными юпанами , распространили рассуждения и теории на юпану Пома де Айала и наоборот, возможно, пытаясь найти объединяющую нить или общий метод творения. Например, « Новая корона» («Новые хроники»), обнаруженная в 1916 году в библиотеке Копенгагена , содержала свидетельства того, что часть исследований юпаны Пома де Айала была основана на предыдущих исследованиях и теориях, касающихся столовых юпан.

История

Несколько индийских летописцев кратко описали эти счеты инков и их работу.

Фелипе Гуаман Пома де Айала

Первым был Гуаман Пома де Айала около 1615 года, который написал:

... Они считают по таблицам, пронумерованным с шагом от ста тысяч до десяти тысяч, от ста до десяти и далее, пока не дойдет до единицы. Они ведут учет всего, что происходит в этом мире: праздники и воскресенья, месяцы и годы. Бухгалтеров и казначеев королевства можно найти в каждом городе, поселке или деревне коренных народов...

— 

В дополнение к этому краткому описанию Пома де Аяла нарисовал изображение юпаны: доску из пяти рядов и четырех столбцов, в каждой ячейке которой находится ряд черных и белых кругов.

Хосе де Акоста

Еще до написания Помо де Айялы, в 1596 году иезуит отец- Хосе де Акоста писал:

... Что ж, видеть другую группу, которая использует кукурузные зерна, - это очаровательно, как очень неловкий отчет, который он поручит очень хорошему бухгалтеру сделать пером и чернилами, чтобы увидеть, как каждый вклад соответствует такому количеству людей, принимая во внимание столько-то оттуда и столько-то прибавив отсюда, еще сто мелких кусочков, эти индейцы возьмут свои зернышки и положат одно сюда, три туда, восемь я не знаю куда; они отсюда переместят ядро, оттуда выменяют три, и, собственно, уходят с расчетом, сделанным пунктуально, не пропуская ни одной отметки, и еще много чего умеют учитывать и отчитываться за то, что каждый может заплатить или давайте, чтобы мы знали, как дать каждому из них, как установлено пером и чернилами. Если это не изобретательность и эти люди — звери, то пусть кто хочет судить об этом, так и судит, ибо я считаю истиной то, что в том, что они применяют, они дают нам большие преимущества.

— 

Хуан де Веласко

В 1841 году отец Хуан де Веласко писал:

... эти учителя использовали что-то вроде серии подносов из дерева, камня или глины с разными расстояниями, в которые они клали камни разной формы, цвета и угловатости...

— 

Стол юпана

Различные столовые юпаны были найдены в Эквадоре и Перу.

Чорделег Юпана

Самый ранний известный образец столовой юпаны был найден в 1869 году в Чорделеге , провинция Асуай , Эквадор . Прямоугольный , состоящий из 17 отсеков, из стол (33х27 см; 13х10¾ дюймов) из дерева которых 14 квадратных , 2 прямоугольных и одно восьмиугольное . Два края стола содержат другие квадратные отсеки (12x12 см; 4¾ x 4¾ дюйма), приподнятые и расположенные рядом, на которые наложены две квадратные платформы (7x7 см; 2¾ x 2¾ дюйма). Эти конструкции называются «башнями». Отсеки стола симметричны относительно диагонали прямоугольных отсеков. На четырех сторонах доски также выгравированы изображения человеческих голов и крокодила . В результате этого открытия Чарльз Винер провел систематическое исследование этих предметов в 1877 году. Винер пришел к выводу, что таблицы юпан служили для расчета налогов , которые фермеры платили империи инков.

Номер Караза

Этот стол-юпана, найденный в Карасе между 1878 и 1879 годами, отличается от стола Чорделега тем, что материалом конструкции является камень , а центральное восьмиугольное отделение заменено прямоугольным; башни также имеют три полки вместо двух.

Аллея Уайлас Юпана

Серия настольных юпан, сильно отличающихся от первой, была описана Эрландом Норденшельдом в 1931 году. Эти юпаны, сделанные из камня, могут похвастаться рядом прямоугольных и квадратных отделений. Башня имеет два прямоугольных отсека. Отделения расположены симметрично относительно оси меньшей стороны стола.

Треугольная Юпана

Эти юпаны, сделанные из камня, имеют 18 треугольных отсеков. С одной стороны расположена прямоугольная башня с одним уровнем и тремя треугольными отсеками. В центральной части четыре квадратных отсека.

Чан Чан Юпана

Идентичная юпане Чорделега как по материалу, так и по расположению отсеков, эта настольная юпана была найдена в археологическом комплексе Чан-Чан в Перу в 1967 году.

Краб залива Юпана

Обнаруженные в перуанской провинции Писко , это две столовые юпаны из глины и кости . Первый имеет прямоугольную форму (47x32 см; 18½ x 12½ дюйма), имеет 22 квадратных (5x5 см; 2 x 2 дюйма) и три прямоугольных (16x18 см; 6¼ x 7 дюймов) отсеков и не имеет башен. Вторая юпана имеет прямоугольную форму (32x23 см; 12½ x 9 дюймов) и имеет 22 квадратных отделения, два Г-образных отделения и три прямоугольных отделения в центре. Отсеки расположены симметрично относительно оси длинной стороны.

• 
  Рис. А – Устройство стола-юпаны «Чорделег». Раскраска для различения отсеков.
• 
  Рис. Б – Определение стереотипного цвета
• 
  Рис. C — Токапу из каталога Виктории де ла Хара.
• 
  Рис. D – Узор токапу, возможная стилизация предыдущего
• 
  Рис. E — Токапу под названием «llave inca», ключ инков.

Уанкаркучу Юпана

Эта юпана , обнаруженная в Северном Эквадоре Максом Уле в 1922 году, сделана из камня, а ее отсеки нарисованы на поверхности таблички. Он имеет форму пирамиды, состоящей из 10 перекрывающихся прямоугольников: четырех на первом уровне, трех на втором, двух на третьем и одного на четвертом. Эта юпана наиболее близка к картине Помы де Аяла в Новой Коронике, но в ней меньше линий и она частично нарисована.

Флорио Юпана

К. Флорио представляет исследование что идентифицирует в этих археологических находках не юпану, а предмет, имя которого забыто и остается неизвестным. Вместо этого этот объект используется для подключения к токапу (идеограмме, уже использовавшейся цивилизациями до инков), называемой «llave inca» (т. е. ключ инков), к философии янантин-масинтин . Ученый оправдывает это отсутствием объективных доказательств, признающих этот объект как юпану, убеждением, которое закреплялось с годами без повторения или демонстрации этой гипотезы, а также скрещиванием данных из документов Микчинелли и токапу, каталогизированного Викторией. де ла Хара .

Предполагая раскрасить различные отделения стола юпаны (рис. А), К. Флорио идентифицирует рисунок (рис. Б), очень похожий на существующий токапу (рис. С), каталогизированный Викторией де ла Хара. Кроме того, в токапу, представленном на рисунке D, также каталогизированном В. де ла Хара, Флорио идентифицирует стилизацию токапу C и отправную точку для создания токапу «llave Inca» (ключ инков). Она находит связь между таблицей юпаны и ключом инков, также схожей в их связи с концепцией двойственности: структура таблицы юпаны явно двойственна, и Блас Валера в «Exsul Immeritus Blas Valera populo suo» (один из двух документов Микчинелли) описывает «ключ инков» токапу как олицетворение концепции «противоположных сил» и «числа 2», которые строго связаны с концепцией двойственности.

По словам К. Флорио, настоящая юпана, использовавшаяся инками, — это гуаманская пома, но с большим количеством столбцов и рядов. Юпана Пома де Айала представляла собой лишь часть юпаны, полезную для выполнения определенных вычислений, которые Флорио определяет как умножение (см. Ниже).

Теории, основанные на Пома де Аяла юпана

Генри Уошинг

В 1931 году Генри Вассен изучил Пома де Айала юпана, впервые предложив возможное представление чисел на доске и операций сложения и умножения . Он интерпретировал белые круги как вырезанные в юпане промежутки, в которые будут вставлены семена, описанные летописцами: так белые круги соответствуют пустым промежуткам, а черные круги соответствуют тем же промежуткам, заполненным черным семенем.

Система нумерации в основе юпаны представляла собой позиционную систему счисления по основанию 10 (в соответствии с сочинениями летописцев Индии).

Затем представление чисел следовало вертикальной прогрессии, так что числа от 1 до 9 располагались в первом ряду снизу, второй ряд содержал десятки, третий - сотни и так далее.

Вассен предложил прогрессию значений семян, зависящую от их положения в таблице: 1, 5, 15, 30 соответственно, в зависимости от того, какие семена занимают пробел в первом, втором, третьем и четвертом столбцах (см. таблицу ниже). ). В ящик, принадлежащий первому столбцу, можно было включить не более пяти семян, так что максимальное значение этого ящика равнялось 5, умноженному на мощность соответствующей строки. Эти начальные числа можно было заменить одним начальным числом следующего столбца, что полезно при арифметических операциях. Таким образом, согласно теории Вассена, операции суммы и произведения осуществлялись горизонтально.

Эта теория подверглась большой критике из-за высокой сложности расчетов, поэтому была признана неадекватной и вскоре от нее отказались.

В следующей таблице показано число 13457, как оно изображено на юпане Вассена:

Номер Вассена Полномочия\Значения 1 5 15 30 10 4 •◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ 10 3 •••◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ 10 2 ••••◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ 10 1 ◦◦◦◦◦ •◦◦ ◦◦ ◦ 10 0 ••◦◦◦ •◦◦ ◦◦ ◦ Представительство 13457

Эта первая интерпретация Пома де Аяла юпаны стала отправной точкой для теорий, разработанных последующими авторами, в современной письменной форме. Ни один исследователь не отошел от позиционной системы нумерации до 2008 года.

Эмилио Мендисабаль

Эмилио Мендисабаль был первым, кто в 1976 году предложил инкам представление , основанное на прогрессии 1, 2, 3, 5 в дополнение к десятичному представлению. В той же публикации Мендисабаль отметил, что ряды чисел 1, 2, 3 и 5 появляются на рисунке Пома де Айала и являются частью последовательности Фибоначчи , и подчеркнул важность «магии», которую имеет число 5. содержится для цивилизаций Северного Перу , аналогично по значению цифре 8 для цивилизаций Южного Перу .

Основанный в Примельо

В 1979 году Карлос Радикати ди Примельо подчеркнул отличие столовой юпаны от столовой юпаны Пома де Аяла, описав современные исследования и передовые теории. Он также предложил алгоритмы расчета четырех основных арифметических операций для юпаны Пома де Айала, согласно новой интерпретации, согласно которой можно было иметь до девяти семян в каждом ящике с вертикальной прогрессией степеней десяти. Радикати присвоил каждому пробелу значение 1.

В следующей таблице показано число 13457, как оно изображено на юпане Радикати:

Юпана Радикати Полномочия\Значения 1 1 1 1 10 4 •◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ 10 3 •••◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ 10 2 ••••◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ 10 1 ••••• ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ 10 0 ••••• ••◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦◦ Представительство 13457

Уильям Бернс Глинн

В 1981 году английский инженер по текстилю Уильям Бернс Глинн предложил решение с позиционной базой 10 для юпаны Пома де Айала.

Глинн, как Радикати, перенял идею Вассена о полных и пустых промежутках, а также о вертикальной прогрессии степеней десяти, но предложил архитектуру, которая позволяла пользователям юпаны значительно упрощать сами арифметические операции.

Горизонтальная прогрессия значений семян в его представлении равна 1, 1, 1 для первых трех столбцов, так что в каждом ряду можно разместить максимум десять семян (5 + 3 + 2 семян). Десять семян в любом ряду соответствуют одному семени в строке над ним.

Последняя колонна в юпане Глинна посвящена «памяти » , месту, которое может вместить до десяти семян, прежде чем они будут перенесены на верхнюю строку. По мнению автора, это очень полезно при арифметических операциях, чтобы снизить вероятность ошибки.

Решение Глинна было принято в различных учебных проектах по всему миру, и даже сегодня некоторые его варианты используются в некоторых школах Южной Америки .

В следующей таблице показано число 13457, как оно изображено на юпане Глинна:

Юпана Глинна Полномочия\Значения 1 1 1 Память 10 4 •◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ 10 3 •••◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ 10 2 ••••◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ 10 1 ••••• ◦◦◦ ◦◦ ◦ 10 0 ••••• ••◦ ◦◦ ◦

Николино де Паскуале

В 2001 году итальянский инженер Николино де Паскуале предложил позиционное решение в базе 40 юпаны Пома де Айала, взяв теорию представления Фибоначчи, уже предложенную Эмилио Мендисабалем , и развив ее для четырех операций.

Юпана де Паскуале также использует вертикальную прогрессию для представления чисел в степенях 40. Представление чисел основано на том факте, что сумма значений кругов в каждой строке равна 39, если каждый круг принимает значение 5 в первый столбец, 3 во второй столбец, 2 в третий и 1 в четвертый; таким образом можно представить 39 чисел, объединенных нейтральным элементом ( ноль или «нет семян» в таблице); это составляет основу из 40 символов, необходимых для системы нумерации.

В следующей таблице показано одно из возможных изображений числа 13457 в юпане Де Паскуале:

Юпана Де Паскуале Полномочия Ценности 5 3 2 1 40 4 2,650,000 ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ 40 3 64,000 ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ 40 2 1,600 •◦◦◦◦ ◦◦◦ •◦ • 40 1 40 ••◦◦◦ ••◦ ◦◦ ◦ 40 0 1 ••◦◦◦ •◦◦ •• ◦

После публикации теория Де Паскуале вызвала большие споры среди исследователей, которые разделились на две основные группы: группу, поддерживающую теорию по основанию 10, и другую, поддерживающую теорию по основанию 40. В испанских хрониках, написанных о завоевании Америки, указано, что инки использовали десятичную систему, а с 2003 года теория по основанию 10 была предложена в качестве основы для вычислений как на счетах, так и на кипу.

Де Паскуале недавно предложил использовать юпану в качестве астрономического календаря, работающего в смешанной системе координат 36/40. и предоставил свою собственную интерпретацию кечуа слова huno , переведя его как «0,1». Эта интерпретация расходится со мнениями всех летописцев Индии, особенно Доминго де Санто Томаса. который в 1560 году перевел хуно в чунга гуранга (десять тысяч).

Чинция Флорио

В 2008 году Чинция Флорио предложила альтернативный и революционный подход по сравнению со всеми теориями, предложенными до сих пор. Новая теория Флорио отклонилась от позиционной системы нумерации и приняла аддитивную или знаковую нотацию .

Опираясь исключительно на замысел Пома де Аяла, Флорио объяснил расположение белых и черных кругов и интерпретировал использование юпаны как доски для вычислений умножения , на которой множимое представлено в правом столбце, множитель — в двух центральных столбцах, и продукт в левом столбце, показанный в следующей таблице:

Счет Флорио Продукт Множитель Множитель множимое ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦ ◦◦◦◦◦ ◦◦◦ ◦◦ ◦

Теория отличается от всех предыдущих в нескольких аспектах: во-первых, белые и черные круги будут не промежутками, которые можно было бы заполнить семенем, а скорее семенами разного цвета, обозначающими соответственно десятки и единицы (это по мнению летописца Хуана де Веласко).

Во-вторых, множимое вводится в первый столбец с соблюдением знаково-значительной записи: таким образом, начальные числа можно вводить в любом порядке, а число задается суммой значений этих начальных чисел.

Множитель представляется как сумма двух множителей, поскольку процедура получения произведения основана на распределительном свойстве умножения над сложением .

По мнению Флорио, таблица умножения, составленная Помой де Айяла с учетом семян, представляла собой расчет: 32 х 5, где множитель 5 разлагается на 3 + 2. Последовательность чисел 1,2,3,5 будет причинно-следственной. , зависящий от выполненного расчета и не связанный с рядом Фибоначчи.

Счет Флорио

Продукт	МНОЖИТЕЛЬ	МНОЖИТЕЛЬ	множимое
	3X	2X
◦◦◦••	◦◦•	••	◦
◦◦◦◦•	◦◦•	◦◦	•
•••••	◦◦◦	◦•	◦
◦◦◦◦•	◦◦•	◦•	◦
◦◦◦••	•••	◦◦	•
151(160)	96	64	32

Ключ: ◦ = 10; • = 1; Представленная операция: 32 x 5 = 32 x (2 + 3) = (32 x 2) + (32 x 3) = 64 + 96 = 160.

Числа, представленные в столбцах, слева направо:

• 32 (множимое),
• 64 = 32 x 2 и 32 x 3 = 96 (которые вместе составляют множимое, умноженное на два множителя, на которые был разбит множитель)
• 151 (товар)

Последнее число в этом вычислении (которое неверно) является основой для всей возможной критики этой интерпретации, поскольку 160, а не 151, представляет собой сумму 96 и 64. Флорио, однако, отмечает, что ошибка могла быть со стороны Пома де Айяла на оригинальном рисунке, где пространство было занято черным кругом вместо белого. В этом случае замена всего лишь одного черного кружка на белый в последнем столбце даст нам число 160 — правильный продукт.

Юпана Пома де Аяла также не может представлять каждое множимое, необходимо расширять юпану по вертикали (добавляя строки) для представления чисел, сумма цифр которых превышает 5. То же самое касается и множителей: для представления всех чисел необходимо расширить количество столбцов. Если не считать предполагаемого ошибочного расчета (или ошибочного представления дизайнера), это единственная теория, которая идентифицирует в юпане Помы де Аялы математическое и последовательное сообщение (умножение), а не серию случайных чисел, как в других интерпретациях.

Андрес Киринос (2010)

В октябре 2010 года перуанский исследователь Андрес Киринос при поддержке Испанского агентства по международному сотрудничеству в целях развития (ACEID) пересмотрел старые рисунки и описания, записанные Помой де Аяла, и, наконец, расшифровал использование юпаны: стола с одиннадцатью отверстиями, который Киринос называет «доколумбовым калькулятором», способным складывать, вычитать, делить и умножать, что вселяет в него надежду применить эту информацию для исследования того, как использовались и функционировали кипу.

См. также

• Кипу
• Все еще Империя
• Система нумерации

Внешние ссылки

• Гильсдорф - Этноматематика инков
• Хелиана Селин - Математика через культуры
• О'Коннор и Робертсон - Математика инков

Летописцы Индии

• (на испанском языке) Пома де Айала - Первая новая Короника и хорошее правительство
• (на испанском языке) Хосе Де Акоста - Естественная и моральная история Индии
• (на испанском языке) Веласко - История королевства Кито в Южной Америке

Теория Вассена и таблицы-Юпана

• (на испанском языке) Radicati di Primeglio - Система учета инков: юпана и кипу

Теория Глинна Бернса и школьные проекты

• (на испанском языке) Мора и Валеро - Юпана как педагогический инструмент в начальной школе
• Леонард и Шакибан - Счеты инков
• (на итальянском языке) Фиорентино - Электронная юпана: инструмент для межкультурного преподавания математики.

Теория Де Паскуале

• (на итальянском языке) Миланский университет Боккони - Математика в доколумбовых цивилизациях
• (на английском языке) Система счета инков так же проста, как 1,2,3,5 - Росселла Лоренци
• (на итальянском языке) Новости о нумерации инков и юпане
• (на итальянском языке) Итальянец раскрывает загадку математики инков.
• (на итальянском языке) Il Sole 24 Ore Sunday, 10 ноября 2002 г. - № 308 - Страница 35 - Антонио Айми - НАУКА И ФИЛОСОФИЯ Доколумбовая математика Открыт метод вычислений инков
• (на итальянском языке) Сардинский союз - Числа природы на шахматной доске инков - Андреа Мамели
• (на английском языке) «Игра в гуаманскую пому», Н. Де Паскуале, Д. Д'Оттавио.

Теория К. Флорио

• (на итальянском языке) Флорио - Встречи и разногласия при выявлении математических отношений в юпане на Гуамане Пома де Айала
• (на испанском языке) Флорио - Встречи и разногласия при выявлении математических отношений в юпане Гуамана Пома де Айала